[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1

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Exercice 1 [ 03044 ] [correction]
Soit Eun ensemble. Montrer que Eest infini si, et seulement si, pour toute
fonction f:E→E, il existe A⊂Eavec A6=∅et A6=Etelle que f(A)⊂A.
Exercice 2 [ 03040 ] [correction]
Quelle est l’image du cercle unité par l’application z7→ 1
1−z?
Exercice 3 [ 03107 ] [correction]
Soit Bune partie bornée non vide de C.
On suppose que si z∈Balors 1−z+z2∈Bet 1 + z+z2∈B.
Déterminer B.
Exercice 4 [ 03353 ] [correction]
Soient n>3,ω1, . . . , ωnles racines n-ième de l’unité avec ωn= 1.
a) Calculer pour p∈Z,
Sp=
n
X
i=1
ωp
i
b) Calculer
T=
n−1
X
i=1
1
1−ωi
Exercice 5 [ 03352 ] [correction]
Soient a, b, c trois complexes distincts vérifiant
|2a−b−c|=|2b−a−c|=|2c−a−b|
Montrer que le triangle dont les sommets ont pour affixes a, b, c est équilatéral.
Exercice 6 [ 03043 ] [correction]
Soit Eun ensemble fini non vide muni d’une loi de composition interne
associative notée >.
Montrer qu’il existe e∈Etel que e>e=e.
Exercice 7 [ 03351 ] [correction]
Soient a, b ∈N\{0,1}et n∈N?.
On suppose que an+bnest un nombre premier. Montrer que nest une puissance
de 2.
Exercice 8 [ 03039 ] [correction]
Soit z∈Cavec |z|<1. Existence et calcul de
lim
n→+∞
n
Y
k=0 1 + z2k
Exercice 9 [ 03048 ] [correction]
Etudier la suite (zn)n>0définie par z0∈Cet
∀n∈N, zn+1 =zn+|zn|
2
Exercice 10 [ 03234 ] [correction]
Soit (un)une suite réelle vérifiant
un+1 −un→0et un→+∞
Montrer qu’il existe une application ϕ:N→Nstrictement croissante vérifiant
uϕ(n)−n→0
Exercice 11 [ 03034 ] [correction]
Soit f: [0,1[ →Runiformément continue. Montrer que fest bornée.
Exercice 12 [ 03035 ] [correction]
Soit f:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l’infini.
Montrer que fest uniformément continue.
Exercice 13 [ 03105 ] [correction]
Soit αun réel compris au sens large entre 0 et 1/e.
a) Démontrer l’existence d’une fonction f∈ C1(R,R)vérifiant
∀x∈R, f0(x) = αf(x+ 1)
b) Si α= 1/e, déterminer deux fonctions linéairement indépendantes vérifiant la
relation précédente.
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Exercice 14 [ 03350 ] [correction]
Montrer la surjectivité de l’application
z∈C7→ zexp(z)∈C
Exercice 15 [ 00727 ] [correction]
Soit f∈ C2(R+,R)telle que lim
x→+∞f(x) = a∈R.
a) Si f00 est bornée, que dire de f0(x)quand x→+∞?
b) Le résultat subsiste-t-il sans l’hypothèse du a) ?
Exercice 16 [ 01341 ] [correction]
Soit f: ]0,1] →Rdérivable. On suppose de f(x)→`et xf0(x)→`0quand x→0.
Que dire de `0?
Exercice 17 [ 02945 ] [correction]
Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , yndes réels positifs.
Montrer
(x1. . . xn)1/n + (y1. . . yn)1/n 6((x1+y1)× ··· × (xn+yn))1/n
Exercice 18 [ 03049 ] [correction]
Soient Iun intervalle ouvert de Ret f∈ C0(I, R).
a) On suppose que, pour tout (x, y)∈I2,
fx+y
26f(x) + f(y) 2
Montrer que fest convexe.
b) On suppose qu’il existe un réel Mtel que
∀(x, y)∈R2,|f(x+y) + f(x−y)−2f(x)|6My2
Montrer que fest dérivable.
Indice : Considérer x7→ f(x)±Mx2/2.
Exercice 19 [ 02966 ] [correction]
Soient f: [0,1] →Rcontinue telle que
Z1
0
f(t) dt= 0
mle minimum de fet Mson maximum.
