Seconde 208 TD : « Valeurs remarquables de sinus et cosinus »

Seconde
208 TD : « Valeurs remarquables de sinus et cosinus »
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1) Définition : Le cercle trigonométrique
On munit le plan d’un repère orthonormé
(
)
, ,
O i j
.
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.
Etant donné un angle
θ
, on lui associe le point M du cercle trigonométrique tel
que l’angle orienté
(
)
;i OM
= θ
. Enfin, on note
(
)
;
M M
x y
, les coordonnées du
point M dans le repère
(
)
, ,
O i j
.
On définit alors le sinus et le cosinus de l’angle
θ
par :
(
)
( )
cos
sin
M
M
x
y
θ =
θ =
.
2) Valeurs approchée mesurées avec la calculatrice
Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée au centième :
Angle en degré 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Cosinus
Sinus
Angle en degré 210 225 240 270 300 315 330 360
Cosinus
Sinus
3) Valeurs exactes
a) Angle
45
°
Quand
45
θ = °
, dans le triangle rectangle OAM , l’angle
vaut .
AMO .
Le triangle OAM est donc rectangle mais aussi en A.
On sait donc que :
et 1
AM OA OM
= =
Avec le théorème de Pythagore, on montre alors que
OA
=
.
Comme
OB AM OA
= =
, on en déduit que
cos 45
° =
et
sin 45
° =
b) Angle
30
°
Quand
30
θ = °
, l’angle vaut MOJ et le triangle OMJ est .
Comme la droite
(
)
MB
est perpendiculaire à l’axe
(
)
OJ
le point B est donc le
pied de la issue de M et donc il est situé au de
[ ]
OJ
. Comme
1
OJ
=
, on en déduit que OB =
Comme
1
OM
=
et AM OB= = , en utilisant le théorème de Pythagore
dans le triangle
OAM
, on montre que
OA
=
On en déduit que :
cos30
° =
et
sin 30
° =

c) Angle
60
°
Quand
60
θ = °
, le triangle OMI est .
Comme la droite
(
)
MA
est perpendiculaire à l’axe
(
)
OI
le point A est donc le pied
de la issue de M et donc il est situé au de
[ ]
OI
.
Comme
1
OI
=
, on en déduit que OA =
Comme
1
OM
=
et OA = , en utilisant le théorème de Pythagore
dans le triangle
OIM
, on montre que
AM
=
Comme
OB AM
=
, on en déduit que :
cos60
° =
et
sin 60
° =
d) Valeurs remarquables à connaitre (S et STI2D)
Compléter alors avec les valeurs exactes obtenues.
Angle en degré 0 30 45 60 90
Cosinus
Sinus
e) Bilan
En utilisant les symétries de la figure, compléter le tableau suivant avec les valeurs exactes de sinus et
cosinus :
Angle en degré 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Cosinus
Sinus
Angle en degré 210 225 240 270 300 315 330 360
Cosinus
Sinus
f) Longueurs des arcs (angles en radians)
Angle en degré 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Longueur de
l’arc
OM