THÈSE pour obtenir le grade de Docteur de l`Université d`Avignon et

Université d’Avignon et des pays du Vaucluse
Laboratoire d’Analyse non Linéaire et Géométrie
THÈSE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université d’Avignon et des pays
du Vaucluse
Spécialité : Mathématiques
Titre:
ESPACE-TEMPS GLOBALEMENT
HYPERBOLIQUES CONFORMÉMENT
PLATS
présentée et soutenue publiquement
par
Clara ROSSI SALVEMINI
le 24/05/2012
Directeur de thèse :
Thierry BARBOT
Thèse soutenue au vu des rapports de
Francesco BONSANTE
Sorin DUMITRESCU
Jury
Marie-Claude ARNAUD-DELABRIÈRE Examinateur
Thierry BARBOT Directeur de thèse
Francesco BONSANTE Rapporteur
Virginie CHARETTE Examinateur
Sorin DUMITRESCU Rapporteur
Charles FRANCES Examinateur

ii

Remerciements
Je remercie avant tout mon directeur de thèse Thierry Barbot, pour la confiance
qu’il m’a accordé en acceptant de diriger cette thèse.
Pendant ces années c’est avec beaucoup de passion et d’enthousiasme qu’il a en-
cadré mon travail. Les nombreuses et enrichissantes conversations que j’ai eu avec
lui m’ont permis d’apprendre de très belles mathématiques. Je le remercie pour le
soutien et l’encouragement qu’il m’a donné dans les moments plus difficiles, pour
l’amitié qu’il m’a toujours accordé, pour la passion qu’il a su me transmettre et
pour la patience avec laquelle il m’a suivie dans la rédaction de cette thèse. Sa
rigueur et son sens esthétique m’ont beaucoup apporté et resteront un guide et
une référence pour mon travail futur.
Je remercie Sorin Dumitrescu et Francesco Bonsante pour avoir accepté d’être
rapporteurs de cette thèse. En particulier c’est grâce à Sorin Dumitrescu, qui
avait déjà dirigé mon stage de ma deuxième année de master, que j’ai connu mon
directeur de thèse. Je remercie Francesco Bonsante pour l’intérêt et l’attention
avec lesquels il a lu mon travail, et pour la gentillesse avec laquelle il a apporté
ses remarques. Ma reconnaissance est d’autant plus grande que ses travaux en
géométrie lorentzienne ont été pour moi un modèle important.
Je remercie Charles Frances pour avoir accepté de faire partie du jury de cette
thèse et pour les conversations utiles et intéressantes que j’ai pu avoir avec lui au
cours de ces années. Ses travaux mathématiques ont souvent été une référence et
une source d’inspiration pour mon travail.
Je remercie Marie-Claude Arnaud-Delabrière et Virginie Charette pour avoir
accepté de faire partie du jury de cette thèse. En particulier Marie-Claude a été
pour moi une référence dans la vie du laboratoire d’Avignon, je la remercie pour
son aide dans la didactique et son encouragement en général.
Je remercie tous les membres du Laboratoire d’Analyse non Linéaire et Géo-
métrie, leur gentillesse et leur disponibilité ont fait d’Avignon un endroit agréable
et conviviale où préparer une thèse. En particulier je tiens à remercier Mehdi et
Mohammed, mes deux compagnons de chemin, leur amitié et bonne humeur ont
iii

REMERCIEMENTS
été de la plus grande importance.
Un très très grand merci mes parents et mon frère pour m’avoir toujours
encouragé et soutenue pendant ces années. Sans leur affection profonde, leur écoute
et leur patience ces années aurait été bien plus difficiles.
Je remercie profondément aussi tous les amis proches et lointains qui ont été à
mes cotés et qui ont fait de ces années des années heureuses.
Je dédie les pages qui suivent à ma famille et à tous ces que j’aime.
iv REMERCIEMENTS

Table des matières
Remerciements ............................... iii
Tabledesmatières ............................. v
Introduction 1
1 Hyperbolicité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Exemples ............................... 5
3 Maximalité .............................. 7
4 Espace-temps conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5 Ombres ................................ 12
1 Espace-temps 15
1 Généralités sur les espace-temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Espace-temps modèle à courbure constante . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Espace de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Espace de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Espace anti-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Courbes causales, futur et passé d’un point . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Lemme de Gauss et voisinages convexes . . . . . . . . . . . 21
3.2 Courbes causales topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Courbes causales inextensibles . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Ensembles achronaux, acausaux, edgeless . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Principe de causalité et causalité forte . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1 La causalité en tant que relation d’ordre . . . . . . . . . . 33
5.2 Espaces causaux et topologie d’Alexandrov . . . . . . . . . 34
6 Espace-temps globalement hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1 Développement de Cauchy d’un sous-ensemble achronal . . 37
6.2 Hypersurfaces de Cauchy et Théorème de Geroch . . . . . 39
6.3 Exemples ........................... 42
7 Espace-temps statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 Espace-temps causalement continus
etdistinguants ............................ 46
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