Extrait du livre PDF

MODÈLES
ET DONNÉES
@ L'Harmattan,
1998
ISBN: 2-7384-7383-0
François
BA VAUD
MODÈLES ET DONNÉES
Une introduction à la Statistique uni-, bi- et trivariée
L'Harmattan
5-7, rue de l'École Polytechnique
75005 Paris - FRANCE
L'Harmattan
Inc.
55, rue Saint-Jacques
Montréal (Qc) - CANADA H2Y lK9
A vant propos
A propos
de l'ouvrage:
les pages qui suivent ont été rédigées à partir d'un enseignement
de Statistique destiné à un public de Sciences Humaines, composé de psychologues, linguistes,
géographes, sociologues, criminologues et politologues. Cet ouvrage vise à accompagner un premier enseignement de Statistique formelle, et ne constitue pas en soi un manuel de méthodologie
ou d'introduction
à la recherche; on imagine que l'étudiant se familiarisera avec ces derniers au
moyen de travaux pratiques, de lectures ou de cours supplémentaires!
.
Quelques
sujet:
traits
caractérisent
cet ouvrage
par rapport
aux très nombreux
livres traitant
du
. Ce livre est un manuel, incluant définitions, exemples et exercices à faire" à la main",
c'est-à.-dire avec tables et calculettes, et corrigés. L'abondance de ces derniers ne vise
pas à développer la virtuosité technique du lecteur (à l'heure où un simple clic génère
une myriade d'analyses), mais cherche plutôt à le familiariser avec les procédures et leurs
applications possibles, et à faire la différence entre une simple compréhension passive et
une réelle appropriation de l'objet.
.
.
à un niveau ne
On n'a pas hésité à utiliser des concepts et notations mathématiques,
dépassant toutefois pas celui du baccalauréat
littéraire. La concision et la précision que
permettent
l'écriture formelle expliquent partiellement
ce choix, auquel il faut rajouter
la volonté délibérée d'utiliser les compétences mathématiques
du lecteur, qui existent de
toute évidence, même si ce dernier s'en défend. Le premier chapitre, consacré à un bref
rappel des notions de base, devrait amplement suffire à rafraîchir les quelques notions utilisées ici. La suite de l'ouvrage ne contient aucune démonstration,
et très peu de théorèmes
énoncés comme tels.
La vertu principale d'un exemple étant sa transparence et non son réalisme, nous n'avons
éprouvé aucun remords à recourir, très classiquement, aux objets idéaux (et certes éloignés
des préoccupations
des Sciences Humaines) que sont les pièces de monnaie et les dés.
L'accent est mis sur la compréhension
des raisonnements
statistiques,
en particulier
inférentiels, au détriment parfois de l'exhaustivité
technique: tôt ou tard, le lecteur rencontrera sur sa route un logiciel statistique effectuant tous les calculs demandés (et bien
d'autres encore), et sa compétence déterminante
consistera bien plus à garder les idées
claires que d'effectuer manuellement les algorithmes avec virtuosité. Cet effort porté sur les
concepts inférentiels intéressera, nous l'espérons, les épistémologues,
quitte à renvoyer les
amateurs impatients de recettes immédiates ver~ d'excellents "cook-books" facilement disponibles. Dans la mesure du possible, l'exposition formelle a été doublée d'un commentaire
lsi possible après (ou pendant) la fréquentation de son premier cours de Statistique plutôt qu'avant, pour de
simples questions de contenus.
6
.
intuitif, ce qui permet de signaler la présence éventuelle
ou paradoxales, si fréquentes en Statistique.
de situations
contres-intuitives
Cet ouvrage peut se lire à deux niveaux: le premier contient le matériel typique d'une
première année de Statistique, et beaucoup de lecteurs s'en contenteront.
Le second, contenant les sections précédées d'une astérisque (*), se compose de développements
plus
approfondis, ou de parties plus ardues composées de "spécialités" diverses, que l'on trouve
généralement exposées dans des ouvrages plus avancés. Parmi ces dernières, mentionnons
les notions d'entropie et de divergence, de hasard "sauvage" et de distributions parétiennes,
de théorie de détection du signal, de transformations
de variables, de relations entre trois
variables et de sélection de modèles, ainsi qu'une introduction
à l'analyse des séries temporelles numériques et catégorielles.
Aux étudiants:
revendiquant
un statut scientifique complet pour leur discipline, les professionnels en Sciences Humaines se doivent d'assurer la formation des étudiants et chercheurs
à la collecte, à l'analyse et à l'interprétation
des données, en bref à la Statistique appliquée.
C'est le début d'une aventure passionnante pour les uns, parmi lesquels figure l'auteur, et d'un
cauchemar pour les autres, dont de nombreux étudiants, qui ne s'attendaient
pas du tout à ce
coup-Ià.
Avant de pouvoir mener
l'étudiant devra en principe
.
.
.
.
se familiariser
son utilisation
exemple) .
