Trigonométrie
Chapitre n°9 Trigonométrie
I. Repérage sur le cercle trigonométrique
1. Cercle trigonométrique
Définition
: Soit (;,) un repère orthonormé du plan.
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre , de rayon 1,
orienté dans le sens indiqué par la flèche, appelé sens direct.
2. Enroulement sur la droite des réels
On considère le cercle trigonométrique. On trace la droite Δ tangente au cercle en et on munit
cette droite du repère (;) où == 1. Cette droite graduée représente l’ensemble et est
appelée la droite des réels.
On « enroule cette droite des réels » autour du cercle : la demi-droite [) s’enroule dans le sens
direct et la demi-droite [′) s’enroule dans le sens indirect.
pl
Remarque
: le sens direct est le sens inverse des
aiguilles d’une montre et le sens indirect
celui des aiguilles d’une montre.
Propriété
:
La longueur du cercle trigonométrique est
égale à 2.
Tout point d’abscisse de la droite des réels vient se
superposer sur un point du cercle : on dit que est le
point image du réel et que l’arc de cercle
IM a pour
longueur .
Par exemple, le point est le point image de
2, le point est
l’image de , le point est l’image de
2.
Propriété
:
Remarque
: On dit que les réels et sont distants de 2.
Tout point de est donc l’image d’une
infinité de réels.
Deux réels et viennent se superposer
sur un même point du cercle
trigonométrique si et seulement si
=× 2, où est un entier relatif.
3. Le radian
Définition 1
: Sur le cercle trigonométrique, si un arc de cercle
IM a pour longueur avec
0 alors on convient de dire que l’angle géométrique
a pour
mesure radians.
On définit ainsi une nouvelle unité de mesure d’angles, le radian, noté .
Définition 2
: Un angle de radian est un angle interceptant, sur un cercle trigonométrique,
un arc de longueur 1 (c’est-à-dire égale au rayon du cercle).
Conséquence
: Si et sont deux points du cercle trigonométrique, alors la mesure en radians
de l’angle
est égale à la longueur de l’arc intercepté
AB.
Propriété
: Les mesures, en degrés et en radians, d’un angle géométrique sont
proportionnelles.
Tableau et méthode de conversion
:
On en déduit la relation suivante :
=
Tableau de conversions
:
Mesure en degrés de l’angle
180°
150°
135°
120°
90°
60°
45°
30°
0°
Mesure en radians de l’angle
5
6
3
4
2
3
2
3
4
6
0
Exemple
: Convertir 50° en radians et convertir 7
16 en degrés.
Objectif
: Savoir passer des mesure en degrés en radians et inversement.
pl
Mesure en degrés de l’angle
180°
Mesure en radians de l’angle
II. Mesures d’un angle orienté d’un couple de vecteurs
Soit (;,) un repère orthonormé du plan et le cercle trigonométrique.
1. Définitions
Définition 1
: Soient
et deux vecteurs non nuls.
Le couple (
,
) est appelé angle orienté de vecteurs.
Définition 2
: Soient et deux points du cercle trigonométrique où le point est
associé au réel et le point au réel .
On appelle mesure de l’angle orienté (
,
) le réel .
2. Mesure principale d’un angle orienté
Définition
: Parmi toutes les mesures + 2 d’un angle orienté (
,), il en existe une et
une seule dans l’intervalle ];], on l’appelle mesure principale de l’angle
orienté (
,).
Exemple
: Donner la mesure principale d’un angle de mesure : 7
4;9
2;4
3 .
Méthode
: Pour déterminer la mesure principale d’un angle orienté (
,), on
cherche tel que =+ 2 avec <.
pl
Soient et les points d’intersection de avec les
demi-droites d’origine et dirigées par
et , alors une
mesure de l’angle orienté (
,) est aussi une mesure de
l’angle (
,
).
Notation
:
Si est une mesure de l’angle orienté (
,) alors pour
tout entier , le réel + 2 est une mesure de l’angle
orienté (
,).
On écrit
,
=+, ou
,
=[].
On lit alors (
,) a pour mesure à « 2 près » ou
« modulo 2 ».
Angles orientés particuliers
:
,
= 0 + 2 c’est l’angle nul ;
,
=+ 2 c’est l’angle plat.
3. Propriétés des angles orientés de vecteurs
a)
Angles orientés et colinéarité
Propriété 1
: Soient
et deux vecteurs non nuls.
et colinéaires et de même sens
,
=+, .
et colinéaires et de sens contraires
,
=+,
En résumé :
et colinéaires
,
=,.
Remarque
: Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles ou que trois
points sont alignés.
b)
Angles orientés et orthogonalité
Propriété 2
: Soient
et deux vecteurs non nuls.
et sont orthogonaux
,
=
+ ou
+,
En résumé :
et sont orthogonaux
,
=
+,.
Remarque
: Cette propriété permet de démontrer que deux droites sont perpendiculaires.
c)
Angles orientés et relation de Chasles
Propriété 3
:
Relation de Chasles
Soient
, et
trois vecteurs non nuls.
,
+
,
=
,
+,.
Propriété 4
:
Conséquences
Soient
et deux vecteurs non nuls.
Angles opposés :
,
=
,
+, .
Angles égaux :
,
=
,
+, .
Angles supplémentaires :
,
=
,
++,
,
=
,
++,
pl
Remarque
: On ne change pas la mesure d’un angle orienté
, en remplaçant l’un ou
l’autre des vecteurs par un vecteur non nul colinéaire et de même sens.
Si et sont de même signe
alors
,=
,+ 2,
d)
Applications
(1) est un triangle équilatéral tel que
,
=
3 .
Déterminer une mesure de chacun des angles orientés suivants :
a) (
,
) ; b) (
,
)
(2) Avec les renseignements portés sur la figure, démontrer que les
droites () et () sont parallèles.
(3) Soit
et deux vecteurs non nuls tels que :
,=
9 et
,
=
4 .
Déterminer la mesure principale des angles : ,
;
, et 2
,
.
Objectif
: Déterminer la mesure d’un angle orienté ; déterminer sa mesure principale.
III. Cosinus et sinus d’un angle orienté
1. Définitions
Définition 1
: Soit un point du cercle trigonométrique image d’un réel .
Le cosinus de , noté , est l’abscisse du point .
Le sinus de , noté , est l’ordonnée du point .
Définition
2 :
Soient
et deux vecteurs non nuls.
Soit
, un angle orienté dont la mesure en radian est .
Le cosinus (ou le sinus) d’un angle orienté est égal au cosinus (ou au
sinus) de l’une quelconque des mesures en radian de cet angle.
On écrit :
,
= et
,
=.
pl
Si et sont de signes contraires alors
,=
,++ 2,
6
7
8
1
/
8
100%
