Analyse Complexe - Université Paris

Analyse Complexe
Université Paris-Dauphine
Licence de Mathématiques Appliquées
2009-2010
C. Imbert
20 septembre 2009
2
Table des matières
1 Séries entières
1.1 Définition d’une série entière . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Rayon et disque de convergence . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . .
1.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . .
1.3.1 combinaison linéaire de séries entières . . . . .
1.3.2 Produit (de Cauchy) de deux séries entières . .
1.4 Propriétés de la somme d’une série entière . . . . . . .
1.4.1 Série dérivée d’ordre k d’une série entière . . .
1.4.2 Continuité et dérivabilité de la fonction somme
1.4.3 Fonctions développables en séries entières . . .
2 Fonctions analytiques
2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Definitions et exemples . . . . . . . . .
2.1.2 Holomorphie des fonctions analytiques .
2.1.3 Principes du prolongement analytique et
2.2 Exponentielle et logarithmes . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . .
2.2.2 Les fonctions trigonométriques . . . . .
2.2.3 Logarithmes complexes . . . . . . . . .
2.2.4 Autres fonctions usuelles . . . . . . . . .
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des zéros isolés
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3 Fonctions holomorphes
3.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Premières propriétés des fonctions holomorphes . . .
3.1.3 Différentiabilité et conditions de Cauchy-Riemann .
3.2 Intégration sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Chemins paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Intégration sur des chemins . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Indice d’un point par rapport à un lacet . . . . . . .
3.3 Le théorème de Cauchy pour les fonctions C 1 holomorphes
3.3.1 Analyticité des fonctions C 1 holomorphes . . . . . .
3.3.2 Quelques applications du théorème de Cauchy . . .
3.4 Primitives de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Ouvert étoilé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
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4
TABLE DES MATIÈRES
3.5
3.6
3.4.2 Le théorème de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Primitives de fonctions holomorphes dans un ouvert étoilé
3.4.4 Analyticité des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . .
Singularités et calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Singularités des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . .
3.5.2 Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 L’intégrale d’une fonction holomorphe sur un lacet . . . .
3.6.2 Notion de résidus d’une fonction méromorphe . . . . . . .
3.6.3 Ordre d’un zéro d’une fonction holomorphe . . . . . . . .
3.6.4 Calcul de résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Théorème des résidus et formule de Cauchy généralisée .
4 Transformées de Fourier et de Laplace
4.1 Rappels sur L1 (R), L2 (R) et L∞ (R) . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Fonctions intégrables et essentiellement bornées . . . .
4.1.2 Les espaces vectoriels normés Lp (R), p = 1, 2, ∞ . . .
4.1.3 Complétude des espaces Lp (R), p = 1, 2, ∞ . . . . . .
4.1.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Propriétés de la transformée de Fourier . . . . . . . .
4.2.3 Formule de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Formule de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Définition et convergence . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Opérations élémentaires sur la transformée de Laplace
4.3.3 Holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Théorème d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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70
71
TABLE DES MATIÈRES
i
Introduction
Ces notes de cours d’analyse complexe sont largement inspirées du cours mis
en place par Philippe Gravejat durant les années 2005-2008. Il fait suite au cours
d’Analyse 3 de DU2 et est aussi lié (dans une moindre mesure) aux deux cours
du tronc commun du premier semestre de la licence MI2E Mention MMPE : le
cours d’intégrale de Lebesgue et probabilités et le cours de calcul différentiel et
d’optimisation 2.
A partir de la notion de séries entières, nous allons voir ce qu’est une fonction analytique et montrer en particulier que ces fonctions sont très régulières.
Nous verrons aussi qu’elles sont holomorphes, c’est-à-dire “dérivables au sens
complexe”. Nous parlerons notamment d’ensembles connexes ; cette notion est
topologique et est donc en lien avec le cours de calcul différentiel. Le troisième
chapitre du cours est consacré aux transformations de Fourier et de Laplace ; les
outils introduits au début du cours d’intégration de Lebesgue seront alors utilisés. Ce dernier chapitre constitue une introduction au cours “analyse fonctionnelle et initiation à l’analyse de Fourier” du second semestre (tronc commun).
Cet Unité d’Enseignement est organisée en 13 séances de cours et 13 séances
de travaux dirigés.
ii
TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Séries entières
Dans ce chapitre, nous rappelons rapidement les définitions et les résultats
sur les séries entières vus dans le cours d’Analyse 3 de l’année dernière.
1.1
Définition d’une série entière
L’idée très informelle des séries entières est de se donner une suite de nombres
complexes (an )n∈N et de lui associer une fonction définie comme la somme d’une
série.
La principale différence avec l’année dernière est que les séries entières sont
cette année des séries de fonctions d’une variable complexe ; en d’autres mots,
la variable z pour laquelle on considère la série
X
an z n
est complexe : z ∈ C.
Convention. z 0 ≡ 1 pour tout z ∈ C.
P zn
Exemple 1. On peut considérer la série entière
n! .
P n
Contre-exemple 1. La série de fonction
|z|n +1 n’est pas une série entière.
La somme de la série définit donc une fonction
z ∈ C 7→
+∞
X
an z n
n=0
dont le domaine de définition sera inclus dans le disque de convergence dont
nous rappelons la définition dans le paragraphe suivant.
Attention !. Ce n’est pas parce que l’on considère la somme d’une série entière
que la série converge.
1.2
1.2.1
Rayon et disque de convergence
Définitions
Pour définir le disque de convergence de la série entière
d’abord définir son rayon de convergence.
1
P
an z n , il faut
2
CHAPITRE 1. SÉRIES ENTIÈRES
Définition 1 (Rayon de convergence). Soit A le sous-ensemble de R défini
comme suit
A = {r ≥ 0 : (an rn )n∈N est une suite bornée de C} .
P
Le rayon de convergence R de la série entière
an z n est la borne supérieure
de A.
On peut remarquer deux choses :
– l’ensemble A n’est pas vide car il contient toujours 0 ;
– le rayon de convergence peut être infini.
Question 1. Tester vos connaissances : qu’est-ce qu’une borne supérieure ?
Qu’est-ce qu’une suite bornée ?
P n
Exemple 2.
– La série
z a un rayon de convergence de 1.
P znentière
– La série entière
n! a un rayon de convergence égal à +∞.
Proposition 1. Pour tout r ∈ [0, R[, la suite (an rn )n∈N est bornée. Ainsi,
l’ensemble A est égal à [0, R[ ou [0, R].
On rappelle qu’un disque (ouvert) du plan complexe est défini par son centre
et son rayon. S’il est centré à l’origine et que son rayon est ρ, il est noté dans
ce cours Dρ .
Définition 2 (Disque de convergence).
Si R ∈ [0, +∞] désigne le rayon de
P
convergence d’une série entière
an z n , alors DR est appelé son disque de
convergence.
P n
Exemple 3.
– Le disque de convergence de
z est D1 , le disque unité
(ouvert).
P zn
– Le disque de convergence de
n! est C tout entier.
Lemme 1 (Lemme
d’Abel). Soit R ∈ [0, +∞] le rayon de convergence d’une
P
série entière
an z n et soit z ∈ C.
P
– Si |z| > R, la série entière
an z n est divergente ; autrement dit, z n’est
pas dans le domaine de définition
P denla somme de la série.
– Si |z| < R, la série entière
an z est absolument convergente, donc
convergente. En particulier, z est dans le domaine de définition de la
somme de la série.
Remarque 1 (importante). On rappelle que l’on ne peut pas dire si la série
entière est convergente ou non sur le bord du disque, autrement dit pour les z
dont le module (complexe) vaut R.
1.2.2
Calcul du rayon de convergence
Pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière, on peut notamment utiliser trois méthodes :
– soit utiliser directement la définition de R ;
– soit utiliser le principe de comparaison ;
– soit utiliser le critère de d’Alembert ou celui de Cauchy.
1.2. RAYON ET DISQUE DE CONVERGENCE
3
Fig. 1.1 – Disque de convergence d’une série entière
Nous rappelons ce qu’est le principe de comparaison ainsi que les critères suscités.
P
P
Lemme 2 (Principe de comparaison). Soit
an z n et
bn z n deux séries
entières de rayons de convergence Ra et Rb . S’il existe une constante M > 0
telle que pour tout n ∈ N,
|an | ≤ M |bn | ,
alors Rb ≤ Ra .
Exemple 4. Considérons la suite an telle que a2n = 0 et a2n+1 = 1/n pour tout
n ∈ N. Alors le principe de comparaison nous dit que son rayon de convergence
est plus grand que 1 et la définition de rayon de convergence nous montre qu’il
est plus petit que 1. Le rayon est donc exactement 1.
Exercice 1. Soit P un polynôme à valeurs complexes et an = P (n). Montrer
que le rayon de convergence de la série entière associée est 1.
P
P
Corollaire 1 (Termes généraux équivalents). Soit
an z n et
bn z n deux
séries entières de rayons de convergence Ra et Rb . Si |an | ∼ |bn | lorsque n
tend vers +∞, alors Ra = Rb .
P
Exemple 5. Soit an = n + ln(n) + tan(1/n). Le rayon de convergence de
an z n
égale 1.
Lemme 3 (Critère de d’Alembert). Si la suite an est non-nul à partir d’un
certain rang, et si
|an+1 |
→ l ∈ [0, +∞] ,
|an |
4
CHAPITRE 1. SÉRIES ENTIÈRES
alors le rayon de convergence de la série entière
particulier, si l = +∞, R = 0.
P
an z n est égal à 1/l. En
Exemple 6.
– an = (2n!)
(n!)2 . Le rayon de convergence de la série entière associée
est 1/4.
n
– an = nn! . Le rayon de convergence de la série entière associée est 1/e.
Contre-exemple 2. a2n = 4n et a2n+1 = 0. Alors R = 1/2 et non 1/4. Ce
contre-exemple est aussi valable pour le critère de Cauchy rappelé ci-après.
Lemme 4 (Critère de Cauchy). Si la suite an est non-nul à partir d’un certain
rang, et si
(an )1/n → l ∈ [0, +∞] ,
P
alors le rayon de convergence de la série entière
an z n est égal à 1/l. En
particulier, si l = +∞, R = 0.
n
Exemple 7. P – Si an = ( n+1
n ) , alors le rayon de convergence de la série
n
entière
an z est égal à 1.
– Si
a
=
(n
sin(1/n))n , alors le rayon de convergence de la série entière
n
P
n
an z est égal à 1.
Attention !. Pour appliquer l’un des deux critères, il faut bien s’assurer que an
est non-nul à partir d’un certain rang.
1.3
Opérations sur les séries entières
1.3.1
combinaison linéaire de séries entières
P
Lemme 5 (Multiplication par une constante). Soit λ ∈ C∗ et
an z n une série
entière P
de rayon de convergence R. Alors le rayon de convergence de la série
entière (λan )z n est R et pour tout z ∈ DR ,
+∞
X
(λan )z n = λ
n=0
+∞
X
an z n .
n=0
P n n
Exemple 8.
– Le rayon de convergence
de
2n z est nul.
P
– Le rayon de convergence de (3.4n )z n est égal à 1/4.
P
P
Lemme 6 (Somme). Si
an z n et
bn z n sont deux séries entières de rayon
de
Ra et Rb , alors le rayon de convergence Ra+b de la série entière
P convergence
(an + bn )z n vérifie
Ra+b ≥ min(Ra , Rb ) .
(1.1)
De plus, si Ra 6= Rb , alors
Ra+b = min(Ra , Rb ) .
Attention !. Pour avoir égalité, les deux rayons de convergence doivent être
distincts.
P
Exemple 9.
– Le rayon de convergence de (2n + 3n )z n est égal à
min(1/2, 1/3) = 1/3.
P
– Le rayon de convergence de (n2 − en )z n est égal à min(1, 1/e) = 1/e.
1.3. OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES ENTIÈRES
5
P
Contre-exemple 3. Si l’on considère An = 0, le rayon de convergence de An z n
vaut +∞. Or on peut P
écrire An =
Pan −n bn avec an = bn = 1. Les rayons de
convergence des séries
an z n et
bn z sont tous les deux égaux à 1 et leur
minimum vaut donc 1. On a bien dans ce cas une inégalité stricte dans (1.1).
On en déduit en particulier une estimation du rayon de convergence de la
combinaison linéaire de deux séries entières.
P
P
Corollaire 2 (Combinaison linéaire de séries entières). Si
an z n et
bn z n
sont deux séries entières de rayon de convergence RP
a et Rb et si λ, µ ∈ C, alors
le rayon de convergence Rλa+µb de la série entière (λan + µbn )z n vérifie
Rλa+µb ≥ min(Ra , Rb )
et pour tout z ∈ DRλa+µb , on a
+∞
X
(λan + µbn )z n = λ
n=0
+∞
X
an z n + µ
n=0
+∞
X
bn z n .
n=0
De plus, si Ra 6= Rb , alors
Ra+b = min(Ra , Rb ) .
P
Exemple 10. Le rayon de convergence de (sin n)z n est 1. En effet, on écrit
1 in
(e − e−in )
2i
et on applique le corollaire précédent.
sin n =
1.3.2
Produit (de Cauchy) de deux séries entières
P
P
Lemme 7. Soit an z n et bn z n sont deux séries entières de rayon de convergence Ra et Rb . Définissons un nombre complexe cn comme suit
cn =
n
X
ak bn−k .
k=0
Le rayon de convergence Rc de la série entière
P
cn z n vérifie
Rc ≥ min(Ra , Rb )
et pour tout z tel que |z| ≤ min(Ra , Rb ),
+∞
X
n=0
cn z n = (
+∞
X
n=0
an z n )(
+∞
X
bn z n ) .
n=0
P+∞
Exemple 11.
– an = bn = 1. Alors cn = n + 1 et n=0 cn z n = (1 − z)2 .
n
P+∞ n
P+∞
– an = bn = 1/n!. Alors cn = 1/n!2n et donc ( n=0 zn! )2 = n=0 (2z)
n! .
P
Attention !. La somme P
de la série P
entière (an bn )z n n’est pas égale au produit
n
des sommes des séries
an z et
bn z n (même quand ces trois quantités sont
bien définies).
P+∞
Contre-exemple 4. Si an = 2n et bn = 3n , alors n=0 an z n = (1 − 2z)−1 et
P+∞
P
+∞
n
−1
et n=0 (an bn )z n = (1 − 6z)−1 . Or
n=0 bn z = (1 − 3z)
1
1
1
×
6=
.
1 − 2z
1 − 3z
1 − 6z
6
CHAPITRE 1. SÉRIES ENTIÈRES
1.4
1.4.1
Propriétés de la somme d’une série entière
Série dérivée d’ordre k d’une série entière
Définition 3P
(Série dérivée). La série dérivée de la série entière
série entière ((n + 1)an+1 )z n .
P
an z n est la
Remarque 2. Si on regarde un instant la série comme une série de fonctions
de variables réels, alors la série dérivée est en fait obtenue en dérivant terme à
terme. Mais pour l’instant, on ne dit rien sur la dérivabilité de la somme ! On
ne fait que définir une nouvelle série.
Remarque 3 (Importante). On peut aussi vouloir dériver par rapport à la variable complexe z ∈ C. Vous avez vu (ou verrez) en cours de calcul différentiel
que l’on peut “différentier” une fonction définie d’un espace de Banach dans un
autre. Or C est un espace de Banach. Mais nous reviendrons là dessus.
