3e
Calculer une longueur, un angle avec la trigonométrie
Objectif 17
Livre 28.1
Mots clefs.
Triangle rectangle
Hypoténuse
Côté adjacent à un angle aigu
Côté opposé à un angle aigu
Lignes trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
Calculatrice.

1. Vocabulaire.
Soit ABC un triangle rectangle en A.


.

.
2. Observation.
Dans les triangles ABC et MBN respectivement rectangles
en A et M :
Comme les droites (MN) et (AC) sont toutes les deux
perpendiculaires à (MB) alors (MN)//(AC).
Les triangles ABC et MBN sont dans une situation
-réduction.

entre les longueurs des côtés des triangles ABC et MBN.
Autrement dit, on a le tableau de proportionnalité suivant :
BC
AC
BN
MN
De là, on peut extraire les trois tableaux de proportionnalité suivants :
AB
BM
MN
AC
MN
AC
BC
BN
BN
BC
BM
AB
-réduction, les longueurs changent, mais les angles restent
les mêmes donc :
du premier tableau, on peut en déduire que les rapports

 

ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre

.

le rapport 
 ;
du deuxième tableau, on peut en déduire que les rapports

 

ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre

.

le rapport 
 ;
du troisième tableau, on eut en déduire que les rapports

 

ne dépendent pas des longueurs des côtés des triangles ABC et MBN et ne peuvent donc dépendre

.
Par définition, on appellera ta
le rapport 
.
3. Définitions. Cosinus.
Soit ABC un triangle rectangle en A, alors :
le co
noté 
est le rapport :
 

 


noté 
est le rapport :
 

 


noté 
est le rapport :
 

 

4. Propriétés.
Le cosinus et le sinus 

Les trois rapport  
 
et 
ne dépendent pas de la position des points A et C sur

, mais uniquement de la mesure de cet angle.
Démonstration de la première propriété.
L
par 1. Ils sont minorés par 0, car le rapport de deux nombres positifs (des longueurs) est un
nombre positif.
On a bien :
   
et
   
soit
  
 

et
  
 

soit
 
 
et
 
 
.)
II. Avec la calculatrice.
1. Attention, 
Exemples. Utiliser les fonctions trigonométriques de la calculatrice.
Calculer sin 68°
Calculer tan 68°
A
tel que sin A = 0,3
B
tel que tan B = 2

sin 68 =
tan 68 =
2nd sin 0 . 3 =
2nd tan 2 =
Il

0.9271838546
2.475086853
17.45760312
63.43494882
Je note
sin 68° = 0,927 à
10-3 près
tan 68° = 2,475 à
10-3 près
sin A = 0,3 donc
A = 17,5° à 10-1 près
tan B = 2 donc
B = 63,4° à 10-1 près
 angle aigu dans un triangle rectangle.
ABC est rectangle en A tel que      

arrondie au degré près.
Le triangle ABC est rectangle en A. Les longueurs des trois côtés étant connues, on choisit la ligne

Utilisons le sinus.




 arrondie au degré près.

DEF est un triangle rectangle en D tel que
 

      
, et on
 
qui nous permettra de
calculer DE.
 


soit
  

soit
    
2. Pour aller plus loin. Quelques valeurs particulières.
Angle
30°
45°
60°
90°
cosinus
1
0
sinus
0
1
tangente
0
1
n'existe
pas
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