Symbole 1 Symbole 2 Définition unité
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Symb. 1 / Définition Symb. 2 A Adiabatique γ sans échanges de chaleur pv = c Air (caractéristiques) Autocorrélation (voir aussi intercorrélation) Avogadro B Boussinesq Définition C Chaleur latente Coefficient de frottement Coefficient de traînée Conductivité thermique Constante des gaz parfaits Constante solaire 1 T →∞ 2T Rxx (τ) = lim N γ =7 5 gaz diatomique convection L Cd λ (k angl) R τp Contrainte totale τ T ∫−T x(t + τ) x(t )dt nb d'Avogadro 6.023 1023 ⎛∂ U i ∂ U j ⎞ 2 − ui u j = νt ⎜ + ⎟− kδ i j ⎝ ∂ x j ∂ xi ⎠ 3 turbulence Contrainte pariétale Coriolis Paramètre de Coriolis Tvγ −1 = c te γ = Cp Cv γ = 5 3 gaz monoatomiq ue R=Cp-Cv te Formules de Sutherland hypothèse Boussinesq unités approximation : la masse volumique est considérée comme constante dans les équations, sauf dans les termes de poussée ex : air 2.5 106 J.kg-1 à 273.15 K cd ≡ D 1 ρU 2 L 2 Cf = τp 1 ρU 2 2 où D traînée par unité de largeur [Nm-1], L longueur de plaque Voir coefficient de frottement voir formule de Sutherland pour l'air (voir air) W·m-1K-1 -1 -1 -1 R = 8.314 (pour l'air, M=28.95g.mol , r = R/M = 287 J.kg .K ) R = Cp-Cv J mol-1 K-1 L’énergie solaire qui parvient à la Terre (1367 w/m2 en moyenne au cours de l’année) varie alors de 6% (4 fois l’excentricité) passant de 1408 W/m2 au point le plus proche à 1326 W/m2 au point le plus éloigné http://www.cnrs.fr/cw/dossiers/dosclim/sysfacte/soleil/soleil1.htm ⎛ ∂u ⎞ τ p = µ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂y ⎠ paroi τ = − ρ < u ' v' > + µ ∂U ∂y r r Coriolis (accélération de) = 2 ⋅ U × Ω r pour la terre Ω = 7.27 10 −5 [rd s-1] et localement r ω = Ω sin(latitude) m s- ² Paramètre de Coriolis f = 2Ω sin φ (φ latitude) Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC -1- Couche limite atmosphérique D Diffusivité thermique Diffusivité turbulente Dirichlet Divergence E Écart type CLA a (γ ang.) K cn. aux limites div σ Quelques centaines de mètres, la rugosité et les obstacles y induisent de la turbulence. Subdivision : • Couche d’Ekman, partie sup de la CLA, influence du frottement, des forces dues aux échanges thermiques, de la force de Coriolis ; le vent subit une rotation avec l’altitude dûe à la force de Coriolis pour s’aligner en altitude avec le vent géostrophique • Couche de surface, force de Coriolis négligeable, direction du vent influencée par la topographie et par les variations thermiques. • Cous-couche rugueuse, de quelques dixièmes de mm (mer calme) à quelques dizaines de mètres (zone fortement urbanisée). Écoulement turbulent, non homogène et instationnaire. Caractérisé par une rugosité globale z0 [m]. diffusivité thermique γ = λ m² s-1 ρ Cp m² s-1 <eddy diffusivity> conditions aux limites : Dirichlet sur la frontière G = cste div V = ∇.V (V quantité vectorielle) Pour une composante ui de fluctuation de vitesse σ u = i Échelle grande (atmosph.) Échelle intégrale ui2 À l’échelle de la planète, échelles synoptiques. Supérieur à la centaine de km. Constantes de temps typ.: 15 h - 70 j. Responsable des tendances météo à long terme Λ ≡ ∫ ρ (τ ) dτ où l ' on utilise le ∞ integrale 0 Echelle intégrale Λ coefficient d' intercorrélation ρ (τ ) = ρ ( −τ ) ≡ Échelle méso (atmosphère) Échelle micro (atmosphère) Échelle sub-méso (atm.) Échelle synoptique (atmosphère) Échelle de longueur caractéristique de la région interne (couche limite). Longueur