Lemme 8. Une série entière et sa série dérivée ont le même rayon de convergence.
P
Exemple
12. Par exemple considérer an = 1. Les rayons de convergence de z n
P
et (n + 1)z n sont égaux à 1.
On peut ensuite définir la série dérivée d’ordre k pour tout k ∈ N non nul.
Définition
4. Soit k ∈ N, k 6= 0. La série dérivée d’ordre k de la série entière
P
an z n est la série entière
X (n + k)!
an+k z n .
n!
Question 2. Quelle est la série dérivée d’ordre k de la série entière
P zn
n!
?
On déduit le lemme suivant du Lemme 8 par une récurrence immédiate.
Lemme 9. Une série entière et sa série dérivée d’ordre k ont le même rayon
de convergence.
1.4.2
Continuité et dérivabilité de la fonction somme
Dans le paragraphe précédent, nous n’avons fait que définir des séries entières
(que l’on a appelé séries dérivées) mais nous n’avons pas justifié cette appelation.
En d’autres termes, nous n’avons pas montré que la dérivée de la fonction somme
coı̈ncidait avec la série dérivée. Pour l’instant, nous ne savons dériver que par
rapport à une variable réelle, nous allons donc considérer la fonction somme
S : x ∈ [−R, R] 7→ S(x) =
+∞
X
an xn .
n=0
Attention .! Les nombres an sont toujours complexes, donc la fonction S à valeurs
complexes. Si cela vous gène, vous pouvez vous dire qu’elle est à valeurs dans
R2 , ou bien encore considérer la partie réelle et la partie imaginaire des nombres
an .
1.4. PROPRIÉTÉS DE LA SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE
7
Fig. 1.2 – Somme d’une série entière restreinte à l’axe réel
Le résultat principal de ce paragraphe est assez simple à montrer mais il est
très important. Il repose sur le lemme suivant.
P
Lemme 10. On considère une série entière
an z n dont le rayon de convergence R n’est pas nul. Alors la série entière (vue comme une série de fonctions)
est normalement convergente sur tous les disques Dr pour r ∈ [0, R[.
P n
Attention !. On ne peut rien dire sur le bord du disque. Pensez à
z dont la
somme est 1/(1 − z). Cette fonction n’est même pas définie en P
1 (donc parler
zn
de sa continuité est un non-sens). En revanche, la série entière
n2 converge
partout sur le bord de son disque de convergence.
On peut immédiatement en déduire le résultat suivant
Corollaire 3. La fonction somme d’une série entière est continue sur le disque
de convergence. En particulier
lim S(z) = a0 .
z→0
Exemple 13.
+∞
+∞ n
X
X
1
z
=
.
z→1
n!
n!
n=0
n=0
lim
Grâce au théorème de dérivation des séries de fonctions, on en déduit donc
immédiatement le théorème suivant.
Théorème 1. La fonction S : [−R, R] → C est de classe C ∞ sur ] − R, R[ et
S (k) (x) =
+∞ X
(n + k)!
n=0
n!
an+k xn .
On a rappelé qu’on ne peut rien dire de la convergence de la série entière sur
le bord de son disque de convergence. Mais si on sait que la série entière converge
au point R ∈ D̄R , alors on peut dire quelque chose de la fonction somme.
8
CHAPITRE 1. SÉRIES ENTIÈRES
P
Théorème 2 (Abel). Si la série entière
an z n converge en z = R, alors la
fonction somme f : [−R, R] est bien définie en R et est continue à gauche en
ce point.
1.4.3
Fonctions développables en séries entières
Le dernier paragraphe de ce chapitre de rappels est consacré aux fonctions
développables en séries entières. On a vu dans le paragraphe précédent que si
on considère la fonction somme d’une série entière et qu’on la restreint à l’axe
réel du disque de convergence, alors on obtient une fonction C ∞ sur ] − R, R[.
On peut se demander si la réciproque est vraie. Vous avez vu l’année dernière
que la réponse est non. On peut s’en convaincre en utilisant le lemme suivant .
P
Lemme 11. Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0.
Alors pour tout entier n,
1
an = f (n) (0) .
n!
Vous avez vu que la fonction
f (x) =
1
e − x2
0
si x 6= 0
si x = 0
est bien C ∞ et dont toutes les dérivées sont nulles en 0. Nous reverrons cet
exemple en séance de travaux dirigés.
Remarque 4. Vous retrouverez cette fonction en analyse fonctionnelle au second
semestre pour construire une fonction C ∞ “à support compact”.
On peut maintenant définir ce qu’est une fonction développable en série
entière.
Définition 5 (Fonction développable en série entière). Soit f : R → R une
fonction de classe C ∞ dont le domaine de définition contient un intervalle I
ouvert contenant 0. On dit que f est développable en série entière en 0 s’il existe
R > 0 et une suite de nombres réels (an )n∈N telle que pour tout x ∈] − R, R[
f (x) =
+∞
X
an xn .
n=0
Au vu du Lemme 11, on peut utiliser la méthode suivant pour démontrer
qu’une fonction C ∞ est développable en série entière.
– On calcule les coefficients de Taylor de f :
an =
1 (n)
f (0) .
n!
– On calcule le rayon de convergence de la série entière associée. Si celuici est nul, la fonction n’est pas développable en série entière. Sinon, on
continue.
– On montre que la série entière associée converge effectivement vers f .
La dernière étape est importante ; pour s’en convaincre, reprendre l’exemple
donné plus haut.
1.4. PROPRIÉTÉS DE LA SOMME D’UNE SÉRIE ENTIÈRE
9
Remarque 5. Si on utilise le vocabulaire que vous avez vu (ou verrez) en calcul
différentiel, I est un voisinage du point 0 ∈ R.
Nous concluons ce paragraphe (et ce chapitre) par une proposition sur les
fonctions développables en série entière.
Proposition 2. Soit f et g deux fonctions développables en série entière en 0.
Notons an et bn les coefficients de Taylor respectifs.
– N’importe quelle combinaison linéaire de f et g est aussi développable en
série entière. Précisément, pour tout λ, µ ∈ R, la fonction λf + µg est
développable en série entière en 0 et pour tout x ∈] − R, R[
(λf + µg)(x) =
+∞
X
(λan + µbn )xn .
n=0
– Le produit des deux fonctions développables en série entière est aussi
développable en série entière et
f g(x) =
n
+∞ X
X
an−k bn )xn .
(
n=0 k=0
– Toutes les dérivées d’une fonction f développable en série entière sont
développable en série entière et pour tout x ∈] − R, R[,
f (k) (x) =
+∞
X
(n + k)!
an+k xn .
n!
n=0
– Une primitive F d’une fonction f développable en série entière en 0 est
développable en série entière et pour tout x ∈] − R, R[,
F (x) = F (0) +
+∞
X
an−1 n
x .
n
n=1
Remarque 6. Il est rappelé qu’une primitive est toujours définie à une constante
près.
Voici quelques développements usuels.
Fonction
exp
cos
sin
ch
sh
1
1−x
ln(1 + x)
(1 + x)α
Développlement
P xn
P n! n x2n
(−1) (2n)!
P
x2n+1
(−1)n (2n+1)!
P x2n
P (2n)!
x2n+1
P (2n+1)!
xn
P
n−1 xn
n≥1 (−1)
n
P α×···×(α−n+1)
xn
n!
Validité
x∈R
x∈R
x∈R
x∈R
x∈R
−1 ≤ x < 1
−1 < x ≤ 1
−1 ≤ x < 1
10
CHAPITRE 1. SÉRIES ENTIÈRES
Chapitre 2
Fonctions analytiques
Dans le chapitre précédent, on a considéré des séries de fonctions particulières. On a vu que ces séries de fonctions définissaient des fonctions très
régulières mais que toute fonction régulière ne pouvait pas forcément s’écrire
comme une série entière ; en d’autres termes, une fonction régulière n’est pas
forcément développable en série entière en 0. Ici, on va considérer des fonctions
développables en série entière mais pas uniquement en 0 : elles pourront s’écrire
comme la somme d’une série entière si on les regarde en plaçant l’origine de C à
n’importe quel endroit d’un ensemble ouvert Ω. Nous allons maintenant définir
tout cela de façon rigoureuse.
Dans tout ce chapitre f est une fonction définie sur un ouvert Ω de C. On
rappelle que Ω est ouvert si pour tout z0 ∈ Ω, il existe ρ0 > 0 tel que le disque
ouvert centré en z0 et de rayon ρ0 , que l’on note D(z0 , ρ0 ), est inclus dans Ω.
2.1
2.1.1
Définitions et propriétés
Definitions et exemples
Définition 6 (Fonction analytique).
1. Soit z0 ∈ Ω. La fonction
f est anaP
lytique en z0 s’il existe un réel R > 0 et une série entière
an z n de rayon
de convergence supérieure ou égal à R tel que
– le disque D(z0 , R) est inclus dans Ω ;
– pour tout z ∈ D(z0 , R),
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n .
(2.1)
n=0
2. La fonction f est analytique sur Ω si elle est analytique en tout point
z0 ∈ Ω.
Remarque 7. Tout comme la continuité d’une fonction, l’analyticité d’une fonction se définit d’abord en un point puis sur tout un ensemble. Tout comme le
voisinage V autour de z0 pour lequel |f (z) − f (z0 )| < ε dans le cas de la continuité, ici le rayon de convergence R0 > 0 de la série entière dépend du point z0
considéré.
11
12
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Fig. 2.1 – Fonction analytique en un point z0
Attention !. Dans (2.1), bien remarquer la présence du z0 dans le membre de
gauche de l’égalité.
Exemple 14. La fonction z 7→ 1/z est analytique sur C \ {0}. Pouvez-vous
justifier cette assertion ?
Le principal exemple de fonctions analytiques est donné par les séries entières.
Nous pointons du doigt qu’il n’est pas du tout évident que si une fonction est
analytique à l’origine, elle l’est en tout point du disque de convergence.
P
Théorème 3 (Analyticité des séries entières). Soit
an z n une série entière
de rayon de convergence R > 0. Alors sa somme S est analytique sur le disque
de convergence DR = D(0, R). De plus, pour tout z0 ∈ DR , il existe δ > 0 tel
que pour tout z ∈ D(z0 , δ),
+∞
X
S(n) (z0 )
S(z) =
(z − z0 )n
n!
n=0
où
désigne la somme de la série dérivée d’ordre n de la série entière
P S(n)
an z n .
Remarque 8. Dans le théorème précédent, on connait en fait exactement ce que
vaut δ : δ = R − |z0 |.
Démonstration. Soit z0 ∈ DR . On considère alors le plus grand δ > 0 tel que
D(z0 , δ) ⊂ DR . Il est facile de voir que le plus grand δ est R − |z0 |. On écrit
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
13
ensuite pour z ∈ DR
S(z)
=
=
+∞
X
an (z0 + z − z0 )n
n=0
+∞ X
n
X
n=0 k=0
=
+∞ X
+∞
X
n n−k
an
z
(z − z0 )k
k 0
an,k
n=0 k=0
où
an,k = an
n n−k
z
(z − z0 )k
k 0
si k ≤ n et an,k = 0 sinon. On admet le théorème suivant (que vous démontrerez
en cours d’intégration sous une forme plus générale).
Théorème 4 (de Fubini pour les séries). Soit (an,k ) une famille de nombres
P+∞ P+∞
complexes indexée par N2 . Si n=0 k=0 |an,k | < +∞, alors
P+∞
– pour tout n ∈ N, la série k=0 an,k est convergente ; notons An sa somme ;
P+∞
– pour tout k ∈ N, la série n=0 an,k est convergente ; notons Āk sa somme ;
P+∞
P+∞
– et enfin n=0 An = k=0 Āk ce qui peut s’écrire plus simplement
+∞
+∞ X
X
an,k =
+∞ X
+∞
X
an,k .
k=0 n=0
n=0 k=0
Vérifions que les hypothèses de ce lemme sont vérifiées. Tout d’abord,
+∞ X
+∞
+∞ X
n
X
X
n
|an,k | ≤
an
|z0 |n−k |z − z0 |k
k
n=0 k=0
n=0 k=0
≤
+∞
X
an (|z0 | + |z − z0 |)n .
n=0
Or par hypothèse |z0 | + |z − z0 | < R donc la double série est bien absolument
convergente. On peut donc intervertir les deux sommes. On obtient alors
( +∞ )
+∞ X
X
n n−k
an
z
(z − z0 )k
S(z) =
k 0
k=0 n=k
)
( +∞
+∞ X
X
1
n!
n−k
z0
(z − z0 )k
=
an
(n − k)!
k!
k=0 n=k
( +∞
)
+∞
X
X
(m + k)! m 1
=
am
z0
(z − z0 )k .
m!
k!
m=0
k=0
Si on se souvient la définition de la série dérivée d’ordre k de S, on reconnait
alors
+∞ (k)
X
S (z0 )
S(z) =
(z − z0 )k .
k!
k=0
La démonstration est maintenant complète.
14
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Fig. 2.2 – Composition de fonctions analytiques
Nous allons maintenant voir que, tout comme les séries entières, les fonctions
analytiques sont stables par combinaison linéaire et par produit. Le lemme suivant est une conséquence immédiate du corollaire 2 du chapitre 1.
Lemme 12 (Opérations élémentaires sur les fonctions analytiques). Si f et g
sont deux fonctions analytiques sur Ω,
– alors n’importe quelle combinaison linéaire λf + µg de f et g (λ, µ ∈ C)
est analytique sur Ω ;
– le produit f g des deux fonctions est aussi analytique sur Ω.
Voici encore un résultat qui permet de construire d’autres fonctions analytiques à partir de celles que l’on connait déjà.
Lemme 13 (Composition de fonctions analytiques). Soit f : Ω → C une fonction analytique et g : Ω0 ⊃ f (Ω) → C une autre fonction analytique. Alors g ◦ f
est une fonction analytique sur Ω.
Nous ne démontrons pas tout de suite ce résultat, nous attendrons d’avoir
montré qu’une fonction analytique sur un ouvert est holomorphe sur cet ouvert
car la démonstration de ce lemme devient alors très simple.
2.1.2
Holomorphie des fonctions analytiques
Dans ce paragraphe, nous allons montrer que les fonctions analytiques sont
dérivables par rapport à leur variable complexe. Jusqu’à cette année, vous ne
saviez dériver que des fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. En cours de
calcul différentiel et optimisation, vous allez voir comment dériver une fonction
entre deux espaces de Banach. Ici, nous allons en quelque sorte traiter un cas
particulier. Pour définir la dérivée d’une fonction h : [a, b] → R en c ∈]a, b[, on
étudie la limite de la pente donnée par le taux d’accroissement de h entre c et
un x :
h(x) − h(c)
.
x−c
Si maintenant x et c sont des vecteurs, même si h est à valeurs réelles, le sens
du taux d’accroissement précédent n’est pas clair car on ne sait pas diviser un
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
15
réel par un vecteur. En revanche, on sait diviser par un nombre complexe. Donc
si on considère une fonction f : Ω → C et un point z0 ∈ Ω, on peut définir pour
tout z ∈ Ω,
f (z) − f (z0 )
(2.2)
z − z0
et étudier sa limite.
