Brèves notes de cours

Introduction ` a la logique
27 ao ˆ ut 2015
1 Introduction
Qu’est-ce qu’une preuve math´ ematique ? Si l’on se donne des axiomes
de base, que peut-on prouver ` a l’aide de ces axiomes ? Peut-on trouver
un ensemble d’axiomes qui permettent de prouver tous les th´ eor` emes des
math´ ematiques ? Il est naturel de commencer par la sous-question : Peut-on
trouver un ensemble d’axiomes qui permettent de prouver tous les th´ eor` e-
mes de l’arithm´ etique. Ceci nous am` ene ` a d’autres questions de base. Qu’est-
ce qu’un ´ enonc´ e math´ ematique ?
Avant de se mettre ` a d´ efinir ce qu’est un ´ enonc´ e math´ ematique, et par
l` a, on veut dire un ´ enonc´ e qui a un contenu math´ ematique, on peut s’int´ e-
resser ` a la pure d´ eduction logique : on se donne des ´ enonc´ es (ou proposi-
tions) qui peuvent ˆ etre, soit justes, soit faux, et on s’int´ eresse ` a´ etablir cette
v´ eracit´ e ou fausset´ e` a partir de r` egles de base. Dans le langage courant, nos
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enonc´ es sont des phrases. ` A partir d’´ enonc´ es de base, on peut consruire
des ´ enonc´ es plus complexes en utilisant les op´ erations ∧(ET), ∨(OU) et ∼
(NON), aussi not´ e¬dans d’autres r´ ef´ erences. ` A partir de ces op´ erations de
base, on pourra d´ efinir d’autres op´ erations comme l’implication, →(IM-
PLIQUE), et l’´ equivalence, ↔(´ EQUIVALENT). Cette partie de la logique
s’appelle le calcul propositionnel.
On traitera le calcul propositionnel de deux fac¸ons. D’un cˆ ot´ e on pourra
utiliser des tables de v´ erit´ e pour v´ erifier si un ´ enonc´ e est une tautologie,
c’est-` a-dire qu’il est toujours vrai, quelles que soient les valeurs de v´ erit´ e
que l’on donne aux variables propositionnelles. C’est le point de vue s´eman-
tique. De l’autre cˆ ot´ e, on se donnera une infinit´ e d’axiomes de base qui se-
ront des tautologies, et on s’int´ eressera ` a l’ensemble des formules que l’on
pourra d´ eduire de ces axiomes en utilisant la r` egle du modus ponens : ces for-
mules seront appel´ ees th´eor`emes du syst` eme formel. C’est le point de vue
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syntaxique. On montrera que les deux points de vue se rejoignent, et que les
tautologies sont exactement les th´ eor` emes du syst` eme formel.
Tout cela plafonne tr` es vite si on ne met pas de contenu math´ ematique
dans ces propositions. Faisons le parall` ele entre une proposition et une
phrase. La phrase a un sens lorsqu’elle est ´ ecrite dans un langage. Dans un
langage, on a des mots de base et des r` egles pour les agencer de mani` ere ` a
faire des phrases. On voudra, de mˆ eme, d´ efinir un langage math´ematique,
dont les phrases seront appel´ ees formules bien form´ees (abbr´ eviation for-
mules bf), parce que conformes ` a la grammaire du langage. Les ´ el´ ements de
base seront des constantes et des variables et on pourra les combiner en uti-
lisant des symboles de fonctions et de relations, aussi appel´ ees pr´edicats. On
verra qu’une fonction est un cas particulier de pr´ edicat et on parlera donc
de calcul des pr´edicats. On pourra ´ egalement utiliser les quantificateurs : le
quantificateur universel ∀(POUR TOUT), et le quantificateur existentiel ∃
(IL EXISTE). On parle de logique du premier ordre quand les quantificateurs
ne peuvent ˆ etre appliqu´ es qu’aux variables et pas aux pr´ edicats. Les grands
r´ esultats de la logique concernent la logique du premier ordre.
Comme pr´ ec´ edemment, on traitera le calcul des pr´ edicats de deux points
de vue. Dans le point de vue s´ emantique, on interpr´ etera les symboles du
langages dans des mod` eles ou interpr´ etations, et on s’int´ eressera aux for-
mules qui seront vraies dans toute interpr´ etation.
