1. Cours 1: Notions de logique.

1. Cours 1: Notions de logique.
1.1. Calcul propositionnel:
1.1.1. Notion de proposition:
On appelle proposition tout énoncé pouvant être vrai ou faux.
Exemples:
Je suis un être humain. (cet enoncé est vrai donc c’est une proposition)
Comment allez vous? (cet enoncé n’est ni vrai ni faux donc ce n’est pas une proposition)
11 = 1 et 1 + 1 = 1 (cet enoncé est faux donc c’est une proposition)
L’entier adivise 2(cet enoncé n’est ni vrai ni faux donc ce n’est pas une proposition)
Les propositions sont souvent notées P; Q; R; P 0; :::etc.
A partir d’une ou plusieurs propositions, on peut en construire d’autres. C’est
l’objet des paragraphes suivants.
1.1.2. La négation:
La négation d’une proposition Pest la propostion notée Pet qui est vraie si P
est fausse et qui est fausse si Pest vraie.
Exemple:
Si on note P: " Je suis un être humain."
Q: " ce tableau est blanc."
Alors P: " Je ne suis pas un être humain."
Q: " Ce tableau n’est pas blanc."
Attention, Q0n’est pas "Ce tableau est noir. "
Remarque: Pest aussi notée ePest se lit : Non P:
1.1.3. La conjonction:
La conjonction des deux propositions Pet Qest la proposition notée P^Qet qui
est vraie si Pet Qsont simultanément vraies et fausse dans les autres cas.
Exemple:
Si on note P: " Je suis un être humain."
Q: " Ce tableau est blanc."
P^Q: " Je suis un être humain. et ce tableau est blanc."(cette proposition est fausse)
P^Q: " Je suis un être humain. et ce tableau n’est pas blanc."(cette proposition est vraie)

1.1.4. La disjonction:
La disjonction des deux propositions Pet Qest la proposition notée P_Qet qui
est fausse si Pet Qsont simultanément fausses et vraie dans les autres cas.
Exemple:
Si on note P: " Je suis un être humain."
Q: " Ce tableau est blanc."
P_Q: " Je suis un être humain ou ce tableau est blanc."(cette proposition est vraie)
P_Q: " Je ne suis pas un être humain ou ce tableau est blanc."(cette proposition est fausse)
1.1.5. L’implication:
L’implication des deux propositions Ppuis Qest la proposition notée P)Qet
qui est fausse si Pest vraie et Qest fausse et vraie dans les autres cas.
Exemple:
Si on note P: " 3 = 7 4 "
Q: " 7 = 4 3 "
P)Q: " 3 = 7 4" implique "7 = 4 3" (cette proposition est fausse)
Q)P: "7 = 4 3" implique " 3 = 7 4"(cette proposition est vraie)
Remarque: P)Q:se lit aussi : Si Palors Q:
1.1.6. L’équivalence:
L’équivalence des deux propositions Pet Qest la proposition notée P,Qet
qui est vraie si Pet Qsont simultanéments vraies ou simultanément fausses et
fausse dans les autres cas.
Exemple:
Si on note P: " 3 = 7 4 "
Q: " 7 = 4 3 "
P,Q: " 3 = 7 4" equivalent a"7 = 4 3" (cette proposition est fausse)
Q,P: "7 6= 4 3"equivalent a" 3 = 7 4"(cette proposition est vraie)
Remarque: P,Q:se lit aussi : Psi et seulement si Q:
1.2. Calcul des prédicats:
1.2.1. Notion de prédicat:
On appelle prédicat tout énoncé dépendant d’une ou plusieurs variables et qui
devient une proposition quand on remplace les variables par des valeurs concretes.
2

Exemples:
L’entier adivise 2(cet enoncé est un prédicat)
Le réel xest supérieur à 0(cet enoncé est un prédicat)
La di¤érence des deux entiers net mest un multiple de 3:(cet enoncé est un prédicat)
Où est l’étudiant x?(cet enoncé n’est pas un prédicat)
Les prédicats sont souvent notées P(x); Q (x; y); R (z); P 0(x; y; z); :::etc.
A partir d’un ou plusieurs prédicats, on peut en construire d’autres en utilisant la
négation, la conjonction, la disjonction, l’implication et l’équivalence.
Exemples:
(x2= 1) )(x= 1) _(x=1)
[(x2N)^(x0)] )(x= 0)
jxj=jyj , [(x=y)_(x=y)]
1.2.2. Les quanti…cateurs:
Soit P(x)un prédicat et Aun ensemble non vide.
1) L’expression «Tout élement xde A, véri…e P(x)» s’écrit en abrégé:«8x2A; P (x)»
2) L’expression «Il existe au moins un élement xde Aqui véri…e P(x)» s’écrit en abrégé:
«9x2A; P (x)»
Exemples:
«8x2Z; x =x3» veut dire «Tout élément xde Z, véri…e x=x3» qui est fausse car 26= 23:
«9x2N; x 4>0» veut dire «Il existe au moins un élément xde N, qui véri…e x4>0»
qui est vraie car 54>0:
«9x2R; x2<0» veut dire « Au moins un élément xde R, véri…e x2<0» qui est fausse car
on ne peut pas trouver un réel xvéri…ant x2<0:
«8a2N;1divise a» veut dire « Tout élément ade Nvéri…e 1divise a» qui est vraie car
tous les entiers naturels sont divisibles par 1
9x2R; x < y: Cette expression est un prédicat Q(y):
Remarque:
1) 8s’appelle le quanti…cateur universel et 9s’appelle le quanti…cateur existentiel.
2) « 8x2A; P (x)» se lit « Pour tout xde A; P (x)» ou aussi « Quel que soit xde A; P (x)»
3) 8x2A; P (x)est 9x2A; P (x)
4) 9x2A; P (x)est 8x2A; P (x)
Exemles:
8x2Z; x =x3est 9x2Z; x 6=x3
9x2N; x 4>0est 8x2N; x 40
8y2Z;9x2R; x < y est 9y2Z;9x2R; x < y donc c’est 9y2Z;8x2R; x y
3

