Le moment cinétique En Mécanique Quantique

L
LL
L
L
LL
L
L
LL
Le
ee
e
e
ee
e
e
ee
e m
mm
m
m
mm
m
m
mm
mo
oo
o
o
oo
o
o
oo
om
mm
m
m
mm
m
m
mm
me
ee
e
e
ee
e
e
ee
en
nn
n
n
nn
n
n
nn
nt
tt
t
t
tt
t
t
tt
t c
cc
c
c
cc
c
c
cc
ci
ii
i
i
ii
i
i
ii
in
nn
n
n
nn
n
n
nn
né
éé
é
é
éé
é
é
éé
ét
tt
t
t
tt
t
t
tt
ti
ii
i
i
ii
i
i
ii
iq
qq
q
q
qq
q
q
qq
qu
uu
u
u
uu
u
u
uu
ue
ee
e
e
ee
e
e
ee
e
E
EE
E
E
EE
E
E
EE
En
nn
n
n
nn
n
n
nn
n M
MM
M
M
MM
M
M
MM
Mé
éé
é
é
éé
é
é
éé
éc
cc
c
c
cc
c
c
cc
ca
aa
a
a
aa
a
a
aa
an
nn
n
n
nn
n
n
nn
ni
ii
i
i
ii
i
i
ii
iq
qq
q
q
qq
q
q
qq
qu
uu
u
u
uu
u
u
uu
ue
ee
e
e
ee
e
e
ee
e Q
QQ
Q
Q
QQ
Q
Q
QQ
Qu
uu
u
u
uu
u
u
uu
ua
aa
a
a
aa
a
a
aa
an
nn
n
n
nn
n
n
nn
nt
tt
t
t
tt
t
t
tt
ti
ii
i
i
ii
i
i
ii
iq
qq
q
q
qq
q
q
qq
qu
uu
u
u
uu
u
u
uu
ue
ee
e
e
ee
e
e
ee
e
I
I_ _ E Ex xp pr re es ss si io on n d du u m mo om me en nt t c ci in né ét ti iq qu ue e
A
A. . É Én ne er rg gi ie e d d' 'u un n é él le ec ct tr ro on n
Dans un atome à un électron, l'énergie de l'électron dépend de son potentiel
de mouvement, mais aussi de l'énergie potentielle due à des interactions
électromagnétiques. On a donc :
222
2
0
2
zyx eZ
41
ˆ
m2
H
ˆ++
×
×
πε
−∆−= h
L'équation de Schrödinger devient alors très compliquée à résoudre. On
cherche donc à l'exprimer en fonction d'opérateurs plus simples. Ce système a une
symétrie sphérique, on l'exprime alors en fonction du moment cinétique.
B
B. . M Mo om me en nt t c ci in né ét ti iq qu ue e e en n c co oo or rd do on nn né ée es s C Ca ar rt té és si ie en nn ne es s
Le moment cinétique d'un électron de masse m, tournant à une vitesse v et
une distance r s'exprime :
On peut ainsi écrire les opérateurs :
2
z
2
y
2
x
2
yzx L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
etp
ˆ
zp
ˆ
yL
ˆ
++=×−×=
l
l
C
Co om mp pa at ti ib bi il li it té é
Les opérateurs L
x
, L
y
et L
z
sont incompatibles. On trouve [L
x
,L
y
] = iħ L
z
, et
ainsi de suite pour chaque commutateur. Ils n'ont donc pas les mêmes fonctions
propres. On ne peut ainsi pas mesurer simultanément les trois composantes du
moment cinétique.
Cependant, le commutateur [L
2
,L
z
] = 0 , de même pour une autre
composante. On peut mesurer simultanément une composante et la longueur du
moment cinétique. De plus, L
2
et L
z
ont les mêmes fonctions propres.
O
r
m
v
xy
zx
yz
z
y
x
pypx pxpz pzpy p
p
p
^
z
y
x
p^rL ×−× ×−× ×−× === rr
r