Prouver
Z1
0
f2(t) dt6−mM
Exercice 20 [ 02967 ] [correction]
Soient fet gdeux fonctions croissantes et continues sur [0,1]. Comparer
Z1
0
f(t)g(t) dtet Z1
0
f(t) dt×Z1
0
g(t) dt
Exercice 21 [ 03051 ] [correction]
Soient (a, b)∈R2avec a<bet f∈ C0([a, b],C).
A quelle condition portant sur fa-t-on
Zb
a
f =Zb
a|f|?
Exercice 22 [ 03089 ] [correction]
Soient (a, b)∈R2,µ∈R+?et f∈ C2([a, b],R)telles que
∀x∈[a, b],|f0(x)|>µet f0monotone
Montrer : Zb
a
e2iπf(t)dt 61
µπ
Exercice 23 [ 03380 ] [correction]
Soit f: [0,1] →Rcontinue vérifiant
Z1
0
f(t) dt= 0
Montrer qu’il existe x∈]0,1[ vérifiant
Zx
0
tf(t) dt= 0
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Exercice 24 [ 03116 ] [correction]
Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E)nilpotent.
Soit Sun sous-espace vectoriel de Estable par uet tel que
E=S+Imu
Montrer que S=E.
Exercice 25 [ 02464 ] [correction]
Soit (a, b, c)∈R3. Les fonctions x7→ sin(x+a), x 7→ sin(x+b)et x7→ sin(x+c)
sont-elles linéairement indépendantes ?
Exercice 26 [ 00271 ] [correction]
Soit P∈C[X]non constant et tel que P(0) = 1. Montrer que :
∀ε > 0,∃z∈C,|z|< ε et |P(z)|<1
Exercice 27 [ 00274 ] [correction]
Soit P∈R[X]simplement scindé sur R. Montrer que Pne peut avoir deux
coefficients consécutifs nuls.
Exercice 28 [ 01352 ] [correction]
Soient Kun corps et a1, a2, . . . , an∈Kdeux à deux distincts.
a) Calculer n
X
i=1 Y
j6=i
X−aj
ai−aj
b) On pose A(X) =
n
Q
j=1
(X−aj). Calculer
n
X
i=1
1
A0(ai)
Exercice 29 [ 02131 ] [correction]
Déterminer dans K[X]tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé.
Exercice 30 [ 02143 ] [correction]
Soient t∈Ret n∈N?.
Déterminer le reste de la division euclidienne dans R[X]de (Xcos t+ sin t)npar
X2+ 1.
Exercice 31 [ 02375 ] [correction]
Trouver les P∈C[X]vérifiant
P(X2) = P(X)P(X+ 1)
Exercice 32 [ 02941 ] [correction]
Soient A, B ∈C[X]non constants vérifiant
{z∈C/A(z)=0}={z∈C/B(z)=0}et {z∈C/A(z)=1}={z∈C/B(z)=1}
Montrer que A=B.
Exercice 33 [ 03041 ] [correction]
Trouver les P∈C[X]tels que
P(1) = 1,P(2) = 2,P0(1) = 3,P0(2) = 4,P00(1) = 5 et P00(2) = 6
Exercice 34 [ 03046 ] [correction]
Soit P∈R[X]. Montrer que la suite (P(n))n∈Nvérifie une relation de récurrence
linéaire à coefficients constants.
Exercice 35 [ 03336 ] [correction]
Résoudre dans C3le système
x2+y2+z2= 0
x4+y4+z4= 0
x5+y5+z5= 0
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Exercice 36 [ 00403 ] [correction]
Soit
M=a b
c d ∈ M2(R)
avec 06d6c6b6aet b+c6a+d.
Pour tout n>2, on note
Mn=anbn
cndn
Démontrer que, pour tout n>2,
bn+cn6an+dn
Exercice 37 [ 02929 ] [correction]
Soit
A=
1··· ··· 1
0 1 .
.
.
.
.
........
.
.
0··· 0 1
∈ Mn(R)
a) Soit k∈N?. Majorer les coefficients de Ak.
b) Calculer A−1.
c) Calculer Akpour k∈N.
Exercice 38 [ 01432 ] [correction]
Calculer
Dn+1 =
C0
0C1 1··· Cn
n
C0
1C1 2··· Cn n+1
.
.
..
.
..
.
.
C0
nC1
n+1 ··· Cn 2n
[n+1]
en notant par
Ck
n= n
k!=n!
k!(n−k)!
