Eléments d`Algèbre commutative et de Géométrie Complexe

El´ements d’Alg`ebre commutative et de G´eom´etrie
Complexe
Alain Yger

R´ esum´ e. Le double objectif de ce cours est, d’une part, de pr´esenter les bases
essentielles de l’alg`ebre commutative tout en les motivant par des applications
(choisies dans le riche vivier qu’entrouvre la g´eom´etrie complexe), d’autre part
de confronter les probl`emes classiques (´etudi´es depuis souvent plus d’un si`ecle)
avec les d´eveloppements r´ecents o`u ces probl`emes ressurgissent et font se poser
des probl`emes de recherche toujours ouverts dans le cadre des math´ematiques
contemporaines. Pour ce qui concerne l’alg`ebre commutative, c’est l’ouvrage de
D. Eisenbud [Eis] qui nous servira fr´equemment de trame ; notons cependant
qu’il s’agit plus d’un ouvrage de r´ef´erence que l’on consulte sans cesse et qu’il
serait impossible ici compte-tenu des objectifs que nous nous sommes fix´es d’en
faire une explication exhaustive. Les deux livres de D. Cox, J. Little, D. O’Sheah
[CLO1, CLO2], d’ob´edience plus pratique , voire algorithmique , nous
seront aussi utiles en ce qui concerne les applications (et la pr´esentation concr`ete
et naive des objets qui y est conduite). Pour ce qui est des bases de la G´eom´etrie
Complexe, nous nous r´ef`ererons souvent aux ouvrages de P. Griffiths et J. Harris
[GH] et de J.P. Demailly [Dem] (en ligne).

CHAPITRE 1
Id´eaux d’un anneau de polynˆomes sous divers angles
1.1. Polynˆomes sur un domaine, ´elimination, nullstellensatz
On d´esigne par Aun domaine, c’est-`a-dire un anneau commutatif unitaire 1int`egre
et par Kson corps des fractions ; on note Kla clˆoture int´egrale de ce corps des
fractions (c’est-`a-dire le plus petit sur-corps e Kde K, `a K-isomorphisme pr`es, tel
que tout polynˆome pen une variable `a coefficients dans Kait au moins une racine
dans K, ce qui signifie qu’un tel polynˆome se pr´esente comme un polynˆome scind´e
a(X−α1)···(X−αd), o`u a∈K∗et les αjsont dans K, et d= deg p). On ne fait
par pour l’instant d’hypoth`eses sur la caract´eristique du corps Kou bien le fait qu’il
s’agisse d’un corps fini ou infini ; ces hypoth`eses seront si n´ecessaires pr´ecis´ees par la
suite.
Comme exemples de domaines A, on peut penser `a Z[t1, ..., tν] (l’anneau des po-
lynˆomes en νparam`etres transcendants sur Z, soit Zsi ν= 0) ou Zp[t1, ..., tν] (l’an-
neau des polynˆomes en νparam`etres transcendants sur l’anneau Zpdes entiers p-
adiques, soit Zpsi ν= 0) et la caract´eristique est alors 0 ; dans ce cas Kest d’ailleurs
toujours infini. On peut ´egalement penser `a l’anneau A=Z/pZ(avec p≥2 premier)
ou `a A= (Z/pZ)[t1, ..., tν], la caract´eristique de Kest alors p, et Kest alors fini si
ν= 0, mais infini d`es que ν≥1.
Si d1et d2sont deux entiers strictement positifs, on peut consid´erer dans l’anneau
Z[u0, ..., ud1, v0, ..., vd2][X] = Z[u, v][X]
les deux polynˆomes
p1(X) =
d1
X
k=0
ukXd1−k, p2(X) =
d2
X
k=0
vkXd2−k
Ces deux polynˆomes p1et p2sont premiers entre eux dans Q(u, v)[X] si et seulement
il existe deux polynˆomes q1et q2`a coefficients dans ce corps, de degr´es respectifs
d2−1 et d1−1, tels que 1 ≡p1q1+p2q2(identit´e de B´ezout). Ceci s’exprime encore,
si l’on exprime cette derni`ere identit´e comme une identit´e entre deux polynˆomes de
degr´es d1+d2−1, en disant que le d´eterminant Rd1,d2(u, v) de la matrice de Sylvester
1. Unitaire n’est pas indispensable, mais nous ajouterons cette hypoth`ese.

