LOIS DE PROBABILITE CONTINUES A

LOIS DE PROBABILITE CONTINUES
I) LOI A DENSITE SUR UN INTERVALLE ( faire fiche '' vérifier les acquis'' )
1) Introduction
Quand l’univers est un intervalle
Jusqu’à présent, chaque expérience aléatoire conduisait à un univers fini et chaque variable aléatoire prenait un
nombre fini de valeurs.
Il s’agissait donc toujours de définir une loi de probabilité P sur un ensemble fini E = { x1 ; x2 ;...... ;x n }
et il suffisait de déterminer les n réels P({ x 1 }) ; P({ x2 })......... P({ x n }).
Mais il arrive aussi que les issues d’une expérience ou les résultats d’une variable aléatoire puissent être
n'importe quel nombre d’un intervalle I de ℝ. Par exemple : la durée d’une communication.
Dans ce cas, il n’est plus question de définir une loi de probabilité en se donnant la probabilité de chaque
élément de I (elle serait d’ailleurs nulle ! ) et de plus, les événement intéressants ne sont plus ’’obtenir tel ou tel
réel’’ mais plutôt ‘’ obtenir un nombre entre a et b ‘’.
La définition d’une loi de probabilité P sur I repose donc sur la notion de probabilité d’un intervalle quelconque
de I.
exemple :
On fait un sondage sur la durée des communications téléphoniques pendant un mois, puis on trace
l’histogramme et le polygone des fréquences.
La fréquence de [3;4] est l’aire du
rectangle hachuré.
heure
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Comme la somme des fréquences est 1 alors la somme des aires des rectangles est 1 UA.
Si on affine les résultats en les regroupant dans des classes de plus en plus petites, le polygone devient de plus
en plus précis.
Donc quand la largeur de la classe tend vers 0, le polygone tend vers une courbe que l’on appelle
‘’ courbe représentative de la densité de probabilité’’
y
A
0
a b
y=
f(x)
10
x en heure
La fonction f s’appelle ‘’ densité de probabilité ‘’ et l’aire hachurée est 1 UA.
b
La probabilité pour que la consommation soit entre a et b est donc l’aire A =
∫ f  x d x
a
2) Définitions
On considère une expérience aléatoire et un univers associé  , muni d'une probabilité .
Définition 1 :
Une variable aléatoire X est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs
d'un intervalle I de ℝ
Ex : Durée de fonctionnement d'un appareil électrique.
Définition 2 :
Soit X une variable aléatoire continue à valeur dans un intervalle I de ℝ.
On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I vérifiant les trois
conditions :
- f continue sur I
- f positive sur I
-
∫ f (x)d x =1
I
Ex : cosinus est une densité de probabilité sur [ 0 ;

]
2
Définition 3 :
On définit la loi de probabilité P de densité f de X en associant à tout intervalle [a;b] ⊂ I
le réel :
b
P( X ∈ [a;b]) =
∫ f  x d x
a
On dit que P est une loi de probabilité continue à densité f sur I.
1
Avec notre exemple : P(X ∈[0;1]) =
∫ cos  x d x
0
= sin(1) ≈0,84 et P
([ π6 ; π4 ]) = sin  4  – sin  6  ≈0,21
Définition 4 :
L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur I est E(X) =
∫ x f (x )d x
I
Exercices : 36 – 33 p 382
II) LA LOI UNIFORME SUR [a;b]
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi est uniforme sur [a;b] si sa densité est une fonction constante k.
1
Il faut donc k(b-a) = 1 d'où k =
b–a
Définition :
On appelle loi uniforme sur I = [a;b] la loi de probabilité continue sur I dont la densité f est la
1
fonction constante égale à f  x=
.
b–a
Propriété :
Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors pour tout intervalle [,]⊂[a;b]
β– α
P(X ∈ [,]) =
b–a
Propriété :
Si X suit la loi uniforme sur [a;b] alors son espérance est E(X) =
b
Démo : E(X) =
1
xd x
∫ b−a
= …...
a
Exercices : 41 -42 p 383 - 4 p 367
EX 1 – 2 (feuille)
a+b
2
III) LES LOIS EXPONENTIELLES
Définition :
Soit  un réel strictement positif.
