Groupes d`homotopie

Séminaire Henri Cartan
J-P. S ERRE
Groupes d’homotopie
Séminaire Henri Cartan, tome 2 (1949-1950), exp. no 2, p. 1-7
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1949-1950__2__A2_0>
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2-01
Séminaire H. CARTANy E.N.S.,
1949/50.
GROUPES D’HOMOTOPIE
(Exposé
1. -
de J-P.
le
SERRE,
SERRE,
14.1I.1~49)
Groupe fondamental.
Soit
Y
topologique
l’espace des applications continues
un
espace
telles que f(o)
aussi considérer
=
qu’un point fixé
du cercle vienne
D’autre
dans
part,
y) ,
f
y . Une. telle
comme une
définit
on
un
y
application
y .
une
loi de
composition
f
g
et
sont
topologie de la convergence compacte même de dire qu’il existe une application continue
F(t, o) == f(t) , F(t , 1) = g(t)
L’homotopie
est
des lacets. Par passage
généralement
de Poincaré,
non
au
quotient,
abélien, appelé
on
posant :
et
1-03).
voir
F
de
,lz
F(o, t’)
=
Il revient
Y ,
F(l , t’)
l’on
change
Y
point
choisi,
est
connexe
et
un cas
le
dans
vaste
y .
la
composition
montre que l’on obtient
un
groupe,
d’homotopie)
Y
(ou
en y
et que l’on
désigne
on
(voir
y 9 l’on obtient
groupe
par
An
par arc, le groupe
le note alors
important où
système de
1, Exposé X). En particulier, si
de Poincaré ne dépend pas du
un
le groupe de Poincaré est abélien :
Théorème 1.- Le groupe de Poinoaré de l’espace d’un groupe
est abélien.
(On
=
avec
de base
point
de Steenrod
au sens
l’espace
Donnons
au
.
groupes locaux
y
d’habi-
comme
~ 1 (Y9y) .
Lorsque
Y
homotopes s’ils sont
groupe fondamental de
premier groupe
ou encore
en
d’équivalence compatible
relation
une
dans
un
y) (muni,
de la
telle que
est dite
en
par arc de
connexe
y)
Y . Soit
(segment [0 , 1J)
I
de
de
point
lacet. On peut
application d’un cercle dans Y telle
dit que deux lacets
même composante
une
tude,
on
lacet
un
Fi(Y’
Dans
=
et
montrera dans
topologique
exposé ultérieur que ce résultat s’étend
catégorie d’espaces homogènes, résultat dd à Hu)
un
Démonstration : les translations étant
des
homéomorphismes,
on
à
une
peut
se
point unité e est abélien.
1 signifie que l’on peut
un commutateuro L’égalité
Soit q =
q
prolonger à tout le carré l’application de sa frontière qui est f(t) pour
les points (t, o) et (t y 1) et qui est g(t) pour les (0 9 t) et
(1 , t) . Or, il suffit pour cela de poser F(t , t’) f(t).g(t’) (le produit étant pris au sens du groupe topologique).
borner à montrer
que le
groupe de Poincaré
au
=
=
0
un
Remarque ~ En fait, on n’a pas utilisé en entier l’hypothèse que G est
groupe, topologique. En examinant le raisonnement précédente on obtient :
topologique où est définie une loi de
composition continue 3 admettant un idempotent e tel que les applications
x ,..~". x. e et x ....~. e. x soient homotopes à l’application identique ( e resThéorème l’.- Soit X
un
l’homotopie).
tant fixe durant
0
2.- Définition des groupes
espace
e)
Alors
est abélien.
d’homotopie.
Au lieu d’étudier les classes
.
d’applications de cercles dans un espace
donné Y, on va étudier les classes d’applications de sphères (de dimension
quelconque) dans Y . Pour pouvoir définir une loi de groupe dans cet ensemble de classes, il est commode de remplacer la sphère par une figure équivalente; dans le cas du cercle, on avait utilisé le segment 1 dont les deux
extrémités étaient identifiées 9 pour la sphère à n dimension Sn on utilisera le cube In dont la frontière Fn-1 est identifiée à un point, ce
"point marqué" .
