Alternative de Fredholm relative au problème de Dirichlet

ANNALI DELLA
SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA
Classe di Scienze
P. GRISVARD
Alternative de Fredholm relative au problème de
Dirichlet dans un polyèdre
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4esérie, tome 2, no3
(1975), p. 359-388
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Alternative
de
Fredholm relative
au
problème
de
Dirichlet
dans un
polyedre.
P. GRISVARD
(*)
Sunto. -
Estensione
al
caso di
più
dimensioni dei
risultati ottenuti in
[4] :
cioè stu-
dio
della
regolarità
della soluzione
del
problema
di
Dirichlet
non
omogeneo
in
un
dominio
tridimensionale con
f rontiera
poliedrale.
Introduction.
Dans Grisvard
[4]
on
a
établi
le
résultat
suivant
où Q
désigne
un
ouvert
borné
de .R2 à
frontière
polygonale
dont
les
ouvertures des
angles
aux sommets
(vers
l’intérieur de
Q)
sont
notées
Wl’ ...,
WN.
L’opérateur
de
Laplace A
considéré
de
HS+2(Q)
r1
dans
HS(Q)
a
une
image
fermée si
et
seule--
ment
si aucun
des
Wj
n’est de
la
forme
Lorsque
cette
condition
est
réalisée, l’image
de
d
est
de
codimension
finie
égale
à
T
où
est
le
plus grand
entier
k C
-f--
1).
En
particulier
L1 est
surjectif
si
on
a:
(*)
Université
de
Nice.
(**)
Ici
s est
entier ~ 0.
Pervenuto alla
Redazione
il
18
Settembre 1974.

360
On
remarque
que
pour s = 0,
la
condition est
que D
soit
convexe;
pour
s = 1,
la condition
est
qui
n’est
vérifiée
que
par
un
triangle
dont
tous
les
angles
sont
~/2.
Enfin,
pour
s &#x3E; 2,
la condition
n’est
jamais
vérifiée
(elle
le serait
cependant
si on admettait
les
polygônes
curvilignes).
Dans ce
travail
on montrera
que
si
S~
est
un ouvert borné de
R3
à
fron-
tière
polyèdrale
dont
les
ouvertures
des
angles
des dièdres
(vers
l’intérieur
4e
S~)
sont
notées
6~~
le
résultat
correspondant
au
précédent
s’énonce
comme sait :
d
considéré
de
HS+2(Q)
n
dans
H8(Q)
a
une
image
fermée
si
et seulement
si
aucun
des n’est
de la forme:
Lorsque
cette condition est
réalisée
A
est
surjectif
si
on
a:
et sinon
l’image
de d
est de codimension
infinie.
C’est ce
dernier
phénomène
qui
différentie le
cas
polyédral
du
cas
polygonal,
à savoir
que
dans
le
cas
polyèdral,
si
A
n’est
pas
surjectif,
il
n’est
pas
non
plus
« à
indice
».
Dans
un
autre
travail
(Grisvard
[5])
consacré au cas
a une
fron-
tière
conique,
on
a
aussi vu
que
d
est soit
surjectif,
soit à indice
lorsque
son
image
est
fermée;
ceci conduit
naturellement à la
conjecture
suivante:
Si
A de
H8+2(Q)
r1
H’(Q)
dans
H8(Q)
est à
image
fermée
et non
surjectif,
alors
l’image
de
L1
est de codimension
finie si
et
seulement si l’ensemble
des
points
non
réguliers
de h = 8Q
est
fini.
Il
résulte entre autres
du
résultat énoncé
plus
haut
que
A
est
un
iso-
morphisme
de
H2(S2)
r1
sur
L2(Q),
dès
que
Q
est
un
polyèdre
convexe.
-Comme on
établit
également
une
inégalité
à
priori
correspondant
à
ce
résultat,
où on
précise
la
dépendance
des
constantes
par rapport
à
S~,
un
procédé
de
passage
à
la limite
typique
des méthodes
utilisées
en
analyse
numérique
permet
d’étendre
le
résultat
au
cas
où S~
est
un convexe borné
quelconque
de R3
(ou
de .Rn
par
les
mêmes
méthodes).
Ce fait
a
déjà
été
prouvé
dans
Kadlec
[8].
Les
résultats
de ce
travail
ont
été annoncés dans
une
note
(Grisvard
[7]).
On
a
regroupé
dans
un
paragraphe
spécial
(le §
2), y
les
théorèmes con-
cernant la
régularité
des
dérivées secondes
qui
sont
techniquement
plus
simples
à
établir
et
susceptibles
d’extension
au cas
où ,S2 est
seulement
convexe, y
comme
il
a
été
indiqué plus
haut.
Les
paragraphes
3 et
4
conduisent
à
la
démonstration
des
majorations
.à
priori
des
dérivées
d’ordre
supérieur
à
deux;
ces démonstrations
sont
dif-

