TS4 Corrigé du DS 5 04/02/13 Exercice 1 : QCM (5 pts) Pour

TS4 Corrigé du DS 5 04/02/13
Exercice 1 : QCM (5 pts) Pour chacune des questions : une au moins des réponses est exacte et le barême est :
1 pt si seules toutes les bonnes réponses sont cochées, 0 dans tous les autres cas.
Soit
f
la fonction définie sur ℝ par :
f(x)= ex
ex−x
. On note Cf sa représentation graphique.
1)
lim
x→+∞
f(x)=...
□ 0 ■ 1 □
−1
□ +∞ □ –∞
2) □
f
admet un minimum sur ℝ ■
f
est décroissante sur [1;+∞[
□ Cf admet au point
(1 ; f(1))
une tangente parallèle à la droite d'équation
y=x
.
■ La courbe Cf admet une asymptote en +∞■ La courbe Cf admet une asymptote en –∞
3) ■ La droite d'équation
y=x+1
est tangente à Cf au point d'abscisse 0
■ La droite d'équation
y=0
est asymptote à Cf
□ La droite d'équation
y=0
est tangente à Cf
■ La droite d'équation
y=e
e−1
est tangente à Cf
4) ■ L'équation
f(x)=e
n'admet pas de solution réelle
□ L'équation f(x)=1 admet exactement deux solutions dans ℝ
□
f(x)⩾1
pour tout réel
x
appartenant à ]–∞;1]
■ L'ensemble des solutions de l'inéquation
f(x)⩾0
est ℝ
5)
f(x)
peut s'écrire aussi … ■
1+x
ex−x
■
1
1−xe−x
□
e2x
e2x−x2
□
−1+x
ex−x
Exercice 2 (6 pts) : Un lecteur d'une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies. Cette
bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies. 40% des auteurs de romans policiers sont
français et 70% des auteurs de biographies sont français.
L'ensemble des issues est formé des 200 livres disponibles, il est muni de la loi uniforme puisque le lecteur
choisit au hasard parmi les 200 ouvrages.
Appelons R, B et F les événements « le livre choisi est un roman policier », « le livre choisi est une
biographie » et « l'auteur du livre choisi est français ».
1)
P(R)= 150
200 =3 4=0,75
.
2)
PR(F)
=40%=0,4.
3)
P(F∩R)=PR(F)P(R)=0,4×3
4=3 10 =0,3
.
4) Avec la formule des probabilités totales :
P(F)=P(F∩R)+P(F∩B)=P(F∩R)+PB(F)P(B)= 3
10+0,7×50 200=3 10 +7 10×1 4=19 40=0,475.
5)
PF(R)= P(F∩R)
P(F)=3 10 ×40 19 =12 19 ≈0,632
.
6) Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque, ses choix successifs sont effectués au hasard et sont
indépendants. Il choisit à chaque fois un roman policier avec la même probabilité
P(R)=0,75
, nous sommes
donc en présence d'un schéma de Bernoulli, et la variable aléatoire
X
comptant le nombre de romans
policiers parmi les 20 livres choisis suit une loi binomiale de paramètres 20 et 0,75. La probabilité qu'il ait
choisi au moins un roman policier est alors :
P(X⩾1)=1−P(X<1)=1−P(X=0)=1−
(
20
0
)
0,750(1−0,75)20=1−0,2520
.
Exercice 3 (9 pts)
1) Soit
(un)n⩾1
la suite définie par :
u1=1
2
et :
∀n
∈ℕ*,
un+1=1
6un+1 3
.
a) Soit la suite
(vn)
définie sur ℕ* par :
vn=un−2
5
. Pour tout entier strictement positif
n
, on a :
vn+1=un+1−2
5=1 6un+1 3−2 5=1 6un−1 15 =1 6
(
un−6
15
)
=1
6
(
un−2
5
)
=1
6vn
.
La suite
v
est donc géométrique de raison
1
6
.

b) Comme
v1=u1−2
5=1 2−2 5=1 10
, on obtient avec le a) :
∀n
∈ℕ*,
vn=1
10
(
1
6
)
n−1
.
Par conséquent, comme pour tout entier
n⩾1
:
un=vn+2
5
on obtient :
∀n
∈ℕ*,
un=1
10
(
1
6
)
n−1
+2
5
.
2) On considère deux dés, notés
A
et
B
. Le dé
A
comporte 3 faces rouges et 3 faces blanches. Le dé
B
comporte 4 faces rouges et 2 faces blanches. On choisit un dé au hasard et on le lance : si on obtient rouge, on
garde le même dé, si on obtient blanc, on change de dé. Puis on relance le dé et ainsi de suite. On désigne par
-
An
l'événement « on utilise le dé
A
au
n−ième
lancer » ;
-
Rn
l'événement « on obtient rouge au
n−ième
lancer » ;
-
an
et
rn
les probabilités respectives de
An
et
Rn
.
a) On choisit au hasard l'un des deux dés au premier lancer, on a donc :
a1=P(A1)= 1
2
.
b) Avec la formule des probabilités totales on a :
P(R1)=P(R1∩A1)+P(R1∩̄ A1)=PA1(R1)P(A1)+P̄
A1(R1)P(̄
A1)= 3
6×1 2+4 6×1 2=7 12
.
c) Pour tout
n⩾1
:
rn=P(Rn)=P(Rn∩An)+P(Rn∩̄ An)=PAn(Rn)P(An)+P̄
An(Rn)P(̄
An)= 3
6×an+4 6×(1−an)=−1 6an+2 3
d) Pour tout
n⩾1
, si on utilise le dé
A
au
n+1−ème
lancer, alors : soit on a utilisé le dé
A
au
n−ième
lancer en obtenant rouge, soit on a utilisé le dé
B
au
n−ième
lancer en obtenant blanc. Autrement dit :
An+1=(An∩Rn)∪( ̄ An∩̄ Rn)
.
e) D'après le d), on a pour tout
n⩾1
:
an+1=P(An+1)=P(An∩Rn)+P(̄ An∩̄ Rn)
puisque
An∩Rn
et
̄
An∩̄ Rn
sont disjoints.
Donc :
an+1=PAn(Rn)P(An)+P̄
An(̄
Rn)P(̄ An)= 1
2×an+2 6×(1−an)= 1 6an+1 3
.
Les suites
u
et
a
vérifient la même relation de récurrence et leurs premiers termes sont identiques, elles
sont donc égales. Par conséquent :
∀n
1,
an=1
10
(
1
6
)
n−1
+2
5
f) Avec le c) et le e) on obtient pour tout entier
n⩾1:
rn=− 1
6
(
1
10
(
1
6
)
n−1
+2
5
)
+2
3=− 1 10
(
1
6
)
n
−1
15+2 3=− 1 10
(
1
6
)
n
+3
5
.
Comme
−1<1
6<1
, la suite de terme général
(
1
6
)
n
tend vers 0, donc, par produit et somme de limites, la
suite
(rn)
converge vers
3
5
.