Alternative de Fredholm relative au problème de Dirichlet

A NNALI
DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA
Classe di Scienze
P. G RISVARD
Alternative de Fredholm relative au problème de
Dirichlet dans un polyèdre
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4e série, tome 2, no 3
(1975), p. 359-388
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Alternative de Fredholm relative au
dans un polyedre.
P. GRISVARD
problème
de Dirichlet
(*)
Sunto. - Estensione al
caso di più dimensioni dei risultati ottenuti in [4] : cioè studio della regolarità della soluzione del problema di Dirichlet non omogeneo in un
dominio tridimensionale con f rontiera poliedrale.
Introduction.
Dans Grisvard [4] on a établi le résultat suivant où Q désigne un ouvert
borné de .R2 à frontière polygonale dont les ouvertures des angles aux sommets
(vers l’intérieur de Q) sont notées Wl’ ..., WN. L’opérateur de Laplace A
dans HS(Q) a une image fermée si et seule-considéré de HS+2(Q) r1
ment si aucun des Wj n’est de la forme
Lorsque
égale
cette condition est
réalisée, l’image
de d est de codimension finie
à
T
où
est le
surjectif
si
plus grand
entier k C
-f-- 1). En particulier L1 est
on a:
(*) Université de Nice.
(**) Ici s est entier ~ 0.
Pervenuto alla Redazione il 18 Settembre 1974.
360
On remarque que pour s = 0, la condition est que D soit convexe; pour
s = 1, la condition est
qui n’est vérifiée que par un triangle dont
tous les angles sont ~/2. Enfin, pour s > 2, la condition n’est jamais
vérifiée (elle le serait cependant si on admettait les polygônes curvilignes).
Dans ce travail on montrera que si S~ est un ouvert borné de R3 à frontière polyèdrale dont les ouvertures des angles des dièdres (vers l’intérieur
4e S~) sont notées 6~~ le résultat correspondant au précédent s’énonce
dans H8(Q) a une image fermée
comme sait : d considéré de HS+2(Q) n
n’est de la forme:
si et seulement si aucun des
Lorsque
cette condition est réalisée A est
surjectif
si
on a:
de d est de codimension infinie. C’est ce dernier phénomène
le cas polyédral du cas polygonal, à savoir que dans le cas
polyèdral, si A n’est pas surjectif, il n’est pas non plus « à indice ».
Dans un autre travail (Grisvard [5]) consacré au cas
a une frontière conique, on a aussi vu que d est soit surjectif, soit à indice lorsque son
image est fermée; ceci conduit naturellement à la conjecture suivante:
Si A de H8+2(Q) r1 H’(Q) dans H8(Q) est à image fermée et non surjectif,
alors l’image de L1 est de codimension finie si et seulement si l’ensemble des
points non réguliers de h = 8Q est fini.
Il résulte entre autres du résultat énoncé plus haut que A est un isosur L2(Q), dès que Q est un polyèdre convexe.
morphisme de H2(S2) r1
-Comme on établit également une inégalité à priori correspondant à ce résultat,
où on précise la dépendance des constantes par rapport à S~, un procédé
de passage à la limite typique des méthodes utilisées en analyse numérique
permet d’étendre le résultat au cas où S~ est un convexe borné quelconque
de R3 (ou de .Rn par les mêmes méthodes). Ce fait a déjà été prouvé dans
Kadlec [8]. Les résultats de ce travail ont été annoncés dans une note
et sinon
l’image
qui différentie
(Grisvard [7]).
On
regroupé dans un paragraphe spécial (le § 2),y les théorèmes conrégularité des dérivées secondes qui sont techniquement plus
à
établir
et susceptibles d’extension au cas où ,S2 est seulement
simples
il
comme
a été indiqué plus haut.
convexe,
Les paragraphes 3 et 4 conduisent à la démonstration des majorations
.à priori des dérivées d’ordre supérieur à deux; ces démonstrations sont difa
cernant la
y
361
férentes de celles de Grisvard [4] relatives au cas bidimensionnel, c’est pourquoi, on les a données en détail. Par contre, dans les paragraphes 5 et 6,
dans un souci de brièveté, on n’a pas répété les démonstrations relatives au
cas bidimensionnel, dont l’extension n’offre pas de difhculté.
1. -
Expaces
de Sobolev dans
un
polyedre.
utilisera les notations suivantes: D est un ouvert
N _
où les l,
borné de R3 à frontière .T’ polyèdrale, c’est-à-dire que 1’ _
Dans toute la suite
on
i=i
sont des ouverts plans, deux à deux disjoints, S étant d’un seul côté de 1’.