Propriétés:
Soient P(x); Q (x)et R(x)trois prédicats et Aun ensemble non vide. On a
les propriétés suivantes:
On écrit P(x),Q(x)si 8x2A; (P(x),Q(x))
1) P(x),P(x)
2) [P(x)^P(x)] ,P(x)et [P(x)_P(x)] ,P(x):
3) [P(x)^Q(x)] ,[Q(x)^P(x)] et [P(x)_Q(x)] ,[Q(x)_P(x)]
4) ([P(x)^Q(x)] ^R(x)) ,(P(x)^[Q(x)^R(x)])
et ([P(x)_Q(x)] _R(x)) ,(P(x)_[Q(x)_R(x)])
5) ([P(x)^Q(x)] _R(x)) ,([P(x)_R(x)] ^[Q(x)_R(x)])
et ([P(x)_Q(x)] ^R(x)) ,([P(x)^R(x)] _[Q(x)^R(x)])
6) P(x)^Q(x),P(x)_Q(x)
et P(x)_Q(x),P(x)^Q(x)(Lois de De Morgan).
7) (P(x))Q(x)) ,P(x)_Q(x)
8) P(x))Q(x),P(x)^Q(x)
9) (P(x))Q(x)) ,Q(x))P(x)
(Q(x))P(x)est appelée implication cotraposée de P(x))Q(x))
10) ([P(x))Q(x)] ^[Q(x))R(x)]) )[P(x))R(x)]
11) [P(x),Q(x)] ,([P(x))Q(x)] ^[Q(x))P(x)])
Les propriétés précédentes sont vraies aussi pour les propsitions.
Quand deux prédicats sont équivalents on peut remplacer l’un par l’autre. (La
même chose pour les propostions)
Remarques:
Soient Aet Bdeux ensembles et P(x; y)un prédicat à deux variables, alors
8y2B; P (x; y)et 9y2B; P (x; y)sont des prédicats à une seule variable donc
on peux écrire:
1) 8x2A; 8y2B; P (x; y)qui veut dire que tout xde Aet tout yde Bvéri…ent
ensemble P(x; y).
2) 9x2A; 9y2B; P (x; y)qui veut dire que un certain xde Aavec un certain
yde B, véri…ent ensemble P(x; y).
3) 8x2A; 9y2B; P (x; y)qui veut dire que tout xde Aa son yde B, qui
véri…ent ensemble P(x; y).
4) 9x2A; 8y2B; P (x; y)qui veut dire que un certain xde Ale même avec
tous les yde B, véri…ent ensemble P(x; y).
4

Attention, dans 4), xdoit être le même pour tous les y; par contre dans 3), y
peut changer suivant x:
Exemples:
9x2N;8y2R; x y(faux)
8x2N;9y2R; x y(vrai)
9x2N;8y2Z; x divise y(vrai)
9x2R;9y2R; x2=y(vrai)
8x2R;8y2R;(xy)2>0(faux)
1.3. Les grands types de raisonnement
1.3.1. Le raisonnement déductif
Pour montrer que la proposition Qest vraie il su¢ t que P)Qet Psoient vraies.
Ce raisonnement est basé sur le fait que P^(P)Q)implque Q.
Exemple:
Montrons que l’équation x2x+ 2012 = 0 n’a pas de solution réelle.
On sait que pour une equation de second degrée dans Ron a:
4<0)(l’eqution n’a pas de solutions réelle)
Soit l’equation x2x+ 2012 = 0;
On a 4<0est vraie donc l’equation n’a pas de solution réelle.
1.3.2. Le raisonnement par contraposée
Pour montrer que P)Qest vraie il su¢ t de montrer que sa contraposée Q)Pest vraie.
Ce raisonnement est basé sur le fait que P)Qest équivalente à Q)P.
Exemple:
Montrons que (l’entier a2est pair))(l’entier aest pair).
Il su¢ t de montrer que (l’entier an’est pas pair))(l’entier a2n’est pas pair).
En e¤et:
(l’entier an’est pas pair))(a= 2n+ 1) )(a2= 2 (2n2+ 2n) + 1) )(a2n’est pas pair)
donc l’implication initiale (l’entier a2est pair))(l’entier aest pair) est vraie.
1.3.3. Le raisonnement par l’absurde
Pour montrer que la proposition Qest vraie, on suppose que sa négation Qest
vraie et on montre que cette supposition implique une proposition fausse.
5