Le moment cinétique En Mécanique Quantique

Le moment cinétique
En Mécanique Quantique
I_ Expression du moment cinétique
A. Énergie d'un électron
Dans un atome à un électron, l'énergie de l'électron dépend de son potentiel
de mouvement, mais aussi de l'énergie potentielle due à des interactions
électromagnétiques. On a donc :
Z× e
1
h2 ˆ
Ĥ = −
∆−
× 2
4πε0
2m
x + y 2 + z2
2
L'équation de Schrödinger devient alors très compliquée à résoudre. On
cherche donc à l'exprimer en fonction d'opérateurs plus simples. Ce système a une
symétrie sphérique, on l'exprime alors en fonction du moment cinétique.
B. Moment cinétique en coordonnées Cartésiennes
Le moment cinétique d'un électron de masse m, tournant à une vitesse v et
une distance r s'exprime :
v
x px y × pz − z × p y
r r r
L = r ^ p = y ^ py = z × p x − x × pz
z pz x × p y − y × p x
m
r
O
On peut ainsi écrire les opérateurs :
L̂ x = y × p̂ z − z × p̂ y
et
L̂2 = L̂ x + L̂ y + L̂ z
2
2
2
l Compatibilité
Les opérateurs Lx, Ly et Lz sont incompatibles. On trouve [Lx,Ly] = iħ Lz, et
ainsi de suite pour chaque commutateur. Ils n'ont donc pas les mêmes fonctions
propres. On ne peut ainsi pas mesurer simultanément les trois composantes du
moment cinétique.
2
Cependant, le commutateur [L ,Lz] = 0, de même pour une autre
composante. On peut mesurer simultanément une composante et la longueur du
moment cinétique. De plus, L2 et Lz ont les mêmes fonctions propres.
C. Moment cinétique en coordonnées sphériques
1) Différences entre coordonnées Cartésiennes e sphériques
Coordonnées
Cartésiennes
Coordonnées
sphériques
z
z
M
M
θ
r
y
y
x
x
x est la projection de M sur (Ox)
y est la projection de M sur (Oy)
z est la projection de M sur (Oz)
r est la longueur de [OM]
θ est l'angle entre (Oz) et [OM]
est l'angle entre la projection de
OM dans le plan (Oxy) et (Ox)
Par convention, θ [0;π] et [0;2π].
l Relations entre coordonnées
x = r sin θ cos r = x2 + y2 + z2
y = r sin θ sin tan(θ) =
z = r cos θ
tan(ϕ) =
dτ = dx dy dz
x2 + y2
z
y
x
dτ = r2 sin θ dr dθ d
Le facteur de dérivation dτ diffère aussi en fonction des coordonnées. Pour
décrire un système en coordonnées sphériques, on n'a besoin que des angles θ et
, ainsi dτ se simplifie en sin θ dr dθ d.
2) Expression des opérateurs du moment cinétique
l Expression de Lz
On en déduit l'expression de l'opérateur Lz en fonction des coordonnées
Cartésiennes. Cet opérateur a une forme simple en coordonnées sphériques.
On écrit le facteur de dérivation de en fonction des coordonnées
Cartésiennes :
∂  ∂x  ∂  ∂y  ∂  ∂z  ∂
=   +  + 
∂ϕ  ∂ϕ  ∂x  ∂ϕ  ∂y  ∂ϕ  ∂z
Et on trouve
∂x ∂ (r sin θ cos ϕ)
=
= −r sin θ sin ϕ = − y
∂ϕ
∂ϕ
∂y ∂(r sin θ sin ϕ)
=
= r sin θ cos ϕ = x
∂ϕ
∂ϕ
∂z ∂ (r cos θ)
=
=0
∂ϕ
∂ϕ
Ce qui donne
∂
∂
∂
=x −y
∂x
∂ϕ
∂y
Ainsi
∂ h ∂
h ∂
L̂ z =  x − y  = ×
i  ∂y
∂x  i ∂ϕ
l Expression de Lx
Pour exprimer Lx et Ly en coordonnées sphériques, on modifie le repère
comme suit. Dans ce repère, l'expression de Lx correspond à celle de Lz dans les
nouvelles coordonnées :
L̂ x =
x
M
θ1
r
y
1
h ∂
×
i ∂ϕ1
On écrit alors le facteur de dérivation de 1 en
fonction des coordonnées sphériques :
 ∂θ  ∂  ∂ϕ  ∂
∂