X suit la loi exponentielle de paramètre  sur [0 ; +∞ [ si sa densité est la
fonction définie sur ℝ+ par f  x= e –  x
a
Démo : f est bien une densité car f est continue et positive et I a =
∫ λ e−λ x d x
= [−e−λ x ]0a = 1−e−λ a
0
Ia = 1
et alim
→+∞
Propriété :
Si X suit la loi exponentielle de paramètre 
b
+
Pour tout intervalle [a;b]⊂ℝ : P( X ∈ [a;b]) =
∫ λ e–λ x d x
= e – λa – e – λ b
a
−λa
et P ( X  a ) = e
b
Démo :
∫ λ e−λ x d x
= [−e−λ x ]a b = e−λa −e(−λ b)
a
Propriété :
L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre 
est E (X ) = 1/
a
Démo : Soit I a =
∫ λ x e−λ x d x
. Cherchons une primitive de la forme F(x) = ( mx+p)e−λ x alors
0
F '( x)=(−λ mx−λ p+m )e−λ x donc -m =  et -p+m = 0 donc m = -1 et p = -1/
(
)
1
donc I a = −a− e−λ a
λ
Exercices :
6 – 9 p 369
et
lim Ia = 1/.
a →+∞
50 - 51 p 384
Propriété :
Si X suit la loi exponentielle de paramètre  , pour tous réels positifs s et t, on a :
P Xs ( X > s + t ) = P ( X > t )
On dit que la loi exponentielle est une loi de durée de vie sans vieillissement.
– x
e
P ( X > a ) = P ( [ a ; +∞ [ ) = e –  a - xlim
= e– a
 ∞
Preuve :
PXst ∩Xs
P Xs ( X > s + t ) =
Or ,
P Xs
( X > s + t ) = ( X ∈] s + t ; + ∞ [ ) , ( X > s ) = ( X ∈] s; + ∞ [ ) et ( X ∈] s + t ; + ∞ [ ) ⊂( X ∈] s; + ∞ [ )
Donc , ( X ∈] s; + ∞ [ ) ∩ ( X ∈] s + t ; + ∞ [ ) = ( X > s + t )
D'autre part , P ( X > s + t ) = e – λ st 
et P ( X > s ) = e – λs
– λ  st 
e
insi , P ( X > s + t / X > s ) =
= e – λt = P ( X > t )
– λs
e
Signification : Si par exemple X désigne la durée de vie, exprimée en années, d’un composant électronique, la
probabilité qu’il fonctionne encore t années sachant qu’il a déjà fonctionné pendant s années est la même que la
probabilité qu’il fonctionne pendant au moins t années après sa mise en service.
Remarque : Cette loi modélise le phénomène de "mort sans vieillissement", observé par exemple pour la
désintégration radioactive.
N (0;1)
IV) LOI NORMALE CENTREE REDUITE :
Utiliser le fichier géogébra : '' loi binomiale '' pour expliquer ce qui suit :
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n;p). Si l'on fixe p et que l'on fait augmenter n,
l'histogramme représentant les valeurs prises par X semble se rapprocher d'une « courbe en cloche »;
Si l'on change p, la « courbe en cloche » change de caractéristiques ( hauteur et étalement)
X – np
X–x
=
, on s'aperçoit que, quel que
  X
 np 1 – p 
soit p, la courbe en cloche est toujours symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
En revanche, si on considère la variable aléatoire Z = Z=
De plus le mathématicien Abraham de Moivre ( XVIIe ) a montré que la courbe qui représente cette « courbe
1
e– x / 2
en cloche » est la représentation de la fonction définie sur ℝpar f  x=
2 
Th de MOIVRE-LAPLACE (admis)
2
Pour tout entier naturel n, X n est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B( n ; p )
X n−np
et on pose Z n=
.
√ np(1−p)
Pour tout les réels a et b (a < b) on a : la limite de P( Z n ∈[a ; b ]) quand n tend vers + ∞ est
b
∫ √ 12 π e
a
−x
2
2
dx
Définition :
Une variable aléatoire X suit une loi normale centré réduite si sa fonction densité est la
1
e – x / 2 elle se note N (0;1)
fonction définie sur ℝpar f  x=
2 
2
Propriétés :
b
P(a  X  b ) =
∫ f  x d x
a
L'aire sous la courbe est 1 : elle représente P(X ∈ ] – ∞ ;∞[ )
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc P(X ∈[ 0;∞ [ ) =
P( X  u) = P( X  -u)
donc P( X  - u) = 1 – P ( X  u )
1
2
Propriétés :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale
E(X) = tlim
→−∞
0
∫ xf (x) d x
t
+ slim
→+∞
Démonstration de l'espérance : f  x=
0
It =
∫ xf ( x) d x
=
t
1
√2 π
[−e ]
−x
2
2
s
De même si J s =
∫ xf (x) d x
0
t
0
∫ x f (x )d x
= 0 et son écart-type est 1.