visqueuse u(t ) u(t + τ ) u2 Échelles régionales. Cste de temps typ. 2h (de 5 à 1000 km) Taille inférieure au km. Constantes de temps 1 s à quelques minutes Échelles intermédiaires entre méso et micro. Cste de temps typ. 10 mn grande échelle, échelle des fronts des anticyclones et des dépressions ordre de grandeur temporel : du jour à quelques jours. z* à partir de l'échelle de vitesse u* : z* = Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC ν u* -2- Échelle de vitesse (couche limite) u* Énergie cinétique turbulents Énergie statique k à partir de la contrainte pariétale u* = τp ρ voir vitesse de frottement m2s-2 s = CpT + g ⋅ z [Men 2004] ex : variation de température d'une masse d'air sec passant de 0 à 1000m ∆T = Enthalpie Épaisseur de la couche limite planétaire (PBL) H h H = U + PV Hauteur de mélange ou hauteur de la PBL Limite de diffusion verticale des panaches et bouffées. Intervient dans de nombreux paramètres ( z / h Mesures directes préférables mais rares Utilisation de considérations théoriques simples pour son estimation, par exemple : h ≈ 0 .3 Équation de Fourier Équation de Laplace Équation de Poisson Équations 1er ordre Fourier Laplace poisson 1er ordre Équations 2ème ordre 2ème ordre Équations hyperboliques Équations paraboliques Ergodicité elliptiques hyperbolique s paraboliques h / L ) et échelles. u* f paramètre de Coriolis, u* f cf. [Ary 1998] p98 (§4.8.2) ∆G = 1/D ∂G/∂t ∆G = 0 ∆G + S = 0 a( x, y, f ) ∂ 2 2 f ∂x 2 ∂ f a Équations elliptiques g ⋅ 1000 ≈ 10° Cp ∂ ∂ f ∂ f + b( x , y , f ) = c( x , y , f ) ∂x ∂y ∂ 2 f ∂ 2 f + b + c =e ∂ x∂ y ∂ x2 ∂ y2 f + ∂ 2 f ∂y 2 = 0 (Laplace) 1 ∂ 2 f = ⋅ ∂ x 2 c2 ∂ t 2 α 2 ∂ ∂ f = ∂t ∂ x2 2 f (c = cste) (α = cste) Hypothèse d’ergodicité : C'est l'une des bases fondamentales du traitement du signal aléatoire. Pour un signal ergodique nous pouvons remplacer les moments statistiques par des moments temporels. F Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC -3- Fahrenheit flux Flux de chaleur turbulent de surface Formules de Sutherland deg. Fahrenheit Θ °C = 5/9(θ - 32) θ en °F flux de g : g par unité de surface H0 G gradient H I Intensité de turbulence Intensité globale de turbulence Intercorrélation J K Kolmogorov H 0 = − θ ' w' 0 ρ C p H 0 = −ρC pu*θ* u*, θ* Formules permettant d'évaluer la conductivité de l'air lambda et la viscosité mu de l'air à la température T Dans Excel : Tr 300 µr 1.85E-05 Sm 110.4 0.368*Tr λr 0.0262 Sl 194.4 0.648*Tr ρ0 1.177 T lambda mu ρ0 Fourier [ ]m-² cn. aux limites grad 400 0.0336 2.29E-05 0.883 = λr*(T/Tr)^(3/2)*(Tr+Sl)/(T+Sl) = µr*(T/Tr)^(3/2)*(Tr+Sm)/(T+Sm) = ρ0/T*Tr conditions aux limites : Fourier ∂G = cste ⋅ (G - G 0 ) ∂n grad G = ∇ ⋅ G (G quantité scalaire) emploi abusif du Taux de turbulence ui ui ( 2k 1 2 où k est l’énergie cinétique du mouvement turbulent k = u x + u 2y + u z2 2 U U 1 T Rxy (τ) = lim ∫ x(t ) y (t − τ)dt T →∞ T 0 pour des composantes fluctuantes de vitesse : Ru u (∆r , ∆t ) = ui (M , t )u j (M + ∆r , t + ∆t ) i j I= = microéchelles microéchelles de Kolmogorov . ( ) η ≡ ν3 ε 14 [m] plus petite échelle, au delà, la viscosité empêche leur formation. τ ≡ (ν ε ) [s] constante de temps de cette plus petite échelle. υ ≡ (νε ) [ms-1] échelle de vitesse correspondante. 