f (+) (x,y,t)

Membranes couplées et interaction avec le
timbre: expériences numériques
Stefan Bilbao
Acoustics and Fluid Dynamics Group / Music
University of Edinburgh
CFA, Lyon: avril, 2010.
1. modèle
2. schémas différences finies
3. simulations et exemples sonores
4. comparaison: modèle piston
5. coût de calcul
Idée generale: simulation d’une caisse claire, en utilisant méthodes
différences finites (temporelles)…avec but le synthèse sonore.
Couplage numérique entre composantes: membranes, champ acoustique
et timbre

Modèle: région 3D
22 c
tt
 up t
•Intérieur du domaine (parallélépipède):
l’équation des ondes, en 3D:
•c: célérité de l’air
•Ψ: une fonction potentielle, liée aux variables
acoustiques par:
•Condition de limite Neumann, sur une cylindre
rigide:
),,,( tzyx
0 n
2211
2
02
ssssntttnt c
cc
•Extérieur: conditions absorbantes (ici Engquist-Majda…autres possibilités!)
1eordre 2eordre
pression vitesse

Modèle: membranes
snarewwwttw
excvvvttv
fffwTw
fffvTv
)()(2
)()(2
• membranes: l’équation des ondes 2D, avec
termes supplémentaires…
•v(x,y,t), w(x,y,t): déplacements transversales
•ρv, ρw: densités, kg/m2(différentes en general)
•Tv, Tw: tensions kg/s2(différentes en general)
•…: autres termes (pertes internes, raideur, effets
nonlinéaires)
•conditions de limite:
•fexc: force dû à l’excitation
•fsnare: force dû à l’interaction avec les colles
•f(+), f(-):forces dû à l’interaction avec le champ
acoustique…
222
0, Ryxwv 
f(+)(x,y,t)
f(-)(x,y,t)

Couplage membrane/champ acoustique
),,,(),,,( 00 tzzyxtzzyxv zzt
f(+)(x,y,t)
f(-)(x,y,t)
z
z=z0
• Membrane: position d’équilibre, à z=z0, avec déplacement transversale v(x,y,t)
),,,(),,,( 0
)(
0
)( tzzyxftzzyxf tt
v(x,y,t)
ψ(z0 + ε)
ψ(z0 -ε)
•Pression:
•Continuité de vitesse:

Excitation
•Modèle typique d’excitation: masse/ressort, avec raideur nonlinéaire…utilise
)(),( tfyxgf inexc 