à bien une recherche
complète
dans toutes
les règles de l'art,
avec la face externe ou méthodologique de la Statistique qui est celle de
dans une discipline donnée (telle que la Psychologie ou la Géographie par
se familiariser avec la face interne ou mathématique ou encore statistique au sens propre de
la Statistique quLest celle de son organisation et de sa validité interne, et à qui le présent
ouvrage est consacré.
en particulier, maîtriser de très nombreuses et diverses difficultés
ment justifier tel calcul, et comment l'effectuer) que conceptuelles
et assurer l'emploi de méthodes et raisonnements valides).
tant techniques
(com(comment comprendre
pouvoir revenir à l'objet de départ, Le. savoir critiquer, sélectionner et retranscrire
les
résultats de ses analyses en termes intelligibles et pertinents, sans se noyer (et noyer son
public) dans une foule d'indicateurs
et de tests statistiques mal digérés.
Longue est la route pour le néophyte: pour parvenir à boucler ce cycle, l'étudiant devra se faire
tour à tour, et à des degrés divers, théoricien, observateur,
informaticien,
mathématicien
et
épistémologue. La diversité des compétences associées à la pratique de la Statistique, attrayante
pour le spécialiste, constitue un obstacle supplémentaire
pour le débutant, qui aura à mettre au
point sa propre méthode d'apprentissage.
.
Pour éviter tout malentendu,
l'étude de la Statistique
précisons
que l'auteur
ne croit pas que
est facile, rapide, et couronnée
de succès dès la première tentative.
. toute capacité à comprendre la moindre formule ou à effectuer le moindre calcul est
irrémédiablement détruite chez les malheureux qui entreprennent des études de Sciences
Humaines.
7
.
.
l'introjection
massive de nouvelles notions, jamais critiquées, et la régurgitation
incessante
des mêmes formules suffit à assimiler concepts et méthodes statistiques,
sans efforts de
digestion ni même nécessité de penser.
il ne faut jamais alterner les stratégies d'apprentissage,
mais choisir une fois pour toutes
entre une attitude" locale" , volontariste et obstinée, interprétant
toute instruction au pied
de la lettre, ou une attitude" globale" , souple et légère, visant uniquement la synthèse sans
jamais s'arrêter sur les détails.
. on peut assimiler concepts et méthodes statistiques
cours ou par contact tactile avec des photocopies.
par osmose, par simple présence
au
L'expérience montre que, le premier moment de stupeur passé, la plupart des personnes parviennent à surmonter leurs réticences initiales, à mener à bien leurs analyses et à les interpréter
correctement.
Malgré nos voeux les plus chers, cette compétence n'est pas universelle: il existe
une minorité d'étudiants
pour lequel un enseignement de statistique constitue un supplice certain (et réciproque, assurons-le).
Faut-il alors absolument passer par là? La vie offre en effet bien d'autres joies que celles
de la Statistique.
Dans les cas d'incompatibilité
majeure, consacrer ses ressources à d'autres
activités plus inspirantes et inspirées constitue ultimement un service rendu à l'humanité.
Hélas, la plupart des règlements obligent l'étudiant réfractaire à suivre un tel enseignement;
qu'il essaie alors de prendre son malheur avec philosophie, et se réconforte peut-être par la
pensée que de telles infortunes, pas plus que les séances chez le dentiste, ne sauraient durer
éternellement.
De telles détresses peuvent provoquer chez lui rancoeur et sentiment de révolte:
qu'il les décharge alors de façon non violente, en tapant sur un matelas par exemple. Le plus
souvent cependant, c'est la dépression et la mésestime de soi qui guettent le lecteur en perdition;
nous l'exhortons alors très sincèrement à ne pas sombrer dans le désespoir: ne rien comprendre
à la Statistique n'empêche en rien quiconque d'être une personne respectable, aimable, et digne
d'estime.
François Bavaud
octobre
1998
Remerciements: à Roland Capel, Denis Monod et Jean-Pierre Müller pour des échanges nombreux et
stimulants. Merci à Jean-Marc Faillétaz et Jean-Philippe Antonietti pour leur contribution aux exercices,
et à Olivier Zuchuat et David Carrillo, pour leur contribution supplémentaire à la typographie et à la
relecture du texte. Le document doit beaucoup aux questions et remarques des étudiants, à qui va toute
ma gratitude.
Chapitre
1
Rappels mathématiques
1.1
Définitions
et théorèmes
Les énoncés ou propositions
.
.
mathématiques
sont de deux sortes, à savoir
soit de l'ordre de la définition d'un objet ou d'une propriété, comme dans l'énoncé "soit
f(x) la fonction (1-x)2". Les axiomes, qui sont des enoncés dont la vérité, postulée à priori,
n'est pas matière à discussion, sont par là de même nature que les définitions. Définitions
et axiomes apparaissent
en principe au début de tout traité formel de mathématiques.
soit de l'ordre du théorème, lequel consiste (au sens large) de toute proposition vraie,
mais dont la vérité découle plus ou moins directement de celle des définitions et axiomes
initiaux. Le procédé permettant
de faire découler la vérité des propositions dérivées ou
théorèmes à partir de celle des axiomes ou définitions constitue une démonstration
ou
preuve. Cette démarche, qualifiée de déductive, est fort bien balisée et étayée d'un point
de vue logique, en contraste avec la démarche inductive que l'on abordera plus loin avec
la pratique des tests statistiques dite aussi statistique inférentielle.