C
C. . M Mo om me en nt t c ci in né ét ti iq qu ue e e en n c co oo or rd do on nn né ée es s s sp ph hé ér ri iq qu ue es s
1
1) ) D Di if ff fé ér re en nc ce es s e en nt tr re e c co oo or rd do on nn né ée es s C Ca ar rt té és si ie en nn ne es s e e s sp ph hé ér ri iq qu ue es s
Par convention, θ [0; π ] et [0;2 π ].
l
l
R
Re el la at ti io on ns s e en nt tr re e c co oo or rd do on nn né ée es s
Le facteur de dérivation dτ diffère aussi en fonction des coordonnées. Pour
décrire un système en coordonnées sphériques, on n'a besoin que des angles θ et
, ainsi dτ se simplifie en sin θ dr dθ d.
2
2) ) E Ex xp pr re es ss si io on n d de es s o op pé ér ra at te eu ur rs s d du u m mo om me en nt t c ci in né ét ti iq qu ue e
l
l
E
Ex xp pr re es ss si io on n d de e L L
z
z
On en déduit l'expression de l'opérateur L
z
en fonction des coordonnées
Cartésiennes. Cet opérateur a une forme simple en coordonnées sphériques.
On écrit le facteur de dérivation de  en fonction des coordonnées
Cartésiennes :
z
z
y
y
x
x∂ ∂
ϕ∂
∂
+
∂
∂
ϕ∂
∂
+
∂
∂
ϕ∂
∂
=
ϕ∂
∂
Et on trouve
(
)
ysinsinr
cos
sin
r
x
−=ϕθ−=
ϕ∂
ϕ
θ
∂
=
ϕ∂
∂
(
)
xcossinr
sin
sin
r
y
=ϕθ=
ϕ∂
ϕ
θ
∂
=
ϕ∂
∂
Coordonnées
Cartésiennes
z
y
x
x
est la projection de M sur (Ox)
y est la projection de M sur (Oy)
z est la projection de M sur (Oz)
M
Coordonnées
sphériques
z
y
x
r
est la longueur de [OM]
θ
θθ
θ est l'angle entre (Oz) et [OM]
 est l'angle entre la projection de
OM dans le plan (Oxy) et (Ox)
r
M
θ
x = r sin θ cos 
y = r sin θ sin 
z = r cos θ
dτ = dx dy dz
( )
( )
x
y
tan
zyx
tan
zyxr
22
222
=ϕ
+
=θ
++=
dτ = r
2
sin θ dr dθ d
(
)
0
cos
r
z
=
ϕ∂
θ
∂
=
ϕ∂
∂

Ce qui donne
x
y
y
x∂
∂
−
∂
∂
=
ϕ∂
∂
Ainsi
ϕ∂
∂
×=
∂
∂
−
∂
∂
=ix y
y
x
i
L
ˆz
hh
l
l
E
Ex xp pr re es ss si io on n d de e L L
x
x
Pour exprimer L
x
et L
y
en coordonnées sphériques, on modifie le repère
comme suit. Dans ce repère, l'expression de L
x
correspond à celle de L
z
dans les
nouvelles coordonnées :
1
x
i
L
ˆϕ∂
∂
×= h
On écrit alors le facteur de dérivation de 1 en
fonction des coordonnées sphériques :
ϕ∂
∂
ϕ∂ϕ∂
+
θ∂
∂
ϕ∂ θ∂
=
ϕ∂∂
111
D'après l'expression de x, y et z en fonction des
coordonnées sphériques anciennes et nouvelles, on trouve
les relations entre celles-ci :
1
11
11
cos
cossin
tan
sin
sin
cos
θϕθ
=ϕ
ϕ
θ
=
θ
On peut ainsi déterminer la dérivée des angles  et θ par rapport à 
1
:
(
)
(
)
(
)
( )
θ
ϕ
−=ϕ
ϕθ θ
−=ϕ
θϕθ
−=
ϕ∂ θ∂
⇒
θ+ϕ
θϕθ
−=ϕ
ϕ
ϕ−=
θ− ϕθ
=
θ− ϕθ
=
ϕ∂ θ∂
⇒
θ
+
ϕ
ϕ
θ
=
θ
−
tan
cos
cos
cossin
cos
cos
cossinsin
dd
cossinsin
d
cos
1
sin
sin
sinsin
sin
cossin
d
d
cos
sin
d
sin
22
1
11
1
11
1
11
2
11
1
1111
On obtient alors l'expression de L
x
:
ϕ∂
∂
×
θ
ϕ
+
θ∂
∂
×ϕ−= tan
cos
sin
i
L
ˆ
x
h
l
l
E
Ex xp pr re es ss si io on n d de e L L
y
y
Pour exprimer L
y
, on remplace par - π /2, ce qui donne :
M
x
y
z
r
1
θ
1
1
1
11
1
sinsincosrz cossinrsinsinry
cos
r
cos
sin
r
x
ϕθ=θ= ϕθ=ϕθ=
θ
=
ϕ
θ
=
ϕ∂
∂
×
θ
ϕ
+
θ∂
∂
×ϕ−−=
ϕ−=
π
−ϕ
ϕ=
π
−ϕ
tan
sin
cos
i
L
ˆ
cos
2
sin
sin
2
cos
y
h

