Programme de colle de la semaine n°2

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Programme de colle de la semaine n°2
Questions de cours
Question n°1
Définition d’un nombre complexe inversible et de l’inverse d’un tel (preuve de l’unicité de l’inverse d’un
nombre complexe inversible) ; inversibilité et inverse
d’un nombre complexe non nul (énoncé et preuve) ; calcul de l’inverse de z := −2 + 5i .
Question n°2
Définition et interprétation géométrique du conjugué
d’un nombre complexe ; propriétés de la conjugaison
complexe (énoncé, preuve des propriétés liées à la multiplication, à l’inverse, au quotient) ; calculer la forme
algébrique de z := 3+7i
1−2i .
Question n°3
Pour tout z ∈ C, Re(z) ≤ |z| (preuve) ; inégalité triangulaire
(énoncé et preuve de l’inégalité de droite) ; cas d’égalité
dans l’inégalité de droite (énoncé) ; si M est un point du
plan situé
p centre Ω(−3 + 3i ) et de rayon 2,
p sur le cercle de
alors 3 2 − 2 ≤ OM ≤ 3 2 + 2 (preuve).
Question n°4
Relation fonctionnelle pour les nombres e iθ , où θ ∈ R
(énoncé) ; formules d’addition pour cos et sin (énoncé
et preuve) ; transformation d’un produit en somme pour
cos (énoncé et preuve) ; calcul d’une primitive de la fonction f : R → R ; x 7→ cos2 (x) cos(5x).
Question n°5
Formules d’Euler (énoncé et preuve) ; angle moitié : factorisation de e i a ± e ib
¡ 1où¢ a et b sont réels (énoncé et
preuve) ; calcul de Re 1−z
pour z ∈ U \ {1}.
Nombres complexes et trigonométrie
• Existence et unicité de la forme algébrique d’un
nombre complexe.
• Définitions de la partie réelle et de la partie imaginaire d’un nombre complexe.
• Définition d’un nombre complexe imaginaire pur.
• Caractérisation des nombres réels (resp. imaginaires purs) parmi les nombres complexes via la
partie imaginaire (resp. la partie réelle).
• Point du plan associé à un nombre complexe, affixe d’un point du plan, identification de C avec le
plan usuel.
• Définitions et propriétés de l’addition et de la multiplication dans C.
• Définition d’un nombre complexe inversible et de
l’inverse d’un tel/
• Un nombre complexe non nul est inversible et expression de la forme algébrique d’un tel.
• C est intègre.
• Définition et interprétation géométrique du
conjugué d’un nombre complexe.
• Caractérisation des nombres réels (resp. des
nombres imaginaires purs) parmi les nombres
complexes via la conjugaison.
• Propriétés de la conjugaison complexe.
• Affixe d’un vecteur, affixe d’un bipoint, vecteur associé à un nombre complexe.
• Définition et interprétation géométrique du module d’un nombre complexe.
• Équation complexe d’un cercle (resp. d’un disque
fermé).
• Lien entre module et conjugué.
• Multiplicativité du module, module de l’inverse
d’un inversible, module d’un quotient.
• Inégalité(s) triangulaire(s) et cas d’égalité.
• Définition géométrique du revêtement ρ du cercle
unité C par la droite réelle R.
• Propriétés de l’application ρ (e.g. condition nécessaire et suffisante pour que deux réels aient la
même image par ρ).
• Définitions du cosinus et du sinus d’un nombre
réel.
• Relation de Pythagore liant cosinus et sinus.
• Valeurs remarquables de cosinus et sinus.
• Définitions des fonctions cosinus et sinus, propriétés de parité, 2π-périodicité.
• Effet de quelques transformations affines sur cos
et sin.
• Cas d’égalité de deux cosinus (resp. de deux sinus).
• Équations et inéquations trigonométriques.
• Définition de l’ensemble U des nombres complexes de module 1 et image de U dans la plan.
• Propriétés de l’ensemble U (e.g. stabilité par multiplication).
• Tout z ∈ U s’écrit d’une unique manière sous la
forme e iθ := cos(θ) + i sin(θ) où θ ∈] − π, π].
• Cas d’égalité de deux nombres de la forme e iθ , où
θ ∈ R.
• Propriétés des nombres e iθ , où θ ∈ R : module,
conjugué, inversibilité et inverse, relation fonctionnelle (admise).
• Formules d’Euler.
• Formules d’addition (resp. de duplication) pour
cos et sin.
• Transformation d’un produit en somme pour cos
et sin et application au calcul de primitives.
• Angle moitié : factorisation de e i a ± e ib , où a et b
sont réels.
• Transformation d’une somme en produit pour cosinus et sinus.
• Définition de la fonction tangente et notation Dtan
pour son ensemble de définition.
• Visualisation de tan(x) grâce au cercle trigonométrique, pour x ∈ Dtan .
• Valeurs remarquables de tangente.
• La fonction tangente est impaire et π-périodique.
• Formules d’addition pour tangente.