servant de
point
Posons alors les définitions suivantes :i
y) l’espace des applications continues de Zn dans Y
qui appliquent Fn dans y . Désignons par y l’application constante de
In dans y . On vérifie facilement que l’application qui à f ~ F (Y y)
fait correspondre
y) , y) défini par
l’élément de l’espace
Soit
t~--~
F (Y 9
f(t , x~ ~
x)
... 9
second
(revenant
sphère
de dimension
aux
est
sphères,
un .homéomorphisme
du
premier
cela revient à considérer
une
espace
sur
le
application d’une
’
d’applications’de sphères de dimension
n-1 , lacet ayant pour extrémités l’application constante y ). Ainsi les
composantes connexes par arc de Fn (Y , y) correspondent canoniquement aux
~
n
classes de lacets dans
ensemble,
comme un
F i(Y ~ y) .
il est alors naturel de
y) .
Nous
lacet
sommes
Pour définir
une
loi de groupe
sur
prendre celle du groupe fondamental de
ainsi amenés à la définitions
cet
y) , y)
Le groupe
~
point y et
aux composantes
connexes
par
appelé n-ème
de
F (Y~y) .
groupe d’homotopie de
Ses éléments correspondent biunivoque-
au
ment
est
arc
~
éléments sont, comme
il vient d’être dit, les classes d’homotopie des applications de 1
dans
en
Y , envoyant
y. Si f et g sont deux telles applications, on
(Y , y)i
la loi de groupe de 03C0n
Explicitons
ses
.
pose :
Cette
au
multiplication est compatible avec l’homotopie
quotient, la loi de groupe de 03C0n ( Y ’ y)
y)
Fo(Y
9
est réduit
Pour
santes
homéomorphe
un point). La
par passage
(si
à
notation H n
=
Y
arc
Cependant
on
Pour tout espace
En
n
si
F ~ (Y ~
y).
Or
qui démontre
un
l’on fait la
TI
Y 9
cohérente.
n (Y 9
y)
est abélien si
est muni d’une loi de
~, 2 9
en
le
espace de lacets
notre
est donc
d’appeler
Théorème 2.-
effet,
fondamentale car
convention classique que . I°
y) l’ensemble des compode Y . Il .n’y a pas de procédé "naturel" d’en faire
y considérera comme distinguée la composante de y.
0 , il est naturel
par
retrouve le groupe
on
à
connexes
0
1,
=
est
n
groupe.
n
savoir celle que l’on obtient
ce
définit,
o
Cas particuliers s Pour
un
et
considérant
comme
n ~ 2 .
0
composition, à
espace des lacets de
vérifie les conditions du théorème 1 ’ ,
théorème.
"Géométriquement"
cela
signifie
deux moitiés d’un cube de dimension
que l’on
n ~
2 ,
peut
ce
échanger continûment
qui est
en
les
effet facile par
rotation.
3.- Le
système
Soient
àet
~~(1) -
est
appelé
local des groupes
yo
et
On
tube
Y1
deux
points
application
désignera
(bien entendu,
de
Y 9
de
I
par
et 03C6
dans
y..
Y
chemin
Yt étant fixé,
un
chemin
telle que
Un élément
joignant y o
~’ ~’ ( o) _ y
ft E F (Y, y )
exige que ft varie continûment au sens de
l’espace des ap p lications continues de In dans
on
convergece .compacte dans
). f~ et f~ sont dits entrée
la
Y
d’ homotopie.
et sortie du tube. On démontre que, le
la classe d’homotopie de
ne dépend que de celle
f1
de
et que l’on obtient ainsi
f
03C0n(Y , y1) .
pie
En outre cet
yt.
du chemin
système
structure de
On
o
système défini
au
y)
de
isomorphisme
isomorphisme ne dépend
un
que de la classe d’homoto-
ïTn(Y’
ainsi muni l’ensemble des
a
de groupes locaux
Y . Si
sur
sur
1,
n =
0
y)
on
d’une
retrouve le
1.
paragraphe
a
y) sont tous
particulier, si Y est connexe par arc, les
isomorphes. Dans la suite de ce paragraphe nous ferons l’hypothèse que Y
est connexe par arc. Dans ce cas, on sait (An 1, X-l) que le système local
est entièrement déterminé par l’homomorphisme de nl(y, y) dans
Aut(
y) ) , Si n=1 , cet homomorphisme n’est autre que la représentation adjointe.
En
.
’
.
