Méthodes de base en algèbre linéaire

PCSI2
Des méthodes à connaître en algèbre linéaire
 Sous-espaces vectoriels : Soit E un -espace vectoriel et F une partie de E
 Comment montrer que F est un SEV de E ?
Méthode 1: On montre que
(1) 0EF
(2) F est stable par combinaison linéaire: , , x, yF, (x + y)F
Méthode 2: On détermine une famille F de vecteurs de E telle que F = Vect(F)
Méthode 3: On identifie une application linéaire f définie sur E telle que F = Kerf.
Remarque : Pour montrer qu’un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication externe est
un  - EV, on montre la plus souvent qu’il est un SEV d’un EV de référence.
 Comment montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires ?
Soit F et G deux SEV de E.
Méthode 1: On montre que
(1) FG = {0E}
et
(2) E = F+G
Méthode 2: On montre que tout élément de E s'écrit de manière unique comme somme
d'un élément de F et d'un élément de G.
Méthode 3: En dimension finie, si on dispose d'une base B1 et F et d'une base B2 de G, on
montre que B = (B1, B2) est une base de E
Méthode 4: En dimension finie, si dim F + dim G = dim E, il suffit de montrer que :
(1) FG = {0E}
ou
(2) E = F+ G
Méthode 5: On reconnaît que F et G sont les éléments caractéristiques d’un projecteur ou
d’une symétrie.
Remarque: Pour obtenir la décomposition d'un vecteur de E comme somme d'un élément de F et
d'un élément de G, on peut procéder par analyse-synthèse.
 Familles de vecteurs : Soit F = (e1, e2, ..., en) une famille de vecteurs de E.
 Comment montrer qu'une famille est libre?
Méthode 1 : On utilise la définition : Soit 1, 2,...n tels que 1e1 + 2e2 + ...+ nen = 0E
On montre que 1 = 2 = ...= n = 0
Méthode 2 : On raisonne par récurrence sur n
Méthode 3 : On raisonne par l’absurde en supposant que la famille est liée
Méthode 4 : On montre que le rang de la famille est égal à son cardinal.
Remarque : Dans les cas suivants, on pourra conclure directement
Si F = (e1) avec e1  0E alors F est libre.
Si F = (e1, e2) avec e1 et e2 non colinéaires alors F est libre.
Si F est une famille extraite d’une famille libre alors F est libre.
Si F est une famille échelonnée de moins de p vecteurs non nuls de
p
alors F est libre.
Si F est une famille de polynômes non nuls à degrés échelonnés alors F est libre dans [X].
Si E est de dimension p et si n = card(F) > p alors F est liée.
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 Comment montrer qu'une famille est génératrice de E ?
On montre que tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des éléments de F.
C’est-à-dire : xE, (x1,x2, …, xn)n, x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen
 Comment montrer que E est de dimension finie, comment déterminer la dimension ?
Méthode 1 : On trouve une famille génératrice finie de E puis une base B de E (voir plus
loin). On a alors dim E = card(B)
Méthode 2 : On montre que E est isomorphe à un EV de dimension finie n, par exemple à
n.
Remarque : Pour justifier que E est de dimension infinie, on peut raisonner par l’absurde ou
exhiber des familles libres de cardinal arbitrairement grand.
Pour déterminer la dimension d’un EV ou d’un SEV, on peut aussi penser à la formule de
Grassmann ou au théorème du rang.
 Comment montrer qu'une famille B = (e1, e2,…en) est une base ?
Méthode 1: On montre que B est libre et génératrice.
Méthode 2: On montre que, pour tout xE, x = x1e1 + x2e2 +. .. + xnen admet une unique
solution dans  n . Cela permet en plus de trouver les coordonnées de x dans la base B.
Méthode 3 : On remarque que B est la concaténation de deux bases de deux SEV
supplémentaires.
Méthode 4 : Si on sait que E est de dimension n, pour montrer que B = (e1, e2,…, en) est
une base de E, il suffit de montrer qu’elle est libre ou génératrice
Méthode 5 : Si E est de dimension n, on montre que le rang de B est égal à n.
Méthode 6 : Si E est de dimension n, on calcule le déterminant de B = (e1, e2,…, en) dans
une base quelconque de E qui doit être non nul
 Comment trouver une base d'un sev F de E ?
On cherche une famille génératrice de F, puis on se demande si elle est libre
Si la réponse est oui c'est une base de F.