l
l
E
Ex xp pr re es ss si io on n d de e L L
2
2
Et on appelle Λ
ΛΛ
Λ le Laplacien angulaire .
I
II I_ _ P Pr ro op pr ri ié ét té és s g gé én né ér ra al le es s d de es s o op pé ér ra at te eu ur rs s d du u
m
mo om me en nt t c ci in né ét ti iq qu ue e
A
A. . O Op pé ér ra at te eu ur rs s d de e m mo on nt té ée e e et t d de es sc ce en nt te e
Les valeurs précédentes correspondent à un moment cinétique orbital ,
comme dans le cas d'un électron, qui est un cas particulier. De manière générale, on
peut retenir que le moment cinétique respecte toujours :
[L
x
,L
y
] = iħ L
z
et [L
2
,L
z
] = 0
On définit les opérateurs de montée L
+
et de descente L
-
, qui permettent de
passer d'un niveau d'énergie à un autre. On trouve :
L
+
= L
x
+ i L
y
et L- = L
x
- i L
y
Démonstration :
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
++
−=−−=+=×+= L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
iL
ˆ
,L
ˆ
iL
ˆ
,L
ˆ
L
ˆ
,L
ˆ
iL
ˆ
L
ˆ
,L
ˆ
xyzyzxzyxz
hhh
De manière plus générale, on écrit :
[
]
±
±
=L
ˆ
L
ˆ
,L
ˆ
z
mh
On trouve aussi que :
[
]
2
z
2
z
2
y
2
xyx
2
yxyyx
2
x
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
,L
ˆ
iL
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
iL
ˆ
L
ˆ
iL
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
−+−=++=+−+=
+−
h
B
B. . N No om mb br re es s q qu ua an nt ti iq qu ue es s m m e et t l l
L
z
et L² ont les mêmes fonctions propres, ils sont commutables. Soit Ψ
m
une
fonction propre, avec les valeurs propres telles que :
(
)
(
)
m
2
m
2
m
m
z
L
ˆ
etmL
ˆ
Ψλ=ΨΨ=Ψ hh
[
]
(
)
(
)
( )
( )
( )
( ) ( )
m
m
m
m
z
mmz
mmzmzmz
L
ˆ
1mL
ˆ
L
ˆ
mL
ˆ
L
ˆ
où'D L
ˆ
mL
ˆ
L
ˆ
Or L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
,L
ˆ
aOn
Ψ×−=Ψ×−Ψ×=Ψ Ψ×=Ψ Ψ×=Ψ−Ψ=Ψ
−
−
−
−
−−
−−−−
hhh
h
h
On écrit de manière générale :
(
)
(
)
1mm,m1mm,m
aL
ˆ
etaL
ˆ
+++−−−
Ψ=ΨΨ=Ψ hh
L
z
est la projection du vecteur L sur l'axe z. Il possède une valeur maximale
que l'on appelle l. Les valeurs extrémales de L
z
sont alors lħ et -lħ.
θ∂
∂
θ
θ∂
∂
×
θ
+
ϕ∂
∂
×
θ
−=Λ−=++= sin
sin
1
sin
1
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
2
2
2
22
2
z
2
y
2
x
2
hh

En appliquant les opérateurs de montée ou de descente, on passe de m à
m+1 ou m-1. Ainsi pour passer de -l à +l, on effectue un nombre exact de sauts de 1
en 1. 2l est donc un nombre entier, et l est entier ou demi-entier.
On a alors -l m l et m et l sont des entiers ou demi-entiers.
Remarque : Une fois les valeurs extrémales atteintes, on ne peut pas aller plus loin.
0L
ˆ
et0L
ˆ
l
l
=Ψ=Ψ
−
−
+
On trouve alors :
(
)
( )
1m,lm,m,l
m,l
2
m,l
2
m,lm,lz
aL
ˆ1llL
ˆmL
ˆ
±±±
Ψ×=Ψ
Ψ+=Ψ
Ψ=Ψ
h
h
C
C. . P Pr ro op pr ri ié ét té és s d de es s o op pé ér ra at te eu ur rs s L L+
+
e et t L L-
-
l
l
A
An nt ti i- -H He er rm mi it ti ic ci it té é
Les opérateurs de montée et de descente sont commutables d'une certaine
manière ; on dit qu'ils sont anti-Hermitiques.
'L
ˆ
'L
ˆ
ΨΨ=ΨΨ
−+
Démonstration :
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
'L
ˆ
'L
ˆ
iL
ˆ
'L
ˆ
i'L
ˆ
'L
ˆ
ii'L
ˆ
'L
ˆ
iL
ˆ
'L
ˆ
yx
yxyxyx
ΨΨ=ΨΨ−=
ΨΨ−+ΨΨ=ΨΨ+ΨΨ=Ψ+Ψ=ΨΨ
−
+
l
l R Re el la at ti io on ns s
On trouve par calculs :
 Relation entre a
-,m
et a
+,m+1
1m,m,
m,lm,lm,1m,l1m,lm,
m,l1m,lm,l1m,l
*aa *aa
L
ˆ
L
ˆ
−+−
+−−−
−+−−
=ΨΨ×=ΨΨ×
ΨΨ=ΨΨ
hh
 Valeur de a
-,m
Ainsi, on écrit :
(
)
(
)
1
m,lm,l
1m1llL
ˆ
±±
Ψ±−=Ψ mh
( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) 1mm1lla
)1m(1m1lla
)1m(1m1ll
)1m(1m1ll
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
aaaL
ˆ
L
ˆ
m,
1m,l
2
2
1m,l
2
m,
2
1m,l
2
2
1m,l
2
1m,l
2
2
1m,l
2
1m,lz
2
z
2
1m,l
1
m,l
2
m,
2
1m,lm,1m,
2
1m,l1m,l
−−+=⇒
Ψ−−−−+=Ψ⇔
Ψ−−−−+=
Ψ−−Ψ−−Ψ+×=
Ψ−−Ψ=
Ψ=Ψ=ΨΨ
−
−−−
−
−−−
−−
−−−−−+−−+−
hh
h
hhh
h
hh