12 14 Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC ) -4- ηt = k3 2 tourbillons énergétiques, action sur le mouvement moyen, longueur de ε mélange ou échelle intégrale. η ⎛⎜ k 1 2η ⎞⎟ = = R 3t 4 ⎜ ⎟ ηt ⎝ ν ⎠ Nombre de Reynolds turbulent. voir spectre d’énergie et de dissipation L Laplacien Loi de paroi Ref.: Cousteix Loi de paroi - près de la paroi - sous couche laminaire ∆ ∂ 2g ∂ 2g ∂ 2g ∆g = ∇ . ∇g ∆g = + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 U + = f ( y+ ) loi universelle Viscosité dominante U = τ p y µ ou U + = y+ + En pratique valable pour y < 3 Remarque la désignation de sous couche laminaire est assez impropre car l'écoulement n'a pas les caractéristiques d'un écoulement laminaire. Les fluctuations de vitesse y sont importantes. Loi de paroi - région interne loin de la paroi région inertielle logarithmique Loi de paroi - région tampon - buffer layer Loi de paroi - Région externe - loi des vitesses déficitaires C'est la turbulence qui devient prédominante U + = loi universelle χ constante de Von Karman χ= 0.41 + En pratique valable pour y > 40 1 χ ln y + + C et C voisin de 5 Elle raccorde la sous-couche "laminaire" et la région inertielle logarithmique Région entièrement contrôlée par la turbulence. On exprime le défaut de vitesse par rapport à la vitesse extérieure. y δ Ue −U y ⎛ y⎞ ⎛ y⎞ = Φ (η ) avec η = et où la fonction Φ (η ) = Φ ' ⎜ ⎟ d ⎜ ⎟ est calculée à partir de la limite de la 1 U δ ⎝δ ⎠ ⎝δ ⎠ τ ∫ couche limite. pour être compatible avec la loi logarithmique, Φ' peut être de la forme Φ ' = Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC 1δ χ y -5- Longueur de Monin Obukhov − u*3 θ L= [Pah 2001] (k=0.4 cste de Karman, θ température, g=9.81, u* kg w' θ' 0 L Complément L= M Moment Moyenne N Nabla Neumann mod eq x, (τ0 ρ)3 2 u*2 = θ* température de frottement [Ary 1998] k ( g T0 )(H 0 ρ ⋅ Cp ) k ( g T0 )θ* Ho flux de chaleur turbulent de surface masse molaire moment : U·U x ∇ cn. aux limites m-1 ∂ ∂x ∂ nabla: vecteur ∇ ∂y ∂ ∂z conditions aux limites : Neumann condition sur le gradient de la variable sur la frontière Nombre de Mach Nombre de Péclet M Pe M = u/a a γ Pe = = ( angl ) u⋅ L u⋅ L Nombre de Prandtl Pr Pr = Nombre de Reynolds Re Nombre de Reynolds turbulent Rt Nombre de Richardson kg mol-1 m² s-² Ri Rib, RiB, Rih Re = ν a uL = ∂G = cste ∂n sans ν (angl ) γ sans sans ν η ⎛⎜ k 1 2η ⎞⎟ = R 3t 4 = ηt ⎜⎝ ν ⎟⎠ voir Kolmogorov Caractérise l'importance relative de la flottabilité et du cisaillement sur la turbulence. Gradient : Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC Ri = g ∂ θ ∂z T0 ∂V ∂z 2 [Ary 1998] -6- Volumique (bulk) De mélange (mixed) Bulk for PBL Rib = g ∆ θ zr T0 V r2 2 g (∂ θ ∂z ) z r RiB = T0 V r2 Rih = g ∆θ h T0 Vh2 h épaisseur de la couche limite (instable ou flux ascendant si θ nuage < θ environnement)) Nuage ∆θ v = θ v nuage − θ v environnement LOC limit of convection LCL lifting condensation level LFC level of free convection CAPE convective available potential energy CAPE = O P Prandtl turbulent Pr produit vectoriel ∧ Produit vectoriel Q Quantité de mouvement R Région de paroi - région interne - sous couche visqueuse Richardson Rotationnel S Spectre d’énergie ∧ Pr turbulent νT/γT x x' yz '− zy ' r r r r U y V y' U × V zx '− xz ' z z' xy '− yx ' r r r r r r W = U ^V W = U ⋅ V ⋅ sin α z LOC ∫z = z LFC g θ ∆θ v ( z ) dz W α V U m·V (rem : le tfr de qté de mmt par unité de surface et de temps → pression ou contrainte) kg·m·s-1 Comprend la sous-couche "laminaire", la région tampon et la région inertielle logarithmique … voir nombre de Richardson rot rot V = ∇ ∧ V Densité spectrale d’énergie