NOMBRES ENTIERS ET PGCD

NOMBRES ENTIERS ET PGCD
I – Notion de PGCD
1) Diviseurs communs
On considère a et b deux nombres entiers
Définition:
On dit qu’un nombre b divise un nombre a ou qu’un nombre a
est un multiple de b, lorsque le reste de la division euclidienne
de a par b est égal à 0.
Exemple : Quels sont les diviseurs de 24 ?
On sait que :
24 = 24 x 1 (le reste de la division euclidienne de 24 par 1 est 0)
24 = 12 x 2
24 = 8 x 3
24 = 6 x 4
Les diviseurs de 24 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24.
Définition :
Un diviseur commun à deux nombres entiers a et b est un
nombre entier positif qui divise a ET qui divise b aussi.
Remarque :
Le nombre 1 est toujours un diviseur commun aux nombres a
et b.
Exemple :
Déterminer les diviseurs communs des nombres 45 et 105.
105 = 1 x 105
45 = 1 x 45
105 = 3 x 35
45 = 3 x 15
105 = 5 x 21
45 = 5 x 9
105 = 7 x 15
Les diviseurs de 105 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 15 ; 21 ; 35 et 105.
Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45.
Les diviseurs communs à 45 et 105 sont : 1 ; 3 ; 5 et 15.
Définition :
Parmi les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b,
l’un d’entre eux est plus grand que tous les autres, on l’appelle
le Plus Grand Commun Diviseur ; on le note : PGCD(a ;b).
Exemple :
Le plus grand diviseur commun des nombres 45 et 105 est 15,
on le note : PGCD(45 ; 105) = 15
2) Propriétés et méthodes de calcul du PGCD
Exemples :
PGCD(15 ; 15) = ...
PGCD(15 ; 11) = PGCD(... ; ...)
3 est un diviseur de 15 donc PGCD(15 ; 3) = ...
Propriété :
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs.
PGCD(a ; a) = a.
PGCD(b ; a) = PGCD(a ; b).
Si b est un diviseur de a alors PGCD(a ; b) = b.
Propriété : algorithme des soustractions successives
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a>b
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b)
Exemple : Calculer le PGCD de 117 et 91
Je calcule le PGCD de 117 et 91 à l'aide de l'algorithme des
soustractions successives :
117 – 91 = 26 On calcule la différence entre les deux nombres
On calcule la différence entre le plus petit des deux
91 – 26 = 65
termes et la différence obtenue à l'étape précédente
65 – 26 = 39
39 – 26 = 13
On recommence jusqu'à obtenir une différence nulle.
26 – 13 = 13
La dernière différence non nulle est le PGCD recherché.
13 – 13 = 0
donc PGCD(117 ; 91) = 13.
Propriété : algorithme d'Euclide
a et b désignent deux nombres entiers strictement positifs avec a>b
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où r désigne le reste de la division
euclidienne de a par b
Exemple : Calculer le PGCD de 117 et 91
Je calcule le PGCD de 117 et 91, à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
117 91
26 1
On pose la division euclidienne des deux nombres
91 26
13 3
On pose la division euclidienne du diviseur précedent
par le dernier reste obtenu à l'étape précedente
26 13
0 2
On recommence jusqu'à obtenir un reste nul.
Le dernier reste non nul est le PGCD recherché.
Le dernier reste non nul est 13 donc PGCD(117 ; 91) = 13.
II – Nombres premiers entre eux
Définition:
On dit que deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux
lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
Exemple :
Démontrer que les nombres 35 et 26 sont premiers entre eux.
J'utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD des
nombres 35 et 26 :
35 = 1 × 26 + 9
26 = 2 × 9 + 8
9=1×8+1
8=8×1+0
donc PGCD (35 ; 26) = 1, on en déduit que les nombres 35 et 26
sont premiers entre eux.
III – Fractions irréductibles
Définition:
a
Une fraction
(avec b non nul) est dite irréductible lorsque
b
les nombres a et b sont premiers entre eux.
Exemple :
D'après l'exemple précédent, les nombres 35 et 26 sont
premiers entre eux donc la fraction 35 est irréductible.
26
Propriété : admise
Si une fraction est simplifiée par le PGCD de son numérateur et
de son dénominateur alors cette fraction est irréductible.
Méthode :
Pour rendre une fraction irréductible, on calcule le PGCD du
numérateur et du dénominateur puis on simplifie la fraction
par ce PGCD, la fraction obtenue est irréductible.
Exemple :
1232
Écrire la fraction
sous la forme d'une fraction irréductible.
1771
J'utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD des
nombres 1232 et 1771 :
1771 = 1 x 1232 + 539
1232 = 2 x 539 + 154
539 = 3 x 154 + 77
157 = 2 x 77 + 0
donc PGCD (1232 ; 1771 ) = 77
1232 1232:77 16
=
=
1771 1771:77 23
Remarque :
Lorsque l'on peut utiliser les critères de divisibilité, il n'est pas
utile de calculer le PGCD.