Espace n-simple :
système
n-simple si le
est constant (ou simple-loc. cit. p.3) o
Y
espace
connexe
de groupes locaux TT
Il revient
(Y 9 y)
que 03C01(Y , y)
deux éléments de F
n (Y 9 y)
même de dire
au
ou encore
que
dire dans
une
est dit
arc
par
opère
y) ,
trivialement
homotopes au sens large (c’est-àhomotopie où le point marqué peut se déplacer) le sont aussi
strict.
au s ens
"1-simple"
laisse
un
généraliser
est abélien. Le théorème 1
équivalent
est donc
de la
se
suivante :
façon
Théorème 3.- L’espace d’un groupe topologique est n-simple.
(De même
que le théorème
f.(F~" ) =
large:
et
fi
e
(unité
il existe
f0
deux
fi
Autres
cas
applications
Y ). Supposons
cas on
Aut(i1 (Y))
de
1
dans
f
et
Y
sont
un
homotopes
au sens
de
sur
que la
homotopes
de
ln
au sens
dans
Y
strict, c.qof.d.
0 ,
est bien
telles que
fi
d’applications ft
point unique Yt. Posons s
.
les deux
de
famille continue
une
soit
et
fo
par Hu à
généralisé
.
du groupe
telles que
que
été
a
homogènes)
certains espaces
Soient
le théorème 3
1,
ou
représentation
=
de
~~ 1 (Y)
0 ,
car
dans
dans
est triviale!
Signalons enfin que, lorsque Y est simple en dimension n y les éléments
correspondent canoniquement aux classes d’applications de Sn dans Y:
Les démonstrations
l’Exposé
1.
se
’
.
font
en
utilisant de
façon répétée
le théorème 4 de
4.-
Compléments homologiques
.
0
Pour étudier les
rapports de l’ homotopie et
d’introduire 1’homologie cubique
fois commode
de dimension
singulier
dans Y , c’est-à-dire
variant entre
et
o
et à valeurs dans
1 ~3
n
(o ~:"
chaîne singulière
variables
Y Une
d
In
continue de
application
une
fonction continue de
une
effectivement de moins de
des chaînes
est
n
n)
i ~.
cubi-
singuliers, à coefficients dans un groupe
convient d’ identifier à o les "cubes aplatis", c’est-à-dire
G . On
dépendant
’
formelle de cubes
une somme
abélien
il est par-
l’homologie,
o
Un cube
que est
de
cubiques
définit
on
variables. Dans
n
opérateur
un
ce
G)
groupe
de dérivation de
degré
-1
par
la formule s
On
vérifie que
dod
=
ce
0 9
gie cubique à coefficients
groupes de cohomologieo
dans
qui permet de définir les groupes d’homoloGi H
G) . De la même façon, on a des
n
on démontre que les groupes ainsi obtenus sont
aux
d’homologie
groupes
canoniquement isomorphes
cohomologie construits
et de
avec
les
simplexes sin-
guliers.
Groupes d’Eilenberg
Soit
un
y
point
.
de
l’espace
(Y ~ y , G) (en abrégé
n,m
formé des combinaisons de cubes singu-
Y
.
o
Soit
C
) le sous-groupe de C n (Y 9 G)
n,m
liers de dimension n dont toutes les faces de dimension
C
quées
en
y
d’homologie
On
o
H
n,m
npm
aù
ce
( groupes d’Eilenberg)
et
m-l
sont
appli-
qui permet de définir les groupes
une
suite
..
d’homomorphismes
’
cano-
niques:
(définitions analogues
cohomologie)o
en
o
5.- Premiers rapports entre homotopie et homologie.
Théorème 4.- Il existe
y) . (si
sur
par
Hi
rendu
n
abélien).
o
=
isomorphisme canonique de
1 ~ on doit modifier l’énoncé
un
H
n,n
en
(Y~
y ,
remplaçant
Z)
TT.
Démonstration ? Tout élément
de
guliers
gues
est
une
classe de cubes sin-
cycles, leur bord étant
même classe d’homotopie sont homolo-
Ces cubes sont d’ailleurs des
Cn ~n .
donc
"dégénéré"
y)
de
et deux cubes de la
nul~
leur différence est le bord du cube de déformationo On
car
application
de
(construire
un
y)
cube
D’autre part,
dans
y q
Z)
convenable)o Cet homomorphisme
homomorphisme
on a un
est
qui
sera
désigné
y , Z)
évidemment
u.v =
C
déduit
une
homomorphisme
un
n,n (Y ,
faisant
de
en
par
u.
dans
éventuellement rendu abélien, défini en
correspondre à tout cube singulier sa classe dans Tf n et en prolongeant par linéarité. Admettant que cet
homomorphisme est nul sur les bords, on en déduit un homomorphisme de
dans
ce
que l’on
TI n
qui démontre
équations
Le
uv =
désignera
le théorème
(dans
le
1
1
façon convenable).
point que
des
somme
La
et
vu
démonstration
Théorème 5. -
On
=
nous avons
éléments
y ,~G~
a
v .