 +
= 
∂ϕ1  ∂ϕ1  ∂θ  ∂ϕ1  ∂ϕ
D'après l'expression de x, y et z en fonction des
coordonnées sphériques anciennes et nouvelles, on trouve
les relations entre celles-ci :
cos θ = sin θ1 sin ϕ1
z
x = r sin θ cos ϕ = r cos θ1
y = r sin θ sin ϕ = r sin θ1 cos ϕ1
z = r cos θ = sin θ1 sin ϕ1
tan ϕ =
sin θ1 cos ϕ1
cos θ1
On peut ainsi déterminer la dérivée des angles et θ par rapport à 1 :
(− sin θ )d = (sin θ1 cos ϕ1 )dϕ1 + ( )dθ1
⇒
∂θ sin θ1 cos ϕ1 sin θ sin ϕ
=
=
= − sin ϕ
∂ϕ 1
− sin θ
− sin θ
 sin θ1 sin ϕ1 
 1 
dϕ1 + ( )dθ1

dϕ =  −
2
cos θ1 
 cos ϕ 

sin θ1 sin ϕ1
∂θ
cos θ
cos ϕ
⇒
=−
cos 2 ϕ = −
cos 2 ϕ = −
∂ϕ 1
cos θ1
sin θ cos ϕ
tan θ
On obtient alors l'expression de Lx :
h
∂ cos ϕ ∂ 
L̂ x = −  sin ϕ × +
× 
i
∂θ tan θ ∂ϕ 
l Expression de Ly
Pour exprimer Ly, on remplace par - π/2, ce qui donne :
π


