Trigonométrie

Trigonométrie
Chapitre n°9
I.
Repérage sur le cercle trigonométrique
1. Cercle trigonométrique
Définition :
Soit (𝑂; 𝐼, 𝐽) un repère orthonormé du plan.
On appelle cercle trigonométrique 𝒞 le cercle de centre 𝑂, de rayon 1,
orienté dans le sens indiqué par la flèche, appelé sens direct.
Remarque : le sens direct est le sens inverse des
aiguilles d’une montre et le sens indirect
celui des aiguilles d’une montre.
Propriété : La longueur du cercle trigonométrique est
égale à 2𝜋.
2. Enroulement sur la droite des réels
On considère 𝒞 le cercle trigonométrique. On trace la droite Δ tangente au cercle 𝒞 en 𝐼 et on munit
cette droite du repère (𝐼; 𝐴) où 𝐼𝐴 = 𝑂𝐼 = 1. Cette droite graduée représente l’ensemble ℝ et est
appelée la droite des réels.
On « enroule cette droite des réels » autour du cercle 𝒞 : la demi-droite [𝐼𝐴) s’enroule dans le sens
direct et la demi-droite [𝐼𝐴′ ) s’enroule dans le sens indirect.
Tout point 𝑁 d’abscisse 𝑥 de la droite des réels vient se
superposer sur un point 𝑀 du cercle 𝒞 : on dit que 𝐌 est le

point image du réel 𝐱 et que l’arc de cercle IM a pour
longueur 𝒙.
𝜋
Par exemple, le point 𝐽 est le point image de 2 , le point 𝐼′ est
𝜋
l’image de 𝜋, le point 𝐽′ est l’image de − 2 .
Propriété : Deux réels 𝑥 et 𝑥′ viennent se superposer
sur un même point du cercle
trigonométrique 𝒞 si et seulement si
𝑥 − 𝑥 ′ = 𝑘 × 2𝜋 , où 𝑘 est un entier relatif.
Remarque : On dit que les réels 𝑥 et 𝑥′ sont distants de 2𝜋.
Tout point de 𝒞 est donc l’image d’une
infinité de réels.
pl
3. Le radian

Sur le cercle trigonométrique, si un arc de cercle IM a pour longueur 𝑥 avec
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 alors on convient de dire que l’angle géométrique 𝐼𝑂𝑀 a pour
mesure 𝑥 radians.
On définit ainsi une nouvelle unité de mesure d’angles, le radian, noté 𝒓𝒂𝒅.
Définition 1 :
Définition 2 :
Un angle de 𝟏 radian est un angle interceptant, sur un cercle trigonométrique,
un arc de longueur 1 (c’est-à-dire égale au rayon du cercle).
Conséquence :
Si 𝐴 et 𝐵 sont deux points du cercle trigonométrique, alors la mesure en radians