Les rj sont donc des ouverts bornés à deux dimensions et à frontière
l’arête commune à Fi et Fk, c’est à dire que
polygonale. On notera
Enfin,
on
notera wi.k l’angle
de
1~~
avec
Tk (c’est à dire l’ouverture
du dièdre
et
vers l’intérieur de S2; on suppose bien sûr que
(*).
Les ouverts Q et
1 c j c ayant évidemment la propriété du procomme espace des restrictions
longement, on définit
(resp.
de
où ni désigne le plan
des
fonctions
HS(R3) (resp. de
(resp. Ti)
où
comme
d’habitude
désigne l’espace des u telles que
qui porte
formé par
Pour s entier, il revient
telles que
au
même de définir
comme
espaces sont munis des normes usuelles.
L’opérateur de dérivation dans la direction normale à
Tous
de
espace des u
ces
D)
sera
Ceci
noté Nj,
les traces
posé,
sur
rj (vers l’extérieur
la frontière des fonctions de
sont
carac-
térisées par le:
THEOREME 1.1.
(*) On
ne
L’application
considérera bien entendu que les
couples j, k
tels que
0.
362
est linéaire continue de
le sous-espace de
sur
dé f ini par les conditions suivantes : Pour
ficients constants d’ordre c s -1, on a:
si
où
tangentiels à
teurs
tout
opérateur différentiel
(resp. Qm, 0 c m c s - 2 )
Pk ,
Fi (resp. Fz)
L à
sont les
coe f -
opéra-
tels que:
L’espace des opérateurs différentiels de degré c s -1 étant de dimension finie et le nombre des arêtes
étant également fini, les conditions (i)
et (ii) sont en nombre fini. Ce résultat est démontré dans Grisvard [6].
On définit également
comme fermeture de Cô (9) dans
comme D a la propriété du segment (*), c’est aussi l’espace des restrictions
à S~ des fonctions u c- H"(R3) nulles hors de S2. En utilisant le théorème
précédent, on voit que c’est aussi le sous-espace de H8(Q) défini par les
conditions aux limites
2. -
Régularité
des dérivées secondes.
On considère
avec
que
solution
f E L2(S~) donné.
uEH2(Q).
(*)
Pour les
On
propriétés
se
de
(variationnelle)
de
propose de chercher les conditions
cones
et de
segments
c.f. p.
ex.
sur
Agmon [1].
S~ pour
363
On introduit l’espace
démontre
commencer on
THÉORÈME 2.1. On
-W(,Q) H2(Q) r1
inégalité a priori
où
=
une
pour
cherche
on
u.
Pour
uE
a:
pour
(La
norme sans
indice
sera
toujours
celle de
Z2(S~)).
il vient
DÉMONSTRATION. On calcule explicitement
Il suffit de montrer que
ainsi que des identités
Explicitement
analogues pour chacun des autres couples
,On note Qz l’intersection de S2
tout z fixé on a:
et
à frontière
l’identité
comme est
Grivard
[4],
pour presque tout z
en z.
de variables.
on a:
fixé;
avec
le
polygonale
on
en
plan
on a
de hauteur z
d’après
fixée ;
pour presque
les lemmes 2.2 et 2.3 de
déduit le résultat désiré
en
C.Q.F.D.
L’existence d’une constante Ci
(dépendant
de
S~)
telle que
intégrant
364
résulte de la majoration variationnelle de u et de
On en déduit l’inégalité :
IIul12 désigne la norme de u dans H~ (S~).
Cette dernière inégalité montre que l’image de
dans L2(Q). On désignera dans ce qui suit cette
dire que:
l’inégalité
de Poincaré.
où
image
par d est fermée
c’est à
par
On va chercher à déterminer
l’orthogonal de
Il est clair que les éléments de N(Q) sont des fonctions de
harmoniques; elles vérifient aussi une condition de Dirichlet
l’espace
grâce à ce qui suit: On désignera par
THÉORÈME 2.2.
H2(Q)
est dense dans
est bien
L2(Q).
sont
bord de S~’
qui
au
D(.S2). L’application
pour v E H2(Q) se prolonge par continuité
décrit par
cation y de D(Q) dans X(F)* dual de l’espace
lorsque u décrit W(Q). De plus on a:
qui
dans
définie
en une
appli-
...,
pour
DÉMONSTRATION. La densité de jH~(~) dans D(Q) se démontre exactecomme dans Lions-Magenes [9] (§ 6, chap. II). La suite est une conséquence facile du fait (évident) que
ment
est bilinéaire continu
sur
On en déduit que si
ceci est équivalent à yv
W(Q) x D(D).
