par Monsieur Rahmani samir Fichier - E

R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire
Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieur et de la Recherche Scientifique
Universit´e A.MIRA-BEJAIA
Facult´e de Technologie
D´epartement de Technologie
El´ements d’analyse et d’alg`ebre
Polycopi´e de cours
R´edig´e par
Mr RAHMANI Samir
Ann´ee Universitaire : 2015/2016

Table des mati`eres
Table des Mati`eres 2
Introduction 4
1 Ensembles, Relations et Applications 6
1.1 Ensembles.................................... 6
1.1.1 G´en´eralit´es. ............................... 6
1.1.2 Op´erations sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Ensemble produit (Produit cart´esien).................. 7
1.1.4 Partition d’un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Ensemble des parties de E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Relations..................................... 9
1.2.1 Relations dans un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Relation d’´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Classe d’´equivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 Relationd’ordre. ............................ 10
1.2.6 Ordretotal. ............................... 10
1.2.7 Ordrepartiel. .............................. 11
1.3 Applications................................... 11
1.3.1 D´efinitions. ............................... 11
2

Table des Mati`eres 3
1.3.2 Injection, Surjection, Bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Application compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.4 Application r´eciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Divers....................................... 15
1.5 Borne inf´erieure et borne sup´erieure d’une partie non vide de R. ...... 15
2 Nombres complexes 18
2.1 Introduction................................... 18
2.2 ´ Ecriture des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 Conjugu´es et modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Leplancomplexe................................ 20
2.3.1 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 Propri´et´es................................. 21
2.5 ´ Equation du second degr´e dans C....................... 21
2.6 Racines n-i`emes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Structures alg´ebriques fondamentales 24
3.1 Groupes ..................................... 24
3.1.1 Sous-groupe de G. ........................... 25
3.1.2 Homomorphisme de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Anneaux..................................... 27
3.3 Corps ...................................... 30
4 Suites num´eriques 31
4.1 D´efinitions.................................... 31
4.1.1 Suitesborn´ees. ............................. 32
4.1.2 Suitesmonotones............................. 32
4.2 Suites, fonctions et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3

Table des Mati`eres 4
4.2.1 Suites convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.3 Suites d´efinies par r´ecurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.4 Suitesextraites ............................. 36
4.3 SuitesdeCauchy ................................ 37
4.4 Suitesarithm´etiques .............................. 38
4.5 Suitesg´eom´etriques............................... 39
5 D´eterminants 41
5.1 D´eterminant d’une matrice carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 G´en´eralit´es. ............................... 41
5.1.2 D´eterminants particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.3 Calcul d’un d´eterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.1.4 Op´erations sur les d´eterminants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Comatrice.................................... 45
6 Syst`emes d’´equations lin´eaires 47
6.1 G´en´eralit´es ................................... 47
6.2 Syst`eme lin´eaire sous forme matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3 R´esolution du syst`eme (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3.1 R´esolution par la m´ethode de Cramer. . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3.2 R´esolution par la m´ethode de la matrice inverse. . . . . . . . . . . . 50
6.3.3 R´esolution par la m´ethode de Fonten´e Rouch´e. . . . . . . . . . . . . 51
4

Introduction
Vous commencez des ´etudes scientifiques. Ce polycopi´e vous est destin´e.
Son objectif est double : consolider les bases math´ematiques acquises au lyc´ee, et vous
familiariser avec les notions plus d´elicates que vous allez aborder et les m´ethodes que vous
devrez acqu´erir.Vous pourrez l’utiliser de mani`ere r´eguli`ere pour consolider vos
acquis. Le pr´esent cours ne couvre qu’une partie des modules Maths 1 & 2 destin´es aux
´etudiants de la premi`ere ann´ee du socle commun Technologie.
Ce volume se compose de six chapitres. Chaque chapitre remet en place les bases indis-
pensables pour aborder des ´etudes scientifiques, et introduit quelques notions nouvelles,
qui seront pour la plupart trait´ees en cours de cette ann´ee.
Il ne me reste plus qu’`a vous f´eliciter de votre choix pour des ´etudes scientifiques et `a
vous souhaiter de les mener avec succ`es.
L’auteur.
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