Seconde 208 TD : « Valeurs remarquables de sinus et cosinus » Page 1 sur 2 1) Définition : Le cercle trigonométrique On munit le plan d’un repère orthonormé ( O, i , j ) . On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1. Etant donné un angle θ , on lui associe le point M du cercle trigonométrique tel que l’angle orienté i; OM = θ . Enfin, on note ( xM ; yM ) , les coordonnées du ( ) point M dans le repère ( O, i , j ) . cos ( θ ) = xM . sin ( θ ) = yM On définit alors le sinus et le cosinus de l’angle θ par : 2) Valeurs approchée mesurées avec la calculatrice Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée au centième : Angle en degré Cosinus Sinus 0 30 45 60 90 120 135 150 Angle en degré Cosinus Sinus 210 225 240 270 300 315 330 360 180 3) Valeurs exactes a) Angle 45° Quand θ = 45° , dans le triangle rectangle OAM , l’angle AMO vaut Le triangle OAM est donc rectangle mais aussi .. en A. On sait donc que : AM = OA et OM = 1 Avec le théorème de Pythagore, on montre alors que OA = Comme OB = AM = OA , on en déduit que cos 45° = . et sin 45° = b) Angle 30° vaut Quand θ = 30° , l’angle MOJ et le triangle OMJ est . Comme la droite ( MB ) est perpendiculaire à l’axe ( OJ ) le point B est donc le pied de la issue de M et donc il est situé au [OJ ] . Comme OJ = 1 , on en déduit que OB = Comme OM = 1 et AM = OB = , en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OAM , on montre que OA = On en déduit que : cos30° = et sin 30° = de c) Angle 60° Quand θ = 60° , le triangle OMI est . Comme la droite ( MA ) est perpendiculaire à l’axe ( OI ) le point A est donc le pied issue de M et donc il est situé au de la de [OI ] . Comme OI = 1 , on en déduit que OA = Comme OM = 1 et OA = , en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OIM , on montre que AM = Comme OB = AM , on en déduit que : cos 60° = et sin 60° = d) Valeurs remarquables à connaitre (S et STI2D) Compléter alors avec les valeurs exactes obtenues. Angle en degré 0 30 45 60 90 Cosinus Sinus e) Bilan En utilisant les symétries de la figure, compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes de sinus et cosinus : Angle en degré 0 30 45 60 90 120 135 150 210 225 240 270 300 315 330 360 45 60 90 120 135 150 180 Cosinus Sinus Angle en degré Cosinus Sinus f) Longueurs des arcs (angles en radians) Angle en degré Longueur de l’arc OM 0 30 180