=
0 dans
C.Q.F.D.
( d u, v ) = 0
x(1-’)* :
on a
pour tout
et
365
On
maintenant déterminer la dimension de
va
N(Q) :
THÉORÈME 2.3.
(i) N(Q)
est
==
-~- co si S2 est
(ii)
La démonstration du
point (i)
non convexe.
est basée
LEMME 2.4.
est
sur
le
convexe.
DÉMONSTRATION. Il est bien connu que v est analytique dans .Q et jusque
les parties planes de la frontière, (cela se démontre facilement par
la méthode de réflexion); il reste donc à prouver que pour tout
sur
où A =
un
N _
.UA;.k est
k = 1
l’ensemble des sommets et des arêtes de
voisinage V de x dans Rn tel que
point r considéré en 0 (ce qui
translate le
_
.0),
il existe
On
V) dès que
rien
au
change
problème) et
et de rayon .R assez petit pour
ne
suppose que V est une boule de centre 0
S~ r1 TT soit un tronc de cône (de hauteur 1~) sous-tendu par l’ouvert G de 82
(la sphère unité de R3) :
on
Il est clair que G est à frontière lipschitzienne dans ~f 2 ; on considérera
l’opérateur de Laplace-Beltrami L sur G avec conditions de Dirichlet (c’est
à dire pour fixer les idées L réalisé comme isomorphisme de H’(G) sur
La compacité de l’injection de Hô(G) dans L2(G) permet de diagonaliser L
dans L2(G) : il existe une base orthonormale Wk, k = 1, 2,... de L2(G) formée
de fonctions propres de L donc telle que
avec
Soit alors
avec
on a v E
L2(G)
pour presque tout
rE
]0, .R[ fixé,
donc
366
On
va
calculer ck
en
utilisant
l’équation
dont v est solution:
Du fait de la convexité de SZ on sait (cf. Appendice) que wk E H2(G), alors si
il est facile de voir que la fonction Uk définie par
qE
~(]o,1~[)
De la définition de
pour tout k :
est dans
comme
au sens
où
W(S~).
il résulte que v est
l’identité ci-dessus est vérifiée pour toute
des
distributions,
donc
orthogonal
on a
à
367
et ak
et bk sont des constantes arbitraires telles que l’on ait
donc
puisque
vE
L2(Q).
c’est à dire que
suivant :
dès que:
On voit immédiatement que
~,k ~ 4 .
Pour conclure
on
admet
provisoirement
le lemme
LEMME 2.5. Si G est contenu dans une demi-sphére, on ac ~i~>~’
Il en résulte immédiatement dans le cas où S~ est convexe que
pour tout k, donc
bk
=
0
avec
d’où
Il est maintenant aisé de vérifier que v eH2
dire que
pour
assez
petit.
En effet
25 - Annali della Scuola Norm.
on a
au
2ak > 1 grâce
Sup. di Pisa
voisinage
au
de
zéro, c’est
lemme 2.5 donc
à
368
Compte
Hilbert
tenu du fait que
[2]).
On
en
(cf.
lorsque
p.
ex.
Courant-
déduit que
et aussi
donc pour
ceci prouve la convergence de la dernière série écrite. Pour estimer les autres
intégrales, on utilise l’inégalité à priori
donc
et
avec
l’équivalence
d’où la convergence de la série. On
manière.
DÉMONSTRATION
sur S2:
DU
majore la troisième intégrale
de la même
’
LEMME 2.5. On utilise les coordonnées
sphèriques
369
La
avec 1
et
de
l’opérateur
mesure
dw s’écrit alors
Laplace-Beltrami s’écrit
Comme G est contenu dans
ordonnées de manière que
une demi-sphère
6 c Gex où
on
peut choisir les
axes
de
co-
D’après le résultat prouvé en appendice, L est autoadjoint
dans L2 (G) avec pour domaine DL
H2(G) r1 H’(G). On introduit aussi M
fermeture de l’opérateur.
avec a C n.
=
défini
sur
dans le
DL -
sens
Il est clair que M est
de l’ordre des
autoadjoint
et que
opérateurs autoadjoints
dans
L2(G)
car on a
’
évidemment
On en déduit que si - ~,1 est la plus grande valeur
la plus grande valeur propre de M, alors
Un calcul élémentaire montre que pi n;2/oc2 donc
>our tout w E DL .
propre de L et -
=
si
Ceci démontre le lemme 2.5.