Du point de vue syntaxique, on voudra d´ efinir la notion de preuve
dans ce langage. Pour cela on se donnera des axiomes de base qui com-
prennent les axiomes de base du langage propositionnelle et deux r` egles
de d´ eduction : le modus ponens et la g´en´eralisation. Les formules seront di-
vis´ ees en deux groupes : celles qui contiennent des variables libres, comme
x=2 , et celles dont toutes les variables sont pr´
ec´ ed´ ees d’un quantifica-
teur (ou variables li´ees), comme ∀x(x=0∨x=1). Dans le deuxi` eme
cas, il est naturel de se demander si la formule est vraie ou fausse, et ceci
d´ ependra de l’interpr´ etation que l’on fera de la formule. Une formule bf
dont toutes les variables sont li´ ees est un th´ eor` eme du langage si elle peut
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etre obtenue ` a partir des axiomes de base et des r` egles de d´ eduction du lan-
gage. On fera le lien entre les formules qui sont v´ erifi´ ees dans nos mod` eles
et les th´ eor` emes de notre langage. Le th´ eor` eme d’ad´ equation nous dira que
ce sont les mˆ emes ` a condition de regarder tous les mod` eles du langage.
On construira ensuite des th´ eories du premier ordre en ajoutant de
nouveaux axiomes qui ne seront vrais que dans certains contextes. Ainsi,
(∀x)(∀y)((x=y)→(x=y)) est un axiome logique, alors que (∀x)(∀y)(x·
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y=y·x)est vrai dans N, mais pas dans l’ensemble des matrices n×n
`
a coefficients r´ eels. On pourra le prendre comme axiome de la th´ eorie de
l’arithm´ etique.
On ´ etudiera quelques th´ eories du premier ordre. Un pr´ edicat tr` es im-
portant sera l’´ egalit´ e, pour lequel on introduit des axiomes. Les exemples
de th´ eorie du premier ordre que nous consid´ ererons seront toutes des th´ eo-
ries avec ´ egalit´ e : la th´ eorie des groupes, l’arithm´ etique de Peano, la th´ eorie
des ensembles.
On terminera en ´ enonc¸ant et expliquant le th´ eor` eme d’incompl´ etude
de G¨ odel qui affirme qu’il est impossible de trouver un syst` eme complet
d’axiomes pour la th´ eorie de l’arithm´ etique et on expliquera bri` evement
l’id´ ee de la preuve.
2 Calcul propositionnel informel
Dans ce contexte, on consid` ere des propositions que l’on notera A, B, C, . . . .
Par exemple, la proposition Apourrait ˆ etre la proposition 1+1=2. Une
proposition donn´ ee est vraie V(Tdans le livre) ou fausse F. Lorsqu’on veut
mentionner une proposition arbitraire, on utilisera les lettres p, q, r, . . . , de
la mˆ eme mani` ere qu’on utilise par exemple la lettre xpour d´ esigner une va-
riable qui peut prendre comme valeur un nombre quelconque. Les lettres
p, q, r, . . . sont appel´ ees variables propositionnelles. Ces variables peuvent
prendre deux valeurs {V, F}appel´ ees valeurs de v´erit´e.
`
A partir de propositions, on peut construire de nouvelles propositions
en it´ erant les r` egles de construction suivantes :
– La n´egation d’une proposition Aest la proposition ∼A. Elle est vraie
si et seulement si Aest fausse.
– La conjonction de deux propositions Aet Best la proposition A∧B
(on lit Aet B). Elle est vraie si et seulement si Aet Bsont simul-
tan´ ement vraies.
– La disjonction de deux propositions Aet Best la proposition A∨B
(on lit Aou B). Elle est vraie si et seulement si au moins une des
propositions Aet Best vraie.
– Si Aet Bsont deux propositions, on construit la proposition A→B
(on lit Aimplique B, ou encore si A, alors B). Elle est vraie d` es
que Best vraie ou Aest fausse.
– Si Aet Bsont deux propositions, on construit la proposition A↔B
(on lit A´ equivalent ` aB). Elle est vraie si et seulement si Aet B
sont simultan´ ement vraies et simultan´ ement fausses.
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Ces nouvelles propositions sont des propositions compos´ees. En appliquant
de mani` ere it´ erative ces r` egles ` a des variables propositionnelles, on construi-
ra des formules propositionnelles. On les notera A,B,C, etc.