Afin de distinguer entre les deux types d'énoncés (définitions et théorèmes), il est commode
d'ajouter dans le cas d'une définition le signe":" entre l'objet à définir et l'égalité le définissant;
ainsi, l'expression"
f(x) := (1 - x)2" indique une définition (en l'occurrence celle de f(x)),
équivalente à "soit f(x) la fonction (1 - x)2". Par contre, "f(x) = 1 - 2x + x2" indique un
théorème, susceptible d'être par exemple démontré à partir de la définition" f(x) := (1 - x)2"
et de quelques manipulations
mathématiques
simples.
1.2
Algèbre,
points,
1.2.1
Arithmétique
fonctions
La pratique manuelle de la statistique,
Le. avec tables et calculettes (que l'on oppose ici à la
pratique informatique de la statistique), requiert une connaissance minimale de l'arithmétique
et
de l'algèbre; en dehors des quatre opérations + - x l, il s'agit essentiellement de pouvoir calculer
des racines carrées
et des élévations à la puissance xn. Les factorielles n! et coefficients
binomiaux
également
( )
~
acquérir
.;x
intervenant
dans le cas de la loi binomiale
(ou retrouver)
une familiarité
minimale
seront définis plus loin. Il faudra
avec les logarithmes
(ex: entropie,
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
10
transformation
des scores, modèles log-linéaires), et la fonction exponentielle exp(x) (ex: Loi
de Poisson); les fonctions trigonométriques
sin(x) et cos(x) interviendront
dans les applications
plus avancées (ex: séries temporelles, données directionnelles,
interprétation
géométrique de la
corrélation). Bien que, dans la pratique statistique, toutes ces fonctions soient intégrées dans un
logiciel ad hoc, et donc invisibles en tant que telles à l'utilisateur,
il est nécessaire d'avoir fait
au moins une fois tous les calculs à la main (i.e. au moins à l'aide d'une calculette), au risque
de perdre contact avec la signification réelle d'une opération statistique et de ne pas pouvoir
conserver une distance critique adéquate face à une sortie de logiciel.
Les nombres que manipule le statisticien sont, en toute généralité, des nombres réels (i.e.
pouvant être mis en correspondance
exacte avec les points d'une droite munie d'une origine
(le zéro) et d'une unité (+1)), arrondis à une certaine décimale. Cet arrondi peut résulter
d'une imprécision de mesure (par exemple l'âge d'une personne défini à un an près) ou d'une
imprécision de calcul; il est bien entendu souhaitable de conserver autant de précision que
possible (sauf contre-indication
explicite, telle qu'un regroupement des nombres en classes pour
améliorer la lisibilité); cependant l'erreur à absolument éviter est d'avoir une précision de calcul
supérieure à la précision de la mesure: il est par exemple absurde de donner comme résultat
final une distance de 16.09 miles entre deux localités dont on sait qu'elles sont "distantes de dix
kilomètres". Ou bien, avoir lu dans une édition datant de 1970 que le système solaire a 5 milliards
d'années n'autorise pas de dire en l'an 2000 que le système solaire a 5'000'000'030 années. De
même, si 4 personnes sur 15 sont favorables à un changement, déclarer un taux d'acceptation
de 26.66% est soit maladroit soit franchement coupable, puisqu'une telle précision (portant sur
la quatrième décimale) ne peut être obtenue, au sens strict, que sur un échantillon d'au moins
1/0.0001 = 10000 individus.
Les nombres sont ordonnés par les relations ">" (plus grand que), "~" (plus grand ou égal
que),
(plus petit que), "~" (plus petit ou égal que). Les nombres strictement
positifs
"<"
sont les réels> 0, les nombres
positifs sont les réels 2: 0 (définition analogue pour les négatifs).
La multiplication
(ou la division) de deux nombres de même signe (i.e. tous deux positifs ou
négatifs) donne un nombre positif; la multiplication
(ou la division) de deux nombres de signe
opposé donne un nombre négatif. La valeur absolue d'un nombre x, notée lxi, est égale à x si
x ~ 0, et à -x sinon. Par exemple, 131= 3 et I - 31 = 3.
L'expérience montre que la division ou la multiplication
par 0 ou par 00 (l'infini, qu'il faut
s'efforcer de penser comme une limite plutôt que comme un nombre réel qu'il n'est pas) peut
prêter à confusion. a=/:O désignant un nombre fini, on a toujours:
a'O=O
Par contre, les opérations
des réels:
~
suivantes
-?
00 _?
00
Points
et coordonnées
0-'
1.2.2
a.oo=oo
o . 00
~=o
00
~=:f:oo
o
sont soit indeterminées,
=7
00=7
aD
soit impraticables
= 1
(1.1)
dans l'ensemble
vnombre strictement négatif =7
(1.2)
Chaque fois que faire se peut, les résultats numériques seront représentés graphiquement,
pour
la raison simple et fondamentale
que le système nerveux humain est très performant
pour
reconnaître des formes (patterns),
et très inefficace pour appréhender globalement un tableau
1.2. ALGEBRE, POINTS, FONCTIONS
Il
de chiffres. Une des représentations
graphiques les plus simples consiste à représenter des points
définis par deux coordonnées (nombres) (x, y) sur un "repère Oxy", à savoir sur un plan défini
par deux axes orientés (l'axe des x, horizontal, définissant l'abscisse du point, et l'axe des y,
vertical, définissant l'ordonnée du point). L'origine (le point (0,0)) est généralement placée à
l'intersection
des axes, sur lesquels figureront également les échelles, qui peuvent différer quant
à la graduation choisie:
y
B=
(i)
.