DÉMONSTRATION
on
sait que
DU
THÉORÈME 2.3. Point (i): A
présent
pour
370
Il est facile de vérifier que l’opérateur y défini par le théorème 2.2, restreint
à
coïncide avec l’opérateur usuel de traces sur I~2(S~) donc v E W(!J)
0.
et l’unicité variationnelle implique que v
DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 2.3. Point (ii): On raisonne par l’abv
surde en supposant que dim N(!J)
+ 00. On choisit une arête non
convexe d’ouverture ce > n de S2 et par un choix convenable des axes de
coordonnées, on peut supposer cette arête portée par l’axe Oz. On note S~o
l’intersection de S~ avec le plan z = 0 ; c’est un polygone plan non convexe
et d’après Grisvard [4] on sait qu’il existe uo à support dans un voisinage
de zéro, tel que
=
=
Comme S~ est ouvert on peut choisir
la fonction u définie par
est à
support dans S~. On
une
alors
a
un
intervalle I =
donc
base de
on a
tel que si
et
on
sait que si
99 =A 0 cela implique ~o
0 ssi (9/, F~~
évidemment f ; Vi)
et si
Cependant
(a, b)
=
0
est impossible.
Fi est la distri-
qui
ce
=
OÙ
bution définie par
est l’intersection de Q avec le plan de hauteur z. Il est clair que
étant de dimension infinie, on peut trouver ~ 5~ 0 telle que ~g~; I’~~ = 0 pour
~ =1, 2, ... , v, ce qui est contradictoire.
En particulier, il résulte du théorème 2.3 que L1 est un isomorphisme de
W(Q) sur L2(il) dès que il est convexe puisque d’après le lemme 2.5, on a
~,1 > 4 pour tout point de A. On peut en déduire le résultat suivant déjà
démontré par Kadlec [8 ] :
THÉORÈME 2.6. Soit il
est un
isomorphisme de
un
ouvert
convexe
sur
borné de R"
L2 ( S ) .
(n = 2, 3)
alors L1
371
DÉMONSTRATION. On doit seulement prouver l’existence de u
solution de Au - f pour f E L2(S~) donné puisque l’unicité (variationnelle) est connue. Pour cela on considère une suite croissante Q",
y==l,2y... d’ouverts à frontière polyédrale (polygonale si n = 2) telle que
D’après
De
qui précède,
ce
plus, d’après
pour les
9,)
où
dépend
c ne
r113~o(,5~~)
il existe
le théorème 2.1 et
l’inégalité
solution de
de Poincaré
(qui
est uniforme
on a
pas de
Du fait que up
dans D pour tout
On pose alors
v.
on a
v.
De
plus
Ùv E H1(Rn)
et le
support des Uv
est contenu
on a
et
Comme
à support
et
dans Q
et vi.k E
sont des espaces de Hilbert, il existe
tels que (quitte à remplacer Qv par
une
sous-suite)
Il est clair
zienne, H’(9)
(ceci
car
s’identifie
au
résulte par exemple
il étant
convexe
sous-espace de
de Gagliardo [3]
ou
donc à frontière lipschitdes u à support dans D
Nécas [10]). On a aussi
372
4a1 = f
dans S~
support de 99
Enfin
car
et par
ce
pour 99 E 5)(D), il existe vo tel que
conséquent
qui
0
contienne le
on a:
prouve que
Le théorème 2.6 est ainsi
complètement démontré.
3. - Etude d’un espace fonctionnel.
Pour étendre les résultats précédents au cas des dérivées d’ordre supérieur à 2, on est conduit à considérer l’espace suivant qui généralise l’espace
W(Q) introduit au § 2 : Pour s entier >0 on pose
cet espace est fermé dans HS+2(Q), c’est pourquoi on le munit de la norme
induite par HS+2(Q). Il sera utile de connaître les traces de cet espace:
A priori, d’après le théorème 1.1 pour
on peut considérer les
fonctions
implique
s’écrit:
Ensuite la condition
373
Si pour chaque j on note
tielles à F,, on a
Ji l’opérateur
de
Laplace
dans les dérivées
tangen-
d’où
soit
On
en
déduit que
Ceci montre
t’,k
=
0
qu’on peut décrire toutes
THÉORÈME 3.1.
de
L’image
est
façon
que
est alors
Ai.l
portée
Soit alors
et
les traces de
par
pourvu
DÉMONSTRATION. On
de
par f;.1 sur l’arête
de
et que
pour k pair
sont les
soit
va
On choisit le
par l’axe oz et
porté
plan d’équation
partir des fi.1.
l’application
qu’aucun
expliciter les
à
u
des
angles
aux limites vérifiées
de coordonnées
d’axes
système
le
Fi par
plan x o z; la face
conditions
par le
d’après le théorème 1.1 les conditions qui relient f;.l
suivantes (écrites en tenant compte des remarques ci-dessus):
374
Pour tout
opérateur
Compte tenu
L d’ordre
du choix
c s -f-1 écrit
particulier
sous
la forme :
des coordonnées
on a
On désignera par T, l’opérateur D,
qui suit, on écrira co au lieu de
défini par
(qui est tangent à ..1~) et T, l’opérateur (tangent à
Dans ce
On
a
alors les relations
On
expliciter les relations (i) et (ii) en prenant
puissances de N~ et de Nj successivement:
va
et si p c s la relation
(i) s’écrit
comme
suit:
Si p
est
pour
opérateur L
impair
1
les.
