Stage de pré-rentrée PCSI 2014 - 2015

Stage de pré-rentrée
PCSI
2014 - 2015
I. Fonctions.
1) a) Faire une étude complète de la fonction f dénie par f (x) =
2
.
ex − 1
b) Tracer l'allure de la courbe représentative de f ainsi que ses éventuelles asymptotes déterminées dans l'étude
précédente.
2) a) Mêmes questions avec la fonction g dénie par g(x) = ln
1−x
1+x
b) Montrer que l'équation g(x) = −1 admet une unique solution sur [0, 1[.
3) Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
3
3x + 1
2
1
b) g(x) =
(3x2 + 1)7
a) f (x) =
c) h(x) = 2 + sin(x)
d) u(x) = v(5x − 4) où v est une fonction dérivable.
p
II. Trigonométrie.
1) Tracer un cercle trigonométrique et interpréter géométriquement sur ce cercle le cosinus, le sinus, la tangente et la
cotangente d'un angle θ donné.
2) Indiquer dans un tableau les valeurs remarquables du cosinus, du sinus et de la tangente de certains réels.
3) Soit k ∈ Z et θ ∈ R.
a) Exprimer en fonction de cos(θ) ou sin(θ) le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente de l'angle θ + π .
b) Que peut-on en déduire concernant le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente de l'angle θ + kπ avec k ∈ Z ?
c) Exprimer en fonction de cos(θ) ou sin(θ) le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente de l'angle
de même pour l'angle
π
− θ.
2
π
+ θ. En faire
2
4) a) Rappeler les 4 formules d'addition du sinus et du cosinus ainsi que les formules de duplication.
π
.
8
√
c) Résoudre l'équation d'inconnue x ∈ [0, 2π[ : cos(x) − 3 sin(x) = 1
b) Calculer la valeur exacte du cosinus et du sinus de
III. Suites.
1
2
1) On considère la suite (un ) dénie pour tout n ∈ N par : u0 = 2 et un+1 = un + 3.
a)
b)
c)
d)
Calculer u1 , u2 et u3 .
Soit (vn ) la suite dénie pour tout n ∈ N par : vn = un − 6. Montrer que la suite (vn ) est géométrique.
Déterminer le terme général de la suite (vn ) et en déduire celui de (un ).
Calculer la somme S des 10 premiers termes de la suite (un ).
2) a) Démontrer la formule :
n
X
i=1
i=
n(n + 1)
.
2
b) Déterminer la somme des carrés des n premiers entiers consécutifs.
c) Déterminer la somme des cubes des n premiers entiers consécutifs.
IV. Nombres complexes.
9 − 4i
.
2+i
√
√ √
1+i 3
2) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique : −2i, 1 − i 3, 3 + 3i et √
.
3+i
3) a) Pour quelles valeurs de λ ∈ R, le nombre complexe z = (λ + i)(λ + 5 − i(λ − 7)) est-il réel ?
1) Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : (3 + 2i)(1 − i) − (2 + i)2 , (1 + i)5 et
b) Pour quelles valeurs de n ∈ N, le nombre complexe (1 + i)n est-il réel ?
4) Résoudre les équations suivantes sur C :
a) 2z 2 − 5z + 7 = 0
b) 2iz − z + 4 − i = z − i
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis
c) 2z + (3 + i)z = 4 − i