(~
A=
x
o
Figure 1: coordonnées
1.2.3
Fonctions
Les mêmes conventions
s'appliquent
y
de correspondance
=f
des points dans un repère plan
(x) est une règle
également
pour la représentation
qui à un certain
nombre
des fonctions:
x associe
une fonction
un nombre
y. Par
exemple, f(x) = x3 et g(x) = vx font respectivement
correspondre à un nombre x son cube et
sa racine carrée. En calculant un nombre suffisant de valeurs telles que f(O) = 0, f(0.5) = 0.125,
f(l) = 1, f(1.5) = 3.375, ..., il devient possible d'esquisser le graphe de la fonction I(x), passant
par les points (0,0), (0.5,0.125), (1, 1), (1.5,3.375),
y
...
:
f( x)=x3
x
Figure 2: graphes des fonctions dans un repère plan
Une fonction est dite continue si son graphe peut être tracé sans discontinuités,
i.e. sans
lever le crayon. Une fonction est croissante si son graphe "monte" (Le. si à des valeurs plus
élevées de x correspondent
des valeurs plus élevées de y, ou encore si sa pente est positive). La
décroissance d'une fonction se définit de façon analogue.
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
12
Une
possède
tout x)
Une
part et
fonction f continue et strictement monotone (Le. strictement croissante ou décroissante)
f(x), ou encore f-l(f(x))
un inverse f-l, défini par f-l(y)
= x (pour
= X ssi1 Y =
ou bien f(f-l(y»
= y (pour tout y).
fonction est symétrique par rapport à un point a de l'axe des x si les parties situées de
d'autre de a se correspondent
comme dans un miroir. Une fonction est paire si elle est
f(x). Si
symétrique
par rapport
à l'origine;
algébriquement,
une telle fonction
vérifie f( -x)
=
la partie d'une fonction pour x ~ 0 correspond à la partie pour x ~ 0 par une double reflection
à travers l'axe des y puis l'axe des x, la fonction est dite impaire. Algébriquement,
une telle
fonction
vérifie
f( -x)
= - f(x).
y
paire
impaire
x
Figure 3: fonctions
paires et impaires
Un maximum (local) d'une fonction continue est un point a de l'axe des x tel que la fonction
soit croissante pour x S a et décroissante pour x ~ a, d~ moins dans un voisinage de a, Le.
dans une région suffisamment petite contenant a. La notion de minimum se définit de façon
analogue.
Une fonction est dite convexe (respectivement
concave) si sa courbure est orientée vers le
haut (respectivement
vers le bas). Un fonction régulière est convexe dans le voisinage d'un minimum, et concave dans le voisinage d'un maximum. Les points de transition convexe +-+ concave
sont appelés points d'inflexion.
y
concave
conycxe
- Figure 4: maximum,
- -..
minimum,
point d'inflexion
Les concepts précédents (croissance, convexité, maximum, ..,) peuvent également être définis
à l'aide de la notion de dérivée d'une fonction; ce dernier concept, qui ne concerne guère
lnssi" = "si et seulement si"; en anglais: "iff" = "if and only if'. L'énoncé "si A, alors B" est équivalent à
A
B", et l'énoncé"
" =>
A ssi B" est équivalent
à
"
A # B".
1.2. ALGEBRE, POINTS, FONCTIONS
13
l'utilisateur de statistique,
n'est pas rappelé ici; il en est de même pour le calcul intégral:
les valeurs des intégrales dont on fait usage sont soit tabulées (ce sont les tables statistiques
normales, du t, du X2, du F,...) soit calculées automatiquement
par un logiciel statistique.
1.2.4
Fonctions linéaires; droites
Les fonctions les plus simples et les plus utilisées en statistique sont les fonctions linéaires, de
forme I (x) = ax + b, où a et b sont deux nombres réels quelconques bien définis, les paramètres
de la fonction2. Toute fonction linéaire correspond géométriquement
à une droite et inversement.
Pour représenter une fonction linéaire, par exemple I(x) = 2x - 1, il suffit donc de déterminer
deux points arbitraires et de tracer la droite. Dans l'exemple, 1(0) = -1 et 1(1) = 1: la droite
passe donc par les points (0, -1) et (1,1):
y
x
Figure 5: graphe d'une droite dans un repère plan
Le paramètre
a s'appelle
pente
de la droite
y
= ax
+ b: la droite est croissante
ssi a > 0, et
décroissante ssi a < O. Lorsque a = 0, 01).a la fonction constante I(x) = b, qui associe à tout
nombre réel X la valeur b. Le paramètre b donne la "distance (verticale) à l'origine". La droite
passe au-dessus de l'origine ssi b > O. Lorsque b = 0, la droite passe par l'origine. Dans ce cas,
on a alors proportionnalité
stricte entre les valeurs de y et celles de x.