375
De même si p = s +
1 la relation (ii) s’écrit
comme
suit:
Si p
(p=2q-E-1)~
Si p
est
pair
Ensuite si
donc
on a
les relations
analogues
du fait que
est
impair
376
Les relations
spondant à p
,sur
A;,l d’où f,.,
Les relations
1,
on
Ai.l.
= fl., = 0
Comme
sur
A,., puisque Icos o)
sur
p
=
0.
Des relations
corre-
1.
2 sont
Ai.l puisque
correspondant à
on
=
tire
correspondant à
sur Ai.1 d’où
Ensuite les relations
sur
sont banales pour p
précédentes
=
p
=
3 sont
et
a .
d’après
ce
qui
précède
ces
relations s’écrivent
sur
Ai,l
d’où
encore
T~/~==T~/~
prouve ainsi par récurrence
sur
Ai.l
sur
p que
car
On
377
on
pour
pour m > 1
hypothèses
car
sur
i =- 0
cv, cela
sur
obtient si s est
Ai.l d’après
ce
impair
qui précède.
Vu les
implique
d,où
On montre de la même manière que
Des raisonnement analogues conduisent au même résultat lorsque s est pair.
Si on remarque que T; est la dérivée normale au morceau de fontière A~,l
de 7~ on voit que
1~~-V donnés, on vérifie
Réciproquement partant de
en vérifiant les relatel que
qu’il existe
tions (i) et (ii). Ces relations sont évidentes puisque par hypothèse on a
et aussi
Une
conséquence importante
du théorème 3.1 est la suivante
378
des
COROLLAIRE 3.2...Le sous-espace de
sur A pour tout oc tel que ~~~-~-1) est dense dans
tels que.
~(’~)’
1~s(S~)
le sous-espace dont
DÉMONSTRATION. On désigne par
prouver la densité: Soit .F une forme linéaire continue sur
sur
est fermé dans H~+2(S~), il existe
comme
à support dans 17 tel que
T ; V) où
Hs+2(R3) vérifie
on
veut
nulle
==
Comme
T; "U) = 0 pour flJ E (R3)
on a
à sup-
port dans Q; ceci prouve que T a son support dans T, donc que F ne dépend
que des traces de a1. On peut donc écrire
==
(donc
aussi
F);
en
~Hô ô~ (.1 ~~ )~ *,
On va montrer que les Si sont nuls.
il est facile de construire
effet si
tel que
N
on
a
i.e.
donc
pour tout
E
~(.1~’~).
Comme
j=1
ceci prouve que Si - 0.
On a ainsi prouvé que toute forme .F’ linéaire continue sur Ws(Q), nulle sur
est dense dans
est nulle sur tout -W ,,(Q), c’est à dire que
est
Un autre résultat utile dans ce qui suit, concernant l’espace
donné par le
est dense dans
ÎfQ>
une
THÉORÈME 3.3. Soit
condition aux limites de la
où
est
tangentiel
un
à
et
posant
D"u
opérateur différentiel homogène
Ti
et
ccvec
lai
=
s;
v
vérifie
sur
Fi
à
coefficients
constants d’ordre
Isl,
f ~,1=
opérateur tangentiel
d’après
=
forme
DÉMONSTRATION. L’opérateur
est
v
à
les relations établies
s’écrit évidemment
d’ordre s --~- 1- k. On
au
début de
ce §.
en
déduit que
On obtient le résultat
en
379
4. -
Inégalités
Le but de
a
ce §
priori.
est de prouver l’existence de
au
§ 2,
il suffira donc d’établir
a
ce
résultat pour
Cela résultera du
pour
LEMME 4.1.
sur
déjà prouvé
l’inégalité
entier > o. On
pour
Os tel que
A pour
tout
Soit v
P tel que
=
D é9u 0
ipc s -~-1; alors l’inégalité ci-dessus est vérifiée.
