LES NOMBRES PREMIERS, 14 octobre 2005 - IMJ-PRG

LES NOMBRES PREMIERS, 14 octobre 2005
(Marc Hindry – Universit´e Paris VII)
1. Th´eor`emes et probl`emes ´el´ementaires
“les nombres premiers fascinants”
2. Cryptographie et nouveaux probl`emes
“les nombres premiers utilis´es”
3. La recherche contemporaine
“les nombres premiers en math´ematique aujourd’hui”
Quelques rep`eres chronologiques :
Euclide (Euκλ´ιδης) (∼III`eme si`ecle)
Eratosth`ene (Eρατoσθ´νης) (∼284 `a ∼192)
Mersenne (1588–1648)
Fermat (1601–1665)
Goldbach (1690–1764)
Euler (1707–1783)
Gauss (1777–1855)
Dirichlet (1805–1850)
Riemann (1826–1866)
Tchebychev (1821-1894)
Hadamard (1865–1963)
La Vall´ee-Poussin (1866–1962)

NOMBRES PREMIERS (1)
D´efinition. Un nombre entier naturel est premier s’il
poss`ede exactement deux diviseurs : 1 et lui-mˆeme.
Remarque. Par d´efinition, on consid`ere donc que 1
n’est pas un nombre premier.
Le principal int´erˆet des nombres premiers provient de
ce qu’on appelle souvent le th´eor`eme fondamental de
l’arithm´etique :
Th´eor`eme. Tout entier naturel n≥2peut s’´ecrire
comme produit de nombres premiers.
De plus cette d´ecomposition est unique `a l’ordre pr`es.
Exemples. 12 = 2 ×2×3 = 22×3, 2,3,5,7,11 sont
premiers, 861000 = 23×3×53×7×41. Formellement
on peut donc ´ecrire tout entier n≥2 sous la forme :
n=pm1
1pm2 2. . . pmk
k,avec pipremiers et mi≥1.
D´efinition. Deux nombres entiers sont premiers entre
eux si leur seul diviseur commun est 1.
On peut utiliser le th´eor`eme ci-dessus pour montrer
par exemple que, si le produit de deux entiers premiers
entre eux est un carr´e, alors chacun des deux est un
carr´e.

Le crible d’Eratosth`ene (Eρατoσθ´νης)
12345678910
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Parmi ces 25 premiers inf´erieurs `a 100 il y a :
5 premiers se terminant par “1”
7 premiers se terminant par “3”
6 premiers se terminant par “7”
5 premiers se terminant par “9”

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
Parmi ces 46 premiers inf´erieurs `a 200 il y a :
10 premiers se terminant par “1”
12 premiers se terminant par “3”
12 premiers se terminant par “7”
10 premiers se terminant par “9”
QUESTION : Est-il vrai qu’il y a “autant” de pre-
miers se terminant par 1, 3, 7 ou 9 ?

R´ EPARTITION DES NOMBRES PREMIERS
Th´eor`eme. (Euclide) L’ensemble des nombres pre-
miers est infini.
Preuve. On montre que, ´etant donn´ee une collection
finie de nombres premiers, on peut en fabriquer un
nouveau. . .
Soit donc p1,p2,p3,. . . ,pkdes nombres premiers,
construisons le nombre d’Euclide
N= (p1p2p3. . . pk)+1
Choisissons pun des facteurs premiers de N, alors p
est diff´erent de tous les pi.
Exemple Les plus petits nombres premiers sont 2, 3,
5, 7, 11, 13, 17. A partir de 2,3,5 on fabrique 31 qui
est premier, A partir de 2,3,5,7 on fabrique 211 qui est
premier, `a partir de 2, 3, 5, 7, 11 on fabrique 2311 qui
est premier, `a partir de 2, 3, 5, 7, 11, 13 on fabrique
30031 = 59 ×509.
QUESTION: D´efinissons
π(X) = le nombre de premiers inf´erieurs `a X.
Comment croˆıt la fonction π(X) ?