Lemme : Etant donné
la
On
par
un
de
en cours
singulier
ce
H
de
y) ==
m9n ~~(Y 1 9
définir dans
1 9 il
v.u
Hn ,n1
=
faut modifier les
°
démonstration peut s’énoncers
à. n+1
lemme est laissée à
Si ~ ; ~ , ( Y 9
dans
n =
définis par
du groupe
de
de
et
o
admis
cube
cas
1
dimensions de
ses
Cn+1,n
faces orientées est nulle.
l’imagination
.
du lecteur.
l’ homomorphisme canonique de
G~ est un isomorphisme suro
0 ,
y 9
opérateur d’homotopie qui sera en même
Cela démontrera le théorème, comme on sait~
temps un projecteur sur
Pour cela, et comme dans l’exposé IX , An 1 , il suffit de définir une déformation continue et héréditaire des cubes de
sur deux de
DéfiC
nissons donc une telle déformation, par récurrence sur m . Pour m -~
va
un
o
.
.
prenons la déformation
identique; pour m = n , nous choisissons une
déformation, ce qui est possible, car cela exprime justement la nullité.de
pour m ~~n+1 9 la déformation est déjà connue sur le bord, et il
suffit de la prolonger à l’intérieur du cube, ce qui est possible d’après le
nous
théorème 4 de 1-060
Corollaire 1 : Si
Z)
est
Y
isomorphe
est
au
connexe
par
arc
(c’est-à-dire
groupe de Poincaré de
Y
si TT
0 (Y~ ~
rendu abélien.
effet~ le théorème précédent montre que H~(Y~ est isomorphe à
rendue
Hi 1(Y , y) lequel d’après le théorème 4 est isomorphe à
abélien.
En
Un raisonnement tout
analogue
donnes
o) 9
’
2-07
Corollaire 2 : Le premier groupe
nul d’un espace est
(une
coefficients entiers
fois rendu
abélien)
d’homotopie non
groupe d’homologie à
au
isomorphe
corres-
pondant.
6.- Application
aux
1 s les théorèmes
n =
IT1(Sl)
précédents
(car
Z
=
l’on sait que
0
quelques résultats
Nous allons donner
Cas
sphères.
des
d’homotopie
groupes
il
en
fondamentaux
ne nous
S~
les groupes
qu’un résultat sur
groupe d’homologie et
une variété de groupe
donnent
est de même du 1er
abélien 9 puisque
est
sur
est
topologique).
On
Cas
verra
On
n~2~
~ 1 ~Sn) ~
La
quent,
dans
o .
o
a
que
=
Ce résultat peut
groupe de
entraîne le résultat
se
espace
en
question.
sur
les
revêtements, on
connexes
ment
de la
.
Ce
Or c’est bien le
résultat étant
La nullité de
que tpute
i.) 2 .
démontrer de bien des façons:
réunion de deux espaces simplement
0
pour
homogène auquel les résultats de Hu s’appliPoincaré est abélien, et le Corollaire 1 donné plus haut
un
Moyennant quelques résultats
connexe.
o
tout d’abord le résultat suivant 1
sphère étant
son
exposé ultérieur
un
obtenus
~.(Sn)
application
cas
d’intersection
qu’un
connexe
est
espace
simple-
sphère (hémisphères).
le Corollaire 2 donne les groupes suivants
pour
S1
de
montre
i ~’ n , peut aussi
Sn
se
s
.
démontrer si l’on sait
homotope à une application laissant échapper un pointa ce que l’on peut voir, soit par approximation simpliciale, soit par approximation différentiable.
Remarquons enfin
que la
dans
est
sphère étant n-simple,
le
résultat
TT (S~) = Z ~
entraîne la classification homotopique des applications d’une sphère dans ellemêmey résultat dû à Hopf, et sur lequel-on reviendra dans le prochain exposé.
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