1 a= s
avec u E
f3
et
=
DÉMONSTRATION. On développe
de la même manière que dans la
démonstration du théorème 2.1; on obtient ainsi
Il reste à vérifier que les intégrales de b0rd sont nulles; elles sont sommes
On va évaluer la contribution d’une
des intégrales correspondantes sur les
est parallèle
face ri e: Par un changement de base on se ramène au cas où
0 (en notant à présent les coordonnées dans R3 : xl ,
à l’hyperplan x.
x3
au lieu de x, y, z). On a donc à calculer une combinaison linéaire des
=
0 sur
3 puisque dx3
avec 1 c k, l, m c 3 et naturellement m
maintenant utiliser les conditions aux limites vérifiées par v sur
en posant cp
d’après le théorème 3.3
=
On va
T;. On a
=
et par
conséquent
la forme:
est combinaison linéaire
i
d’intégrales
de
380
i. e.
ou
bien
ou
intégrales sont identiques si on échange les rôles de xl et x2; on va montrer
qu’elles sont nulles. Après un nombre fini d’intégrations par parties on a
(au signe près)
Ces
est
avec
avec oc
sur
aF,
-f- y
=
pair
et
2~u + 1, p -~- b 2v + 1, si ce + y est impair car les intégrales
puisque ear hypothèse les dérivées jusqu’à l’ordre 8
=
sont toutes nulles
de 99 (qui sont des dérivées d’ordre c s -E-1 de u) sont nulles sur
Dans les deux cas I’ s’intègre complètement et on a I’ = 0. Le lemme est
ainsi complètement démontré.
Utilisant le corollaire 3.2,y on en déduit le
THÉORÈME 4.2. Il existe Os tel que
pour tout
soit de la
condition
qu’aucun
des
Il ne sera pas nécéssaire dans la suite de démontrer
restriction sur les angles.
l’inégalité
à
priori
sans
381
5. - Alternative de Fredhohn.
Dans tout ce qui suit on suppose vérifiées les conditions sur les angles (0j,k
contenues dans les hypothèses du théorème 4.2. On sait alors que LI est
injectif et à image fermée de W (S2) dans H’ (12); on va maintenant essayer
d’en déterminer l’orthogonal c’est à dire
L’idée essentielle consiste à utiliser le fait que v est solution du
de Dirichlet homogène:
problème
dans un sens faible, qu’on pourrait préciser comme au
utilisant les techniques de Lions Magenes [9]. On va prouver le:
et
Pour démontrer le
point (i)
on
§ 2,
en
part du
DÉMONSTRATION. Le cas s = 0 a déjà été examiné au §2 (Lemme 2.4).
Comme il n’existe pas de polyèdre 9 vérifiant la condition Wi,k nl3 pour
tout j et tout k, il reste seulement à examiner le cas où s =1, c’est à dire-
qu’on
suppose
1jN,
Raisonnant comme dans la démonstration du lemme 2.4, on vérifie
il suffira donc
facilement que
est en fait analytique dans
de vérifier la régularité H2 de v au voisinage de tout point x E A. Ramenant r en 0 par translation et choisissant pour V une boule de centre 0 et
de rayon assez petit, on a
où G est un polygône curviligne de S2 dont tous les angles sont inférieurs à
On sait alors (d’après l’appendice) que les fonctions propres wk de l’opérateur de Laplace-Beltrami sur G (mêmes notations que dans le lemme 2.4~
avec conditions de Dirichlet sur 2G sont dans H3(G).
Soit donc ’VEN1(Q), on a dans Q n V
382
avec
On trouve
l’équation dont ck
est solution
en
écrivant que
avec
q e D (]0, R[). Du fait que Wk E H3(G), on vérifie aisément
enfin on a l’identité
est clair que u ~~, = 0 car
où
il
4’où
comme
uE
H3(Q);
L’équation
donc que
qui assure que
implique que
que
dans la démonstration du lemme 2.4.
où
Pour terminer cette démonstration
on
admet
provisoirement
le
LEMME 5.3. Si G est contenu dans un quart de sphère S2, on a ~i>4.