Définition 7 (Holomorphie d’une fonction). Soit f : Ω → C et un point z0 ∈ Ω.
La fonction f est holomorphe en z0 si le taux d’accroissement (2.2) admet une
limite lorsque z tend vers z0 . On note alors f 0 (z0 ) la limite éventuelle.
Exercice 2. Montrer que si f est holomorphe en z0 alors f est continue en z0 .
Holomorphie des fonctions analytiques
On va maintenant montrer que la fonction somme d’une séries entière est
dérivable au sens complexe et que la dérivée complexe de la fonction somme est
encore une une série entière. Précisément, on a le lemme suivant
P
Lemme 14 (Les séries entières sont holomorphes). Soit
an z n une série
entière de rayon de convergence R > 0 et S : DR → C sa somme. Alors S
est holomorphe sur DR et S 0 coı̈ncide avec la série dérivée de la série entière.
Remarque 9 (importante). L’année dernière les séries entières étaient définies
pour des suites de nombres réels (an ) et une variable réelle x. Cette année
elles sont définies pour des suites de nombres complexes (an ) et une variable
complexe z variant dans un disque de convergence. L’année dernière, vous avez
appris que les séries entières sont C ∞ sur ] − R, R[. Cette année, nous avons
vu dans le premier chapitre que si la série entière restreinte à l’axe réel et plus
particulièrement restreinte à ]−R, R[⊂ DR est C ∞ . Dans ce chapitre, on montre
que cette série entière est en fait dérivable au sens complexe sur le disque de
convergence et que sa dérivée est une série entière. On peut alors anticiper sur la
suite et comprendre tout de suite que, comme la série dérivée a le même rayon
de convergence que la série entière, la somme est en fait dérivable à tout ordre
au sens complexe, c’est-à-dire “C ∞ au sens complexe”. Ce résultat est donc une
généralisation naturelle de celui que vous avez vu l’année dernière.
Nous allons maintenant montrer le lemme 14.
Démonstration du Lemme 14. On considère z0 ∈ DR . On a montré (voir l’énoncé
du théorème 3 ci-dessus) que δ = R − |z0 |, on a pour z ∈ D(z0 , δ)
S(z) =
+∞
X
S(n) (z0 )
(z − z0 )n .
n!
n=0
Donc pour h ∈ Dδ , h 6= 0, on a
S(z0 + h) − S(z0 )
h
=
+∞
X
S(n) (z0 ) n−1
h
n!
n=1
=
+∞ (n+1)
X
S
(z0 ) n
h .
(n
+
1)!
n=0
16
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Le membre de droite est une série entière et l’on vient de montrer que son rayon
de convergence vaut au moins δ > 0. Donc sa limite quand h tend vers 0 est
S (1) (z0 ) = S 0 (z0 ) (voir le corollaire 3 du chapitre précédent). Ceci achève la
démonstration du théorème.
Grâce à ce lemme, nous pouvons maintenant montrer que toute fonction
analytique est holomorphe.
Théorème 5 (Les fonctions analytiques sont holomorphes). Si f est analytique
sur Ω, alors fPest dérivable au sens complexe sur Ω. De plus, si on considère
z0 ∈ Ω et si
an (z0 )(z − z0 )n est la série entière associée à f en z0 , alors
0
a1 (z0 ) = f (z0 ).
Démonstration. Soit z0 P
∈ Ω. Comme f est analytique en z0 , on sait que qu’il
existe une série entière P an (z0 )z n et un réel R > 0 telle que pour tout z ∈
+∞
D(z0 , R), on a f (z) = n=0 (z − z0 )n . Ainsi z 7→ f (z0 + z) coı̈ncide avec la
somme d’une série entière sur DR et donc
f est dérivable au sens complexe en
P+∞
z0 . De plus, on sait que f 0 (z0 + z) = n=0 (n + 1)an+1 (z0 )z n ; en particulier
f 0 (z0 ) = a1 (z0 ).
Dérivabilité à tout ordre des fonctions analytiques
Au vu de la démonstration du théorème, on a même un résultat un peu plus
fort.
Corollaire 4. Si f est analytique sur Ω, alors f est dérivable au sens complexe
sur Ω et f 0 est analytique sur Ω.
Donc on a envie de dire que f est dérivable à tout ordre au sens complexe.
Il faut donner un sens précis à ceci et c’est pour cela que nous introduisons
maintenant la définition suivante.
Définition 8 (Dérivée k-ème et fonction C k ). Soit k ∈ N, k ≥ 2.
– Une fonction f : Ω → C est dérivable à l’ordre k sur Ω si
– f est dérivable à l’ordre k − 1 sur Ω et
– f k−1 est holomorphe sur Ω.
– Une fonction f : Ω → C est C k sur Ω si
– elle est dérivable à l’ordre k sur Ω ;
– sa dérivée k-ème est continue.
On note alors f (k) la dérivée k-ème (au sens complexe) de la fonction f . Le
lemme 14 et la propriété 9 du chapitre précédent implique directement
P
Lemme 15 (Les séries entières sont dérivables à tout ordre). Soit
an z n une
série entière de rayon de convergence R > 0 et S : DR → C sa somme. Alors S
est dérivable à tout ordre au sens complexe.
On peut alors montrer
Théorème 6. Si f est analytique sur Ω, alors f est dérivable
P au sens complexe
à tout ordre sur Ω. De plus, si on considère z0 ∈ Ω et si
an (z0 )(z − z0 )n est
la série entière associée á f en z0 , alors ak (z0 ) =
f (k) (z0 )
.
k!
On déduit en particulier que la série associée en un point à une fonction
analytique est unique. Si on veut un énoncé rigoureux, on écrit
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
17
Corollaire 5. Si f est une fonction analytique sur Ω, alorsPpour tout point
z0 ∈ Ω, il existe un réel R > 0 et une unique série entière
an z n telle que
pour tout z ∈ D(z0 , R),
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Question 3. Quelle est la différence entre ce corollaire et la définition de l’analyticité de f en z0 ? Plus subtil : le résultat précédent est-il encore vrai si on
suppose seulement que f est analytique en un seul point ?
2.1.3
Principes du prolongement analytique et des zéros
isolés
Ce paragraphe est consacré à l’étude de Z, l’ensemble des zéros d’une fonction analytique f définie sur un ouvert Ω. D’une part nous allons voir que si Z
contient une petite boule ouverte, alors f est identiquement nulle. D’autre part
nous allons voir que si Z contient une suite convergente dont la limite est dans Ω
(c’est-à-dire s’il existe une suite de zéros de f qui converge et dont la limite est
encore dans Ω), alors f est aussi identiquement nulle. Le lecteur attentif notera
que le second resultat est en fait une généralisation du premier.
Pour cette étude, nous avons besoin de savoir ce qu’est un ensemble connexe.
Ensembles connexes
Vous avez vu dans le cours de calcul différentiel et optimisation ce qu’est un
espace métrique. Vous avez vu que certains pouvaient être complets, d’autres
compacts. Ces notions sont très utiles pour montrer par exemple l’existence de
points fixes d’applications ou l’existence de solutions d’un problème d’optimisation. Dans les notes de cours de G. Carlier (en page 22), il est expliqué ce qu’est
un ensemble connexe. Cette partie n’est qu’un complément de son cours et il va
nous être utile.
On considère un sous-ensemble A de C. On sait que C est un espace métrique
puisqu’il est muni d’une distance, et l’on peut donc définir une topologie sur C.
On peut aussi définir une topologie sur A, induite par le même distance.
Attention !. La topologie sur A n’est pas la même que la topologie sur C. En
d’autres termes, les fermés de A ne sont pas forcément des fermés de C. Pouvezvous construire un contre-exemple ?
Remarque 10. Il est rappelé que la topologie des ensembles métriques peut
être étudiée par les suites (page 12 des notes du cours de calcul différentiel et
optimisation).
On peut maintenant donner la définition d’un ensemble connexe. De façon
informelle, on peut dire qu’un ensemble est connexe s’il est “d’un seul tenant”.
Commençons par les ensembles connexes par arcs.
Définition 9 (Ensemble connexe par arcs). Un sous-ensemble A de C est
connexe par arcs si, pour tout couple de points x, y ∈ A, on peut trouver une
fonction continue γ : [0, 1] → A tel que γ(0) = x et γ(1) = y.
18
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Fig. 2.3 – Ensembles connexe et non connexe
Fig. 2.4 – Connexité par arcs
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
19
Ainsi, un ensemble est connexe par arcs si l’on peut relier x à y par un
chemin continu qui reste dans A.
Question 4. Pourquoi les ensembles convexes sont-ils des ensembles connexes ?
Plus généralement, on définit la notion d’ensemble connexe.
Définition 10 (Ensemble connexe). Un sous-ensemble A de C est connexe si
toute application continue f : A → {0, 1} est constante.
Remarque 11. Pour parler de continuité, il faut une topologie sur {0, 1}. On
peut par exemple considérer la distance induite par la distance usuelle dans R.
Cette définition est abstraite et il n’est pas forcément facile de savoir comment l’utiliser. Nous allons montrer que cette notion est bien une généralisation
de la précédente.
Théorème 7.
1. Tout ensemble connexe par arcs est connexe.
2. Tout ensemble connexe et ouvert est connexe par arcs.
Pour démontrer ce théorème, on aura besoin d’une autre caractérisation des
ensembles connexes.
Proposition 3. Un ensemble A est connexe si et seulement si les seuls sousensembles de A qui soient à la fois ouvert et fermé sont ∅ et A.
Démonstration. Supposons d’abord A connexe et considérons un sous-ensemble
B de A qui soit ouvert et fermé. On considère alors la foncton φ : A → {0, 1}
qui vaut 1 sur B et 0 sur A \ B. On va montrer que cette fonction est continue.
Pour cela, il suffit de montrer que l’image inverse de tout ouvert est ouvert. Or
les seuls ouverts qui ne sont pas triviaux de {0, 1} sont {0} et {1}. Et comme
φ−1 ({1} = B (qui est ouvert) et φ−1 ({0}) = A)\B (qui est aussi ouvert puisque
B est fermé), on en déduit bien que φ est continue. Mais donc φ est constante.
Ce qui veut dire B est vide ou B = A.
Réciproquement, si l’on considère une fonction continue f : A → {0, 1}, on
considère c ∈ f (A) (ensemble image de A par f ). Alors f −1 ({c}) n’est pas vide
par choix de c et il est ouvert et fermé car {c} est ouvert et fermé et f est
continue. On en déduit que f −1 (c) = A donc f est constante.
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 7.
Démonstration du théorème 7. Commençons par montrer la première assertion.
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe un ensemble connexe par arcs
qui n’est pas connexe. Il existe donc une fonction continue f : A → {0, 1} qui
n’est pas constante. Donc il existe x, y ∈ A tel que f (x) = 0 et f (y) = 1. De
plus, comme A est connexe par arcs, il existe une fonction continue γ : [0, 1] → A
telle γ(0) = x et γ(1) = y. On en déduit donc que g = f ◦ γ : [0, 1] → {0, 1} est
une fonction continue telle que g(0) = 0 et g(1) = 1. Alors par le théorème des
valeurs intermédiaires, il existe c ∈ [0, 1] telle que g(c) = 1/2, ce qui est absurde.
Montrons maintenant la seconde assertion. On considère donc un ensemble
A ⊂ C ouvert et connexe et on veut montrer qu’il est connexe par arcs. On
considère donc x, y ∈ A et on veut montrer qu’il existe γ : [0, 1] → A telle que
γ(0) = x et γ(y) = 1. On définit ensuite
B = {z ∈ A : ∃γ : [0, 1] → A t.q. γ(0) = x, γ(1) = y} .
20
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
On veut montrer que y ∈ B. On sait que B n’est pas vide puisqu’il contient
x. On va montrer qu’il est ouvert et fermé. On en déduira que B = A et en
particulier y ∈ B.
L’ensemble A est ouvert donc il existe une boule B(x, r) (pour un certain
r > 0) contenant x et inclus dans A. Les boules ouvertes étant convexes donc
connexes, tous les points de B(x, r) sont dans B. Donc B est bien ouvert. On
considère maintenant une suite de points zn ∈ B telle que zn → z ∈ A quand
n → +∞. Or A est ouvert donc il existe r0 > 0 tel que B(z, r0 ) ⊂ A. Comme la
suite zn converge vers z, il existe un entier N ∈ N tel que zN ∈ B(z, r0 ). Alors
on a γN : [0, 1] → A tel que γ(0) = x et γ(1) = zN . Et comme précédement, il
existe γ 0 : [0, 1] → A telle que γ 0 (0) = zN et γ 0 (1) = z. Il est maintenant facile
de construire γ qui rejoint x et z. Donc z ∈ B. La démonstration est maintenant
terminée.
En guise d’exercice, on pourra montrer la proposition suivante.
Proposition 4. Soit A une sous-ensemble de C et f : A → C une fonction
continue. Si A est connexe, alors f (A) est aussi connexe.
Principe du prolongement analytique
Dans ce paragraphe, on considère un ensemble ouvert et connexe Ω ⊂ C.
On va montrer que si une fonction f analytique s’annule sur tout une petite
boule inclue dans Ω, alors f est identiquement nulle. On en déduira que si deux
fonctions f et g analytiques sur Ω coı̈ncident sur une petite boule, alors elles
coı̈ncident sur Ω tout entier.
Lemme 16. Soit Ω un ouvert connexe, z0 ∈ Ω et f analytique sur Ω. Les trois
assertions suivantes sont équivalentes :
1. Pour tout n ∈ N, f (n) (z0 ) = 0.
2. Il existe R > 0 tel que pour tout z ∈ D(z0 , R), f (z) = 0.
3. La fonction f est identiquement nulle sur Ω.
Démonstration. Nous allons montrer successivement 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3, 3 ⇒ 1.
1 ⇒ 2 Etant donné que f est analytique en z0 ∈ Ω, on peut utiliser le
théorème 3 pour obtenir cette implication.
2 ⇒ 3 On considère le sous-ensemble de Ω suivant
Ω0 = {z ∈ Ω : ∃R > 0, ∀z 0 ∈ D(z, R), f (z) = 0} .
L’assertion 2 dit précisément que z0 ∈ Ω0 . En particulier, Ω0 n’est pas vide.
Nous allons montrer que Ω0 est ouvert et fermé et appliquer la proposition 3
pour déduire que Ω0 = Ω. Soit z ∈ Ω0 . Par définition de l’ensemble Ω0 , on
sait qu’il existe R > 0 tel que pour tout z 0 ∈ D(z, R), f (z) = 0. Or
pour z 0 ∈ D(z, R/2) on a D(z 0 , R/2) ⊂ D(z, R). Donc pour tout z 00 ∈
D(z 0 , R/2) f (z 00 ) = 0. On en déduit donc que z 0 ∈ Ω0 . Or ceci est valable
pour tout z 0 ∈ D(z, R/2). Ainsi Ω0 est ouvert. Si maintenant on considère
une suite zn ∈ Ω0 telle que zn → z∞ ∈ Ω, alors on veut montrer que
z∞ ∈ Ω0 . Pour cela on se fixe un réel p ∈ N et on sait que f (p) (zn ) = 0 pour
tout n ∈ N. On peut alors passer à la limite quand n → +∞ (rappelezvous que f (p) est analytique donc en particulier continue) et obtenir que
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
21
Fig. 2.5 – Principe du prolongement analytique : si les fonctions holomorphes
f et g coı̈ncident sur la petite boule, elles coı̈ncident sur Ω tout entier
f (p) (z∞ ) = 0. Ceci étant valable pour tout p ∈ N, on vérifie donc 1. Par
ce qui précède, on a donc 2 qui dit précisément que z∞ ∈ Ω0 . Donc Ω0 est
fermé.
