Electrons dans les solides - TD 6

Maîtrise PHYTEM
Physique des Solides
2003-2004
Electrons dans les solides - TD 6
Modèle des liaisons fortes
I. Solide bidimensionnel
On considère un solide bidimensionnel constitué d'atomes identiques, disposés sur
un réseau carré de côté a.
On s'intéresse aux bandes d'énergie formées à partir des orbitales atomiques s,
puis à partir des orbitales px (ou py ) ; les niveaux atomiques associés à chaque
type d'orbitale (s ou p) sont susamment éloignés pour pouvoir considérer chaque
bande indépendamment l'une de l'autre.
On se place dans le cadre de l'approximation de Hückel : on néglige les intégrales de
recouvrement hφa |φb i, et on ne considère les termes d'échange hφa |H|φb i qu'entre
atomes premiers voisins.
− à partir des orbitales
1. Donner l'expression générale de la fonction de Bloch ψ→
k
atomiques φn,m [où m,n sont les indices associés à l'atome en position (na,ma)]
en faisant apparaître les composantes (kx ,ky ) du nombre quantique translation−
→
nel k .
2. Pour la bande de type s, on adoptera les notations suivantes pour les différentes intégrales de recouvrement : α = hφn,m |H|φn,m i, βx = hφn,m |H|φn0 ,m i
et βy = hφn,m |H|φn,m0 i.
a. Caractériser les intégrales d'échange βx et βy (signe et valeur absolue).
−
→
b. Déterminer la relation de dispersion E( k ).
3. Pour les bandes de type p, la dégénérescence des orbitales atomiques px
Y
et py impose de considérer pour φn,m une combinaison linéaire ApX
n,m +Bpn,m .
On adoptera les notations suivantes pour les diérentes intégrales d'échange:
D
CD
D
CD
D
αCD = hpC
= hpC
= hpC
n,m |H|pn,m i, βx
n,m |H|pn0 ,m i, βy
n,m |H|pn,m0 i, où C et D
sont égaux à X ou Y.
a. Caractériser les diérentes intégrales d'échange et montrer que les termes
croisés de type αXY et β XY sont nuls.
b. La nullité des αXY et β XY permet de considérer indépendamment les
bandes formées à partir des orbitales px et py .
−
→
Déterminer la relation de dispersion E( k ) en fonction des intégrales
d'échange βσ =βcCC et βπ =βdCC où d6=c.
4. Déterminer la structure de bandes suivant le chemin M'ΓXM, où X, M√et M'
sont sur les bords de la première zone de Brillouin avec ΓX=π/a, ΓM= 2π/a
et M,Γ,M' alignés.
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II. Solide unidimensionnel à motif diatomique
On considère un solide unidimensionnel de maille de longueur a et de motif à deux
atomes A et B séparés de a/2.
Déterminer sa structure de bandes.
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