Laboratoire 6 - Page web de Nicolas Bouffard

MATH 1241: ´ El´ements de math´ematiques discr`etes
Nicolas Bouffard
Automne 2016
Laboratoire 6
`
A remettre au plus tard le 3 novembre 2016
Mati`ere: Les nombres modulos, dernier chiffre d’un expression, crit`ere de divisibilit´e, les
th´eor`emes d’Euler, Fermat et Wilson, l’´equation ax =ben modulo et la cryptographie RSA
Question 1. (5 points chaque) Trouver le dernier chiffre de chacune des expressions suivantes :
a. 768212
b. 16 ×(89353 + 212)
c. 75847 + 71963
d. 152129 ×4365259
Question 2. (5 points chaque) Trouver les 2 derniers chiffres de chacune des expressions suivantes :
a. 9787 + 343
b. 784(327129)
c. 69152 + 80392
Question 3. (5 points chaque) D´emontrer les crit`eres de divisibilit´e suivant :
a. Un nombre naturel nest divisible par 4 si et seulement si les unit´es plus 2 fois les dizaines sont divisibles
par 4.
b. Un nombre naturel nest divisible par 4 si et seulement si le nombre form´e des deux derniers chiffres
est divisible par 4.
c. Un nombre naturel nest divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Question 4. (5 points chaque) Dans chacun des cas, dites si le nombre est divisible par le nombre donn´e :
a. 762613 + 1 divisible par 7 ?
b. 86652 + 3218 divisible par 11 ?
Question 5. (5 points chaque) Trouver tous les entiers qui satisfont les congruences suivantes :
a. 27x= 24 (mod 109)
b. 67x= 76 (mod 223)
Question 6. (5 points chaque) R´epondez aux questions suivantes :
a. D´eterminer la valeur de φ(40).
b. V´erifier que le th´eor`eme d’Euler est valide lorsque a= 19 et n= 40. Rappel : Le th´eor`eme d’Euler
nous affirme que si (a, n) = 1, alors aφ(n)= 1 (mod n).
Question 7. (10 points) Trouver le plus petit entier positif qui est congru `a 94! modulo 97. Indice : 97 est
un nombre premier.
Question 8. (5+0+5 points) Vous souhaiter transmettre un message crypter via une ligne qui n’est pas tr`es
s´ecuritaire. Pour ce faire, vous demander `a votre correspondant de vous envoyer un cl´e de cryptage (RSA).
Il vous envoie la cl´e (91,1147)
a. Utiliser la cl´e que votre correspondant vous a envoy´e pour crypter le mot MATH. Notez que seule votre
r´eponse pour la lettre M sera corrig´e, mais vous ˆetes tout de mˆeme encourager `a crypter le mot au
complet.
b. Une personne malhonnˆete intercepte votre conversation et cherche la cl´e de d´ecryptage. Sera-t-il en
mesure de la trouver ? Pourquoi ? Aucun point n’est attribu´e `a cette question, mais vous devriez tout
de mˆeme r´efl´echir `a la r´eponse.
c. Quelle est la cl´e de d´ecryptage ?
1

Solutions
R´eponse 1 Rappellons nous que trouver le dernier chiffre d’un expression revient `a trouver son r´esidu
modulo 10.
a. Remarquons premi`erement que 768312 = 8312 (mod 10). On a donc :
81= 8 (mod 10)
82= 4 (mod 10)
84= 6 (mod 10)
88= 6 (mod 10)
816 = 6 (mod 10)
832 = 6 (mod 10)
864 = 6 (mod 10)
8128 = 6 (mod 10)
8256 = 6 (mod 10)
Maintenant, comme 312 = 256 + 32 + 16 + 8, on obtient donc :
768312 = 8312 = 8256 ·832 ·816 ·88= 6 ·6·6·6 = 6 (mod 10)
Le dernier chiffre est donc un 6.
b. Remarquons premi`erement que 16×(89353 +212) = 6×(353 +2) (mod 10). Nous allons donc commencer
par calculer 353 (mod 10). On a donc :
31= 3 (mod 10)
32= 9 (mod 10)
34= 1 (mod 10)
38= 1 (mod 10)
316 = 1 (mod 10)
332 = 1 (mod 10)
Maintenant, comme 53 = 32 + 16 + 4 + 1, on obtient donc :
353 = 332 ·316 ·34·31= 1 ·1·1·3 = 3 (mod 10)
En finalement, on obtient :
16 ×(89353 + 212) = 6 ×(353 + 2) (mod 10) = 6 ×(3 + 2) = 6 ×5 = 0 (mod 10)
Le dernier chiffre est donc un 0.
c. Remarquons premi`erement que 75847 + 71963 = 847 + 963 (mod 10). Nous allons donc calculer chaque
terme s´epar´ement.
81= 8 (mod 10)
82= 4 (mod 10)
84= 6 (mod 10)
88= 6 (mod 10)
816 = 6 (mod 10)
832 = 6 (mod 10)
2