Exercice 39 [ 03373 ] [correction]
a) Donner les coordonnées des foyers Fet F0de l’ellipse Ed’équation
x2
a2+y2 b2= 1
(avec 0< b < a)
b) Calculer
I=ZZD (MF +MF 0) dxdy
où Ddésigne l’intérieur de l’ellipse
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
Si Eest l’ensemble vide, il n’existe pas de partie Aincluse dans Evérifiant A6=∅
et A6=E.
Si Eest un ensemble à un élément, idem.
Si Eest un ensemble fini contenant au moins deux éléments, on peut indexer les
éléments de Epour écrire E={x1, x2, . . . , xn}avec n=CardE>2. Considérons
alors l’application f:E→Edéfinie par f(x1) = x2,f(x2) = x3,. . . ,f(xn−1) = xn
et f(xn) = x1.
Soit une partie Ade Evérifiant f(A)⊂A. Si Aest non vide alors il existe
i∈ {1, . . . , n}tel que xi∈Amais alors f(xi)∈Ai.e. xi+1 ∈Aet reprenant ce
processus on obtient xi, xi+1, . . . , xn, x1, . . . , xi−1∈Aet donc A=E.
Ainsi, si Eest un ensemble fini, il existe une application f:E→Epour laquelle
les seules parties Ade Evérifiant f(A)⊂Asont ∅et E.
Inversement.
Soit Eun ensemble infini et f:E→E.
Soit x∈Eet considérons la suite des éléments x, f(x), f2(x), . . . , fn(x), . . ..
S’il existe n∈N?tel que fn(x) = xalors la partie
A=x, f(x), . . . , fn−1(x)⊂Eest non vide, distincte de E(car Afinie) et
vérifie f(A)⊂A.
Sinon, la partie A=f(x), f2(x), . . .={fn(x)/n ∈N?} ⊂ Eest non vide,
distincte de E(car x /∈A) et vérifie f(A)⊂A.
Exercice 2 : [énoncé]
Pour θ∈]0,2π[et z= eiθ,
1
1−z=1 1−eiθ = e−iθ/2i 2 sin θ/2=1 2+1 2icotanθ 2
L’image du cercle unité est la droite d’équation x=1
2.
Exercice 3 : [énoncé]
On observe que B={i, −i}est solution. Montrons qu’il n’y en a pas d’autres. . .
Posons f:C→Cet g:C→Cdéfinies par
f(z)=1−z+z2et g(z) = 1 + z+z2
On remarque
|f(z)−i|=|z+i||z−(1 + i)|,|f(z) + i|=|z−i||z−(1 −i)|
|g(z)−i|=|z−i||z+1+i|et |g(z) + i|=|z+i||z+ 1 −i|
Soient a∈Bet (zn)n>0la suite d’éléments de Bdéfinie par z0=aet pour tout
n∈N
zn+1 =f(zn)si Re(zn)60
g(zn)si Re(zn)>0
Posons enfin
un=z2
n+ 1=|zn−i||zn+i|
Si Re(zn)60alors
un+1 =|f(zn)−i||f(zn) + i|=un|zn−(1 + i)||zn−(1 −i)|
Selon le signe de la partie imaginaire de zn, l’un au moins des deux modules
|zn−(1 + i)|et |zn−(1 −i)|est supérieur à √2alors que l’autre est supérieur à 1.
Ainsi
un+1 >√2un
Si Re(zn)>0, on obtient le même résultat.
On en déduit que si u06= 0 alors la suite (un)n’est pas bornée. Or la partie Best
bornée donc u0= 0 puis a=±i. Ainsi B⊂ {i, −i}.
Sachant B6=∅et sachant que l’appartenance de ientraîne celle de −iet
inversement, on peut conclure
B={i, −i}
Exercice 4 : [énoncé]
Quitte à réindexer, on peut supposer
∀k∈ {1, . . . , n}, ωk=e2ikπ/n =ωkavec ω=e2iπ/n
a) Si nne divise par palors, puisque ωp6= 1
Sp=
n
X
k=1
ωkp =ωp1−ωnp
1−ωp= 0
Si ndivise palors
Sp=
n
X
k=1
ωkp =
n
X
k=1
1 = n
b) Pour 16k6n−1, on a
1
1−ωk
=−e−ikπ/n 1
2isin kπ
n
=i
2cot kπ n+1 2
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