3 ⇒ 1 Ceci est trivial car Ω est ouvert.
A partir de ce lemme, on peut en déduire immédiatement le théorème suivant.
Théorème 8. Soit Ω un ouvert connexe. Si f et g sont analytiques sur Ω et
s’il existe z0 ∈ Ω et R > 0 tels que pour tout z ∈ D(z0 , R), f (z) = g(z) alors
f ≡ g sur Ω.
De ce théorème, on peut aussi déduire que s’il existe deux prolongements
analytiques d’une même fonction analytique f sur Ω à un ouvert connexe Ω0 plus
grand (c’est-à-dire contenant Ω), alors ces deux prolongements sont identiques.
Voici un énoncé plus précis.
Corollaire 6. Soit Ω un ouvert non vide (non nécessairement connexe) et f
une fonction analytique sur Ω. Soit f¯ et f¯ deux fonctions analytiques sur Ω0 ⊃ Ω
ouvert et connexe telles que f¯ = f¯ = f sur Ω. Alors f¯ = f¯ sur Ω0 .
Démonstration. La fonction h = f¯ − f¯ est analytique sur l’ouvert connexe Ω0
et s’annule sur l’ouvert Ω ⊂ Ω0 . En particulier, h s’annule sur une petite boule.
Donc h est identiquement nulle sur Ω0 .
Principe des zéros isolés
Nous allons montrer dans ce paragraphe que les zéros d’une fonctions analytiques ne peuvent pas être trop proche les uns des autres. Pour donner un sens
mathématique précis à cette affirmation vague, il faut introduire la notion de
point isolé et de point d’accumulation d’un espace métrique.
Définition 11. Soit A un sous-ensemble de C et a ∈ C.
– Le point a est isolé dans A s’il existe R > 0 tel que D(a, R) ∩ A = {a}.
22
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Fig. 2.6 – Principe des zéros isolés : si les fonctions holomorphes f et g coı̈ncident
sur une suite dont la limite est dans Ω, alors f et g coı̈ncident sur Ω tout entier
– Le point a est un point d’accumulation de A si pour tout R > 0, D(a, R)∩
A \ {a} =
6 ∅.
Remarque 12. Remarquer qu’un point isolé de A est forcément dans A. Ce qui
n’est pas le cas pour les points d’accumulation.
On a alors le théorème suivant.
Théorème 9 (Les zéros d’une fonction analytique sont isolés). Soit Ω un ouvert
connexe et f une fonction analytique sur Ω qui n’est pas identiquement nulle.
Alors les zéros de f dans Ω sont isolés.
On peut alors immédiatement déduire de ce théorème le corollaire suivant.
Corollaire 7. Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction analytique sur Ω.
Si Z, l’ensemble des zéros de f , possède un point d’accumulation, alors f est
identiquement nulle.
On peut aussi obtenir le corollaire suivant.
Corollaire 8. Soit f et g deux fonctions analytiques sur C qui coı̈ncident sur
R. Alors f et g coı̈ncident sur C.
Ordre d’un zéro d’une fonction analytique
Pour démontrer le théorème 9, nous avons besoin de démontrer d’abord le
lemme suivant.
Lemme 17. Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction analytique sur Ω et
z0 ∈ Ω. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. Il existe k ∈ N, k ≥ 1, tel que f (z0 ) = ... = f (k−1) (z0 ) = 0 et f (k) (z0 ) 6= 0.
2. Il existe une fonction analytique g sur Ω telle que g(z0 ) 6= 0 et pour tout
z ∈ Ω,
f (z) = (z − z0 )k g(z) .
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
23
A partir du lemme, on peut poser la définition suivante.
Définition 12 (Ordre d’un zéro d’une fonction analytique). On dit que z0
est un zéro d’ordre k de la fonction f si l’une des assertions équivalentes du
lemme 17 est vraie.
Remarque 13. Penser à l’équivalent pour les polynômes.
Démonstration du lemme 17.
1 ⇒ 2 On définit la fontion g : Ω → C comme suit
( f (z)
si z 6= z0
(z−z0 )k
g(z) =
f (k) (z0 )
si z = z0 .
k!
Il est clair que g est analytique sur Ω \ {z0 } et g(z0 ) 6= 0. Il reste donc à montrer
que g est analytique en z0 . Or f l’est en z0 donc il existe R0 > 0 tel que pour
tout z ∈ D(z0 , R0 ), on a
f (z)
=
+∞ (n)
X
f (z0 )
(z − z0 )n
n!
n=0
=
+∞ (n)
X
f (z0 )
(z − z0 )n
n!
n=k
=
(z − z0 )k
+∞ (n+k)
X
f
(z0 )
(z − z0 )n .
(n
+
k)!
n=0
On en déduit donc que pour tout z ∈ D(z0 , R0 ),
g(z) =
+∞ (n+k)
X
f
(z0 )
(z − z0 )n .
(n
+
k)!
n=0
Donc g est analytique en z0 .
2 ⇒ 1 Il suffit de montrer que pour tout j ∈ {0, . . . , k}, il existe une fontion Gj
analytique en z0 telle que
f (j) (z) = (z − z0 )k−j Gj (z)
et Gj (z0 ) 6= 0 pour pouvoir conclure. On peut montrer ce résultat par récurrence.
Ceci est clairement vrai pour j = 0. Si cela est vrai pour j ∈ {0, . . . , k − 1},
alors
f (j+1) (z0 )
=
(k − j)(z − z0 )k−j−1 Gj (z) + (z − z0 )k−j G0j (z)
=
(z − z0 )k−(j+1) ((k − j)Gj (z) + (z − z0 )G0j (z) .
On pose alors Gj+1 (z) = (k − j)Gj (z) + G0j (z). Comme Gj est analytique sur
Ω, G0j l’est aussi. En particulier, Gj+1 (z0 ) = (k − j)Gj (z0 ) 6= 0 car j ≤ k − 1.
Enfin, f (k) (z) = Gk−1 (z) + (z − z0 )G0k−1 (z) et donc Gk (z0 ) 6= 0. Ceci achève la
récurrence et la démonstration.
On peut maintenant démontrer le théorème 9.
24
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Démonstration du théorème 9. Soit z0 ∈ Z. Comme f n’est pas identiquement
nulle, on sait par le lemme 16 qu’il existe k ∈ N, k ≥ 1, telle que f (k) (z0 ) = 0 et
f (j) (z0 ) 6= 0 pour j ∈ {0, k − 1}. Grâce au lemme 17, on en déduit qu’il existe g
analytique sur Ω telle que g(z0 ) 6= 0 et pour tout z ∈ Ω, f (z) = (z − z0 )k g(z).
Comme g est analytique, g est continue et donc g 6= 0 sur une petite boule
autour de z0 . Donc f 6= 0 sur cette boule privée de z0 . Donc z0 est bien isolé
dans Z.
2.2
2.2.1
Exponentielle et logarithmes
Exponentielle complexe
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à la fonction exponentielle. On la définit
comme la somme d’une série entière.
Définition
(Exponentielle complexe). Pour tout z ∈ C, on pose exp z =
P+∞ 13
n
ez = n=0 zn! .
On sait que cette fonction est bien définie car le rayon de convergence de la
série entière est infini. Enonçons et démontrons maintenant la propriété fondamentale de cette fonction.
Lemme 18. Pour tout z, z 0 ∈ C, exp(z + z 0 ) = exp(z) exp(z 0 ).
P zn
Démonstration. Il est facile de voir que les séries dérivées de tout ordre de
n!
P zn
sont toutes égales à la série entière
n! et on en déduit donc que leurs sommes
(S(n) )n∈N le sont aussi : pour tout n ∈ N,
S(n) (z) = exp(z) .
Considérons maintenant un nombre complexe quelconque a ∈ C. On utilise
ensuite le Theoreme 6 pour obtenir que pour tout z ∈ C,
exp(a + z) =
+∞
+∞
X
S(n) (a) n X exp(a) n
z =
z = exp(a) exp(z) .
n!
n!
n=0
n=0
Le lemme est maintenant démontré.
On déduit du lemme précédent plusieurs propriétés importantes.
Corollaire 9.
1. Pour tout z ∈ C, exp(z) 6= 0 et exp(−z) =
1
exp(z) .
2. La fonction exp : C → C est holomorphe sur C et pour tout z ∈ C,
exp0 (z) = exp(z).
3. Si z = x + iy, alors | exp(z)| = exp(x). En particulier, exp(x) > 0 pour
x ∈ R et | exp(iθ)| = 1 pour tout θ ∈ R.
Démonstration. Démonstration de 1.
1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z) exp(−z) .
En particulier, exp(z) 6= 0.
Démonstration de 2. On sait que exp0 (z) coı̈ncide avec la somme de la série
dérivée.
2.2. EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES
25
Démonstration de 3. On commence par remarquer que exp(x) ∈ R pour
x ∈ R et que exp(x) ≥ 0 car exp(x) = (exp(x/2))2 ≥ 0.
Soit z ∈ C. Alors exp(z) = exp(z). On en déduit que
| exp(z)| = (exp(z) exp(z))1/2 = (exp(z + z))1/2 = (exp(2x))1/2 = exp(x) .
Question 5. Dans la démonstration précédente, où a-t-on utilisé le fait que
P+∞
P+∞
n=0 An =
n=0 An ? Pouvez-vous justifier cela ?
On établit maintenant le théorème qui permet de définir le logarithme népérien
sur R.
Théorème 10. La fonction exp restreinte à R définit un C ∞ -difféomorphisme
entre R et ]0, +∞[.
Démonstration. On commence par remarquer que (exp)0 (x) = exp(x) > 0 grâce
au corollaire précédent. Donc la fonction exp restreinte à R est strictement
croissante et C ∞ . Par ailleurs, pour x ≥ 0,
exp(x) =
+∞ n
X
x
≥ 1 + x → +∞
n!
n=0
and x → +∞. Donc exp(x) → +∞ quand x → +∞. De plus, pour x ≤ 0,
exp(x) = 1/ exp(−x) → 0 quand x → −∞. Donc exp définit bien un C ∞ difféomorphisme entre R et ]0, +∞[.
2.2.2
Les fonctions trigonométriques
On peut maintenant définir les fonctions cosinus et sinus en termes de fonctions analytiques.
Définition 14. Pour tout z ∈ C, on pose
cos(z) =
+∞
X
(−1)n
n=0
+∞
X
z 2n+1
z 2n
et sin(z) =
(−1)n
.
(2n)!
(2n + 1)!
n=0
On peut alors facilement démontrer la proposition suivante.
Proposition 5. Pour tout z ∈ C,
exp(iz) = cos(z) + i sin(z) ,
exp(iz) + exp(−iz)
exp(iz) − exp(−iz)
cos(z) =
et sin(z) =
,
2
2i
2
2
cos (z) + sin (z) = 1 ,
cos0 (z) = − sin(z) et sin0 (z) = cos(z) .
Pour démontrer la troisième égalité, il suffit d’écrire 1 = exp(iz) exp(−iz).
On peut alors donner une définition analytique du nombre π.
Définition 15. π = 2 min{t ∈ [0, 2] : cos(t) = 0}.
26
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Fig. 2.7 – La fonction exp est 2iπ périodique
Vérifions que ce minimum est bien défini. Il faut justifier que l’ensemble n’est
pas vide puis utiliser la continuité de cos pour en déduire que la borne inférieure
est atteinte. On remarque que cos(0) = 1 et cos(2) est la somme d’une série
alternée. Donc cos(2) est plus petit que ses sommes partielles d’ordre impaire
donc cos(2) ≤ 1 − 2 + 2/3 = −1/3 < 0. La fonction cos étant continue, on en
déduit qu’il existe t ∈ [0, 2] tel que cos(t) = 0.
Nous allons maintenant démontrer une formule importante.
Lemme 19. exp(iπ/2) = i.
Démonstration. Par définition de π, cos(π/2) = 0. De plus, cos(t) > 0 pour tout
t ∈ [0, π/2[ ; en effet cos ne s’annule pas sur cet intervalle, il a donc un signe
constant. Et on sait que cos(0) = 1. De plus, la fonction sin restreinte à R est à
valeurs réelles et elle est (strictement) croissante sur [0, π/2[ car sa dérivée est
cos. On utilise alors la proposition 5 pour en déduire que sin(π/2)2 = 1 et donc
que sin(π/2) = 1.
On déduit de ce lemme le corollaire suivant.
Proposition 6. La fonction exp : C → C est 2iπ périodique. Et donc les
fonctions cos et sin sont 2π périodiques.
On s’intéresse maintenant à l’image réciproque d’un nombre complexe par
la fonction exponentielle.
Lemme 20. Pour tout z, z 0 ∈ C,
exp(z) = exp(z 0 ) ⇒ ∃n ∈ Z / z − z 0 = 2inπ .
Démonstration. Grâce aux propriétés de exp montrées plus haut, il suffit de
montrer le résultat pour z 0 = 0. Soit donc z = x + iy ∈ C tel que exp(z) = 1.
Donc exp(x) = 1. Or on a vu que exp restreinte à R est un difféomorphisme et
exp(0) = 1. Donc x = 0. Ainsi exp(iy) = 1.
Etant donné que la fonction exp est 2iπ périodique (Proposition 6), il suffit
de montrer que si y ∈ [0, 2π[ est tel que exp(iy) = 1, alors y = 0. Raisonnons par
2.2. EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES
27
l’absurde. Supposons que y 6= 0. Alors y/4 ∈]0, π/2[, et donc c := cos(y/4) 6= 0
(par définition de π) et s := sin(y/4) 6= 0 (car sin(0) = 0 et sin est strictement
croissante sur [0, π/2[). Ainsi, on a (c + is)4 = 1, ce qui donne, en séparant les
parties réelles et imaginaires
4cs(c2 − s2 ) = 0
4
c − 6c2 s2 + s4 = 1 .
La première équation implique que c2 = s2 et comme c2 + s2 = 1, on a s2 =
c2 = 1/2. Mais la seconde équation donne alors −4/4 = 1 ce qui est faux.
Nous continuons notre étude de la fonction exponentielle en étudiant sa
surjectivité.
Théorème 11. La fonction exp : C → C \ {0} est surjective.
Démonstration. Soit z0 ∈ C\{0}. On a vu précédemment que exp : R →]0, +∞[
est un difféomorphisme donc en particulier, il existe donc x0 ∈ R tel que |z0 | =
exp(x0 ). Ainsi, |z0 / exp(x0 )| = 1. Il suffit alors de montrer le lemme suivant.
Lemme 21. Pour tout z1 ∈ U = {z ∈ C : |z| = 1}, il existe t1 ∈ R tel que
z1 = exp(it1 ).