Si la réponse est non alors l'un des vecteurs de la famille est CL des autres, on le supprime puis
on réexamine la liberté.
 Applications linéaires
Soit f une application, f:EF avec E et F deux  - EV.
 Comment montrer que f est linéaire?
 Soit ,  et x, yE, f(x + y) = ..............= f(x) + f(y)
 Attention: La phrase:"f est stable par combinaison linéaire" n'a aucun sens.
Seul un ensemble peut être stable pour une opération ou par une application.
Par exemple, Ker g est stable par f signifie, xKer g, f(x)Ker g ou encore f(Ker g)  Ker g.
 Comment obtenir la matrice d’une application linéaire dans des bases fixées.
Méthode 1 : Si E et F sont de dimension finie, on note B = (e1, e2, …, en) une base de E et
C une base de F. La matrice de f relativement aux bases B et C s’obtient en écrivant en
colonne les coordonnées des vecteurs f(e1), f(e2),…,f(en) dans la base C.
Méthode 2 : Si on connait déjà la matrice de f dans des bases de E et de F on utilise la
formule de changement de base
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 Comment déterminer Ker f ?
On résout dans E, f(x) = 0 F.
En dimension finie si A est la matrice représentative de f dans des bases B de E et C de F et si X
est la matrice colonne représentative de x dans la base B, on résout le système AX = 0
Si E est de dimension finie, on peut avoir la dim de Ker f par le théorème du rang.
 Comment déterminer Im f ?
Méthode 1: Imf = {f(x), xE} = ...........
Méthode 2: Si B = (e1,e2,...en) est une base de E alors Imf = Vect(f(e1),f(e2),...f(en)).
Méthode 3: Si on peut prouver que f est surjective alors Imf = F.
Si E est de dimension finie, on peut avoir la dim de Im f par le théorème du rang.
 Comment montrer que f est un endomorphisme ?
On montrer que f est linéaire et que E est stable par f c’est-à-dire :
xE, f(x)E ou encore Im f = f(E)  E
Si on dispose d’une base de E il suffit de montrer que les images des vecteurs de cette base
restent dans E.
 Attention: f(E) = E signifie que f est un endomorphisme surjectif ce qui n'est pas toujours
vrai.
 Comment travailler avec les itérées d’un endomorphisme ?
Soit f un endomorphisme de E.
On a : Ker f  Ker f² donc la suite des SEV (Ker fn) est croissante pour l’inclusion
On a Imf²  Im f donc la suite des SEV (Im fn) est décroissante pour l’inclusion
Pour expliciter fn, on peut déterminer f²(x), f3(x), puis proposer une conjecture à démontrer par
récurrence.
Si E est de dimension finie et si A est la matrice représentative de f dans une base fixée alors la
matrice de fn est An.
 Comment montrer que f est un isomorphisme ?
On montre que f est linéaire et bijective.
Méthode 1: On montre que, pour tout yF, f(x) = y admet une unique solution dans E (on
résout). Cela permet par ailleurs d'expliciter f-1.
Méthode 2: On montrer que Ker f = {0E} et Im f = F
Méthode 3: Si on dispose d'une base B de E, on montre que l'image de B par f est une
base de F.
Méthode 4: Si E et F sont de dimension finie n, il suffit de montrer que f est injective
(Ker f = {0E}) ou que f est surjective (Im f = F ou rg(f) = n)
Méthode 5: Si E et F sont de dimension finie n, on montre que la matrice représentative
A de f dans des bases fixées est inversible. On a aussi que A-1 est la matrice
représentative de f-1.
Méthode 6: Si E et F sont de dimension finie n, on montre que det(f)  0.
Remarque: Si Ker f contient un vecteur non nul alors f n'est pas injective donc f ne peut pas être
un isomorphisme
 Comment montrer que f est un automorphisme ?
On montre que f est un endomorphisme bijectif, on note fGL(E).
 Comment montrer que f est un projecteur ?
On montre que f est linéaire et que ff = f
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 Comment utiliser que f est un projecteur ?
On a principalement : Im f et Ker f sont supplémentaires dans E
La décomposition d’un vecteur de E est : xE, x = f(x) + (x – f(x))
f est donc la projection sur Im f parallèlement à Ker f
En dimension finie, la matrice de f dans une base adaptée à la somme directe est Jr avec r = rg(f)
Im f est l’espace des vecteurs invariants par f aussi xIm f ssi f(x) = x.
 Comment montrer que f est une symétrie ?