de l’angle 𝐴𝑂𝐵 est égale à la longueur de l’arc intercepté AB.
Propriété :
Les mesures, en degrés et en radians, d’un angle géométrique sont
proportionnelles.
Tableau et méthode de conversion :
On en déduit la relation suivante :
𝜶
𝝅
Mesure en degrés de l’angle 𝑰𝑶𝑴
180°
𝑑
Mesure en radians de l’angle 𝑰𝑶𝑴
𝜋
𝛼
𝒅
= 𝟏𝟖𝟎
Tableau de conversions :
Mesure en degrés de l’angle 𝑰𝑶𝑴
Mesure en radians de l’angle 𝑰𝑶𝑴
Exemple :
Objectif :
180° 150°
𝜋
5𝜋
6
135°
120°
90°
60°
45°
30°
0°
3𝜋
4
2𝜋
3
𝜋
2
𝜋
3
𝜋
4
𝜋
6
0
7𝜋
Convertir 50° en radians et convertir 16 𝑟𝑎𝑑 en degrés.
Savoir passer des mesure en degrés en radians et inversement.
pl
II.
Mesures d’un angle orienté d’un couple de vecteurs
Soit (𝑂; 𝐼, 𝐽) un repère orthonormé du plan et 𝒞 le cercle trigonométrique.
1. Définitions
Définition 1 :
Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
Le couple (𝒖, 𝒗) est appelé angle orienté de vecteurs.
Soient 𝑀 et 𝑁 les points d’intersection de 𝒞 avec les
demi-droites d’origine 𝑂 et dirigées par 𝑢 et 𝑣, alors une
mesure de l’angle orienté (𝑢, 𝑣) est aussi une mesure de
l’angle (𝑂𝑀, 𝑂𝑁).
Définition 2 :
Soient 𝑀 et 𝑁 deux points du cercle trigonométrique 𝒞 où le point 𝑀 est
associé au réel 𝑥 et le point 𝑁 au réel 𝑦.
On appelle mesure de l’angle orienté (𝑂𝑀, 𝑂𝑁) le réel 𝒚 − 𝒙.
Notation :
Si 𝛼 est une mesure de l’angle orienté (𝑢, 𝑣 ) alors pour
tout entier 𝑘, le réel 𝛼 + 2𝑘𝜋 est une mesure de l’angle
orienté (𝑢, 𝑣 ).
On écrit 𝒖, 𝒗 = 𝜶 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ ou 𝒖, 𝒗 = 𝜶[𝟐𝝅].
On lit alors (𝑢, 𝑣) a pour mesure 𝛼 à « 2𝑘𝜋 près » ou
« modulo 2𝜋 ».
Angles orientés particuliers :
𝑢, 𝑢 = 0 + 2𝑘𝜋 c’est l’angle nul ;
𝑢, −𝑢 = 𝜋 + 2𝑘𝜋 c’est l’angle plat.
2. Mesure principale d’un angle orienté
Définition :
Exemple :
Parmi toutes les mesures 𝛼 + 2𝑘𝜋 d’un angle orienté (𝑢, 𝑣), il en existe une et
une seule dans l’intervalle ] − 𝜋; 𝜋], on l’appelle mesure principale de l’angle
orienté (𝑢, 𝑣 ).
Donner la mesure principale 𝛽 d’un angle de mesure :
Méthode :
7𝜋 9𝜋
4
;
2
;−
4𝜋
3
.
Pour déterminer la mesure principale 𝛽 d’un angle orienté (𝑢, 𝑣 ), on
cherche 𝛽 tel que 𝛼 = 𝛽 + 2𝑘𝜋 avec −𝜋 < 𝛽 ≤ 𝜋.
pl
3. Propriétés des angles orientés de vecteurs
a) Angles orientés et colinéarité
Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
Propriété 1 :
 𝑢 et 𝑣 colinéaires et de même sens ⟺
𝒖, 𝒗 = 𝟎 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
 𝑢 et 𝑣 colinéaires et de sens contraires⟺ 𝒖, 𝒗 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
En résumé : 𝑢 et 𝑣 colinéaires ⟺ 𝒖, 𝒗 = 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
Remarque : Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles ou que trois
points sont alignés.
b) Angles orientés et orthogonalité
Propriété 2 :
Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
𝑢 et 𝑣 sont orthogonaux ⟺
𝝅
En résumé : 𝑢 et 𝑣 sont orthogonaux ⟺
Remarque :
𝝅
𝒖, 𝒗 = 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅 ou − 𝟐 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝝅
𝒖, 𝒗 = 𝟐 + 𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
c) Angles orientés et relation de Chasles
Propriété 3 :
Relation de Chasles
Soient 𝑢, 𝑣 et 𝑤 trois vecteurs non nuls.
𝒖, 𝒗 + 𝒗, 𝒘 = 𝒖, 𝒘 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
Propriété 4 :
Conséquences
Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
 Angles opposés :
𝒗, 𝒖 = − 𝒖, 𝒗 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
 Angles égaux :
−𝒖, −𝒗 = 𝒖, 𝒗 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ .
 Angles supplémentaires :
𝒖, −𝒗 = 𝒖, 𝒗 + 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
−𝒖, 𝒗 = 𝒖, 𝒗 + 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
pl
Remarque : On ne change pas la mesure d’un angle orienté 𝑢, 𝑣 en remplaçant l’un ou
l’autre des vecteurs par un vecteur non nul colinéaire et de même sens.
Si 𝑘 et 𝑘′ sont de même signe
alors 𝑘𝑢, 𝑘 ′ 𝑣 = 𝑢, 𝑣 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
Si 𝑘 et 𝑘′ sont de signes contraires alors
𝑘𝑢, 𝑘 ′ 𝑣 = 𝑢, 𝑣 + 𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ
d) Applications
(1) 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral tel que 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 =
𝜋
3
.
Déterminer une mesure de chacun des angles orientés suivants :
a) (𝐵𝐴, 𝐵𝐶 ) ; b) (𝐶𝐵, 𝐴𝐶 )
(2) Avec les renseignements portés sur la figure, démontrer que les
droites (𝐴𝐵) et (𝐷𝐸) sont parallèles.
𝜋
(3) Soit 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls tels que : 𝑢, 𝑣 = − 9 et 𝑢, 𝑤 =
𝜋
4
.
Déterminer la mesure principale des angles : 𝑣, 𝑤 ; −𝑢, 𝑣 et −2𝑢, 𝑤 .
Objectif :
III.
Déterminer la mesure d’un angle orienté ; déterminer sa mesure principale.
Cosinus et sinus d’un angle orienté
1. Définitions
Définition 1 :
Soit un point 𝑀 du cercle trigonométrique 𝒞 image d’un réel 𝑥.
Le cosinus de 𝒙, noté 𝒄𝒐𝒔 𝒙, est l’abscisse du point 𝑀.
Le sinus de 𝒙, noté 𝒔𝒊𝒏 𝒙, est l’ordonnée du point 𝑀.
Définition 2 :
Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs non nuls.
Soit 𝑢, 𝑣 un angle orienté dont la mesure en radian est .
Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est égal au cosinus (ou au
sinus) de l’une quelconque des mesures en radian de cet angle.
On écrit : 𝒄𝒐𝒔 𝒖, 𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 et 𝐬𝐢𝐧 𝒖, 𝒗 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 .
pl
2. Propriétés
Pour tout réel 𝑥 et pour tout entier 𝑘 ∈ ℤ,
Propriété 1 :
 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = 𝟏