Démonstration du lemme. On commence par écrire z1 = c1 + is1 avec c1 , s1 ∈
R (partie réelle et imaginaire usuelles). Comme c21 + s21 = |z1 |2 = 1, on en
déduit c1 , s1 ∈ [−1, 1]. On commence par justifier le fait que pour tout t ∈ R,
1
| exp(it)| = 1. Il suffit de remarquer que exp(it) = exp(−it) = exp(it)
. Ensuite, on
utilise le lemme 19 pour obtenir exp(iπ) = −1. Ceci implique que exp(i(t+π)) =
− exp(it). Ainsi, on peut se ramener à c1 ∈ [0, 1]. Puis on utilise le fait que
z1 = c1 − is1 pour se ramener à s1 ∈ [0, 1]. De plus, on a vu précédemment que
sin : [0, π/2] → [0, 1] est une bijection donc s1 = sin(t1 ). Donc c21 = 1−sin2 (t1 ) =
cos2 (t1 ). De plus, on a c1 > 0 ; donc c1 = cos(t1 ).
Ainsi z0 / exp(x0 ) = exp(it1 ) et donc z0 = exp(x0 + it1 ). Ceci achève la
démonstration du théorème.
Dans ce qui précède, nous avons notamment démontré le résultat suivant.
Corollaire 10. La fonction exponentielle exp : [0, 2π[→ U est une bijection.
2.2.3
Logarithmes complexes
Il s’agit ici d’inverser la fonction exponentielle exp qui est surjective sur
C \ {0}. Mais exp n’est pas injective. Commençons par énoncer précisément ce
que l’on cherche à construire.
Notion de détermination du logarithme sur un ouvert
Définition 16 (Déterminations du logarithme). Soi Ω un ouvert de C \ {0}.
Une détermination du logarithme dans Ω est une fonction continue f : Ω → C
telle que pour tout z ∈ Ω,
exp(f (z)) = z .
28
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
Attention !.
– Une telle fonction n’existe pas forcément ! Cela dépend de Ω.
– S’il existe une telle fonction, alors il en existe une infinité.
Nous allons développer ces deux points.
Lemme 22. Il n’existe pas de détermination du logarithme sur C \ {0}.
Démonstration. Soit f : C \ {0} → C une détermination du logarithme sur
it
C\{0}. Posons θ(t) = f (ei ) pour tout t ∈ R. Par définition d’une détermination
du logarithme, on a pour tout t ∈ R, eiθ(t) = eit . Donc pour tout t ∈ R, il
existe n(t) ∈ Z tel que θ(t) = t + 2iπn(t). Ainsi, n : R → Z est une fonction
continue de R dans Z. Cela implique que cette fonction est constante. Donc
θ(t + 2π) = θ(t) + 2iπ. Mais par définition de θ, on a θ(t + 2iπ) = θ(t). D’où
une contradiction.
Lemme 23. Soit Ω un ouvert connexe de C \ {0}. Si f est une détermination
du logarithme sur Ω, alors l’ensemble des déterminations du logarithme sur Ω
est l’ensemble des fonctions f + 2inπ pour n ∈ Z.
Démonstration. Soit g une autre détermination du logarithme sur Ω. Alors
(f − g)/(2iπ) est une fonction continue de Ω dans Z. Donc cette fonction est
constante. Ceci achève la démonstration.
Détermination principale du logarithme On a vu plus haut que exp restreinte à R est une bijection entre R et ]0, +∞[. On peut donc considérer sa
fonction réciproque.
Définition 17 (Logarithme népérien). Le logarithme népérien est la fonction
réciproque de exp : R →]0, +∞[. On la note ln.
On commence par prolonger analytiquement f à D(1, 1).
Lemme 24. La fonction ln :]0, +∞[→ R se prolonge en une fonction analytique
sur D(1, 1).
Démonstration. On commence par considérer la fonction analytique L sur D(1, 1)
n−1
P
dont le développement en série entière autour du point 1 est n≥1 (−1)n z n .
Ainsi pour tout z ∈ D(1, 1)
L(z) =
+∞
X
(−1)n−1
(z − 1)n .
n
n=1
On sait alors que la fonction exp ◦L est analytique sur D(1, 1). On va montrer
qu’elle coı̈ncide avec z 7→ z. Ainsi L coı̈ncide avec la fonction réciproque de exp
sur l’axe réel en particulier et donc L est le prolongement analytique que l’on
cherchait.
Pour montrer que f = exp ◦L coı̈ncide avec z 7→ z sur D(1, 1), on montre
qu’elle coı̈ncide avec x 7→ x sur l’intervalle ]0, 2[ de l’axe réel. Pour voir cela, on
n−1
P
P
commence par remarquer que la série dérivée de n≥1 (−1)n z n est n≥O z n
donc la somme est 1/1 + z. Donc L0 (z) = 1/z sur D(1, 1). Donc g 0 (z) = g(z)
z
pour tout z ∈ D(1, 1). Après avoir remarqué que g > 0, on en déduit que pour
tout x ∈]0, 2[, on a (ln g)0 (x) = (ln x)0 et g(1) = 1. Donc g(x) = x sur ]0, 2[.
Comme g est analytique, on en déduit que g(z) = z sur le disque D(1, 1) tout
entier.
2.2. EXPONENTIELLE ET LOGARITHMES
29
On peut maintenant définir alors la détermination principale du logarithme.
Lemme 25. La fonction exp est une bijection entre Σ = {z ∈ C : −π < =(z) <
π} sur Σ̃ = C\]−∞, 0]. La réciproque exp−1 est donnée par la formule suivante :
pour tout ρ > 0 et t ∈] − π, π[
exp−1 (ρ exp(it)) = ln ρ + it
où ln est le logarithme népérien (donc défini sur ]0, +∞[ uniquement).
Avant de démontrer ce lemme, on donne une définition.
Définition 18. L’application réciproque de exp : Σ → Σ̃ est appelée détermination principale du logarithme. On convient de la noter exp−1 .
Démonstration. Grâce au lemme 20, on déduit l’injectivité de exp une fois
restreinte à Σ. Pour ce qui est de la surjectivité sur Σ̃, on sait déjà par le
Théorème 11 que la fonction exp est surjective sur C \ {0}. Ainsi pour tout
z̃ ∈ Σ̃, il existe z ∈ C tel que exp(z) = z 0 . De plus, par périodicité de la fonction
exponentielle (Proposition 6), on peut choisir z = x + iy avec y ∈ [−π, π[. Si
y = −π, alors z̃ = exp(z) = − exp x < 0 ce qui est absurde car z̃ ∈ Σ̃. Ainsi la
fonction exp : Σ → Σ̃ est bien injective et surjective donc bijective.
Analyticité des déterminations du logarithme Nous expliquons enfin
que n’importe quelle détermination du logarithme sur un ensemble ouvert Ω ⊂
C \ {0} est analytique. Ce résultat est admis.
Théorème 12. Soit Ω un ouvert de C \ {0} et f : Ω → C une détermination du
logarithme. Alors f est analytique sur Ω et f 0 (z) = z1 . De plus, si z0 ∈ Ω, alors
f se prolonge en une fonction analytique f˜ sur D(z0 , |z0 |) de la façon suivante :
pour tout z ∈ D(z0 , |z0 |),
f˜(z) = f (z0 ) +
2.2.4
+∞
X
(−1)n−1
(z − z0 )n .
n
n=1
Autres fonctions usuelles
La plus part des fonctions usuelles (tan, arcsin, arccos, arctan, tanh . . . ) se
prolongent en fonctions analytiques sur C ou sur un “grand ouvert” de C. Nous
allons traiter le cas de cosh, sinh et les fonctions puissances.
Définition 19. Pour tout z ∈ C, on pose
+∞
X
z 2n
cosh(z) =
(2n)!
n=0
et
sinh(z) =
+∞
X
z 2n+1
.
(2n + 1)!
n=0
On peut alors démontrer les propriétés suivantes.
– Pour tout z ∈ C, on a cosh(z) = exp(z)+exp(−z)
et sinh(z) =
2
exp(z)−exp(−z)
.
2
– Pour tout z ∈ C, on a cosh2 (z) − sinh2 (z) = 1.
Lemme 26.
30
CHAPITRE 2. FONCTIONS ANALYTIQUES
– Les fonctions cosh et sinh sont holomorphes sur C et cosh0 = sinh et
sinh0 = cosh.
La démonstration de ce lemme est laissé en exercice.
Définition 20. Soit α ∈ C. Notons f la détermination principale du logarithme
sur C\] − ∞, 0]. On définit alors une fonction fα par la formule suivante : pour
tout z ∈ C\] − ∞, 0],
fα (z) = exp(αf (z)) .
On appelle cette fonction la fonction puissance α.
Cette définition est cohérente avec celle du cas réel. Précisément, étant donné
que si exp et f sont réduits à l’axe réel, elles coı̈ncident avec la fonction exponentielle et le logarithme népérien, on en déduit que fα restreint à {x > 0}
coı̈ncide avec xα si α est réel. On peut aussi montrer les propositions suivantes.
Lemme 27. Soit α ∈ C. la fonction fα est analytique sur C\] − ∞, 0] et on a
fα0 = αfα−1 (z)
∀z ∈ D(1, 1), fα (z) =
+∞
X
α × · · · × (α − n + 1)
(z − 1)n .
n!
n=0
La démonstration de ce lemme est aussi laissée en exercice.
Chapitre 3
Fonctions holomorphes
Dans ce chapitre, on considère de nouveau un ensemble ouvert Ω de C et on
étudie les fonctions f : Ω → C qui sont holomorphes sur Ω. Nous avons vu au
chapitre précédent que les fonctions analytiques sont holomorphes. On se pose
maintenant la question de savoir s’il y en a d’autres. Et nous allons voir que la
réponse est non.
3.1
3.1.1
Définition et propriétés
Rappels
Nous commençons par rappeler la définition de l’holomorphie. On rappelle
que Ω est un ensemble ouvert.
Définition 21 (Holomorphie d’une fonction). Soit f : Ω → C et un point z0 ∈
(z0 )
Ω. La fonction f est holomorphe en z0 si le taux d’accroissement f (z0 +h)−f
h
admet une limite lorsque z tend vers z0 . On note alors f 0 (z0 ) la limite éventuelle.
La fonction f est holomorphe sur Ω si f est holomorphe en tout point z0 ∈ Ω.
Une fonction f est C 1 holomorphe sur Ω si f est holomorphe et f 0 est
continue.
Attention .! Quand on dit d’une fonction de la variable complexe qu’elle est C 1 ,
on dit un peu plus que le caractère C 1 d’une fonction de deux variables réelles.
Nous allons revenir sur ce point un peu plus bas.
Nous avons déjà signalé qu’une fonction holomorphe était continue. Nous
avions laissé cela en exercice, soyons maintenant précis.
Lemme 28. Si f est holomorphe en z0 ∈ Ω, alors f est continue en z0 .
Démonstration. Il suffit de remarquer que
f (z0 + h) = f (z0 ) + h
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h
(z0 )
Comme le taux d’accroissement f (z0 +h)−f
a pour limite f 0 (z0 ), on en déduit
h
(z0 )
que h f (z0 +h)−f
tend vers 0. Ainsi f (z0 + h) tend vers f (z0 ).
h
31
32
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
3.1.2
Premières propriétés des fonctions holomorphes
Commençons par démontrer des résultats que nous avons en fait un peu
utilisés dans le chapitre précédent.
Proposition 7. Soit f et g deux fonctions holomorphes sur Ω.
– Pour tout λ, µ ∈ C, λf +µg est holomorphe sur Ω et (λf +µg)0 = λf 0 +µg 0 .
– La fonction f g est holomorphe sur Ω et (f g)0 = f 0 g + g 0 f .
Si maintenant f est holomorphe sur Ω et g est holomorphe sur Ω0 ⊃ f (Ω), alors
g ◦ f est holomorphe sur Ω et (g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z))f 0 (z) pour tout z ∈ Ω.
Démonstration. Si on écrit le taux d’accroissement de λf + µg, on trouve
f (z0 + h) − f (z0 )
g(z0 + h) − g(z0 )
(λf + µg)(z0 + h) − (λf + µg)(z0 )
=λ
+µ
.
h
h
h
Il est alors facile de montrer que la limite du membre de gauche de l’égalité
existe et vaut λf 0 (z0 ) + µg 0 (z0 ). Passons maintenant au produit f g.
f (z0 + h) − f (z0 )
g(z0 + h) − g(z0 )
(f g)(z0 + h) − (f g)(z0 )
= g(z0 )
+f (z0 +h)
.
h
h
h
Il est alors facile de conclure en utilisant que les deux taux d’accroissement ont
une limite et en utilisant la continuité de f en z0 .
Si maintenant, on écrit
g ◦ f (z0 + h) − g ◦ f (z0 )
g(f (z0 + h)) − g(f (z0 ))
=
h
h
g(f (z0 + h)) − g(f (z0 )) f (z0 + h) − f (z0 )
×
→ g 0 (f (z0 )) × f 0 (z0 ) .
=
f (z0 + h) − f (z0 )
h
On a utilisé la continuité de f en z0 pour dire que f (z0 + h) − f (z0 ) tend vers
0 quand h tend vers 0.
Voici une autre propriété élémentaire qui nous sera utile plus tard.
Lemme 29. Soit f : Ω → C. Si f est holomorphe en z0 ∈ Ω et f (z0 ) 6= 0, alors
il existe r > 0 tel que 1/f : D(z0 , r) → C est holomorphe en z0 et
(1/f )0 (z0 ) = −
f 0 (z0 )
.
f (z0 )2
Démonstration. Etant donné que f est continue en z0 et f (z0 ) 6= 0, on en déduit
qu’il existe r > 0 tel que f (z) 6= 0 sur D(z0 , r) (exercice : justifier ça dans les
moindres détails). On peut alors considérer 1/f sur ce disque. Puis on écrit
(1/f )(z0 + h) − (1/f )(z0 )
f (z0 + h) − f (z0 )
=−
.
h
hf (z0 )f (z0 + h)
Il est maintenant facile de passer à la limite.
3.1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS
3.1.3
33
Différentiabilité et conditions de Cauchy-Riemann
Si l’on voit C comme R2 , Ω est un ouvert de R2 et f : Ω ⊂ R2 → R2 est une
fonction de deux variables réelles f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Une autre façon
de définir les fonctions P et Q est de poser
P (z) = <f (z) , Q(z) = =f (z) .
On peut alors exprimer ce que veut dire que la fonction est holomorphe en
termes de conditions sur les deux fonctions P et Q. Dire que f est holomorphe
en z0 veut exactement dire que
lim
h→0
f (z0 + h) − f (z0 ) − lh
= 0.
h
(3.1)
Si on regarde maintenant f comme une fonction de deux variables réelles, on
écrit le produit de nombre complexe l ∈ C et h ∈ C de la façon suivante
lh = (l1 h1 − l2 h2 ) + i(l2 h1 + l1 h2 ) .
Si on écrit cela comme l’égalité de deux vecteurs dans R2 , on en déduit
l1 h1 − l2 h2
l1 −l2
h1
lh =
=
.
l2 h1 + l1 h2
l2 l1
h2
Ainsi, on peut écrire l’équation (3.1) sous la forme
1
P (x0 + h1 , y0 + h2 )
P (x0 , y0 )
lim
−
Q(x0 + h1 , y0 + h2 )
Q(x0 , y0 )
(h1 ,h2 )→0 |h|
l1 −l2
h1
−
= 0 . (3.2)
l2 l1
h2
Ainsi, on vient de démontrer le lemme suivant.