361
férentes
de
celles
de
Grisvard
[4]
relatives au
cas
bidimensionnel,
c’est
pour-
quoi,
on
les a données en
détail.
Par
contre,
dans
les
paragraphes
5 et
6,
dans
un
souci de
brièveté,
on
n’a
pas
répété
les démonstrations
relatives au
cas
bidimensionnel,
dont l’extension
n’offre
pas
de
difhculté.
1. -
Expaces
de
Sobolev dans un
polyedre.
Dans toute
la suite on
utilisera
les notations
suivantes: D est
un
ouvert
N _
borné
de
R3 à
frontière
.T’
polyèdrale,
c’est-à-dire
que
1’ _
où les
l,
i=i
sont
des
ouverts
plans,
deux
à
deux
disjoints,
S
étant
d’un
seul
côté
de
1’.
Les
rj
sont
donc des ouverts
bornés à
deux
dimensions
et à
frontière
polygonale.
On
notera l’arête
commune
à Fi
et
Fk,
c’est à
dire
que
Enfin,
on
notera wi.k
l’angle
de
1~~
avec
Tk
(c’est
à
dire l’ouverture du dièdre
formé
par
et vers
l’intérieur
de
S2;
on
suppose
bien
sûr
que (*).
Les ouverts Q
et
1 c j c
ayant
évidemment la
propriété
du
pro-
longement,
on définit
(resp.
comme
espace
des
restrictions
(resp.
Ti)
des fonctions
de
HS(R3)
(resp.
de où
ni
désigne
le
plan
qui
porte
où
comme d’habitude
désigne
l’espace
des u telles
que
Pour s
entier,
il
revient au
même de
définir comme
espace
des u
telles
que
Tous ces
espaces
sont
munis
des normes
usuelles.
L’opérateur
de
dérivation
dans la
direction normale
à
rj
(vers
l’extérieur
de
D)
sera
noté
Nj,
Ceci
posé,
les traces
sur
la frontière
des fonctions
de
sont carac-
térisées
par
le:
THEOREME
1.1.
L’application
(*)
On
ne
considérera
bien
entendu
que
les
couples j, k
tels
que
0.

362
est
linéaire continue
de
sur
le
sous-espace
de
dé f ini
par
les
conditions
suivantes :
Pour
tout
opérateur
différentiel
L à
coe f -
ficients
constants d’ordre
c s -1,
on
a:
si où
Pk ,
(resp.
Qm,
0 c m c s - 2 )
sont
les
opéra-
teurs
tangentiels
à
Fi
(resp.
Fz)
tels
que:
L’espace
des
opérateurs
différentiels
de
degré
c s -1
étant
de dimen-
sion
finie
et
le nombre des
arêtes
étant
également
fini,
les
conditions
(i)
et
(ii)
sont en
nombre
fini. Ce
résultat
est démontré
dans
Grisvard
[6].
On
définit
également
comme
fermeture
de
Cô (9)
dans
comme D
a
la
propriété
du
segment (*),
c’est aussi
l’espace
des
restrictions
à S~
des
fonctions
u c- H"(R3)
nulles
hors
de
S2.
En utilisant
le théorème
précédent,
on
voit
que
c’est aussi
le
sous-espace
de
H8(Q)
défini
par
les
conditions
aux
limites
2. -
Régularité
des dérivées secondes.
On
considère
solution
(variationnelle)
de
avec
f
E
L2(S~)
donné.
On
se
propose
de chercher
les
conditions
sur
S~
pour
que
uEH2(Q).
(*)
Pour les
propriétés
de
cones
et
de
segments
c.f.
p.
ex.
Agmon [1].