21. ID´ EAUX D’UN ANNEAU DE POLYN ˆ OMES SOUS DIVERS ANGLES
de taille (d1+d2, d1+d2)
(1.1) Sylvd1,d2=
u0u1. . . ud10. . . 0 0
0u0. . . ud1−1ud1. . . 0 0
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0 0 . . . . . . . . . . . . ud10
0 0 . . . . . . . . . . . . ud1−1ud1
v0v1··· ··· ··· ··· 0 0
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0··· ··· ··· ··· ··· vd2−1vd2
est non nul. On constate, en rempla¸cant dans ce d´eterminant la derni`ere colonne par
la combinaison d1+d2−1
X
k=0
Xd1+d2−1−k(colonne d0indice k),
puis en le d´eveloppant suivant la r`egle de Sarrus, que le d´eterminant Rd1,d2(u, v)
s’exprime sous la forme
Rd1,d2(u, v) = A1(u, v, X)p1(X) + A2(u, v, X)p2(X),
o`u A1et A2sont des ´el´ements de Z[u, v][X]. Le polynˆome Rd1,d2est homog`ene de
degr´e d2en uet homog`ene de degr´e d1en v; il est donc bi-homog`ene. On envisa-
gera plus loin dans ce cours une extension au cadre non plus de 2 polynˆomes en 1
variable (c’est-`a-dire en fait, ce qui revient au mˆeme si on les homog´en´ıse, de deux
polynˆomes homog`enes de degr´es respectifs d1et d2en deux variables (X0, X1)), mais
celui de (n+ 1) polynˆomes homog`enes en n+ 1 variables de degr´es (totaux cette fois)
pr´ecis´es d1, d2, ..., dn+1 ; ce sera le r´esultant de Macaulay, g´en´eralisation du r´esultant
de Sylvester.
Si les polynˆomes p1,prec et p2,prec (prec pour pr´ecis´e ) sont maintenant des
polynˆomes `a coefficients (aj)j=0,....,d1et (bj)j=0,...,d2dans un corps Ksp´ecifi´e soit
p1,prec(X) =
d1
X
j=0
akXd1−k, p2,prec =
d2
X
j=0
bkXd2−k
et s’ils sont exactement de degr´es d1et d2(ce qui signifie que les coefficients a0et b0
sont non nuls), l’´el´ement Rd1,d2(u=a, v =b)∈Kest un ´el´ement du corps Knon nul
si et seulement si les deux polynˆomes p1,prec et p2,prec sont premiers entre eux dans
K[X].
Exemple 1.1. Voici une routine sous le logiciel Sage 1permettant de g´en´erer le
polynˆome Rd1,d2(en seconde sortie) comme ´el´ement de Z[u, v] et la matrice de Syl-
vester Sylvd1,d2en premi`ere sortie ; les codes sont ´ecrits sous l’environnement Python.
Cette routine g´en`ere aussi les variables u=u0, ..., ud1,v=v0, ...., vd2qu’elle num´erote
ainsi.
1. Ce logiciel libre se t´el´echarge depuis le site http://www.sagemath.org/. Il permet de coupler
les potentialit´es du calcul formel et celles du calcul scientifique.

1.1. POLYN ˆ OMES SUR UN DOMAINE, ´ ELIMINATION, NULLSTELLENSATZ 3
sage:
def SYLVESTER(d_1,d_2):
% On declare les listes de variables u et v
U = list(var(’u_%d’ % i) for i in range(d_1+1))
V = list(var(’v_%d’ % i) for i in range(d_2+1))
% On declare l’anneau de polynomes Z[u,v]
T = ZZ[U+V]; ZZuv = PolynomialRing(ZZ,d_1+d_2+2,T.gens())
% On forme la matrice de Sylvester, puis
UU = [ZZuv.gens()[k] for k in range(d_1+1)]
VV = [ZZuv.gens()[d_1+1+k] for k in range(d_2+1)]
M1 = Matrix([[0 for k in range(j)] + UU
+ [0 for k in range(d_2-1-j)] for j in range(d_2)])
M2 = Matrix([[0 for k in range(j)] + VV
+ [0 for k in range(d_1-1-j)] for j in range(d_1)])
L1 = [M1.rows()[j].list() for j in ranged_2)]
L2 = [M2.rows()[j].list() for j in range(d_1)]
return [Matrix(L1+L2),Matrix(L1+L2).det()]
On peut ainsi calculer certains r´esultants de Sylvester, par exemple :
sage:
Sylvester(2,1)[1]
ans:
u_2*v_0^2 - u_1*v_0*v_1 + u_0*v_1^2
Sylvester(3,2)[1]
ans:
u_3^2*v_0^3 - u_2*u_3*v_0^2*v_1 + u_1*u_3*v_0*v_1^2
- u_0*u_3*v_1^3 + u_2^2*v_0^2*v_2 - 2*u_1*u_3*v_0^2*v_2
- u_1*u_2*v_0*v_1*v_2 + 3*u_0*u_3*v_0*v_1*v_2
+ u_0*u_2*v_1^2*v_2 + u_1^2*v_0*v_2^2
- 2*u_0*u_2*v_0*v_2^2 - u_0*u_1*v_1*v_2^2
+ u_0^2*v_2^3
On s’aper¸coit tout de suite que les choses sont vite compliqu´ees (le d´eveloppement
d’un d´eterminant de taille d1+d2par la r`egle de Sarrus fait intervenir (d1+d2)!
termes ! Si l’on prend d1= 2, d2= 1 et comme polynˆomes pr´ecis´es
p1,prec(X) = aX2+bX +c, p2,prec(X) = p0
1,prec(X) = 2aX +b,
on trouve en lan¸cant ainsi les calculs :
sage:
var(’a,b,c’)
SYLVESTER(2,1)[0](a,b,c,2*a,b), SYLVESTER(2,1)[1](a,b,c,2*a,b)
ans:
(
[ a b c]
[2*a b 0]
[ 0 2*a b], -a*b^2 + 4*a^2*c
)