Lemme 30. Si f est holomorphe en z0 ∈ Ω, alors f = (P, Q) : Ω ⊂ R2 → R2
est différentiable en (x0 , y0 ) avec x0 = <z0 et y0 = =z0 et
l1 −l2
h1
df (x0 , y0 ) · h = (l1 h1 − l2 h2 , l2 h1 + l1 h2 ) =
.
l2 l1
h2
En particulier, on en déduit le corollaire suivant
Corollaire 11. Si f est holomorphe en z0 , alors les fonctions P et Q définies
sur Ω ⊂ R2 sont différentiables en (x0 , y0 ) et
(
∂P
∂P
0
0
∂x (x0 , y0 ) = <(f (z0 )) , ∂y (x0 , y0 ) = −=(f (z0 )) ,
∂Q
∂Q
0
0
∂x (x0 , y0 ) = =(f (z0 )) , ∂y (x0 , y0 ) = <(f (z0 ))
ce que l’on peut réécrire de la façon suivante
f 0 (z) =
∂f
(z)
∂x
et
if 0 (z) =
∂f
(z) .
∂y
En particulier, on remarque que les conditions suivantes sont vérifiées
∂P
∂Q
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 )
∂x
∂y
et
∂P
∂Q
(x0 , y0 ) = −
(x0 , y0 ) .
∂y
∂x
(3.3)
34
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Remarque 14. Les conditions (3.3) sont appelées conditions de CauchyRiemann.
On peut maintenant remarquer que les conditions (3.3) sont en fait suffisantes pour qu’une fonction différentiable soit holomorphe. Précisément, on a le
lemme suivant
Lemme 31. Si (P, Q) : Ω → R2 est différentiable en (x0 , y0 ) ∈ Ω et si les
dérivées partielles de P et Q vérifient (3.3), alors f = P + iQ est une fonction
holomorphe en z0 = x0 + iy0 ∈ Ω ⊂ C.
Démonstration. Dire que (P, Q) est différentiable en (x0 , y0 ) veut dire qu’il
existe une application linéaire L de R2 dans R2 telle que
1
P
P
h1
((x0 , y0 ) + (h1 , h2 )) −
lim
(x0 , y0 ) − L
= 0.
Q
Q
h2
(h1 ,h2 )→0 |h|
(3.4)
De plus, on sait que la matrice de l’application linéaire L est exactement égale
à
!
∂P
∂P
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
.
L=
∂Q
∂Q
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
Si on pose maintenant l1 =
∂P
∂x (x0 , y0 )
L=
et l2 =
l1
l2
−l2
l1
∂Q
∂x (x0 , y0 ),
on voit que L s’écrit
.
(3.5)
Si maintenant on combine (3.4) et (3.5), alors on obtient exactement (3.2) qui
exprime l’holomorphie de f en z0 = x0 + iy0 .
Un corollaire des lemmes 30 et 31 est la proposition suivante.
Proposition 8. Soit Ω un ouvert de C et f : Ω → C. Notons f = P + iQ avec
P, Q ∈ R. Alors f est holomorphe en z0 = x0 + iy0 ∈ Ω si et seulement si P et
Q sont des fonctions différentiables en (x0 , y0 ) ∈ Ω et si leurs dérivées partielles
vérifient (3.3).
Nous finissons ce paragraphe par une remarque sur les fonctions C 1 holomorphes.
Proposition 9. Une fonction f : Ω ⊂ C → C est C 1 holomorphe sur Ω si
f = (P, Q) : Ω ⊂ R2 → R2 est différentiable sur Ω, les dérivées partielles de P
et Q sont continues et vérifient (3.3).
3.2
3.2.1
Intégration sur des chemins
Chemins paramétrés
Définition 22 (Chemin et lacet). Une fonction γ : [a, b] → C est un chemin
sur [a, b] si γ est continu et de classe C 1 par morceaux : il existe des points
a = t0 < t1 < · · · < tm = b tels que les restrictions γi de γ à [ti , ti+1 ] sont
continues et C 1 sur ]ti , ti+1 [.
Une fonction γ : [a, b] → C est un lacet si c’est un chemin tel que γ(a) =
γ(b).
3.2. INTÉGRATION SUR DES CHEMINS
35
Fig. 3.1 – Chemin dans un ouvert
Exemple 15. Etant donné deux nombres complexes z1 et z2 , le chemin le plus
simple qui les relie est γ : [0, 1] → C définie par γ(t) = (1 − t)z1 + tz2 .
Attention !. Un chemin (ou un lacet) est une fonction. Il faut notamment faire
la différence avec l’image de l’intervalle [a, b] par le chemin (ou le lacet) qui est
une “courbe” dans C. On fait donc bien la différence entre l’objet analytique (le
chemin) et l’objet géométrique (la courbe).
L’exemple suivant illustre la mise en garde précédente.
Exemple 16 (fondamental). Quand nous avons démontré qu’une fonction C 1
holomorphe est analytique en z0 ∈ D(0, R), nous avons introduit une intégrale
faisant intervenir γ : [0, 2π] → C définie (pour r ∈]0, R[) comme suit
γI (t) = z0 + reit .
On peut remarquer que ce chemin est un lacet car γ(0) = z0 + r = γ(2π).
L’image de [0, 2π] par le chemin est le cercle de centre z0 et de rayon r.
Si maintenant on considère pour n ∈ N,
γII (t) = z0 + reint .
Il s’agit toujours d’un lacet et l’image de [0, 2π] par le chemin est encore le même
cercle. En revanche, quand t décrit l’intervalle [0, 2π/n], γ est déjà revenu en
z0 + r et à t = 2π, le chemin a décrit le cercle n fois : ce chemin fait n tours
autour du point z0 dans le sens trigonométrique.
Si maintenant on considère
γIII (t) = z0 + re−int ,
alors le chemin va tourner n fois autour de z0 mais dans l’autre sens, dans le
sens anti-trigonométrique.
On peut aussi parcourir une même courbe le même nombre de fois mais à
des “vitesses” différentes.
Exemple 17. Par exemple, on peut considérer γ : [0, π] → C
γIV (t) = z0 + re2it .
36
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fig. 3.2 – Lacet : l’exemple fondamental
Dans ce cas, le chemin n’a bien parcouru le cercle qu’une fois car on s’est arrêté
à t = π. Pourtant, ce n’est pas la même fonction que t ∈ [0, 2π] 7→ z0 + eit .
On a tout de même envie de dire que les deux chemins se ressemblent, se
valent. On introduit donc la définition suivante.
Définition 23 (Chemins équivalents et chemins opposés). Soient γ1 et γ2 deux
chemins sur deux intervalles [a1 , b1 ] et [a2 , b2 ].
– Les deux chemins γ1 et γ2 sont équivalents s’il existe une bijection ϕ
continue, croissante et de classe C 1 par morceaux de [a2 , b2 ] dans [a1 , b1 ]
telle que pour tout t ∈ [a2 , b2 ], γ2 (t) = γ1 (ϕ(t)).
– Les deux chemins γ1 et γ2 sont opposés s’il existe une bijection ϕ continue,
décroissante et de classe C 1 par morceaux de [a2 , b2 ] dans [a1 , b1 ] telle que
pour tout t ∈ [a2 , b2 ], γ2 (t) = γ1 (ϕ(t)).
Exercice 3. Montrer que les chemins γI et γIV sont équivalents et que les chemins γII et γIII sont opposés.
3.2.2
Intégration sur des chemins
Maintenant que l’on sait ce qu’est un chemin, on peut intégrer une fonction
f : Ω → C continue (par exemple) du moment que l’image du chemin est inclue
dans Ω.
Définition 24 (Intégration sur un chemin). Soit γ : [a, b] → C un chemin et
f : Ω → C une fonction continue. On suppose que γ([a, b]) ⊂ Ω. L’ intégrale de
f sur γ est définie comme suit
Z
Z b
f (z)dz =
f (γ(t))γ 0 (t)dt .
(3.6)
γ
a
Remarques 1. Il est utile de faire ici trois remarques.
– On rappelle qu’un chemin n’est pas C 1 mais seulement C 1 par morceaux.
Ainsi, il faut comprendre la formule (3.6) de la façon suivante
Z
m−1
X Z ti+1
f (z)dz =
f (γ(t))γ 0 (t)dt .
γ
i=0
ti
3.2. INTÉGRATION SUR DES CHEMINS
37
– Chacune des intégrales de la formule précédente sont bien définies car f ◦γ
est continue donc bornée sur les intervalles bornés [ti , ti+1 ].
– Intégrer la fonction à valeurs complexes f ◦ γ × γ 0 sur [ti , ti+1 ] signifie en
fait intégrer ces parties réelles et imaginaires. Précisément, si
f (γ(t))γ 0 (t) = M (t) + iN (t) ,
avec M, N : [a, b] → R continu par morceaux, alors
Z
Z b
Z b
f (z)dz =
M (t)dt + i
N (t)dt
γ
a
a
Exemple 18. On peut considérer Ω = C \ {0} et γ = γI (avec z0 = 0) défini plus
haut. Alors
Z 2π
Z
1
1
ireit dt = 2iπ .
=
it
z
re
0
γI
R
Exemple 19. Soit z1 et z2 deux nombres complexes. On calcule alors [z1 ,z2 ] ez dz.
Z
Z 1
Z 1
ez dz =
e(1−t)z1 +tz2 (z2 − z1 )dt = (z2 − z1 )ez1
e(z2 −z1 )t dt .
[z1 ,z2 ]
0
0
R1
Ainsi, il faut calculer 0 eαt dt pour α ∈ C. On a envie de dire que cela vaut
1 α
α (e − 1) mais ceci est à justifier. Pour cela on écrit α = β + iγ avec β, γ ∈ R
et donc
eαt = eβt (cos(γt) + i sin(γt)) .
R1
R1
Il faut donc calculer 0 eβt cos(γt)dt et 0 eβt sin(γt)dt. Ceci peut se faire en
intégrant par parties par exemple. On peut alors vérifier que
Z
ez dz = ez2 − ez1 .
[z1 ,z2 ]
Nous allons maintenant voir que l’intégrale sur un chemin ne dépend pas de
sa paramétrisation.
Lemme 32. Soit γ1 et γ2 deux chemins sur [a1 , b1 ] et [a2 , b2 ] respectivement,
soit Ω un ouvert de C tel que γi [a, b] ⊂ Ω pour i = 1, 2. et soit f : Ω → C une
fonction continue. Alors
R
R
– Si γ1 et γ2 sont équivalents, alors γ1 f (z)dz = γ2 f (z)dz.
R
R
– Si γ1 et γ2 sont opposés, alors γ1 f (z)dz = − γ2 f (z)dz.
Démonstration. On ne montre que la première propriété, la démonstration de
la seconde étant tout à fait similaire (exercice : l’écrire en détail). Soit donc
ϕ : [a2 , b2 ] → [a1 , b1 ] une bijection continue croissante et C 1 par morceaux telle
que γ2 (t) = γ1 (ϕ(t)). Donc γ20 (t) = γ1 (ϕ(t))ϕ0 (t). Nous allons alors appliquer la
formule du changement de variables sur de “petits” intervalles [c1 , d1 ] et [c2 , d2 ]
tels que c2 = γ(c1 ) et d2 = γ(d1 ) et sur lesquels γ1 et γ2 sont respectivement
C 1.
Z d1
Z d1
Z d2
f (γ2 (t))γ20 (t)dt =
f (γ1 (ϕ(t)))γ20 (t)dt =
f (γ1 (s))γ10 (s)ds
c1
c1
0
c2
où s = ϕ(t) donc ds = ϕ (t)dt. Puis, on peut trouver une suite t0 = a2 < t1 <
· · · < tm = b2 telle que γ2 est C 1 sur ]ti , ti+1 [ et γ1 est C 1 sur ]ϕ(ti ), ϕ(ti+1 )[ et
on applique l’égalité précédente pour conclure.
38
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Les propriétés usuelles pour l’intégrale sur un intervalle réel sont encore
vraies pour l’intégrale le long d’un chemin. C’est notamment le cas de la relation
de Chasles.
Lemme 33.
– Soit γ un chemin sur [a, b] et c ∈ [a, b]. On note alors γ1 (t) =
γ(t) pour t ∈ [a, c] et γ2 (t) = γ1 (t) pour t ∈ [c, b]. Alors γ1 et γ2 sont des
chemins sur les intervalles [a, c] et [c, b] et pour toute fonction continue
f : C → C,
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz .
γ
γ1
γ2
– Soit γ1 et γ2 deux chemins sur [a, c] et [c, b] et tels que γ1 (c) = γ2 (c). On
pose γ(t) = γ1 (t) pour t ∈ [a, c] et γ(t) = γ2 (t) pour t ∈ [c, b]. Alors γ est
un chemin et pour toute fonction continue f : C → C,
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz +
f (z)dz .
γ
γ1
γ2
La démonstration est très simple et est laissée au lecteur.
Exemple 20. Soit z1 , z2 , z3 ∈ C, distincts. On considère alors le triangle z1 , z2 , z3
et le chemin associé qui parcourt ce triangle une fois : par exemple

si t ∈ [0, 1] ,
 (1 − t)z1 + tz2
(1 − (t − 1))z2 + (t − 1)z3 si t ∈ [1, 2] ,
γ(t) =

(1 − (t − 2))z3 + (t − 2)z1 si t ∈ [2, 3] .
Alors
Z
ez dz = (ez2 − ez1 ) + (ez3 − ez2 ) + (ez1 − ez3 ) = 0 .
γ
Dans l’exemple suivant, on illustre une nouvelle fois que même si deux chemins ont des images de leurs intervalles sur lequels ils sont définis, les intégrales
sur les deux chemins peuvent être différentes.
Exemple 21. On considère un lacet γ quelconque défini sur [0, 1]. On va maintenant parcourir deux fois la même courbe en considérant γ̃(t) = γ(2t) si
t ∈ [0, 1/2] et γ̃(t) = γ(2t − 1) si t ∈ [1/2, 1]. Alors
Z
Z 1
f (z)dz =
f (γ̃(t))γ̃ 0 (t)dt
γ̃
0
1/2
Z
f (γ(2t))2γ 0 (2t)dt +
=
0
1
f (γ(2t − 1))γ 0 (2t − 1)dt
1/2
Z
=
Z
2
1
f (γ(t))γ 0 (t)dt .
0
Ainsi
R
3.2.3
γ̃
f (z)dz = 2
R
γ
f (z)dz.
Indice d’un point par rapport à un lacet
Définition 25 (Indice d’un point par rapport à un lacet). Soit γ un lacet sur
[a, b] et z0 ∈ C qui n’est pas sur l’image de γ : z0 ∈
/ Γ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}.
L’ indice du point z0 par rapport au lacet γ est le nombre
Z
dz
1
.
Indγ (z0 ) =
2iπ γ z − z0
3.2. INTÉGRATION SUR DES CHEMINS
39
Fig. 3.3 – Indices d’un point par rapport à un lacet
Exemple 22 (important). On considère le lacet γI défini dans l’exemple fondamental 16 avec z0 = 0. Alors
Z
Z 2π
dz
ireit
1
=
dt = 1 .