1.2.5
Logarithmes
et exponentielles
Les fonction non-linéaires les plus utilisées en statistique sont le logarithme loga(x) et son inverse,
l'exponentielle aX. L'expression loga(x) désigne le logarithme en base a ~ 1 du nombre x > 0,
qui est l'exposant y auquel il faut élever a pour obtenir x. Autrement dit:
y
= loga(x)
<=>
aY =x
(1.3)
Par exemple, le logarithme de 32 en base 2 est 5, car 25 = 32. Les bases les plus utilisées sont les
Changer de base revient à multiplier le logarithme
bases a = 2, a = 10 et a = e := 2.71828
par une constante (comme pour un changement d'unités en physique): 10gb(X) = logb(a) loga(x).
Si le choix de la base est sous-entendu,
ou si la propriété dont il est question ne dépend pas
de la base, on peut noter log x au lieu de loga(x). L'écriture ln x réfère à loge(x) (logarithme
népérien ou naturel). La fonction logarithme loga(x) est croissante, concave, et définie pour
x > O. On a 10ga(I) = 0 et loga(a) = 1. Aussi, limx-+o loga(x) = -00, limx-+o x loga(x) = 0
2un usage plus strict réserve l'appellation
"linéaire"
aux seules fonctions du type f(x)
=
ax.
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
14
et limx_oo loga(x)
transformer
log(xy)
1.2.6
= 00.
le produit
+ log(y)
log(~)
log(x) -log(y)
y =
signe
et signe
= log(x)
Indices,
La propriété essentielle du logarithme (quelle que soit sa base) est de
en somme, le quotient en différence, et la puissance en produit:
somme,
log(xY)
= y log(x)
(1.4)
produit
Afin de représenter une série de nombres, par exemple les âges X respectifs de 10 individus, la
notation indicée est souvent fort commode: Xi (lu "x indice i" ou simplement" X i") désignera
l'âge du i-ème individu. La somme des âges de tous les 10 individus s'écrira alors:
(1.5)
Xl + X2 + X3 + X4 + Xs + X6 + X7 + X8 + Xg + XIO
Afin de simplifier cette écriture, on introduit le "signe somme"
majuscule"),
et l'on écrit (1.5) sous la forme:
E (inspiré du caractère
"sigma
10
(1.6)
L:Xi
i=l
De façon générale, Ei=k ai désigne la somme de tous les ai, en commençant par l'individu
numéro i = k et en terminant par le numéro i = n (on suppose que k ~ n). Il est à noter
que l'expression ne dépend pas de la lettre utilisée comme indice, qui est alors qualifiée d'indice
muet:
on a toujours
= E'1=k aj,
Ei=k llï
ak,...,an.
quelles que soient les valeurs de k, de n et de la série
De façon analogue, la notation lli=k ai désigne le produit de tous les ai, en commençant
l'individu numéro i = k et en terminant par le numéro i = n, à savoir akak+lak+2...an-lan'
1.2.7
Factorielles
et coefficients
Pour tout n figurant
Définition:
un entier supérieur
binomiaux
ou égal à 2, on a la définition
La fonction n! (lue "n factorielle")
suivante:
est définie par
n! := n. (n - 1) . (n - 2) . ... . 3 . 2 . 1
Exemple:
4!
On définit
= 4 .3 .2 =
d'autre
part
24,
5! = 5 . 4 . 3 . 2
= 120.
O! := 1. Par
par
construction,
(n + I)! = (n + 1)
(1.7)
. nI
quel
que soit l'entier
n ~ O. La quantité n! constitue le nombre de permutations
(Le. de classements ordinaux) d'un
ensemble de n individus: il y a par exemple 6t = 720 façons d'attribuer
6 maisons distinctes
à 6 individus, ou 5! = 120 ordres d'arrivée possibles sans ex-aequo d'une course de 5 concurrents.
Définition:
dent
( ) ( )
(:) = ~ = 4, ( )= ~ = 6.
binomial
Exemple:
n et k désignant de1.£Xentiers avec n ~ 0 et n ~ k ~ 0, on définit le coeffi~
comme
~
et
~
:=
(n~~)!k!'
1.3. ENSEMBLES
15
L'interprétation
du coefficient
()
~
binomial
(appelé aussi" nombre de combinaisons
de
n objets pris k à k") la plus utile en statistique est la suivante: considérons n lancers d'une
pièce de monnaie, et appelons k le nombre total de "pile" produits (n - k est donc le nombre de
"face").
( )
Alors
~
représente
lancers. Par exemple, il y a
(à savoir: "PPPF",
"PPFP",
fois pile en 4 lancers
le nombre de séquences
(:) =
4 séquences
"PFPP",
distinctes
"FPPP"), et
La symétrie pile
~
possibles
( )=
(;) =
~
3 fois pile en 4 lancers
1 seule séquence
contenant
4
10 sortes de familles de
par l'ordre des naissances fille - garçon.
sans spécifier k = nombre de "pile", il y a en tout
~k ). Finalement,
n
de n lancers
(puisqu'à
Ces lancers sont constitués
lancers distincts
contenant
k fois "pile" en n
face (ou fille +-+ garçon) du comptage des séquences est reflétée dans la
( )= (
2n séquences
"face").
