Recollement d`espaces topologiques

Recollement d’espaces topologiques
Colas Bardavid
mercredi 26 mai 2005
Table des mati`eres
1 Cas g´en´eral 4
1.1 Donn´ees................................ 4
1.2 Construction du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Rappels sur la topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Propri´et´es du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Comparaison entre les Xαet le recollement . . . . . . . . 7
1.4.2 Ouverts du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Caract´erisation de la continuit´e des fonctions qui partent
du recollement X....................... 7
1.4.4 D´efinition des fonctions qui partent du recollement X. . 8
2 Recollement dans un cas plus simple 8
2.1 Donn´ees................................ 8
2.2 Construction du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Propri´et´es du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Injections ouvertes des Xαdans Y.............. 9
2.3.2 Ouverts du recollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Caract´erisation de la continuit´e des fonctions qui partent
du recollement Y....................... 9
2.3.4 D´efinition des fonctions qui partent du recollement Y. . 9
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R´esultats
Lemme 0.1 Soit Xf
//Yun hom´eomorphisme. Soit A⊂X. Alors, Af|A //f(A)
est un hom´eomorphisme
Rappel 0.2 On est dans la situation suivante : Xπ//Y:= X/ ∼est la pro-
jection canonique de Xsur l’espace quotient. Alors,
πest continue.
Oouvert de Y⇐⇒ π−1(O)ouvert de X.
Fferm´e de Y⇐⇒ π−1(F)ferm´e de X.
f:Y→Zcontinue ⇐⇒ f◦π:X→Zcontinue.
Proposition 0.3 Xα
fα
//Xest un hom´eomorphisme sur son image, qui est
ouverte dans X.
Proposition 0.4 O⊂Xest un ouvert si, et seulement si, pour tout α∈A,
f−1
α(O)est un ouvert de Xα.
Proposition 0.5 Soit Yun espace topologique quelconque et soit g:X→Y
une application. Alors, gest continue si, et seulement si, pour tout α,gα=
g◦fα:Xα→Yest continue.
Proposition 0.6 Soit Yun espace topologique quelconque.
Se donner une fonction continue g:X→Y, c’est se donner une famille de
fonctions continues gα:Xα→Ytelles que :
gα|Uβ(α)=gβ|Uα(β)◦ϕα,β .
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Questions en suspens et travail `a faire
Projet 0.7 R´efl´echir au recollement dans un cadre plus g´en´eral (aller voir
Bourbaki ?).
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1 Cas g´en´eral
1.1 Donn´ees
Soit (Xα)α∈Aune famille d’espaces topologiques et Oβ(α)⊂
→◦ Xαpour tous
αet β.
On peut faire le recollement dans un cadre plus g´en´eral `a mon avis, mais ici,
on se limite `a des recollements sans bavures.
On va recoller Xαet Xβselon les ouverts Oβ(α) et Oα(β).
Ainsi, on suppose que Oα(α) = Xα.
On se donne pour tout (α, β) un isomorphisme (dans la cat´egorie Top)
ϕα,β :Oβ(α)→Oα(β). On demande ´evidemment que ϕα,α = IdXα.
On demande aussi des conditions de recollements. Partons d’un point x∈
Oα(γ)∩Oβ(γ). Il va ˆetre identifi´e `a ϕγ,α(x)∈Oγ(α). Mais il va ˆetre identifi´e
aussi `a y=ϕγ,β (x)∈Oγ(β). On veut que notre recollement soit bien organis´e !
Donc, on veut que ce point ysoit aussi identifi´e, via ϕβ,α, `a ϕγ,α(x). Donc en
particulier, ϕγ,α(x)∈Oβ(α).
Ainsi, on va d´ej`a imposer que ϕγ,α(Oα(γ)∩Oβ(γ)) ⊂Oγ(α)∩Oβ(α). Ceci
impose en fait qu’il y a ´egalit´e (prendre ϕα,γ ).
En plus, comme on l’a dit, on veut que ϕγ,α et ϕβ,α ◦ϕγ,β co¨ıcident sur
Oα(γ)∩Oβ(γ) (o`u elles sont bien d´efinies d’apr`es les conditions pr´ec´edentes.
Or, on a le
Lemme 1.1 Soit Xf
//Yun hom´eomorphisme. Soit A⊂X. Alors, Af|A //f(A)
est un hom´eomorphisme
D´emonstration : D’abord, Af|A
//f(A) est bien une bijection. Ensuite, si O
est un ouvert de X,f(O) est un ouvert de Yet on a f(O∩A) = f(O)∩f(A)
(bijectivit´e de f). Donc f|Aest une application ouverte. On montre pareil qu’elle
est continue. 
On d´eduit de tout ¸ca :
4

X1
X2
X3
OO33(1)(1)
OO22(1)(1)
OO11(2)(2)
OO33(2)(2)
OO22(3)(3)
OO11(3)(3)
ff1,31,3
ff1,21,2
ff2,32,3
Fig. 1 – Conditions de recollement (ici, elles ne sont pas satisfaites)
Hypoth`eses 1.2 (Conditions de recollement) On impose que :
∀α, β, γ ∈A, Oα(γ)∩Oβ(γ)ϕγ,α
∼//Oγ(α)∩Oβ(α)
soit un hom´eomorphisme et que le diagramme
Oγ(α)∩Oβ(α)
Oγ(β)∩Oα(β)
ϕβ,α
llYYYYYYYYYYYY
Oα(γ)∩Oβ(γ)
ϕγ,α
OO
ϕγ,β
22
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
commute.
Dans la pratique, il suffit de v´erifier que ϕγ,α(Oα(γ)∩Oβ(γ)) ⊂Oγ(α)∩Oβ(α)
et que sur cette intersection, ϕγ,α et ϕβ,α ◦ϕγ,β co¨ıcident.
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