IndγI (0) =
2iπ γI z
reit
0
Si on considère γII avec toujours z0 = 0, on peut vérifier que IndγII (0) = n.
L’exemple précédent illustre le fait que l’indice compte le nombre de fois que
le lacet tourne autour de z0 .
Définition 26 (Composantes connexes d’un ouvert). Soit Ω un ouvert de C.
La composante connexe de Ω contenant z0 est le plus grand ensemble connexe
inclus dans Ω contenant z0 .
Lemme 34. Un ensemble ouvert est la réunion de ses composantes connexes.
Lemme 35. Soit γ un lacet sur [a, b] et Ω = C \ Γ où Γ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}.
Alors Ω a une seule composante connexe qui n’est pas bornée.
Démonstration. L’ensemble Γ est l’image du compact [a, b] de R par la fonction
continue γ. C’est donc un ensemble compact de C (voir votre cours de calcul
différentiel et optimisation). Donc il est borné : il existe R > 0 tel que Γ ⊂
D(0, R). Ainsi, C \ D(0, R) ⊂ C \ Γ. Or C \ D(0, R) est connexe. On peut donc
considérer la composante connexe de l’un de ces points. Alors toutes les autres
composantes connexes sont forcément inclues danss D(0, R). En particulier, elles
ne sont pas bornées.
Théorème 13. Soit γ un lacet sur [a, b] et Γ = {γ(t) : t ∈ [a, b]}. La fonction
Indγ est continue sur C \ Γ, elle est à valeurs entières (relatives), constante sur
chaque composante connexe de C \ Γ et nulle sur l’unique composante connexe
non bornée de C \ Γ.
Ce théorème est illustré par la figure 3.7.
Démonstration. On considère la fonction ϕ : [a, b] → C définie par
Z t
γ 0 (s)
ds .
ϕ(t) = exp
a γ(s) − z0
40
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fig. 3.4 – Voisinage d’une courbe
On remarque tout d’abord que ϕ ne s’annule pas. On peut alors calculer ϕ0 (t) :
ϕ0 (t) = ϕ(t)
γ 0 (t)
.
γ(t) − z0
ϕ
est nulle. Ainsi, pour tout
On en déduit que que la dérivée de la fonction γ−z
0
t ∈ [a, b],
ϕ(t)
ϕ(a)
=
.
γ(t) − z0
γ(a) − z0
Etant donné que γ est un lacet, γ(b) = γ(a) et donc
Z
exp(2iπIndγ (z0 )) = exp
a
b
!
γ 0 (s)
ds = ϕ(b) = ϕ(a) = 1 .
γ(s) − z0
On en déduit que 2iπIndγ (z0 ) ∈ 2iπZ et donc Indγ est bien à valeurs dans Z.
Par ailleurs, on peut appliquer le théorème de continuité d’une intégrale
dépendant d’un paramètre (le paramètre est z0 dans notre cas) : on peut donc
affirmer que Indγ : C \ Γ → C est une fonction continue. Pour démontrer ceci
proprement, on pose Vε (Γ) = {z ∈ C : d(z, Γ) < ε} (voir la figure 3.4) avec
d(z, Γ) est la distance du point z à la courbe Γ qui, on le rappelle, est défini
comme suit
d(z, Γ) = inf{|z − z1 | : z1 ∈ Γ} .
On peut alors appliquer le théorème de continuité des intégrales dépendant
d’un paramètre sur l’ensemble Vε (Γ) et l’on déduit que Indγ est continue sur
Vε (Γ). Ceci étant vrai pour tout ε > 0, on en déduit que Indγ est continue sur
∩ε>0 Vε (Γ) = Γ.
Si maintenant on considère une composante connexe C de C \ Γ, alors Indγ :
C → Z est une fonction continue, définie sur un ensemble connexe et à valeurs
dans un ensemble discret. On en déduit donc que cette fonction est constante.
On peut utiliser le lemme suivant dont la démonstration est laissée au lecteur.
Lemme 36. Soit f : E → Z continue et E connexe. Alors f est constante.
3.3. LE THÉORÈME DE CAUCHY POUR LES FONCTIONS C 1 HOLOMORPHES41
On peut démontrer ce lemme en raisonnant par l’absurde.
Il nous reste à montrer que Indγ est nulle sur l’unique composante connexe de
C\Γ qui n’est pas bornée. Ceci est une conséquence du théorème de convergence
dominée (exercice : écrire les détails de cette affirmation : exhiber la fonction
L1 indépendante du paramètre que l’on va faire tendre vers +∞ etc.).
3.3
Le théorème de Cauchy pour les fonctions
C 1 holomorphes
Nous allons montrer que les fonctions C 1 holomorphes sont analytiques et
établir une formule qui explicite les coefficients du développement en séries
entières en un point z0 comme des intégrales sur des cercles centrés sur z0 .
3.3.1
Analyticité des fonctions C 1 holomorphes
Dans ce paragraphe, nous allons voir que si une fonction f est holomorphe
sur un ouvert Ω et que f 0 est continue, alors f est analytique sur Ω. Nous
commençons par montrer le lemme suivant.
Lemme 37. Supposons que f est C 1 holomorphe sur D(0, R). On pose alors
pour tout n ∈ N et r ∈]0, R[,
Z
f (z)
1
dz
an (r) =
2iπ C + (0) z n+1
où C + (0, r) est le chemin reit pour t ∈ [0, 2π], c’est-à-dire
Z 2π
1
f reit e−int dt .
an (r) =
n
2πr 0
1. Soit n ∈ N. Le nombre complexe an (r) ne dépend pas de r ∈]0, R[. On le
notera donc simplement an .
P
2. La série entière
an z n a un rayon de convergence supérieur ou égal à R
et pour tout z ∈ D(0, R), on a
f (z) =
+∞
X
an z n .
n=0
Remarque 15. La conclusion du lemme est que la fonction f est analytique en
0 et son DSE est valable sur D(0, R) et donc f analytique sur D(0, R).
Grâce à la remarque précédente, on déduit aisément de ce lemme le théorème
suivant.
Théorème 14 (de Cauchy). Si f est C 1 holomorphe sur un ouvert Ω ⊂ C,
alors f est analytique sur Ω. De plus, si z0P∈ Ω et R > 0 tel que D(z0 , R) ⊂ Ω,
+∞
alors pour tout z ∈ D(z0 , R), on a f (z) = n=0 an (z0 )(z − z0 )n avec, pour tout
n ∈ N et tout r ∈]0, R[,
Z
1
f (z)
dz
an (z0 ) =
2iπ C + (z0 ,r) (z − z0 )n+1
42
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fig. 3.5 – Calcul de f (z0 ) par une intégrale sur un cercle centré sur z0
où C + (z0 , r) est le chemin z0 + reit pour t ∈ [0, 2π], c’est-à-dire
Z 2π
1
an (z0 ) =
f z0 + reit e−int dt .
n
2πr 0
En particulier, f est holomorphe à tout ordre sur Ω et pour tout z ∈ D(z0 , R) ⊂
Ω, tout r ∈]0, R[,
Z
n!
f (z)
f (n) (z0 ) =
dz
2iπ C + (z0 ,r) (z − z0 )n+1
Z 2π
n!
=
f (z0 + reit )e−int dt .
2πrn 0
Démontrons maintenant le lemme.
Démonstration du lemme 37. Soit r ∈]0, R[ et z ∈ D(0, r). On définit alors une
fonction Γ : [0, 1] → C par la formule suivante : pour tout h ∈ [0, 1],
Z 2π
f ((1 − h)z + hreit ) − f (z) it
re dt .
Γ(h) =
reit − z
0
R 2π
Ainsi, on peut écrire Γ(h) = 0 γ(h, t)dt avec γ : [0, 1] × [0, 2π] → C définie par
la formule suivante : pour tout h ∈ [0, 1], t ∈ [0, 2π],
γ(h, t) =
f ((1 − h)z + hreit ) − f (z) it
re .
reit − z
La fonction Γ est bien définie car γ est bornée. En effet,
|γ(h, t)|
|r|
|reit − z|
|r|
.
≤ 2 sup{|f (z 0 )| : z 0 ∈ D(0, r)|}
r − |z|
≤ 2 sup{|f (z 0 )| : z 0 ∈ D(0, r)|}
On veut maintenant appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme
que vous avez vu dans le cours d’intégrale de Lebesgue. Il faut d’abord étudier
3.3. LE THÉORÈME DE CAUCHY POUR LES FONCTIONS C 1 HOLOMORPHES43
la dérivabilité de l’intégrande γ. On affirme alors que cette fonction γ de deux
variables réelles est de classe C 1 et
∂γ
(h, t) = f 0 ((1 − h)z + hreit )reit .
∂h
Par ailleurs, on utilise le fait que f 0 est continue pour affirmer que f 0 est borné
sur la boule ouverte D(0, r) et ceci implique que la dérivée partielle de γ qui
nous intéresse est bornée :
∂γ
(h, t) ≤ sup{|f 0 (z 0 )| : z 0 ∈ D(0, r)}r .
∂h
On en déduit que Γ est dérivable et que
Z 2π
ihΓ0 (h) =
f 0 ((1 − h)z + hreit )reit dt .
0
L’intégrande de l’intégrale précédente est en fait la dérivée de la fonction t 7→
(ih)−1 f ((1 − h)z + hreit ) et on en déduit donc que
Γ0 (h) = f ((1 − h)z + hrei2π ) − f ((1 − h)z + hr) = 0 .
On en déduit donc que Γ est constante sur [0, 1] et vaut Γ(0) = 0.
Z 2π
f (reit ) − f (z) it
0 = Γ(0) = Γ(1) =
re dt
reit − z
0
Z 2π
Z 2π
reit
f (reit ) it
re
dt
−
f
(z)
dt
=
it
re − z
reit − z
0
0
donc
2π
Z
reit
f (re ) it
dt = f (z)
re − z
it
0
Z
2π
0
reit
dt .
reit − z
(3.7)
On affirme maintenant que le lemme suivant est vrai.
Lemme 38. Pour tout z ∈ D(0, r),
Z 2π
reit
dt = 2π .
reit − z
0
Démonstration. On utilise |z| < r pour écrire
+∞ n
X
1
z −int
reit
=
=
e
.
reit − z
1 − ze−it /r n=0 rn
(3.8)
De plus, il est clair que la convergenceR de cette série de fonctions de t est normale.
On peut donc intervertir l’intégrale et la somme Σ dans les deux membres de
(3.7). On obtient alors
Z
0
2π
Z 2π
+∞ X
1
reit
−int
dt
=
e
dt
zn .
n
reit − z
r
0
n=0
On remarque que le seul terme qui ne soit pas nul dans la série du membre de
droite est le premier qui vaut 2π.
44
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
En utilisant de nouveau (3.8), on déduit du lemme et de (3.7) la formule
suivante : pour tout z ∈ D(0, r),
Z 2π
+∞ X
1
it −int
f
(re
)e
dt
zn .
f (z) =
n
2πr
0
n=0
On reconnait alors an (r) et on obtient ainsi pour tout z ∈ D(0, r)
f (z) =
+∞
X
an (r)z n .
n=0
Ainsi, on vient de montrer que f est analytique en 0. Par unicité des coefficients du développement d’une fonction analytique (Corollaire 5 du chapitre
précédent), on enP
déduit que an (r) ne dépend pas de r et que le rayon de convergence de la série
an z n est plus grand que r > 0. Etant donné que l’on
P a choisi
r ∈]0, R[ arbitraire, on en déduit que le rayon de convergence de
an z n est
plus grand que R. Ceci achève la démonstration.
Exemple 23. On peut considérer par exemple la fonction f (z) = z 2 . On peut
alors calculer
Z 2π
Z 2π
1
1
2 2it −int
an (r) =
r e e
dt =
r2 e(2−n)it dt
2πrn 0
2πrn 0
0 si n 6= 2 ,
=
1 si n = 2 .
On peut remarquer que nous avons en fait démontré un peu plus que ce qui
est dit dans le lemme. Nous avons en particulier le corollaire suivant.
Corollaire 12. Si f est C 1 holomorphe sur D(0, R), alors pour tout z1 ∈
D(0, R) et tout r ∈]|z1 |, R[,
Z
Z 2π
1
f (z)
reit
1
f (z1 ) =
f (reit ) it
dz =
dt .
2iπ C + (0,r) z − z1
2π 0
re − z1
Si maintenant, on se place au voisinage d’un point quelconque z0 d’un ouvert
Ω, on obtient le corollaire plus général suivant.
Corollaire 13 (Formule de Cauchy). Si f est C 1 holomorphe sur un ouvert Ω
et z0 ∈ Ω, alors pour tout z1 ∈ D(z0 , R) ⊂ Ω et tout r ∈]|z1 |, R[,
Z
Z 2π
1
f (z)
1
reit
f (z1 ) =
dz =
f (z0 + reit ) it
dt .
2iπ C + (z0 ,r) z − (z1 − z0 )
2π 0
re − (z1 − z0 )
3.3.2
Quelques applications du théorème de Cauchy
Dans ce paragraphe, on va utiliser le théorème de Cauchy pour montrer
un certain nombre de résultats. On commence par expliquer ce que sont les
inégalités de Cauchy.
Lemme 39. Soit f une fonction C 1 holomorphe sur Ω et z0 ∈ Ω. Soit R > 0
tel que D(z0 , R) ⊂ Ω. Alors pour tout n ∈ N, tout r ∈]0, R[, on a
|f (n) (z0 )| ≤
n!
sup{|f (z0 + reit )| : t ∈ [0, 2π]} .
rn
3.4. PRIMITIVES DE FONCTIONS HOLOMORPHES
45
La démonstration de ce lemme est très simple et est laissé au lecteur. Il
est important de remarquer que l’ensemble des points z de la forme z0 + reit
avec t ∈ [0, 2π] est en fait le cercle de centre z0 et de rayon r. Ainsi, toutes les
dérivées de f en z0 sont contrôlées par les valeurs de la fonction f elle-même
sur n’importe quel petit cercle centrée sur z0 et inclus dans Ω.
Exemple 24. Si on applique le lemme précédent à la fonction exponentielle, on
obtient la formule suivante : pour tout z0 ∈ Ω et tout r > 0,
| exp(z0 )| ≤
n!
n!
sup{| exp(z0 + reit )| : t ∈ [0, 2π]} = n ex0 +r .
n
r
r
Cette inégalité n’est pas très intéressante : pourquoi ?
On peut maintenant démontrer le théorème de Liouville.
Théorème 15 (de Liouville). Soit f une fonction C 1 holomorphe sur C. Si f
est bornée sur C alors f est constante.
Démonstration. On utilise les inégalités de Cauchy pour déduire que pour tout
n ∈ N, tout r > 0, on a
|f (n) (z0 )| ≤
n!
n!
sup{|f (z0 + reit )| : t ∈ [0, 2π]} ≤ M n .
n
r
r
En faisant r → +∞, on en déduit que f (n) (z0 ) = 0 si n ≥ 1. En particulier
f 0 = 0 sur C. Ceci implique que f est constante ; on utilise en effet le fait que
si la différentielle d’une fonction est identiquement nulle sur C = R2 , la fontion
est constante.