+-+
contenant
De même, il y a
(à savoir: "PPPP").
5 enfants dont 3 filles (et 2 garçons), se distinguant
propriété
distinctes
avec k
=l
"pile",
chaque
( )
de
~
coup
on a les deux
lancers distincts
... , et finalement
de
avec k
(:)
possibilités
=
0 "pile",
lancers distincts
"pile"
de
ou
( )
avec k
~
=
n
"pile". Donc, en utilisant le signe" somme" , on a:
(1.8)
Ë(~)=2n
L'équation
ci-après):
(1.8) est en fait un cas particulier de l'identité
quels
que soient
n (entier),
x et y (réels),
t()
k=O
n
k
xkyn-k
binomiale (dans le cas x
on a:
= (x+y)n
=y =
1
(1.9)
Cette identité est à l'origine de la terminologie" coefficients binomiaux": par exemple, dans le
développement du binôme (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4, on retrouve les coefficients
( ) = 1, ( : ) = 4, ( ) = 6, etc...
~
~
1.3
Ensembles
1.3.1
Ensembles
fermés,
ouverts,
dénombrables,
non
dénombrables
Un ensemble est une collection d'individus. Ces individus sont des objets de même nature
(quelconque), tels que des personnes, COmlTIUnes,livres, propositions, constellations, nombres,
etc... La notation de ces derniers est codifiée: {2, 3, 4} désigne l'ensemble formé des trois nombres
2,3 et 4, tandis que [2,4] désigne l'intervalle de tous les nombres réels compris entre 2 et 4 inclus
(intervalle ferme), et (2,4) (ou ]2, 4[) désigne l'intervalle de tous les nombres réels compris entre
2 et 4 non inclus (intervalle ouvert).
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
16
Un ensemble
A peut être fini (s'il contient
un nombre fini d'éléments).
La notation
~(A) ou
lAI (cardinal de A) désigne le nombre de ses éléments. Lorsqu'un ensemble est infini, il peut
être infini dénombrable (s'il est possible de donner une énumération de ses éléments telle que
n'importe quel élément choisi d'avance apparaisse en en temps fini, comme dans l'ensemble des
entiers naturels N={O, 1,2,3, ...}), ou infini non dénombrable (si une telle énumération
n'est
pas possible, comme dans l'ensemble R des nombres réels).
1.3.2
Intersection,
union,
inclusion
Un ensemble A est inclus dans un ensemble B (noté A c B) ssi tous les éléments de A appartiennent à B. On dit alors que A est un sous-ensemble de B. L'intersection
de deux ensembles
A et B (notée AnB) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant
à A et à B. L'union
de deux ensembles A et B (notée A U B) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant
à A ou à B (ou les deux: il s'agit ici du "ou" non exclusif). Formellement, on a donc:
Au B := {xix E A ou x E B}
An B := {xix E A et x E B}
(1.10)
à
(x désigne un élément quelconque, le signe" E" (" appartient à") désigne l'appartenance
un ensemble (et ft la non-appartenance),
le signe "1" se lit "tel que"). A \ B désigne l'ensemble
formé des éléments appartenant
à A mais pas à B. La différence symétrique de deux ensembles
A et B (notée ALlB) est l'ensemble formé de tous les éléments appartenant
à A ou bien à B
(mais pas les deux: il s'agit ici du "ou" exclusif):
A \ B := {xix E A et x tf. B}
ALlB := {xix E A ou bien x E B}
(1.11)
Dans une situation donnée, on appelle référentiel (souvent noté 0) l'ensemble contenant tous les
éléments pertinents dans le contexte (par exemple: "tous les nombres réels", "tous les habitants
de telle ville", etc...). Une fois le référentiel fixé, il est possible de définir le complémentaire d'un
ensemble A, noté AC ou A, constitué de tous les éléments (de 0) n'appartenant
pas à A. Par
construction,
le complémenta.ire de 0 ne contient aucun élément: on appelle cet ensemble (noté
0) l'ensemble vide. Par construction,
quel que soit A c 0, on a A u A = 0 et A n A = 0. Deux
ensembles A et B sont dits disjoints ou exclusifs s'ils n'ont pas d'éléments en commun, i.e. si
A n B = 0.
1.3.3
Partitions,
diagrammes
de Venn
Une collection d'ensembles A := {Al,' .., Am} constitue une partition de 0 ssi:
.
les {Aj} sont mutuellement
exclusifs: Aj n Ak
. les {Aj} sont exhaustifs: Al U A2 U
U Am
= 0 pour
= Uj=lAj
tous j i= k.
= n.