On en déduit que
C - 2 . La technique du lemme 3.10
(2013 1 2013 VÎ7)/2
( * ) En réalité, puisque
w2 E L2 ; les fonctions vi et V2
on
sont
peut écrire
développables
en
v =
séries de Wk d’où
avec
VI’
383
de Grisvard
montre que
[4]
si et seulement
plique
et par
conséquent
im-
v
que
Ensuite toujours grâce à la condition
sance des ak : la fonction
avec
le fait que
99 E ~(JO,
par ailleurs
_R[~
est dans
et
on
v
sa norme
peut estimer la crois-
est
on a
d’où
Compte tenu du fait que
qu’il existe C’ et a> 0 tels
On est à
présent
déjà
No(Q)
que
que
et par
on
voit
de prouver que
.g2(SZ) ; comme on sait
le
lemme
N(Q) Ç g2(SZ) d’après
2.4, il suffit de vérifier
i.e. que N, (S2)
Dans Q m V on a
en mesure
=
conséquent
que
26 - Annati detla Scuola Norm. Sup. di Pisa
384
et le terme
général
à une constante
est démontré.
de cette série est
près;
asymptotiquement majoré
la série est donc
convergente si R
6.
par
Le lemme 5.2
DÉMONSTRATION DU LEMME 5.3. Comme il est connu que ~,l décroît
lorsque G croît, il suffit de considérer le cas où G est un quart de sphère:
Si on utilise les mêmes coordonnées que dans la démonstration du lemme 2.5,
on peut choisir les coordonnées de manière que G
Gn/2:
=
Dans ce domaine, on a ~1 ~ pi où #~ est la
dans G n/2 i.e.
4.
On déduit du lemme 5.2 que
ceci démontre le point
du théorème 5.1.
(i)
première
valeur propre de - D20
du théorème 5.1. Il reste à démontrer le
point (ii)
DÉMONSTRATION
DU THÉORÈME 5.1 (ii).
L’idée est que supposer
2 dans
contredirait les résultats obtenus lorsque n
Grisvard [4]. Supposons que Âi.k soit porté par l’axe Oz, ce qui est toujours
possible en changeant éventuellement de système d’ages de coordonnées;
or peut aussi se ramener au cas où
est porté par le plan xOz et 7~ par
le plan défini par
Soit alors I un intervalle de l’axe Oz tel
que 1 c Ao et soit e > 0 tel que
dim Ns(S2)
+
oo
=
où Z désigne le secteur plan infini (dans le plan x0y) d’ouverture
et s’apsur
l’axe
Ox.
On
de
solution
va
étudier
la
de
puyant
régularité
Au f E Ho’(1) avec l’hypothèse que u est à support
z2
y) : + y2 ell .
=
On
se
ramène
au cas
à trois dimensions
en
considérant
385
avec
q E ~(I).
Il est clair que
et que
au
moins si
supposé
de dimension finie. On
aura
Comme u et f sont fixées et
est quelconque, les N identités cidessus sont N conditions linéaires sur 99. La dimension de D(I) étant infinie,
on peut
telle que les identités soient satisfaites et
d’où
par conséquent
puisque 99 E 1)(I), u E H’+2(f). Ce raisonnement prouve que toute
à support dans
vérifiant
1),
x2 -~- y2 C ~2 est automatiquement dans Hs+2(~); comme
,ceci contredit le corollaire 3.8 de Grisvard [4].
La démonstration lorsque s > 2 suit les mêmes idées.
6. -
Epilogue.
Les résultats des § précédents concernent les solutions de 4u = f avec
c’est à dire que f vérifie des conditions aux limites superflues dont
il faut se débarasser lorsque
On utilisera pour cela les théorèmes de
traces.
Plus précisement on considère l’application
C’est naturellement
de
plus
on a
une
application
nécessairement
(d’après
de
HS+2(Q)
le théorème
dans
1.1)
386
Par
conséquent,
il est naturel de considérer
P
de
H8+2(Q)
dans
18(Q)
sous-
N
défini par les conditions gj=gk
espace de
sur
Aj.k.
’
i=i
On
va
prouver le
THÉORÈME 6.1. (a) P~ est bijectif de H8+2(Q) sur Is(S2) si on a
(b) l’image de H8+2(Q) par P’ 0 dans
pour tout couple j, k tel que
si aucun des úJ i, k n’est
est formée et de codimension infinie dans
et l’un des (0j,k est
de la forme ln/(m+1),
> ~c~is -f-1).
On déduira
ce
théorème des résultats de §
THÉORÈME 6.2.
n’est de la
Soit {f; 91 ~ - - -,
forme
E
18(Q),
précédents
on
et du
suppose
Z, m E N, 1 c m c s, l*m+1;
des
alors il existe
solution de
La démonstration du théorème 6.2 est basée sur l’utilisation du théorème 1.1.
Il est clair que le théorème 6.2 permet de ramener la démonstration du
théorème 6.1 à l’application du théorème 5.1: les techniques utilisées sont
les mêmes que celles du § 4 de Grisvard [4].
