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Ann´ee 2008
D´epartement des Licence de Math´ematiques
Sciences et Techniques L3
Contrˆole continu de Topologie
du 17 mars 2008, 8h30-11h30, salle A7
Questions de cours (8 points)
I. D´efinissez les notions suivantes :
1. Partie ouverte d’un espace m´etrique (E, d).
2. Voisinage d’un point dans un espace topologique (E, O).
3. Point adh´erent `a une partie d’un espace topologique (E, O).
4. Partie born´ee dans un espace m´etrique (E, d).
5. Diam`etre d’une partie born´ee dans un espace m´etrique (E, d).
6. Continuit´e en un point d’une application entre deux espaces topologiques.
7. Partie compacte d’un espace topologique s´epar´e (E, O).
II. ´ Enoncer le th´eor`eme caract´erisant une application fcontinue entre deux espaces topologiques. D´emontrer
l’implication
fest continue =⇒l’image r´eciproque par l’application fde tout ouvert est un ouvert .
III. Soient (E, O) un espace topologique, Aune partie non vide de E,OAla topologie induite sur Apar
celle de Eet iA:A→El’injection canonique (i.e. iA(x) = xpour tout x∈A).
1. Montrer que iAest continue de (A, OA) dans (E, O).
2. Donner des conditions suffisantes v´erifi´ees par Apour que iAsoit une application ouverte
(resp. ferm´ee) de (A, OA) dans (E, O).
IV. D´emontrer l’affirmation :
toute partie compacte d’un espace topologique s´epar´e est ferm´ee.
Exercice (4 points)
Soit (E, d) un espace m´etrique, et Aet Bdeux parties de E. Montrer que :
1. int (A∩B) = int (A)∩int (B).
2. (A∪B) = ¯ A∪¯ B.
3. int (A∪B)⊃int (A)∪int (B).
4. (A∩B)⊂¯ A∩¯ B.
5. Montrer `a l’aide d’un exemple que les deux derni`eres inclusions peuvent ˆetre strictes.
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Probl`eme (8 points)
Sur le produit des espaces compacts
Dans ce probl`eme l’espace m´etrique Rsera muni de sa distance usuelle. Soient (E0, d0) et (E00, d00) deux
espaces m´etriques. Posons E=E0×E00 et consid´erons les applications d:E×E→R,p0:E→E0,
p00 :E→E00 d´efinies par
∀x= (x0, x00), y = (y0, y00 )∈E, d(x, y) = d0(x0, y0) + d00 (x00 , y00 );
∀x= (x0, x00)∈E p0(x0, x00 ) = x0;
∀x= (x0, x00)∈E p00 (x0, x00 ) = x00 .
Pout tout (a0, a00)∈E0×E00 fix´e, on d´efinit les applications ia00 :E0→Eet ja0:E00 →Epar
∀x0∈E0ia00 (x0) = (x0, a00);
∀x00 ∈E00 ja0(x00)=(a0, x00).
Si a= (a0, a00)∈E=E0×E00 et rest un r´eel positif, on note B(a;r) (resp. B0(a0;r), B00 (a00 ;r)) la boule
ouverte de centre a(resp. a0,a00) et de rayon rde l’espace (E, d) (resp. (E0, d0),(E00 , d00 )).
1. Montrer que dest une distance sur E(appel´ee «distance produit»).
2. On suppose uniquement dans ce point que E0=E00 (donc E=E0×E0) et d0=d00. Montrer que
d0: (E, d)→Rest continue.
3. Montrer que les applications p0: (E, d)→(E0, d0) et p00 : (E, d)→(E00 , d00 ) sont continues.
4. En d´eduire que :
l’espace m´etrique (E, d)est compact =⇒les espaces m´etriques (E0, d0)et (E00 , d00 )sont compacts.
5. Montrer que pour tout (a0, a00 )∈E0×E00 , les applications ia00 : (E0, d0)→(E, d) et ja0: (E00, d00 )→
(E, d) sont des isom´etries.
6. Montrer que pour tout a= (a0, a00 )∈Eet r > 0 on a :
p0(B(a;r)) = B0(a0;r), p00(B(a;r)) = B00 (a00 ;r).
7. En d´eduire que les applications p0: (E, d)→(E0, d0) et p00 : (E, d)→(E00 , d00 ) sont ouvertes.
8. Consid´erons (x0
n) une suite de E0, (x00 n) une suite de E00 et posons, pour tout n∈N,xn= (x0 n, x00 n).
Montrer que :
(xn)converge dans (E, d)⇐⇒ [(x0
n)converge dans (E0, d0)et (x00 n)converge dans (E00 , d00 )]
Dans ce cas
lim xn= (lim x0
n,lim x00 n).
9. En d´eduire que :
les espaces m´etriques (E0, d0)et (E00 , d00 )sont compacts =⇒l’espace m´etrique (E, d)est compact.
10. Soit A0⊂E0et A00 ⊂E00, et posons A=A0×A00. Soit a= (a0, a00)∈A.
(a) Pr´eciser les ensembles p0−1(A0), p00−1(A00), p0−1(A0)∩p00 −1(A00 ), i−1
a00 (A) et j−1 a0(A).
(b) En d´eduire que
Aest un ouvert de (E, d)⇐⇒ [A0est un ouvert de (E0, d0)et A00 est un ouvert de (E00 , d00 )]
Aest un ferm´e de (E, d)⇐⇒ [A0est un ferm´e de (E0, d0)et A00 est un ferm´e de (E00, d00 )]
11. En utilisant les points 4., 9. et 10. montrer que, pour toute partie K⊂R2(muni de la distance
produit) on a :
Kest un compact ⇐⇒ Kest ferm´e et born´e.
(Indication : on pourrait commencer par le cas o`u Kest un produit cart´esien de deux segments ...)
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