'"
Si A est une partition
partition.
de n, chaque élément de n appartient
à un et un seul ensemble
Aj de la
Le diagramme de Venn permet de représenter graphiquement
les ensembles par une surface
'-CQnnexe (i.e. d'un seul tenant) contenant les éléments de l'ensemble. Le référentiel, incluant
tous les élénlents, sera généralement figuré par un rectangle. Le diagramme en figure 6 indique
immédiatement
que DcA,
E c C, A n E = B n E = 0, etc... De plus, les ensembles A, B
1.4. PROBABILITES
17
et C entretiennent entre eux une relation tout à fait générale, Le. ils peuvent comporter une
intersection commune, trois intersections deux à deux et trois parties propres (n'appartenant
qu'à eux-mêmes). On a également hachuré l'ensemble AnBnC et quadrillé l'ensemble AnBn
D = B n D.
n
Figure 6: diagramme
1.4
de Venn
Probabilités
La notion de vraisemblance
d'un événement A, ou celle de sa propension à se produire,
modélisées par le concept de probabilité de l'événement A. Les événements eux-mêmes
modélisés par des ensembles: si A: = "il pleut mardi" et si B: = "il pleut jeudi", on a
.
.
.
A
nB
= "il pleut mardi et jeudi"
A
uB
= "il pleut mardi ou jeudi" ,
A = "il ne
sont
sont
pleut pas mardi"
. A => B
= "le fait qu'il pleuve mardi entraîne qu'il pleuve jeudi"
par "si A, alors B" , ou encore simplement" A c B")
(que l'on énonce aussi
. A {:} B = "le fait qu'il pleuve mardi entraîne qu'il pleuve jeudi et réciproquement" (que
l'on énonce aussi par" A si et seulement si B" ou plus succintement encore par" A ssi B"
ou "A = B")
1.4.1
Axiomes
de probabilité
La probabilité de A, notée peA), est un nombre réel dans [0,1], telle qu'une probabilité de 1
qualifie un événement certain, une probabilité de 0 qualifie un événement impossible, et que ce
nombre est d'autant plus grand que l'événement a de chances de se produire. Toute fonction de
probabilité P(.) doit a priori satisfaire aux règles minimales de cohérence ou axiomes suivants:
1. pen) = 1, P(0) = 0
2. peA U B) = peA) + PCB)- peA n B) quels que soient Ac n et Ben
3. peA) = 1 - peA) quel que soit Ac n
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
18
La première règle énonce que le référentiel peut être identifié à un événement certain, et
l'ensemble vide à un événement impossible. La seconde (dite principe d"'inc1usion-exc1usion")
permet de passer de la probabilité
d'une union à celle d'une intersection et vice-versa. La
troisième fonnalise le fait que de dire qu'un événement a par exemple 2% de chances de se
produire revient à dire qu'il a 98% de chances de ne pas se produire. Les règles ci-dessus
permettent
par exemple de généraliser le principe d'inclusion-exclusion
dans le cas de trois
ensembles:
= P(A)+P(B)+P(C)-p(AnB)-p(AnC)-p(BnC)+p(AnBnC)
P(AUBUC)
(1.12)
quels que soient A B et C.
1.4.2
Probabilités
empiriques
et théoriques
Les règles ci-dessus ne sont cependant pas suffisantes pour déterminer la probabilité d'un
événement A donné. Pour ce faire, il faut se placer dans l'une des deux situations suivantes:
. l'événement A possède un caractère répétitif; on évaluera alors P(A) par la probabilité
empirique ou fréquence:
P ()A
nombre de fois où A s'est produit
n(A)
= nombrede foisoù A s'est produit ou non =: n(A) n(A)
+
n(A)
= n(n)
(1.13)
Par exemple, il y a eu en Suisse 62181 décès en 1990, sur une population totale de 6'750'700
habitants. La probabilité annuelle de décès (toutes catégories d'individus confondues) est donc
.
de P(décès)
=
62181/6750700
le référentiel
de sous-ensembles
=
0.00921
=
0.921%.
n et l'événement A peuvent tous deux être partitionnés
par une collection
ou cas équiprobables; on évaluera alors P(A) par la probabilité théorique:
P(A)
=
nombre de cas favorables
(où A se produit)
nombre de cas possibles
n(A)
= n(O)
(1.14)
Par exemple, la probabilité de tirer un roi d'un jeu de 52 cartes est de P(roi) = 4/52 = 0.077 =
7.7%. L'équiprobabilité
des cas est généralement justifiée par des raisons de symétrie ("il n'y
a pas plus de chances de tirer un roi qu'un as d'un jeu bien mélangé de 52 cartes"): cette
équiprobabilité,
aussi naturelle qu'elle puisse sembler, n'en constitue pas moins un modèle de
la réalité, modèle qui peut se révéler adéquat ou non. Dans le cas dUf'lancer d'une pièce de
monnaie, il s'agit de bien faire la distinction entre une probabilité théorique de P(pile) = 0.5,
suggérée par des considérations de symétrie évidente, et une probabilité empirique ou fréquence
de par exemple P(pile) = 0.499, chiffre obtenu dans le cas d'une expérience portant sur 1000
lancers dont 499 auraient donné "pile". De même, il faut distinguer entre l'effectif empirique
n(A) de (1.13) qui est un nombre observé et l'effectif théorique n(A) de (1.14) qui est un
nombre postulé ou attendu. Cette distinction entre données et modèle, sur laquelle on reviendra
longuement, constitue la distinction de base en statistique et modélisation: ne pas en percevoir
la nature risque d'en compromettre
sérieusement l'apprentissage.
