Programme de colle de la semaine n°2

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°2
Questions de cours
Question n°1
Définition d’un nombre complexe inversible et de l’in-
verse d’un tel (preuve de l’unicité de l’inverse d’un
nombre complexe inversible) ; inversibilité et inverse
d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; cal-
cul de l’inverse de z:=−2+5i.
Question n°2
Définition et interprétation géométrique du conjugué
d’un nombre complexe ; propriétés de la conjugaison
complexe (énoncé, preuve des propriétés liées à la mul-
tiplication, à l’inverse, au quotient); calculer la forme
algébrique de z:=3+7i
1−2i.
Question n°3
Pour tout z∈C, Re(z)≤|z|(preuve) ; inégalité triangulaire
(énoncé et preuve de l’inégalité de droite) ; cas d’égalité
dans l’inégalité de droite (énoncé) ; si Mest un point du
plan situé sur le cercle de centre Ω(−3+3i) et de rayon 2,
alors 3p2−2≤OM ≤3p2+2 (preuve).
Question n°4
Relation fonctionnelle pour les nombres eiθ, où θ∈R
(énoncé) ; formules d’addition pour cos et sin (énoncé
et preuve) ; transformation d’un produit en somme pour
cos (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonc-
tion f:R→R;x7→cos2(x)cos(5x).
Question n°5
Formules d’Euler (énoncé et preuve) ; angle moitié : fac-
torisation de ei a ±ei b où aet bsont réels (énoncé et
preuve) ; calcul de Re¡1
1−z¢pour z∈U\{1}.
Nombres complexes et trigonométrie
•Existence et unicité de la forme algébrique d’un
nombre complexe.
•Définitions de la partie réelle et de la partie imagi-
naire d’un nombre complexe.
•Définition d’un nombre complexe imaginaire pur.
•Caractérisation des nombres réels (resp. imagi-
naires purs) parmi les nombres complexes via la
partie imaginaire (resp. la partie réelle).
•Point du plan associé à un nombre complexe, af-
fixe d’un point du plan, identification de Cavec le
plan usuel.
•Définitions et propriétés de l’addition et de la mul-
tiplication dans C.
•Définition d’un nombre complexe inversible et de
l’inverse d’un tel/
•Un nombre complexe non nul est inversible et ex-
pression de la forme algébrique d’un tel.
•Cest intègre.
•Définition et interprétation géométrique du
conjugué d’un nombre complexe.
•Caractérisation des nombres réels (resp. des
nombres imaginaires purs) parmi les nombres
complexes via la conjugaison.
•Propriétés de la conjugaison complexe.
•Affixe d’un vecteur, affixe d’un bipoint, vecteur as-
socié à un nombre complexe.
•Définition et interprétation géométrique du mo-
dule d’un nombre complexe.
•Équation complexe d’un cercle (resp. d’un disque
fermé).
•Lien entre module et conjugué.
•Multiplicativité du module, module de l’inverse
d’un inversible, module d’un quotient.
•Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité.
•Définition géométrique du revêtement ρdu cercle
unité Cpar la droite réelle R.
•Propriétés de l’application ρ(e.g. condition né-
cessaire et suffisante pour que deux réels aient la
même image par ρ).
•Définitions du cosinus et du sinus d’un nombre
réel.
•Relation de Pythagore liant cosinus et sinus.
•Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
•Définitions des fonctions cosinus et sinus, pro-
priétés de parité, 2π-périodicité.
•Effet de quelques transformations affines sur cos
et sin.
•Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
•Équations et inéquations trigonométriques.
•Définition de l’ensemble Udes nombres com-
plexes de module 1 et image de Udans la plan.
•Propriétés de l’ensemble U(e.g. stabilité par mul-
tiplication).
•Tout z∈Us’écrit d’une unique manière sous la
forme eiθ:=cos(θ)+isin(θ) où θ∈]−π,π].
•Cas d’égalité de deux nombres de la forme eiθ, où
θ∈R.
•Propriétés des nombres eiθ, où θ∈R: module,
conjugué, inversibilité et inverse, relation fonc-
tionnelle (admise).
•Formules d’Euler.
•Formules d’addition (resp. de duplication) pour
cos et sin.
•Transformation d’un produit en somme pour cos
et sin et application au calcul de primitives.
•Angle moitié : factorisation de ei a ±eib , où aet b
sont réels.
•Transformation d’une somme en produit pour co-
sinus et sinus.
•Définition de la fonction tangente et notation Dtan
pour son ensemble de définition.
•Visualisation de tan(x) grâce au cercle trigonomé-
trique, pour x∈Dtan.
•Valeurs remarquables de tangente.
•La fonction tangente est impaire et π-périodique.
•Formules d’addition pour tangente.