;
−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ≤ 𝟏 et −𝟏 ≤ 𝐬𝐢𝐧 𝒙 ≤ 𝟏 ;
 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙
Propriété 2 :
et 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 .
Cosinus et sinus d’angles associés : A connaître par
Pour tout nombre réel 𝑥,
cos −𝑥 = cos 𝑥
sin −𝑥 = − sin 𝑥 .
𝑀 et 𝑀′ont même abscisse
et des ordonnées opposées
𝜋
+ 𝑥 = −sin 𝑥
2
𝜋
sin + 𝑥 = cos 𝑥.
2
cos
𝑀 et 𝑀′ont des abscisses
et des ordonnées opposées
cos 𝜋 − 𝑥 = −cos 𝑥
sin 𝜋 − 𝑥 = sin 𝑥 .
cos 𝜋 + 𝑥 = −cos 𝑥
sin 𝜋 + 𝑥 = −sin 𝑥 .
𝑀 et 𝑀′ont même ordonnée
et des abscisses opposées
𝑀 et 𝑀′ont des abscisses
et des ordonnées opposées
𝜋
− 𝑥 = sin 𝑥
2
𝜋
sin 2 − 𝑥 = cos 𝑥 .
cos
𝑀 et 𝑀′ sont symétriques par rapport à la droite
∆: 𝑦 = 𝑥. Leurs coordonnées restent inchangées.
Remarque : Toutes ces relations doivent se retrouver en visualisant mentalement le cercle
trigonométrique.
pl
Valeurs remarquables du 1er quadrant
Propriété 3 :
𝒙
0
𝒄𝒐𝒔 𝒙
1
𝒔𝒊𝒏 𝒙
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
3
2
1
2
2
2
2
2
1
2
0
3
2
1
Remarque : Le tableau et le 1er quadrant du cercle trigonométrique sont à connaitre par
 connaitre les positions relatives des points images de
1
 savoir ordonner les réels 2 ,
2
2
et
3
2
𝜋 𝜋
,
6 4
. Il faut :
𝜋
3
et ;
sur les deux axes ;
Pour trouver la fin du cercle trigonométrique, on utilise les angles associés.
Exemples :
(1) Calculer la valeur exacte de : cos
Méthode :
5𝜋
6
, sin
5𝜋
4
, cos
35𝜋
3
, sin
−73𝜋
2
.
Pour calculer cos 𝑥 ou sin 𝑥, on peut décomposer 𝑥 en faisant
𝜋 𝜋 𝜋
𝜋
apparaitre un angle remarquable ( 6 , 4 , 3 𝑜𝑢 2 ) et utiliser les cosinus et
sinus d’angles associés.
𝜋
1
(2) On considère un réel 𝑥 compris entre 0 et 2 tel que cos 𝑥 = 3 .
Calculer la valeur exacte de sin 𝑥. Donner une valeur approchée de 𝑥, à 10−2 près avec
la calculatrice.
pl
3. Equations trigonométriques
Propriété 1 :
𝑥 et 𝑎 sont deux réels donnés.
𝒙 = 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂 ⟺
𝒐𝒖
𝒙 = −𝒂 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
Il existe deux points 𝑀 et 𝑀′ d’abscisse cos 𝑎.
Propriété 2 :
𝑥 et 𝑎 sont deux réels donnés.
𝒙 = 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏 𝒂 ⟺
𝒐𝒖
𝒙 = 𝝅 − 𝒂 + 𝟐𝒌𝝅, 𝒌 ∈ ℤ
Il existe deux points 𝑀 et 𝑀′ d’ordonnée sin 𝑎.
Exemples :
𝜋
(1) Résoudre dans ℝ , l’équation cos 𝑥 = cos 3 .
(2) Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋], l’équation sin 𝑥 = sin
(3) Résoudre dans [0; 2𝜋], l’équation cos 𝑥 =
3
2
5𝜋
6
.
.
𝜋
(4) Résoudre dans ] − 2𝜋; 2𝜋], l’équation sin 𝑥 = − sin 4 . Représenter ses solutions sur le
cercle trigonométrique.
𝜋
(5) Résoudre dans ] − 𝜋; 𝜋] , l’équation sin 𝑥 − cos 6 = 0 . Représenter ses solutions sur le
cercle trigonométrique.
Objectifs :
Utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer les cosinus et sinus d’angles
associés ;
Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre dans ℝ les équations d’inconnue
𝑥: cos 𝑥 = cos 𝑎 et sin 𝑥 = sin 𝑎.
pl