On montre que f est linéaire et que ff = IdE. f est donc un automorphisme et f-1 = f
 Comment utiliser que f est une symétrie ?
On a principalement : Ker (f – IdE) et Ker (f + IdE) sont supplémentaires dans E.
1
1
La décomposition d’une vecteur de E est : xE, x = (x + f(x)) +
(x – f(x))
2
2
f est donc la symétrie par rapport à Ker (f – IdE), parallèlement à Ker (f + IdE).
En dimension finie, la matrice de f dans une base adaptée à la somme directe est
diag(1,1,..,1, -1,..,-1)
 Notion de rang
 Comment déterminer le rang d’une famille de vecteurs ?
Méthode 1 : On détermine la dimension du SEV engendré par la famille
Méthode 2 : Si E est de dimension finie, on calcule le rang de la matrice de la famille dans
une base de E
 Comment déterminer le rang d’une matrice
Méthode 1 : On échelonne la matrice en faisant des OEL et/ou des OEC jusqu’à avoir une
matrice dont le rang est évident.
Méthode 2 : On détermine le rang de l’application linéaire canoniquement associée.
 Comment déterminer le rang d’une application linéaire
Soit f :E→F linéaire avec E de dimension finie
Méthode 1 : On détermine la dimension de Im f
Méthode 2 : On utilise le théorème du rang.
Méthode 3 : Si F est aussi de dimension finie, on détermine le rang d’une matrice
représentative de f.
 Calcul sur les matrices carrées de taille n
 Comment prouver qu’une matrice carrée est inversible
Méthode 1 : On montre que pour tout vecteur colonne B, le système AX = B admet une
unique solution dans n
Méthode 2 : On montre que rg(A) = n
Méthode 3 : On montre que det(A)  0
Méthode 4 : On montre que l’endomorphisme canoniquement associé est bijectif
Si A est triangulaire alors A est inversible ssi elle ne contient aucun zéro sur sa diagonale.
 Comment calculer l’inverse d’une matrice carrée
Méthode 1 : On résout le système AX = B, on a X = A-1B
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Méthode 2 : On utilise l’algorithme de Gauss Jordan (Attention il ne faut faire que des
OEL ou des OEC)
Méthode 4 : Utilisation d’un polynôme annulateur.
Exemple : Si A² + 3A - In = 0 alors A(A + 3In) = In donc A est inversible et A-1 = A + In
Méthode 5 : Si on note f l’endomorphisme canoniquement associé, on détermine f-1 et A-1
est la matrice de f-1.
 Comment calculer les puissances d’une matrice carrée.
Il y a des cas particuliers à connaître :
 Si A = diag (a1, a2, …, an) alors Ap = diag(a1p, a2p, …, anp)
 Si il existe p * tel que Ap = 0n et Ap-1  0n alors A est nilpotente d’ordre p et k ≥ p, Ak = 0n.
 J = (1)1 ≤ i, j ≤ n vérifie Jp = np-1J
Méthode 1 : On calcule A², A3 puis on conjecture une expression de Ap à montrer par
récurrence
Méthode 2 : On utilise la formule du binôme, en particulier si A est la somme d’une
matrice simple et d’une matrice nilpotente
Méthode 3 : Utilisation d’un polynôme annulateur.
Exemple : Si A² + 3A - In = 0, on divise Xp par X² + 3X – 1. Si le reste est R alors
Ap = R(A)
Méthode 4 : Si A est semblable à une matrice diagonale c’est-à-dire si il existe PGLn()
telle que A = PDP-1 alors An = PDnP-1.
 Calcul de déterminants de taille n
Calcul immédiat :
a b
 ad  bc

c d
 Si A est triangulaire alors det(A) =
n
a
i,i
i 1
 Des particularités de la matrice permettent de conclure que det(A) = 0.
par exemple : une ligne nulle, C3 = C1 + C2, ….
Sinon
Méthode 1 : On effectue des OEL ou des OEC pour triangulariser la matrice ou obtenir
une matrice de déterminant évident (souvent nul).
Méthode 2 : On effectue des OEL ou des OEC pour faire apparaître un maximum de
zéros sur une ligne ou sur une colonne puis on développe par rapport à cette ligne ou à
cette colonne.
Méthode 3 : En développant par rapport à une ligne ou à une colonne, on fait apparaître
une relation de récurrence sur n.
Méthode 4 : On reconnaît un déterminant connu (Vandermonde)
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