REMARQUE 6.3. On pourrait préciser le résultat lorsqu’un des angles
de S~ est de la forme ln/(m+1). On montrerait que si aucun des úJi.k n’est
de la forme
+ 1), l’image de JP~ dans 18(Q) est encore fermée ce qui
n’est vrai lorsque l’un des úJi.k est de la forme ln/(s + 1) (1 c- N). On ne
donnera pas le détail des démonstrations (d’ailleurs semblables à celles de
Grisvard [4]) pour des raisons de brièveté.
Appendice.
deux résultats utilisés dans les §§ 2 et 5 respectivement
et qui sont relatifs à des problèmes bidimensionnels donc plus liés à
Grisvard [4].
On note L l’opérateur de Laplace-Beltrami sur S2 (la sphère unité de R3)
et G un ouvert de S2 de la forme particulière suivante: aG est formé d’un
nombre fini d’arcs de grands cercles qu’on notera Si,
En d’autres
On
a
regroupé ici
387
termes G est l’intersection avec S2 d’un cône polyédral S2 de sommet 0 ; il est
limité par ses faces
et Si
On notera úJi l’angle que font les
S2
en leurs points de rencontre, c’est à dire l’angle
tangentes à Si et à
de Fi avec ri+l (vers l’intérieur de Q).
=
THÉORÈME.
Si
.H2(G) n H’(G) sur L2(G)
phisme de .g3(G) n H’(G)
Il
en
résulte que si
pour
tout j
et si o,)j
sur
alors L est
pour
tout j
un
de
isomor-
isomorphisme
alors L est
un
HI(G).
est fonction propre de L i.e.
alors
si
n pour tout j (c’est le résultat utilisé dans la
démonstration du lemme 2.4) et
si
pour tout j (c’est
le résultat utilisé dans la démonstration du lemme 5.2).
DÉMONSTRATION. Il s’agit d’un résultat de régularité qui compte tenu
de l’ellipticité de L, est évident à l’intérieur de G et au voisinage des arcs ~5~;
il n’y a de problème qu’au voisinage des sommets. Il suffit donc de considérer le cas où la fonction u dont on veut prouver la régularité, est à support
au voisinage d’un des sommets. En coordonnée locales on est ramené au
problème suivant:
G est le secteur plan limité par l’axe Ox et la demi-droite qui fait avec Ox
un angle «)i dans le sens-direct,
est à support borné et de plus u
est solution de
où .
On
avec aca fonction
a
régulière
telle que
donc
où B est un opérateur du premier ordre et A
dont les coefficients s’annullent en zéro.
Si JEL2(G) on a
un
opérateur
du second ordre
On peut trouver un triangle coîncidant avec G au voisinage de 0 et contenant
le support de u. Soit L1~ la restriction de L1 à Hô(S~1) ; d’après la remarque 3.11
r’1
de Grisvard [4] on sait que 41 est un isomorphisme de
388
sur
on
.~L~(S~1). Comme les coefficients de A tendent vers zéro lorsqu’on diminue Q,
voit que si Q~ est assez petit Ll~ + A est encore un isomorphisme de
Il en résulte que
sur
dont tous les angles sont
Si tous les oii sont ~/2y on utilise un triangle
est un
de
Grisvard
4.2
le
théorème
et
alors
[4] on sait que
d’après
7r/2
même
le
raisonnement
et
sur
n
de
que
isomorphisme
ci-dessus montre que u
H1(Ql)
BIBLIOGRAPHIE
[1] AGMON, Lectures on elliptic boundary value problems, Van-Nostrand, 1965.
[2] COURANT - HILBERT, Methods of mathematical physics, Interscience, 1953.
Rend. Sem. Mat.
[3] GAGLIARDO, Caratterizzazione delle tracce sulla frontiera
Univ. Padova, 27 (1957), pp. 284-305.
Bollettino U.M.I.,
[4] GRISVARD, Alternative de Fredholm relative au problème
5 (1972), pp. 132-164.
[5] GRISVARD, Problème de Dirichlet dans un cône, Ricerche di Matematica, 20
(1971), pp. 175-192.
[6] GRISVARD, Théorèmes de traces relatifs à un polyèdre, C.R.A.S., Paris, 278
(1974), pp. 1581-1583.
[7] GRISVARD, Problème de Dirichlet dans un domaine non régulier, C.R.A.S.,
Paris, 278 (1974), pp. 1615-1617.
Czechoslovak.
[8] KADLEC, La régularité de la solution du problème de Poisson
Math. J., 89 (1964), pp. 386-393.
[9] LIONS - MAGENES, Problèmes aux limites non homogène et applications, Dunod,
...,
...,
...,
1968.
[10] NECAS,
Les méthodes directes
en
théorie des
équations élliptiques, Prague,
1967.