E(K) Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC m3 s-1 ou -7- ∞ (Lau 95) k = ∫ E ( K )dK 0 m2s-1/m-1 -1 K nombre d’onde [m ] k énergie cinétique turbulente [m2s-2] Spectre de dissipation ∞ ∞ ε = ∫ D( K )dK = ∫ 2ν K 2 E ( K )dK (Lau 95) 0 E(K) 0 2 D( K ) = 2ν K E ( K ) D(K) 0 Stabilité (de la couche limite terrestre ou PBL) Sutherland (formule de) m3 s-3 ou m2s-3/m-1 Densité spectrale de dissipation D(K) h/L h hk g H 0 hk gθ =− 3 =− 2 * L u* T0 ρC p u* T0 KM K basé sur la théorie de la similitude dans la PBL [Ary 1998] p. 101 ; en l'absence d'informations sur les flux de surface de quantité de mouvement et de chaleur, on utilisera le nombre de Richardson volumique pour la PBL. L, h épaisseur de la couche limite planétaire (PBL) Formules permettant d'évaluer la conductivité de l'air λ et la viscosité µ de l'air à la température T Tr = 300,µ r = 1.85e − 05,λr = 0.0262 Sm = 110.4 = 0.368 * Tr ,Sl = 194.4 = 0.648 * Tr ⎛T ⎞ pour l’air λ = λ r * ⎜ ⎟ ⎝ Tr ⎠ 32 (Tr + Sl ) (T + Sl ) 32 (Tr + Sm) (T + Sm) ⎛T ⎞ µ = µr *⎜ ⎟ ⎝ Tr ⎠ Dans Excel : Tr 300 µr 1.85E-05 λr 0.0262 ρ0 1.177 T lambda mu ρ0 400 0.0336 2.29E-05 0.883 Sm Sl 110.4 194.4 0.368*Tr 0.648*Tr = λr*(T/Tr)^(3/2)*(Tr+Sl)/(T+Sl) = µr*(T/Tr)^(3/2)*(Tr+Sm)/(T+Sm) = ρ0/T*Tr T Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC -8- Taux de déformation si j Taux de dissipation Taux de turbulence Température potentielle ε 1 ⎛ ∂ ui ∂ u j ⎞ = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂ x j ∂ xi ⎠ s-1 par unité de masse [W·kg-1] rapport entre l’écart type de la fluctuation et la vitesse moyenne I u = i θ ⎛ P ⎞ θ ( z ) = T ( z )⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ P( z ) ⎠ σ ui Ui m2 s-3 Peut aussi être rapporté à U R / Cp [Men 2004 p.2 eq 1.2] Température qu'aurait une parcelle d'air si on la ramenait, par une transformation adiabatique, à une pression de référence P0 que l'on prend en général égal à 1000 hPa. Sur l'émagramme, on suit une courbe adiabatique sèche jusqu'à 1000 hPa, en partant du point représentant la température et la pression de la particule d'air. http://www.meteofrance.com/FR/glossaire/designation/1284_curieux_view.jsp Température de frottement U V Variables de paroi (couche limite) Variables internes θ* U+ z+ Vent géostrophique θ* = − H0 ρ ⋅ Cp ⋅ u* θ* = θ ' w' 0 u* H0 Flux de chaleur turbulent de surface 0 partir des échelles de vitesse et de longueur dans la CL U+ = Ut u* z+ = z z* Ut est la vitesse tangentielle Vent en altitude non influencé par la « rugosité ». Se calcule à partir du gradient de pression (cartes isobariques) V = Viscosité cinématique ν Vitesse de frottement Uτ, υ∗ grad p r 2 ρ Ω sin(lat ) direction : hémisphère nord tangent aux courbes isobares sens : vers la droite en regardant depuis les hautes pressions voir aussi formule de Sutherland poiseuille (Pl) = 1 pascal.seconde (Pa.s) Un sous-multiple encore usité mais dont l’usage est déconseillé, est le poise (Po ou P), ancienne unité CGS : 1 poise (Po, P) = 0,1 Pa.s ν = µ/ρ vitesse de frottement u* définie par à 20°C : ν air = Vitesse du son (vérif sgn…) a ⎛ ∂ ux ⎞ = ρ u*2 ⎟ ⎝ ∂ y ⎠ x =0 µ⎜ ⎛ γ p ⎞1 2 ⎛ γ RT ⎞1 2 ⎟ vitesse du son a = ⎜ ⎟ =⎜ ⎝ M ⎠ ⎝ ρ ⎠ Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC u* = Uτ = τp ( ⎛ ∂u ⎞ = ν ⎜⎜ ⎟⎟ = − u ' w' 0 ρ ⎝ ∂y ⎠ m² s-1 )1 2 m -9- Vorticité W X Y Z zza Signet « a » zzc heuristique zzc stochastique ω ω = rot(u) = ∇ ∧ u En attente (processus) à une valeur d'une variable A correspond une valeur simplement probable de B; variable # ou variable aléatoire. Qui est dû au hasard. (Math) Qui relève du calcul des probabilités. Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC - - 10 _________________________________________ Couche limite turbulente Cousteix 5.4 Région interne, région externe - loi logarithmique Condition de non glissement à la paroi => il existe au moins deux régions dans la CL, résultant de l'analyse du frottement total ∂U − ρ < u ' v' > + µ ∂y loin de la paroi dominée par la turbulence - région externe, turbulence développée. près de la paroi, dominée par la viscosité - région de paroi ou région interne. région intermédiaire, région logarithmique (en raison du profil des vitesses). Région interne - Loi de paroi Épaisseur faible => frottement total reste égal au frottement de paroi Bibliographie très partielle… [Ary 1998] S. Pal Arya, Air Pollution Meteorology and Dispersion, Oxford University Press, 1998 [Pah 2001] Markus Pahlow, Marc B. Parlange and Fernando Porté-Agel, On Monin–Obukhov Similarity In The Stable Atmospheric Boundary Layer Boundary-Layer Meteorology Publisher: Springer Netherlands ISSN: 0006-8314 (Paper) 1573-1472 (Online) DOI: 10.1023/A:1018909000098 Issue: Volume 99, Number 2 Date: May 2001 Pages: 225 - 248 [Men 2004] Laurent MENUT, Introduction à la modélisation en dynamique et chimie de l'atmosphère, Polycopié de cours, DEA "Chimie de la pollution atmosphérique et physique de l'environnement, LISA Créteil, 2004 Compléments Monin Obukhov Laurent MENUT - [[email protected]] Laboratoire de Météorologie Dynamique http://euler.lmd.polytechnique.fr/menut/DEA_POLYCOURS2004.pdf extrait, p.41 / Éléments repris sans doute de P. Arya En théorie des similitudes, la théorie de Monin-Obukhov est une extension permettant d'estimer les flux turbulents dans toute la couche limite et en période stable et instable. On définit une nouvelle variable, θ*, de conception proche de u*, dénommée température de frottement et telle que : H0 θ* = − (4.38) ρ ⋅ Cp ⋅ u* Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC H0 : Flux de chaleur turbulent On définit aussi la longueur de Monin-Obukhov L telle que : θ0 u*3 L= k ⋅ g H0 ρ C p ( ) (4.39) Cette variable L est homogène à une longueur et définit l’épaisseur de la couche en contact avec le sol dans laquelle les processus de flottabilité dominent les processus de cisaillement de vent pour la production de la turbulence. Par suite, z/L sera donc un paramètre de stratification verticale thermique de l’atmosphère et quantifiera la hauteur au dessus du sol à laquelle la production de turbulence est due à part égale aux forces mécaniques et de flottabilité. Le tableau 4.2 présente des valeurs ”typiques” de longueur de MoninObukhov en fonction de la stabilité atmosphérique. L [m] L ≤ -105 -105 ≤ L ≤ -100 -100 < L < 0 0 < L < 10 10 ≤ L ≤ 105 105 ≤ L Stabilité Neutre Instable Très instable Très stable Stable Neutre TAB. 4.2 – Valeurs typiques de longueurs de MoninObukhov L A partir de la hauteur de la couche limite h et de la longueur de Monin-Obukhov L, qui sont deux ”longueurs”, on peut définir des critères de stabilité de l’atmosphère : h L < 0 correspond à une production de turbulence et donc à une atmosphère instable (convective). h L ≈ 0 définit une atmosphère neutre h L > 0 correspond à une atmosphère stable (la flottabilité détruit de la turbulence) Modif : 05/04/2006/ C:\_MG\Michel\Site MG\public_html\NB_SY formulaire.DOC
