NOM : IE18A probabilités 1STI2D Ex1. Une entreprise produit en

NOM : ___________________________
IE18A probabilités
1STI2D
Ex1. Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à
l’industrie. Le cahier des charges établit qu’un pourcentage de 2 % de pièces non
conformes dans la production est acceptable.
On prélève au hasard un échantillon de 80 pièces dans la production. La production est
suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler le prélèvement à un tirage avec
remise. On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon ainsi obtenu, associe
le nombre de pièces de l’échantillon non conformes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Soit l’événement S : « la pièce choisie n’est pas conforme. »
À chaque tirage, on a deux issues ; l’expérience est une répétition de
80 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;
la variable aléatoire X qui dénombre les pièces non conformes suit la
loi binomiale de paramètres = 80 et = 2 % = 0,02
2. À l’aide de la table des probabilités cumulées ci-contre déterminer :
a) le plus petit entier tel que
≤
> 0,025 ; =0
b) le plus petit entier tel que
≤
≥ 0,975 ; = 4
3. En déduire un intervalle de fluctuation, à environ 95 %, de la fréquence
du nombre de pièces non conformes dans un échantillon de 80 pièces.
=
;
=
;
= [0 ; 0,05 ]
Ex2. L’examen du code de la route est composé de 40 questions numérotées de 1 à 40.
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est bonne.
Un candidat est déclaré reçu à l’examen s’il donne au moins 37 bonnes réponses.
Un candidat, totalement ignorant du code de la route décide de tenter sa chance en
donnant pour chacune des 40 questions, une réponse choisie au hasard parmi les quatre
réponses proposées. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes
réponses données par le candidat.
Les réponses seront arrondies à 10$% près.
1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? En donner ses paramètres.
&
loi binomiale de paramètres = 40 ; = = 0,25
2. Quel est le nombre moyen de bonnes réponses données par le candidat ?
espérance = '
=
= 40 × 0,25 = 10
nombre moyen de bonnes réponses = 10
3. Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins une bonne réponse.
+
≥1 =1−
= 0 = 1 − * , ≈ 0,99999
4. Déterminer la probabilité que le candidat ait au plus 20 bonnes réponses.
≤ 20 ≈ 0,99983
5. Déterminer la probabilité que le candidat ait plus de 5 bonnes réponses.
>5 =1−
≤ 5 ≈ 0,957
6. Variance = V(X)=
1 − = 40 × 0,25 × 1 − 0,25 = 7,5
NOM : ___________________________
IE18B probabilités
1STI2D
Ex1. Le concours AVENIR pour intégrer une école d’ingénieur, est composé de 20 questions. Pour chaque
question, cinq réponses sont proposées dont une seule est bonne.
Un candidat est déclaré reçu au concours s’il a plus de 16 bonnes réponses.
Un candidat, mal préparé, décide de tenter sa chance en donnant pour chacune des 20 questions, une
réponse choisie au hasard parmi les cinq réponses proposées. Ses réponses sont indépendantes les unes
des autres.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses données par le candidat. Les
réponses seront arrondies à 10$+ près.
1. Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par la variable aléatoire X.
&
loi binomiale de paramètres = 20 ; = = 0,2
%
2. Quel est le nombre moyen de bonnes réponses données par le candidat ?
espérance = '
=
= 20 × 0,2 = 4
nombre moyen de bonnes réponses = 4
3. Déterminer la probabilité que le candidat donne au moins une bonne réponse.
≥1 =1−
= 0 = 1 − 0,2/ ≈ 1
4. Déterminer la probabilité que le candidat ait au plus 5 bonnes réponses.
≤ 5 ≈ 0,804
5. Déterminer la probabilité que le candidat ait plus de 3 bonnes réponses.
>3 =1−
≤ 3 ≈ 0,589
6. Variance = V(X)=
1 − = 20 × 0,2 × 1 − 0,2 = 3,2
Ex3. Une usine produit en grande quantité des moules destinées à l’industrie.
Le cahier des charges établit qu’un pourcentage de 4 % de moules non
conformes dans la production est acceptable.
On prélève au hasard un échantillon de 50 moules dans la production.
La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler
le prélèvement à un tirage avec remise.
La production de chaque moule est indépendante de celle des précédents.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout échantillon ainsi
obtenu, associe le nombre de moules de l’échantillon non conformes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Soit l’événement S : « la pièce choisie n’est pas conforme. »
À chaque tirage, on a deux issues ; l’expérience est une répétition de
50 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ;
la variable aléatoire X qui dénombre les moules non conformes suit la
loi binomiale de paramètres = 50 et = 4 % = 0,04
2. À l’aide de la table des probabilités cumulées ci-contre déterminer :
a) le plus petit entier tel que
≤
> 0,025 ; = 0
b) le plus petit entier tel que
≤
≥ 0,975 ; = 5
3. En déduire un intervalle de fluctuation, à environ 95 %, de la fréquence
du nombre de moules non conformes dans un échantillon de 50.
=
;
=
%
;
%
%
= [0 ; 0,1 ]