2.1 Fonctions de v´erit´e et tables de v´erit´e
On peut associer une fonction de v´erit´e ` a une formule construite ` a par-
tir des r` egles pr´ ec´ edentes. Ces fonctions de v´ erit´ e seront not´ ees respecti-
vement f∼ ,f∧,f∨,f→,f↔. La premi` ere fonction f∼est une fonction d’une
variable, alors que les autres sont des fonctions de deux variables. Les va-
riables ne peuvent prendre que les deux valeurs Vet F. Donc, on donne les
valeurs de la fonction dans une table, appel´ ee table de v´erit´e.
Table de v´erit´e de f∼ .
p∼p
V F
F V
Tables de v´erit´e de f∧,f∨,f→,f↔.
p q p ∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p →q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p ↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
D´ EFINITION 2.1 1. Une formule propositionnelle est une tautologie si sa
fonction de v´erit´e ne prend que la valeur V.
2. Une formule propositionnelle est une contradiction si sa fonction de v´erit´e
ne prend que la valeur F.
D´ EFINITION 2.2 1. Si Aet Bsont deux formules propositionnelles, on dit que
Aimplique logiquement Bsi (A→B)est une tautologie.
2. Si Aet Bsont deux formules propositionnelles, on dit que Aest logique-
ment ´ equivalent ` aBsi (A↔B)est une tautologie.
2.2 R`egles de manipulation et de substitution
Elles sont r´ esum´ ees dans le th´ eor` eme suivant.
TH´ EOR ` EME 2.3 1. Si Aet A→Bsont des tautologies, alors Best une tau-
tologie.
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2. Soit Aest une formule propositionnelle dans laquelle des variables propo-
sitionnelles p1, . . . , pnapparaissent et soient A1,...,Andes formules pro-
positionnelles. Si Aest une tautologie, alors la formule propositionnelle B
obtenue de Aen rempla¸cant chaque occurrence de pipar Aiest aussi une
tautologie.
3. Pour toutes formules propositionnelles Aet B,(∼(A∧B)) est logiquement
´equivalent `a ((∼A)∨(∼B)), et (∼(A∨B)) est logiquement ´equivalent `a
(∼(A)∧(∼B)).
4. Si B1est une formule propositionnelle obtenue de la formule propositionnelle
A1en substituant la formule propositionnelle B`a quelques occurrences de
Adans A1et si Best logiquement ´equivalent `a A, alors B1est logiquement
´equivalent `a A1.
5. Soit Aune formule propositionnelle ne contenant que les connecteurs ∼,
∧et ∨(on dit que Aest restreinte). Soit A∗la formule propositionnelle
obtenue de Aen ´echangeant ∧et ∨et en changeant chaque variable propo-
sitionnelle par sa n´egation. Alors, A∗est logiquement ´equivalente `a ∼A.
6. Soient A1,...,Andes formules propositionnelles. Alors, (Wn
i=1(∼Ai)) est
logiquement ´equivalente `a (∼(Vn
i=1Ai)). Aussi, (Vn i=1(∼Ai)) est logique-
ment ´equivalente `a (∼(Wn
i=1Ai)).
2.3 Formes normales
D´ EFINITION 2.4 Une formule propositionnelle ne contenant que les connecteurs
∼,∧et ∨est appel´ee formule propositionnelle restreinte.
TH´ EOR ` EME 2.5 Toute fonction de v´erit´e d´efinie sur un ensemble de nvariables
propositionnelles p1,...,pnest la fonction de v´erit´e f:{V, F}n→{V, F}d’une
formule propositionnelle.
TH´ EOR ` EME 2.6 Toute formule propositionnelle contenant des variables proposi-
tionnelles p1,...,pnet qui n’est pas une contradiction est logiquement ´equivalente
`a une formule propositionnelle de la forme (Wm
i=1(Vn j=1Qij)), o `u chaque Qij est,
soit pj, soit ∼pj. Cette forme est appel´ee forme normale disjonctive.
COROLLAIRE 2.7 Toute formule propositionnelle contenant des variables propo-
sitionnelles p1,...,pnet qui n’est pas une tautologie est logiquement ´equivalente
`a une formule propositionnelle de la forme (Vm
i=1(Wn j=1Qij)), o `u chaque Qij est,
soit pj, soit ∼pj. Cette forme est appel´ee forme normale conjonctive.
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