2013 Cours 3ème - Chapitre II PGCD, fractions irréductibles I Rappels sur les diviseurs et multiples d’un nombre entier naturel Soient a et k sont deux entiers naturels tels que k ≠ 0. Définition 1 : On dit que k est un diviseur de a lorsque a est un entier naturel. k Remarque : On dit aussi que a est un multiple de k ou encore que a est divisible par k. Exemples : 1 8 - 1 8 0 2 2 6 - 2 4 2 4 2 est un diviseur de 18. On peut aussi écrire 18 = 2 × 9. 9 est un autre diviseur de 18. 9 6 4 n’est pas un diviseur de 26. Le reste de la division euclidienne de 26 par 4 n’est pas nul. Définition 2 : Si deux entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k, on dit que k est un diviseur commun de a et b. Exemples : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2 donc 12 est un diviseur commun de 24 et 36. 36 = 8 × 4,5 et 24 = 8 × 3 donc 8 n’est pas un diviseur commun de 36 et 24. Remarque : 1 est un diviseur commun de tous les nombres entiers. II PGCD – Recherche de PGCD 1°) Définition Définition 3 : Le plus grand des diviseurs communs à deux entiers s’appelle le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de ces deux entiers. Exemple : Déterminer le PGCD de 24 et 36 : Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24. Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18 et 36. Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Donc 12 est donc le PGCD de 24 et 36. On note : PGCD (24 ; 36) = PGCD (36 ; 24) = 12. M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 1 2013 Cours 3ème - Chapitre II Remarque: Cette méthode est souvent trop longue et fastidieuse, c'est pourquoi , on va mettre en place une nouvelle méthode de recherche de PGCD. Cas particulier : Soit a un entier non nul Si b est un diviseur de a, alors PGCD (a ; b) = b Exemple : 13 est un diviseur de 65, donc PGCD (13 ; 65) = 13. PGCD (a ; 1) = 1 PGCD (a ; a) = a 2°) Algorithmes de recherche d’un PGCD a) Méthode des soustractions successives Propriété 1 : Si k est un diviseur commun aux entiers a et b avec a > b, alors k est aussi un diviseur de a – b et de a + b. Exemple : 65 et 26 ont 13 pour diviseur commun. D’après la propriété, on a : 65 – 26 = 39 et 65 + 26 = 91 sont aussi divisibles par 13. On déduit de la propriété précédente qu’un diviseur de a et de b est aussi un diviseur de a et de a – b, en particulier le PGCD de a et b est aussi le PGCD de a et a – b. Propriété 2 : Pour a > b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b) Cette propriété permet de trouver le PGCD de deux entiers par soustractions successives. Exemple : Rechercher le PGCD de 57 et 95 PGCD (95 ; 57) = PGCD (57 ; 38) car 95 – 57 = 38 PGCD (57 ; 38) = PGCD (38 ; 19) car 57 – 38 = 19 PGCD (38; 19) = PGCD (19; 19) car 38 – 19 = 19 Le PGCD de 57 et 95 est 19. b) Algorithme d’Euclide Propriété 3 : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a), alors : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Exemple : Calcul du PGCD de 1 078 et 322 avec l’algorithme d’Euclide. 1 078 = 3 × 322 + 112 322 = 2 × 112 + 98 112 = 1 × 98 + 14 98 = 7 × 14 + 0 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 2 2013 Cours 3ème - Chapitre II L’algorithme s’arrête lorsqu’on trouve un reste nul. Alors le PGCD de a et b est le dernier reste non nul trouvé. Donc ici, le PGCD de 1 078 et 322 est 14. On a bien : PGCD (1 078 ; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD (112 ; 98) = PGCD (98 ; 14) = 14. III Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles 1°) Nombres premiers entre eux Définition 4 : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Leur seul diviseur commun est donc 1. Exemples : 26 et 49 ont pour seul diviseur commun 1, ils sont donc premiers entre eux. 18 et 45 sont divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux. 2°) Fractions irréductibles Définition 5 : Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, on dit que cette fraction est irréductible. Remarque : Cela signifie que l’on ne peut plus la simplifier. 14 est une fraction irréductible. 5 Exemple : 14 et 5 sont premiers entre eux, donc Exemple : Le PGCD de 24 et 36 est 12. 24 2 × 12 2 24 En simplifiant la fraction = . par 12, on obtient : = 36 36 3 × 12 3 2 La fraction est irréductible. 3 M. LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 3