3e Calculer une longueur, un angle avec la

3e
Calculer une longueur, un angle avec la trigonométrie
Objectif 17
Livre 28.1
Mots clefs.
 Triangle rectangle
 Hypoténuse
 Côté adjacent à un angle aigu
 Côté opposé à un angle aigu
 Lignes trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
 Calculatrice.
1. Vocabulaire.
Soit ABC un triangle rectangle en A.
.
.
2. Observation.
Dans les triangles ABC et MBN respectivement rectangles
en A et M :
Comme les droites (MN) et (AC) sont toutes les deux
perpendiculaires à (MB) alors (MN)//(AC).
Les triangles ABC et MBN sont dans une situation
-réduction.
entre les longueurs des côtés des triangles ABC et MBN.
Autrement dit, on a le tableau de proportionnalité suivant :
AB
BC
AC
BM
BN
MN
De là, on peut extraire les trois tableaux de proportionnalité suivants :
AB
BM
MN
AC
MN
AC
BC
BN
BN
BC
BM
AB
-réduction, les longueurs changent, mais les angles restent
les mêmes donc :
 du premier tableau, on peut en déduire que les rapports
ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
.
 le rapport 
 ;
 du deuxième tableau, on peut en déduire que les rapports

ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
.
 le rapport 
 ;
 du troisième tableau, on eut en déduire que les rapports
ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre
.
Par définition, on appellera ta
 le rapport 
.
3. Définitions. Cosinus.
Soit ABC un triangle rectangle en A, alors :
 le co
 noté   est le rapport :
 noté   est le rapport :
 noté   est le rapport :
4. Propriétés.
 Le cosinus et le sinus 
 Les trois rapport  
et   ne dépendent pas de la position des points A et C sur
, mais uniquement de la mesure de cet angle.
Démonstration de la première propriété.
L
par 1. Ils sont minorés par 0, car le rapport de deux nombres positifs (des longueurs) est un
nombre positif.
On a bien : et
soit et
soit et .)

II. Avec la calculatrice.
1. Attention, 
Exemples. Utiliser les fonctions trigonométriques de la calculatrice.
Calculer sin 68°
Calculer tan 68°
A
tel que sin A = 0,3
B
tel que tan B = 2
sin 68 =
tan 68 =
2nd sin 0 . 3 =
2nd tan 2 =
Il
0.9271838546
2.475086853
17.45760312
63.43494882
Je note
sin 68° = 0,927 à
10-3 près
tan 68° = 2,475 à
10-3 près
sin A = 0,3 donc
A = 17,5° à 10-1 près
tan B = 2 donc
B = 63,4° à 10-1 près
 angle aigu dans un triangle rectangle.
ABC est rectangle en A tel que        
 arrondie au degré près.
Le triangle ABC est rectangle en A. Les longueurs des trois côtés étant connues, on choisit la ligne
Utilisons le sinus.
 arrondie au degré près.
DEF est un triangle rectangle en D tel que 
, et on
 qui nous permettra de
calculer DE.
soit
soit

2. Pour aller plus loin. Quelques valeurs particulières.
Angle
0°
30°
45°
60°
90°
cosinus
1
0
sinus
0
1
tangente
0
1
n'existe
pas