Comme 47 = 32 + 8 + 4 + 2 + 1, on a donc :
847 = 832 ·88·84·82·81= 6 ·6·6·4·8 = 2 (mod 10)
91= 9 (mod 10)
92= 1 (mod 10)
94= 1 (mod 10)
98= 1 (mod 10)
916 = 1 (mod 10)
932 = 1 (mod 10)
Comme 63 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1, on a donc :
963 = 932 ·916 ·98·94·92·91= 9 (mod 10)
Ce qui nous donne finalement : 75847 + 71963 = 847 + 963 = 2 + 9 = 1 (mod 10)
d. Premi`erement, remarquons que 152129 ×4365259 = 2129 ×5259 (mod 10). On a donc :
21= 2 (mod 10)
22= 4 (mod 10)
24= 6 (mod 10)
28= 6 (mod 10)
216 = 6 (mod 10)
232 = 6 (mod 10)
264 = 6 (mod 10)
2128 = 6 (mod 10)
Ce qui nous donne 2129 = 2128 ·21= 6 ·2 = 2 (mod 10). De plus, on a :
51= 5 (mod 10)
52= 5 (mod 10)
54= 5 (mod 10)
58= 5 (mod 10)
516 = 5 (mod 10)
532 = 5 (mod 10)
564 = 5 (mod 10)
5128 = 5 (mod 10)
5256 = 5 (mod 10)
Ce qui nous donne 5259 = 5256 ·54= 5 ·5 = 5 (mod 10). Finalement, en combinant ces deux r´esultats,
on obtient :
152129 ×4365259 = 2129 ×5259 = 2 ×5 = 0 (mod 10)
Le dernier chiffre est donc un 0. Remarquons qu’ici on aurait pu faire beaucoup plus simple en r´ealisant
que :
152129 ×4365259 = 152128 ×4365258 ×2×5 = 152128 ×4365258 ×10
Donc comme on obtient un nombre multipli´e par 10, le dernier chiffre doit obligatoirement ˆetre un 0.
Les modulos n’´etaient donc pas n´ecessaire pour ce probl`eme.
3

R´eponse 2 Pour trouver les deux derniers chiffres de l’expression, on doit trouver le r´esidu modulo 100.
a. Commen¸cons par calculer les diff´erentes puissances de 3 :
31= 3 (mod 100)
32= 9 (mod 100)
34= 81 (mod 100)
38= 61 (mod 100)
316 = 21 (mod 100)
332 = 41 (mod 100)
364 = 81 (mod 100)
On obtient donc que :
343 = 332 ·38·32·31= 41 ·61 ·9·3 = 27 (mod 100)
Maintenant, pour calculer 9787, remarquons que 97 = −3 (mod 100), ce qui signifie que nous pouvons
r´eutiliser ce que nous avons d´ej`a calculer. On a donc :
9787 = (−3)87 =−(3)87 =−364 ·316 ·34·32·31=−81 ·21 ·81 ·9·3 = −87 = 13 (mod 100)
Ce qui nous donne finalement :
9787 + 343 = 13 + 27 = 40 (mod 100)
Les deux derniers chiffres sont donc 40.
b. Premi`erement, remarquons 784(327129) = 84(27)129 (mod 100). On a donc :
271= 27 (mod 100)
272= 29 (mod 100)
274= 41 (mod 100)
278= 81 (mod 100)
2716 = 61 (mod 100)
2732 = 21 (mod 100)
2764 = 41 (mod 100)
27128 = 81 (mod 100)
Ce qui nous donne 27129 = 27128 ·271= 81 ·27 = 87 (mod 100), et finalement 784(327129) = 84(87) =
08 (mod 100). Les deux derniers chiffres sont donc 08.
c. Premi`erement, remarquons que 69152 + 80392 = 9152 + 392 (mod 100).
911= 91 (mod 100)
912= 81 (mod 100)
914= 61 (mod 100)
918= 21 (mod 100)
9116 = 41 (mod 100)
9132 = 81 (mod 100)
Ce qui nous donne : 9152 = 9132 ·9116 ·914= 81 ·41 ·61 = 81 (mod 100). Maintenant, on refait la
4

mˆeme chose avec les puissance de 3 :
31= 3 (mod 100)
32= 9 (mod 100)
34= 81 (mod 100)
38= 61 (mod 100)
316 = 21 (mod 100)
332 = 41 (mod 100)
364 = 81 (mod 100)
Ce qui nous donne 392 = 364 ·316 ·38·34= 81 ·21 ·61 ·81 = 41 (mod 100). Finalement, en combinant
les deux r´esultats que nous avons obtenu, on obtient donc :
69152 + 80392 = 9152 + 392 = 81 + 41 = 22 (mod 100)
Les deux derniers chiffres sont donc 22.
R´eponse 3
a. Si nest un nombre naturel, alors on peut ´ecrire nsous la forme :
n= (an×10n) + ... + (a2×102)+(a1×10) + a0
avec 0 ≤ai≤9 pour tout i. On a donc d´ecomposer le nombre chiffre par chiffre. En prenant l’´equation
modulo 4, on obtient donc :
n= (an×10n) + ... + (a2×102)+(a1×10) + a0(mod 4)
= (an×0) + ... + (a2×0) + (a1×2) + a0(mod 4)
= 2a1+a0(mod 4)
Donc un nombre est divisible par 4 si et seulement si les unit´es plus deux fois les dizaines est divisible
par 4.
b. Si nest un nombre naturel, alors on peut ´ecrire nsous la forme :
n= (a×100) + b, 0≤b≤99
Dans ce cas, le brepr´esente les deux derniers chiffres. En consid´erant l’´equation modulo 4, on obtient
donc :
n= (a×100) + b(mod 4)
= (a×0) + b(mod 4)
=b(mod 4)
Donc un nombre naturel est divisible par 4 si et seulement si le nombre ferm´e des deux derniers chiffres
est divisible par 4.
c. Si nest un nombre naturel, alors on peut ´ecrire nsous la forme :
n= (an×10n) + ... + (a2×102)+(a1×10) + a0
avec 0 ≤ai≤9 pour tout i. On a donc d´ecomposer le nombre chiffre par chiffre. En prenant l’´equation
modulo 9, on obtient donc :
n=
(an×10n) + ... + (a2×102)+(a1×10) + a0(mod 9)
= (an×1n) + ... + (a2×12)+(a1×1) + a0(mod 9)
=an+... +a2+a1+a0(mod 9)
Donc un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
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