0
1
e–x / 2
2 
….....
lim J s =
s →+∞
N (0;1) alors son espérance est
s
2
et
lim I t = −1
√2 π
t →+∞
1
√2 π
donc E(X) = 0
Utilisation de la calculatrice pour calculer
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, calculer :
P(-1,96  X  1,96) ≈ 0,95
P( X  1) ≈ 0,8413
P ( X  0,5 ) ≈0,3085
Remarques : pour P( X  1) programmer P( – 10 99  X  1)
et pour P ( X  0,5 ) programmer P( 0,5  X  1099 )
Propriétés :
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi normale
N (0;1) alors pour tout réel  ∈ ] 0 ; 1 [
il existe un unique réel uα tel que P ( −u α  X  uα ) = 1 - 
Démonstration :
t
t
1
e – x / 2 posons g(t) = P (-t  X  t ) = ∫ f ( x)d x = 2 ∫ f (x)d x car f est paire.
2 
−t
0
Donc g'(t) = 2 f(t) > 0 donc g est strictement croissante et continue.
g ( t) = 2× 1 = 1 donc si  ∈ ] 0 ; 1 [ on a donc 0 < 1 -  <1 donc d'après le théorème des
Or g(0) = 0 et tlim
→+∞
2
valeurs intermédiaires, il existe un unique uα  0 tel que g ( uα ) = 1 -  .
Soit f  x=
2
Intervalles particuliers à connaître
Exercices
P( X ∈ [-1;1] ) ≈0,68
P( X ∈ [-1,96;1,96] ) ≈0,95
P( X ∈ [-2;2] ) ≈0,954
P( X ∈ [-3;3] ) ≈0,997
10 p 371
V) LOI NORMALE
56 p 385
N( 
EX 3 – 4 - 5
;2)
Définition :
Dire qu'une variable aléatoire X suit une loi normale N (  ; 
X –
aléatoire T=
suit une loi normale N (0;1)

2
) signifie que la variable
Propriétés (admise):
Si une variable aléatoire suit une loi normale
N(
;
2
) , alors son espérance est  , sa
variance est  2 et son écart-type est .
Remarque : la fonction de répartition n'est pas au programme.
Influence des paramètres :
Les intervalles à connaître:
Si une variable aléatoire suit une loi normale
normale
N (0;1) donc P( 
;
2
) alors la variable aléatoire T=
-   X   + ) =................. = P ( -1  T  1) ≈0,68
P(  -   X   + ) ≈0,68
P(  - 2  X   + 2) ≈0,954
P(  - 3  X   + 3) ≈0,997
Exercices :
N(
63 – 64 – 65 – 66 p 386
X –
suit une loi

EX 1 :
On choisit au hasard un réel dans [ -1 ; 4 ]. Quelle est la probabilité d’avoir :
a) un nombre positif.
b) un nombre inférieur à .
c) le nombre .
Ex 2 :
a) On choisit au hasard un réel dans [ 0 ; 10 ].
Quelle est la probabilité qu’il soit solution de l’inéquation E : x2 - 4 x + 3 > 0
EX 3 :
Soit T une variable aléatoire qui suit la la loi normale centrée réduite ; dans chacun des cas déterminer l'arrondi
au centième du nombre u tel que :
a) P(T u) 0,25
b) P(Tu) = 0,45
c) P(T>u) = 0,38
d) P(T<u) = 0,15
P(-utu) = 0,87
EXERCICE 4 :
EXERCICE 5 :
VERIFIER LES ACQUIS ( voir le chapitre des probabilités)
1) Calculer la moyenne , la variance et l'écart-type de ces deux séries statistiques
xi
3
5
6
10
yi
3
5
6
10
effectifs
5
20
10
15
fréquences
0,1
0,4
0,2
0,3
x =
y =
V=
V=
=
=
2) On lance 3 fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les faces sont numérotées 1, 2, 3 ,4.
On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre de fois où le 1 est sorti.
a) Préciser la nature de X et ses paramètres.
b) Pour x i ∈ {0;1;2;3}, donner la formule qui calcule P X=x i  =
Compléter à l'aide de la calculatrice le tableau suivant :
xi
0
1
2
P X=x i 
c) Calculer l'espérance E(X) , la variance V(X) et l'écart-type (X) de X.
3
d) Soit Z la variable aléatoire Z=
xi
X–x
=
  X
X – np
=
 np 1 – p 
0
; compléter le tableau suivant :
1
2
3
zi
P Z=z i 
Calculer l'espérance , la variance et l'écart-type de Z.
3) Représenter l'histogramme de la loi binomiale B( 10;0,4)
( le rectangle ABCD représentant 0,01)
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p(X=xi) 0,00605 0,04031 0,12093 0,21499 0,25082 0,20066 0,11148 0,04247 0,01062 0,00157 0,00010
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D
C
A
B
10
11
12 x