cos ϕ −  = sin ϕ 
2
∂ sin ϕ ∂ 
h


L̂
=
−
−
cos
ϕ
×
+
× 


y
i
∂θ tan θ ∂ϕ 
π

sin ϕ −  = − cos ϕ

2

l Expression de L2
L̂ = L̂ x + L̂ y + L̂ z
2
2
2
2
2

1
∂
1
∂ 
∂ 
= −h Λˆ = −h  2 × 2 +
×  sin θ 
∂θ 
 sin θ ∂ϕ sin θ ∂θ 
2
2
Et on appelle Λ le Laplacien angulaire.
II_ Propriétés générales des opérateurs du
moment cinétique
A. Opérateurs de montée et descente
Les valeurs précédentes correspondent à un moment cinétique orbital,
comme dans le cas d'un électron, qui est un cas particulier. De manière générale, on
peut retenir que le moment cinétique respecte toujours :
[Lx,Ly] = iħ Lz et
[L2,Lz] = 0
On définit les opérateurs de montée L+ et de descente L-, qui permettent de
passer d'un niveau d'énergie à un autre. On trouve :
L+ = Lx + i Ly et
L- = Lx - i Ly
Démonstration :
[L̂ + , L̂ z ] = [(L̂ x + i × L̂ y ), L̂ z ] = [L̂ x , L̂ z ] + i[L̂ y , L̂ z ] = −ihL̂ y − hL̂ x = −hL̂ +
De manière plus générale, on écrit :
[L̂ ,L̂ ] = mhL̂
±
z
±
On trouve aussi que :
2
2
2
2
2
L̂ −L̂ + = L̂ x + iL̂ xL̂ y − iL̂ yL̂ x + L̂ y = i L̂ x ,L̂ y + L̂ x + L̂ y = −hL̂ z + L̂2 − L̂ z
[
]
B. Nombres quantiques m et l
Lz et L² ont les mêmes fonctions propres, ils sont commutables. Soit Ψm une
fonction propre, avec les valeurs propres telles que :
L̂ z Ψm = (mh )Ψm
L̂2 Ψm = (λh 2 )Ψm
et
[L̂ ,L̂ ]Ψ = L̂ (L̂ Ψ ) − L̂ (L̂ Ψ ) = h × L̂ Ψ
Or L̂ (L̂ Ψ ) = (mh ) × L̂ Ψ
D' où L̂ (L̂ Ψ ) = (mh ) × L̂ Ψ − h × L̂ Ψ = (m − 1)h × L̂
On a
−
z
z
m
−
z
−
m
−
z
−
m
m
z
−
−
m
m
m
−
m
−
m
On écrit de manière générale :
L̂ − Ψm = (ha −,m )Ψm−1
et
−
Ψm
L̂ + Ψm = (ha +,m )Ψm+1
Lz est la projection du vecteur L sur l'axe z. Il possède une valeur maximale
que l'on appelle l. Les valeurs extrémales de Lz sont alors lħ et -lħ.
En appliquant les opérateurs de montée ou de descente, on passe de m à
m+1 ou m-1. Ainsi pour passer de -l à +l, on effectue un nombre exact de sauts de 1
en 1. 2l est donc un nombre entier, et l est entier ou demi-entier.
On a alors -l
m
l et m et l sont des entiers ou demi-entiers.
Remarque : Une fois les valeurs extrémales atteintes, on ne peut pas aller plus loin.
L̂ Ψ = 0 et L̂ Ψ = 0
+ l
− −l
On trouve alors :
L̂ z Ψl,m = (mh )Ψl,m
L̂2 Ψl,m = h 2l(l + 1)Ψl,m
L̂ ± Ψl,m = a ±,m × Ψl,m±1
C. Propriétés des opérateurs L+ et Ll Anti-Hermiticité
Les opérateurs de montée et de descente sont commutables d'une certaine
manière ; on dit qu'ils sont anti-Hermitiques.
Ψ L̂ + Ψ' = L̂ − Ψ Ψ'
Démonstration :
Ψ L̂ + Ψ ' = Ψ (L̂ x + iL̂ y )Ψ ' = Ψ L̂ x Ψ ' + i Ψ (iL̂ y )Ψ ' = L̂ x Ψ Ψ ' + (− iL̂ y )Ψ Ψ '
= (L̂ x − iL̂ y )Ψ Ψ ' = (L̂ − )Ψ Ψ '
l Relations
On trouve par calculs :
Relation entre a-,m et a+,m+1
Ψl,m −1 L̂ − Ψl,m = L̂ + Ψl,m −1 Ψl,m
h × a −,m Ψl,m −1 Ψl,m −1 = h × a * +,m Ψl,m Ψl,m
a −,m = a * +,m −1
Ψl,m−1
Valeur de a-,m
2
L̂ +L̂ − Ψl,m−1 = h 2a +,m−1a −,m Ψl,m−1 = h 2 a −,m Ψl,m−1
(
)
= Ψl,m−1 L̂2 − L̂ z − hL̂ z Ψl,m−1
2
= h 2 × l(l + 1)Ψl,m−1 − (m − 1) h 2 Ψl,m−1 − h 2 (m − 1)Ψl,m−1
2
[
]
= h 2 l(l + 1) − (m − 1) − (m − 1) Ψl,m−1
2
[
]
⇔ h 2 a −,m Ψl,m−1 = h 2 l(l + 1) − (m − 1) − (m − 1) Ψl,m−1
2
⇒ a −,m = l(l + 1) − m(m − 1)
Ainsi, on écrit :
2
L̂ ± Ψl,m = h l(l m 1) − (m ± 1)Ψl,m±1
III_ Propriétés du moment cinétique orbital
A. Harmonique sphérique
Le moment cinétique orbital s'exprime en fonction des angles θ et . On lui
applique donc une fonction d'onde dépendant de θ et . Elle est définie par les
nombres quantiques m et l. On l'appelle harmonique sphérique Ylm.
On peut appliquer cette fonction à l'opérateur du moment cinétique ( au carré )
et à l'opérateur Lz, car ils sont commutables. On obtient alors :
L̂ z Υlm (θ, ϕ) = (mh )Υlm (θ, ϕ) et
L̂2 Υlm (θ, ϕ) = h 2 × l(l + 1)Υlm (θ, ϕ)
l Expression de Ylm :
En exprimant Lz appliqué à Ylm, on trouve :
∂Υlm
h ∂
m
m
m
L̂ z Υl = (mh )Υl = × (Υl ) ⇔ m = im × ∂ϕ ⇒ ln(Υlm ) = im × ϕ + cte
i ∂ϕ
Υl
⇒ Υlm = C × e im×ϕ
On sait que
dépend de θ et . On sait donc que la constante C dépend de
θ. On l'appelle le polynôme de Legendre, noté Plm.
Ylm
eim×ϕ
Υ = P (θ) ×
2π
m
l
m
l
On observe que les deux variables sont séparées, ce qui facilitera la
résolution de l'équation de Schrödinger.
B. Variables de l'harmonique
l m est un entier
En ajoutant 2π à un angle, on tombe sur le même angle, ainsi :
e im×ϕ e im×2 π
e im×ϕ
Υlm (θ, ϕ) = Υlm (θ, ϕ + 2π ) ⇔ Plm (θ) ×
= Plm (θ) ×
⇒ e im×2 π = 1
2π
2π
⇒ cos(0 ) + i × sin(2πm) = 1 ⇒ 2πm = 2kπ ⇔ m = k
On en déduit que m est un entier pour le moment cinétique orbital (c'est un
demi-entier pour le spin), et donc l est aussi un entier.
l Développement de l'harmonique sur la base sphérique
L'harmonique sphérique est une fonction normée, on l'a donc égale à 1 sur
tout l'espace des variables, ce qui s'écrit :
π 2π
∫0 ∫0
Υlm (θ, ϕ) × sin(θ)dθdϕ = 1
2
On peut séparer les variables :
m
∫0 Pl (θ) × sin(θ)dθ × ∫0
π
2
2π
eim×ϕ
2π
2
dϕ = 1
On peut donc décrire n'importe quelle fonction de θ et avec l'harmonique.
l Conjugué complexe
∗
h ∂
h ∂

L̂ z Υ = (mh )Υ = × (Υlm ) ⇒ [(mh )Υlm ] =  × (Υlm )
i ∂ϕ
 i ∂ϕ

∗
∗
∗
∗
h ∂
⇔ m h(Υlm ) = − × (Υlm ) ⇔ L̂ z (Υlm ) = −mh(Υlm )
i ∂ϕ
m
l
m
l
⇒ Υlm = (Υlm ) × (− 1)
∗
m
∗