PGCD

Cours 3ème - Chapitre II
M.
LAMPSON, Collège Jean Renoir à Montier-en-Der 1
2013
PGCD, fractions irréductibles
I Rappels sur les diviseurs et multiples d’un nombre entier naturel
Soient a et k sont deux entiers naturels tels que k ≠ 0.
Définition 1 : On dit que k est un diviseur de a lorsque
k
a
est un entier naturel.
Remarque : On dit aussi que a est un multiple de k ou encore que a est divisible par k.
Exemples : 2 est un diviseur de 18. On peut aussi écrire 18 = 2 × 9.
9 est un autre diviseur de 18.
4 n’est pas un diviseur de 26.
Le reste de la division euclidienne de 26 par 4
n’est pas nul.
Définition 2 : Si deux entiers naturels a et b sont divisibles par un même entier naturel k,
on dit que k est un diviseur commun de a et b.
Exemples : 36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2 donc 12 est un diviseur commun de 24 et 36.
36 = 8 × 4,5 et 24 = 8 × 3 donc 8 n’est pas un diviseur commun de 36 et 24.
Remarque : 1 est un diviseur commun de tous les nombres entiers.
II PGCD – Recherche de PGCD
1°) Définition
Définition 3 : Le plus grand des diviseurs communs à deux entiers s’appelle le PGCD
(Plus Grand Commun Diviseur) de ces deux entiers.
Exemple : Déterminer le PGCD de 24 et 36 :
 Les diviseurs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
 Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18 et 36.
 Les diviseurs communs de 24 et 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
 Donc 12 est donc le PGCD de 24 et 36.
On note : PGCD (24 ; 36) = PGCD (36 ; 24) = 12.
8 1 2
9
8 1 - 0
6 2 4
6
4 2 - 2

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Remarque: Cette méthode est souvent trop longue et fastidieuse, c'est pourquoi , on va mettre
en place une nouvelle méthode de recherche de PGCD.
Cas particulier : Soit a un entier non nul
 Si b est un diviseur de a, alors PGCD (a ; b) = b
Exemple : 13 est un diviseur de 65, donc PGCD (13 ; 65) = 13.
 PGCD (a ; 1) = 1
 PGCD (a ; a) = a
2°) Algorithmes de recherche d’un PGCD
a) Méthode des soustractions successives
Propriété 1 : Si k est un diviseur commun aux entiers a et b avec a > b, alors k est aussi
un diviseur de a – b et de a + b.
Exemple : 65 et 26 ont 13 pour diviseur commun.
D’après la propriété, on a : 65 – 26 = 39 et 65 + 26 = 91 sont aussi
divisibles par 13.
On déduit de la propriété précédente qu’un diviseur de a et de b est aussi un diviseur de a et de
a – b, en particulier le PGCD de a et b est aussi le PGCD de a et a – b.
Propriété 2 : Pour a > b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b)
Cette propriété permet de trouver le PGCD de deux entiers par soustractions successives.
Exemple : Rechercher le PGCD de 57 et 95
 PGCD (95 ; 57) = PGCD (57 ; 38) car 95 – 57 = 38
 PGCD (57 ; 38) = PGCD (38 ; 19) car 57 – 38 = 19 Le PGCD de 57 et 95 est 19.
 PGCD (38; 19) = PGCD (19; 19) car 38 – 19 = 19
b) Algorithme d’Euclide
Propriété 3 : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b < a), alors :
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Exemple : Calcul du PGCD de 1 078 et 322 avec l’algorithme d’Euclide.
1 078 = 3 × 322 + 112
322 = 2 × 112 + 98
112 = 1 × 98 + 14
98 = 7 × 14 + 0

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L’algorithme s’arrête lorsqu’on trouve un reste nul. Alors le PGCD de a et b est le dernier reste
non nul trouvé. Donc ici, le PGCD de 1 078 et 322 est 14.
On a bien : PGCD (1 078 ; 322) = PGCD (322 ; 112) = PGCD (112 ; 98) = PGCD (98 ; 14) = 14.
III Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
1°) Nombres premiers entre eux
Définition 4 : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD
est égal à 1. Leur seul diviseur commun est donc 1.
Exemples :
 26 et 49 ont pour seul diviseur commun 1, ils sont donc premiers entre eux.
 18 et 45 sont divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
2°) Fractions irréductibles
Définition 5 : Lorsque le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers
entre eux, on dit que cette fraction est irréductible.
Remarque : Cela signifie que l’on ne peut plus la simplifier.
Exemple : 14 et 5 sont premiers entre eux, donc 14
5 est une fraction irréductible.
Exemple : Le PGCD de 24 et 36 est 12.
En simplifiant la fraction 24
36 par 12, on obtient :
3
2
12
3
122
36
24 =
×
×
= .
La fraction 2
3 est irréductible.