CHAPITRE 4 Probabilités conditionnelles

CHAPITRE 4 − Probabilités conditionnelles
1/ PROBABILITES CONDITIONNELLES
11/ Probabilité de A sachant B
DEF Soient A et B deux événements, B étant de probabilité non nulle.
La probabilité de A sachant que B est réalisé ( ou de A sachant B ) est le nombre noté
(
)
AP
B
, défini par :
( )
(
)
( )
BP
BAP
AP
B
∩
= .
Remarque La probabilité conditionnelle
(
)
AP
B se note aussi parfois
(
)
B/AP
12/ Probabilité d'une intersection
PROP Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
APBPBPAPBAP
BA ×=×=∩
Illustration par un arbre pondéré
B
(
)
BAP ∩
A
B
(
)
BAP ∩
B
(
)
BAP ∩
A
B
(
)
BAP ∩
A
(
)
BAP ∩
B
A
(
)
BAP ∩
A
(
)
BAP ∩
B
A
(
)
BAP ∩
Dans la 1
ère
colonne des branches, on indique les probabilités " simples ". Dans la 2
ème
colonne des branches, ce sont les probabilités
conditionnelles .
La probabilité d'une intersection est égale au produit des probabilités de ses branches.
Remarque : A chaque " nœud " de l'arbre, la somme des probabilités est nulle
13/ Formule des probabilités totales
a) Etude du cas particulier n = 3 sur un exemple
On dispose de 3 urnes, contenant chacune 5 boules, blanches ou noires.
Alexandre lance un dé bien équilibré.
S'il obtient 1, il extrait une boule au hasard de l'urne 1.
S'il obtient 3 ou 5, il extrait une boule au hasard de l'urne 2.
S'il obtient un nombre pair, il extrait une boule au hasard de l'urne 3.
 Quelle est la probabilité que la boule tirée soit blanche ?
 La boule tirée est blanche. Quelle est dans ce cas, la probabilité qu'elle provienne de l'urne 2 ?
b) Enoncé du cas général
Soient
1
B ,
2
B ,3 B ,4 B , . . . , n B n événements tels que : − chaque k B a une probabilité non nulle.
− les événements k B sont disjoints deux à deux.
− leur réunion est l'univers des possibles Ω .
On dit que 1
B ,2 B ,3 B ,4 B , . . . , n B forment une partition de l'univers Ω .
Alors , quelque soit l'événement E , on a :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
EPBPEPBPEPBPEPBPEP
n
BnBBB
×++×+×+×= . . . . .
321
321
.
(
)
AP
(
)
AP
(
)
BP
A
(
)
BP
A
(
)
BP
A
(
)
BP
A
(
)
BP
(
)
BP
(
)
AP
B
(
)
AP
B
(
)
AP
B
(
)
AP
B
Urne 1
Urne 2
Urne 3

14/ Un autre exemple avec rappel sur les variables aléatoires, espérance et écart-type
Dans un stand de tir, un tireur effectue deux tirs successifs, pour atteindre deux cibles.
La probabilité que la première cible soit atteinte est
2
1. Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est
4
3.
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est
5
2.
Le joueur mise deux euros pour pouvoir effectuer deux tirs. Chaque cible atteinte lui rapporte 2 euros.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1/ Déterminer la loi de probabilité de X.
2/ Le joueur mise un très grand nombre de fois deux euros, s'offrant ainsi la possibilité d'effectuer deux tirs à chaque fois.
Quelle somme peut-il espérer gagner en moyenne, à chaque fois ?
3/ Calculer l'écart-type de X.
4/ Le gain algébrique du joueur a été nul. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi la première cible ?
2/ INDEPENDANCE
21/ Indépendance de deux événements
Intuitivement, 2 événements sont indépendants si la réalisation de l'un des deux événements n'influence pas les chances que l'autre
se réalise.
Exemple Une urne contient trois boules vertes et deux boules rouges. on tire successivement et avec remise deux boules de
l'urne. Les événements A : " Obtenir une boule verte au 1
er tirage " et
B : " Obtenir une boule rouge au 2
ème tirage "
sont indépendants.
DEF & PROP Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω . Soient A et B deux événements de probabilités non nulles.
Les événements A et B sont indépendants ⇔
(
)
(
)
APAP
B
= ⇔
(
)
(
)
BPBP
A
= ⇔
(
)
(
)
(
)
BPAPBAP ×=∩ .
Exemple Une urne contient 6 jetons de forme ronde, carrée ou triangulaire. Ces jetons portent les numéros 1, 2 ou 3.
La contenance de l'urne est la suivante :
On extrait au hasard un jeton de l'urne.
On considère les événements : − R " le jeton est de forme ronde "
− U " le jeton porte le numéro 1 "
− D " le jeton porte le numéro 2 "
Les événements R et U sont−ils indépendants ? Les événements R et D sont−ils indépendants ?
PROP Si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour
A
et B , pour A et
B
, ainsi que pour
A
et
B
.
 Démonstration : Montrons que si A et B sont indépendants, alors il en est de même pour
A
et B :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
APBPAPBPBAP
BB
−×=×=∩ 1 car
(
)
(
)
1=+ APAP
BB
=
(
)
(
)
[
]
APBP −× 1 car A et B sont indépendants
=
(
)
(
)
APBP × . On en déduit que
A
et B sont indépendants.
22/ Répétition d'expériences indépendantes
Il est fréquent qu'une expérience aléatoire E consiste à enchaîner plusieurs épreuves E
1
, E
2
, E
3
, . . . , E
n
. Si chacune d'elle se
déroule dans des conditions qui ne dépendent pas des résultats des épreuves précédentes, on dit que ces épreuves E
k
sont
indépendantes.
Un résultat de E étant la donnée dans l'ordre des résultats (
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) obtenus aux épreuves E
1
, E
2
, E
3
, . . . , E
n
,
calculer la probabilité du résultat ( a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
) revient à calculer
(
)
(
)
(
)
(
)
n
aPaPaPaP ×××× . . . . .
321
.
1 2 3
1 1 2

Exemple On lance un dé tétraédrique parfaitement équilibré dont les faces portent les numéros 1, 2, 3 et 4. On note la face
obtenue.
Puis, on lance un dé cubique équilibré, dont trois faces portent le numéro 1, deux faces le numéros 2 et une face le
numéro 3. On note la face obtenue.
Enfin, on tire un jeton dans une urne contenant 8 jetons numérotés de 1 à 8. On note le numéro du jeton prélevé.
1/ Quelle est la probabilité d'obtenir le résultat ( 2 , 1 , 7 ) ?
2/ Quelle est la probabilité d'obtenir trois chiffres identiques ?
3/ On lance à présent 10 fois le dé cubique ( on ne s'occupe plus du dé tétraédrique, ni de l'urne ).
On note X le nombre de fois où on a obtenu 6 au cours de ces 10 lancers.
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X ? Petit rappel de l'an passé !!!
b) Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 7 fois le nombre 6 au cours de ces 10 lancers ?
c) Quelle est la probabilité d'obtenir au moins 2 fois le nombre 6 au cours de ces 10 lancers
4/ On lance à présent n fois le dé cubique .
a) Quelle est en fonction de n la probabilité de n'obtenir aucun 6 au cours de ces n lancers ?
b) Quelle est en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une fois 6 au cours de ces n lancers ?
Combien faut−il de lancers au minimum pour que cette probabilité devienne supérieure à 0,9999 ?