En l'absence de répétition (nécessaire au calcul d'une fréquence empirique), ou de collection
de cas supposés équiprobables
(nécessaire à la constitution d'un modèle), il est tout simplement
impossible d'évaluer une probabilité, comlne par exemple celle de la probabilité de l'apparition
de l'homme à travers l'évolution, ou celle d'une fin du monde thermonucléaire.
1.4. PROBABILITES
1.4.3
19
Indépendance
Définition:
entre
deux événements
deux événements A et B sont dits indépendants
P(A)P(B)
est une propriété
ssi P(A n B)
très particulière,
Attention! p(AnB) =
pas réalisée: deux événements ne sont pas indépendants en général.
= P(A)P(B).
qui n'est généralement
Exemple:
le référentiel associé à un seul lancer d'un dé équilibré (c'est-à dire dont les six
est 0 = {l, 2, 3, 4, 5, 6}. Considérons les événements A = {2,4,6},
B = {l, 2, 3}, et C = {l, 2}. On a P(A n B) = P( {2}) = k, tandis que peA) = ~ et PCB) = 1:
comme !! ;f ~, les événements A et B sont dépendants. Par contre, peA n C) = P( {2}) = I,
tandis que P (A) P (C) =
= ~: A et C sont donc indépendants.
faces sont équiprobables)
!i
1.4.4
Probabilité
conditionnelle;
formule
de Bayes
Une notion essentielle dans le calcul des probabilités est celle de probabilité conditionnelle.
Définition:
on note P(AIB) la probabilité
conditionnelle
que A se réalise sachant
B s'est réalisé.
De l'identité P(A n B) = P(B) P(AIB), on déduit:
P(AIB) =
que
P(A n B)
PCB)
qui est toujours vraie. Si de plus les événements A et B sont indépendants,
alors peA n B) =
, ,
P(A~P~B)
(A) : deux evenements
P(A)P(B)
et dans ce cas P (ABI ) = P(1nf)
P
sont
PB
= PB
=
indépendants
ssi la probabilité que l'un se produise n'est pas affectée par la connaissance que
l'autre
se produise
ou non.
Notons que l'on a toujours P(AIO) = peA), P(AIA) = 1 et P(AI0) = "indéterminé".
L'identité (toujours vraie)
P(B)
s'illustre
aisément
= P(BIA)P(A) + P(BIA)P(A)
(1.15)
par un schéma en arbre:
B
B
B
B
Figure 7: schéma en arbre, permettant
de reconstruire la formule (1.15) en notant que l'on
peut arriver en B par deux chemins, à savoir le chemin passant par A et celui passant par .il.
CHAPITRE 1. RAPPELS MATHEMATIQUES
20
Enfin, de la définition
mule de Bayes:
de la probabilité
conditionnelle
suivante,
dite For-
P(A)
= P(B) P(BIA)
P(AIB)
Les équations
découle l'identité
(1.15) et (1.16) permettent
(1.16)
de résoudre un type de problème
courant,
comme:
Problème:
"Les prévisions météorologiques d'une certaine région sont fiables à 80% en cas
de beau temps, et à 90% en cas de mauvais temps. Sachant que le mauvais temps règne à 90%,
quelle est la chance qu'une prévision de beau temps soit correcte? "
Solution:
Posons A = "il fait beau temps" et B = "du beau temps est annoncé". Les
données sont respectivement
= 0.8, P(BIA)
P(BIA)
= 0.9
et P(A)
= 0.9.
On cherche P(AIB),
égal à ~P(BIA)
par (1.16). Dans cette dernière expression, seule P(B) est momentanément
inconnue; par (1.15), elle se trouve en fait être égale à P(BIA)P(A) + P(BIA)P(A) = 0.8. (10.9) + (1-0.9) .0.9 = 0.17 (on a utilisé P(A) = 1- P(A) et P(BIA) = I-P(BIA); attention! en
général, P(BIA) # 1 - P(BIA)). Finalement, on trouve P(AIB) = ~AO.8 = 0.47: malgré une
fiabilité des prédictions relativement bonne, il s'agit de rester prudent lorsque du beau temps
est annoncé.
1.5
Exercices
1. Etant donné Xl = 2, X2
2:f::: 1 Xi
2:f=l (Xi
= -1,
2:::::0 Xi+1
+ 1) Et=l
X3
= -1,
X4
= 4, Xs = 1 calculer:
2:f= 1 X~
Ef:::l x~
*
k
2. Placer sur un repère Oxy les points: A
Que vaut l'aire du triangle
( )
=
B=
=~
( )
c=(n
-;1
ABC?
3. Placer sur un repère Oxy les droites:
y
dl :
y
d2:
d3 :
d4 :
ds;
Déterminer
4. Esquisser
l'aire du triangle
délimité
le graphe des fonctions
=X
= -x + 1
X= 0
y= 3
Y= x + 1
par dl, d3, d4.
continues
fl(X),
f2(X), et 13(X) sachant
que:
. Il (x) est symétrique par rapport à x = 3, et croissante pour x > 3;
. 12(x) est négative, concave, sauf en X = -1 et x = - 2 où elle possède deux minima;
.
5.
f3(X) est impaire,
(a) Calculer: a) 4!
croissante,
b)
avec limx-+oof3(x)
(:)
c) ( ~)
= 4.