On montre maintenant le théorème de d’Alembert-Gauss.
Théorème 16 (de d’Alembert-Gauss). Soit P un polynôme à coefficients complexes. Si P n’est pas constant, alors P a au moins un zéro : il existe z0 ∈ C tel
que P (z0 ) = 0.
Démonstration. Pour démontrer ce théorème, on raisonne par contraposition.
On suppose donc que P ne s’annule pas et on veut montrer que P est nécessairement constant. Or P est holomorphe sur C. Donc par le lemme 29, on en
déduit, que 1/P est holomorphe sur C. De plus, il est facile de montrer que
|P (z)| se comporte comme (est équivalent à) |an ||z|n quand |z| → +∞. Donc
|P (z)| → +∞ quand |z| → +∞. Puisque P est continue, ceci implique que 1/P
est borné sur C donc constante par le théorème de Liouville. Q.E.D.
Exercice 4. Ecrire tous les détails de cette démonstration.
3.4
Primitives de fonctions holomorphes et leur
analyticité
Dans cette partie du chapitre, on explique rapidement pourquoi il est inutile
de supposer que f 0 est continue pour montrer qu’une fonction holomorphe est
analytique. Ceci est une conséquence de l’existence de primitives dans des boules
(par exemple). Beaucoup de résultats seront admis.
46
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fig. 3.6 – Exemple d’ouvert étoilé par rapport à un point z0
3.4.1
Ouvert étoilé
On introduit maintenant la notion d’ouvert étoilé.
Définition 27 (Ouvert étoilé). Soit A un sous-ensemble de C et z0 ∈ A. On
dit que A est étoilé par rapport à z0 si pour tout z ∈ A, le segment [z0 , z] =
{(1 − t)z0 + tz : t ∈ [0, 1]} est inclus dans A.
Une illustration graphique est donnée par la figure 3.6
Pour donner une idée plus précise, voici un résultat dont la démonstration
est laissée en exercice au lecteur.
Proposition 10. Soit A un sous-ensemble de C.
– Si A est convexe alors A est étoilé par rapport à chacun de ces points.
– Si A est étoilé alors A est connexe par arcs.
Exercice 5. Montrer que C\] − ∞, 0] est étoilé.
3.4.2
Le théorème de Goursat
Quand nous allons étudier les primitives de fonctions holomorphes, nous
allons avoir besoin de montrer que l’intégrale d’une fonction holomorphe sur
un triangle (qui est une chemin particulier) est nulle. Ce théorème s’appelle le
théorème de Goursat et voici ce qu’il dit précisément.
Théorème 17 (Goursat). Soit Ω un ouvert et z1 , z2 , z3 trois points tels que le
triangle T de sommets z1 , z2 , z3 soit inclus dans Ω. Alors
Z
f (z)dz = 0 .
T
R
Remarque 16. T signifie qu’on intègre sur le bord du triangle. Il faut donc
choisir un sens. Un chemin est notamment donné dans l’exemple 20.
Démonstration. Notons T0 le rectangle T et découpons-le en 4 sous-rectangles
en considérant le milieu de chacun des trois cotés (voir la figure ??). On choisit le
3.4. PRIMITIVES DE FONCTIONS HOLOMORPHES
47
Fig. 3.7 – Découpe successive d’un triangle en quatre
triangle T1 parmi les 4 nouveaux triangles S et tel que |
Alors
Z
Z
1
f (z)dz| .
|
f (z)dz| ≥ |
4 T0
T1
R
S
f (z)dz| est maximal.
On peut itérer cette construction et obtenir ainsi une suite de triangles emboités {Tn }n tels que
Z
Z
1
f (z)dz| ≥ |
|
f (z)dz| .
4 Tn
Tn+1
De plus, diam Tn = 21n diam T0 → 0 quand n → +∞. En effet, le diamètre
d’un triangle est la longueur de son plus grand coté et pour tout n ≥ 0,
diam Tn+1 /diam Tn est constant et vaut 21 .
Alors par le théorème des fermés emboités, on sait qu’il existe un point z∞
qui est dans tous les triangles Tn . En particulier, z∞ ∈ Ω. Or f est holomorphe
sur Ω donc pour tout ε > 0, il existe ρε > 0 tel que pour tout z ∈ D(z∞ , ρε ),
|f (z) − f (z∞ ) − f 0 (z∞ )(z − z∞ )| ≤ ε|z − z∞ |2 .
(3.9)
On se fixe donc ε > 0 et on choisit nε ∈ N de sorte que pour tout n ≥ nε ,
on a Tn ⊂ D(z∞ , ρε ). On peut alors écrire pour tout n ≥ nε ,
Z
Z
f (z)dz =
[f (z) − f (z∞ ) − f 0 (z∞ )(z − z∞ )]dz + Rn
(3.10)
Tn
Tn
avec Rn défini par
Z
[f (z∞ ) + f 0 (z∞ )(z − z∞ )]dz .
Rn =
Tn
Or l’intégrande est clairement la dérivée (holomorphe) de Fn (z) = f (z∞ )z +
1 0
2
2 f (z∞ )(z − z∞ ) . Donc
Z
Rn =
a
b
Fn0 (γ(t))γ 0 (t)dt
Z
=
a
b
(Fn ◦ γ)0 (t)dt = Fn (γ(b)) − Fn (γ(a)) = 0
48
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
car γ est un lacet. Ainsi, comme Rn = 0, on peut combiner (3.9) et (3.10) pour
obtenir que pour tout n ≥ nε , on a
Z
1
|
f (z)dz| ≤ ε(diam Tn )2 = ε(diam T0 ) n .
4
Tn
Enfin, puisqu’à chaque itération, on a choisi le triangle qui maximise l’intégrale
f
(z)dz, on a
S
Z
Z
n
|
f (z)dz| ≤ 4 |
f (z)dz| ≤ ε(diam T0 ) .
R
T0
Tn
Etant donné que ε > 0 est quelconque, la démonstration est terminée.
3.4.3
Primitives de fonctions holomorphes dans un ouvert
étoilé
Définition 28 (Primitive de fonction holomorphe). Soit Ω un ouvert étoilé
par rapport à un point z0 . Soit f : Ω → C une fonction holomorphe. Alors
F : D(z0 , ρ) → C est une primitive de f sur D(z0 , ρ) si F est holomorphe sur
D(z0 , ρ) et si F 0 = f sur D(z0 , ρ).
Voici le théorème.
Théorème
18. Soit Ω un ouvert étoilé par rapport à un point z0 . Soit F (z) =
R
f
(z
)dz
1
1 . Alors F est une primitive de f et F est analytique sur D(z0 , ρ).
[z0 ,z]
R
Remarque 17. Nous avons déjà utilisé la notation [z0 ,z1 ] f (z)dz. On rappelle
que cela signifie que l’on considère l’intégrale de f sur la courbe γ : [0, 1] → C
définie par γ(t) = (1 − t)z0 + tz1 .
Démonstration. Pour montrer que F est une primitive de f , il suffit de montrer
que F est holomorphe et que sa dérivée holomorphe est bien f . Ceci est une
conséquence du théorème de Goursat comme nous allons le voir maintenant.
Montrons que F est holomorphe en z1 ∈ Ω et que sa dérivée est f (z1 ). Pour
cela, on commence par utiliser le fait que Ω est ouvert pour dire qu’il existe
ρ > 0 tel que D(z1 , ρ) ⊂ Ω. On utilise ensuite le fait que Ω est étoilé par rapport
à un point z0 pour dire que les triangles de sommets z0 , z1 , z1 + h sont inclus
dans Ω quand h ∈ D(0, ρ). Enfin, le théorème de Goursat nous dit donc que
l’intégrale de f sur ces triangles est nulle. En reformulant ce résultat en terme
de fonction F , on obtient au vu de sa définition la relation suivante
Z
Z 1
1
1
(F (z1 + h) − F (z1 )) =
f (z)dz =
f (z1 + th)dt .
h
h [z1 ,z1 +h]
0
On utilise maintenant le fait que f est continue en z1 pour dire que, pour tout
ε > 0, on peut choisir ρε < ρ de sorte que |f (z1 + H) − f (z1 )| ≤ ε pour tout
H ∈ D(z1 , ρε ). On en déduit alors que
Ceci finit de
Alors F 0
appliquer le
Donc f l’est
1
| (F (z1 + h) − F (z1 )) − f (z1 )| ≤ ε .
h
démontrer la première partie du théorème.
= f et f est holomorphe. Donc F 0 est continue. On peut alors
théorème de Cauchy 14 pour en déduire que F est analytique.
aussi.
3.5. SINGULARITÉS ET CALCUL DES RÉSIDUS
3.4.4
49
Analyticité des fonctions holomorphes
Dans ce paragraphe, on donne un résultat important dont la démonstration
sera admise. Il s’agit de l’analyticité des fonctions holomorphes.
Théorème 19 (Analyticité des fonctions holomorphes). Soit Ω un ouvert et
f : Ω → C une fonction quelconque. Alors f est holomorphe si et seulement si
f est analytique.
Démonstration. On a vu dans le chapitre précédent que les fonctions analytiques
sont holomorphes et il faut donc juste justifier que les fonctions holomorphes
sont analytiques.
Ensuite, on a vu qu’une fonction C 1 holomorphe (c’est-à-dire une fonction f
holomorphe telle que f 0 est continue) est analytique (voir le théorème de Cauchy
14). En fait, ce théorème est encore vrai si f n’est que holomorphe. Ceci est une
conséquence immédiate du théorème 18.
Grâce à ce théorème, on peut réénoncer le théorème de Cauchy sous des
hypothèses plus faibles.
Théorème 20 (de Cauchy). Si f est holomorphe sur un ouvert Ω ⊂ C, alors
f est analytique sur Ω. De plus, si zP
0 ∈ Ω et R > 0 tel que D(z0 , R) ⊂ Ω, alors
+∞
pour tout z ∈ D(z0 , R), on a f (z) = n=0 an (z0 )(z −z0 )n avec, pour tout n ∈ N
et tout r ∈]0, R[,
Z 2π
1
f z0 + reit e−int dt .
an (z0 ) =
2πrn 0
On peut réécrire cette égalité sous la forme
Z
1
f (z)
dz
an (z0 ) =
2iπ γ0 (z − z0 )n+1
où γ0 : [0, 2π] → C est le chemin défini par γ(t) = z0 + reit . En particulier, f
est holomorphe à tout ordre sur Ω et pour tout z ∈ D(z0 , R) ⊂ Ω, tout r ∈]0, R[,
Z 2π
Z
n!
n!
f (z)
(n)
it −int
f (z0 ) =
f (z0 + re )e
dt =
dz .
2πrn 0
2iπ γ0 (z − z0 )n+1
3.5
Singularités des fonctions holomorphes et
calcul des résidus
Nous avons vu précédemment que la fonction z1 est holomorphe sur C \ {0}.
Il est naturel de se poser la question suivante : peut-on trouver une fonction
holomorphe sur C tout entier dont la restriction à C \ {0} soit holomorphe ? On
peut aussi considérer la fonction (1−z)12 (z−2) . On voit bien que la fonction n’est
pas bien définie en 1 et 2.
Le point commun entre les deux fonctions que l’on vient de considérer est
qu’elles “explosent” respectivement en 0 et en 1, 2. C’est aussi le cas de exp(1/z)
que nous avons étudié en travaux dirigés.
Le but de cette partie du cours est de définir, décrire et classifier les singularités des fonctions holomorphes.
On rappelle que dans tout ce chapitre, Ω est un ensemble ouvert quelconque.
50
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
3.5.1
Singularités des fonctions holomorphes
Commençons par définir la notion de singularité isolée.
Définition 29 (Singularité isolée). Soit z0 ∈ Ω. Si f est une fonction holomorphe sur Ω \ {z0 }, on dit que f a une singularité isolée au point z0 .
Exercice 6. Quelles sont les singularités isolées de
1
z
et de
sin z
z
?
Il arrive parfois que l’on puisse facilement éliminer la singularité, que la
singularité soit artificielle. Soyons précis.
Définition 30 (Singularité artificielle). Soit f : Ω \ {z0 } → C une fonction
holomorphe. On dit que la singularité isolée z0 est artificielle s’il existe une
fonction holomorphe g : Ω → C qui coı̈ncide avec f sur Ω \ {z0 }.
Ces singularités-là ne sont pas très intéressantes, du moins elles n’ont rien à
nous apprendre. Pour décrire les deux autres types de singularités, on a besoin
de la notation suivante.
Définition 31 (Disque épointé). Soit z0 ∈ C et r > 0. Alors le disque (ouvert)
épointé de centre z0 et de rayon r est le disque (ouvert) D(z0 , r) privé de son
centre. On le note D∗ (z0 , r).
de
On veut ensuite pouvoir considérer les singularités qui sont du type de celles
et de (z−1)12 (2−z) . Ces singularités sont appelées des pôles. Soyons précis.
1
z
Définition 32 (Pôle). Soit f : Ω \ {z0 } une fonction holomorphe. On dit z0 est
un pôle d’ordre n pour un certain entier naturel n ≥ 1 s’il existe des nombres
complexes a1 , . . . , an tels que :
– an n’estPpas nul et
n
ai
– f (z) − i=1 (z−z
i a une singularité essentielle en z0 .
0)
Il est clair qu’une singularité articielle ne peut pas être un pôle et qu’un pôle
ne peut pas ètre une singularité articielle. Mais il existe un troisième type de
singularités, celui des singularités de exp(1/z).
Définition 33 (Singularité essentielle). Soit f : Ω \ {z0 } une fonction holomorphe. Alors z0 est une singularité essentielle de f si, pour tout réel ρ > 0 tel
que D(z0 , ρ) \ Ω, l’image du disque épointé D∗ (z0 , ρ) par f est dense dans C.
Exercice 7. Montrer que 0 est une singularité essentielle de exp(1/z).
Il est ici peut-être un peu moins clair que cette notion est bien distinctes des
deux autres. C’est pourquoi nous énonçons le lemme suivant.
Lemme 40. Soit f : Ω \ {z0 } une fonction holomorphe.
– Si z0 est une singularité articielle, ce n’est ni un pôle ni une singularité
essentielle.
– Si z0 est un pôle, ce n’est ni une singularité artificielle ni une singularité
essentielle.
– Si z0 est une singularité essentielle, ce n’est ni un pôle ni une singularité
artificielle.
3.5. SINGULARITÉS ET CALCUL DES RÉSIDUS
51
Démonstration. Si z0 est une singularité articielle, alors f s’étend en une fonction g : Ω → C qui est holomorphe donc continue. En particulier elle est bornée
au voisinage de z0 . Ceci n’est pas le cas pour les pôles et les singularités essentielles.
Si z0 est un pôle, f n’est pas borné au voisinage de z0 donc ce ne peut être
une singularité artificielle. Dans le cas d’un pôle, non seulement la fontion f
n’est pas borné au voisinage de z0 mais elle tend vers +∞. Donc pour ρ > 0
assez petit, on sait que
|z − z0 | < ρ ⇒ |f (z)| ≥ 1 .
Donc f (D∗ (z0 , ρ)) ⊂ C \ D(0, 1) et en particulier l’image du disque épointé n’est
pas dense dans C.
La dernière remarque permet aussi permet aussi de montrer que si z0 est
une singularité essentielle, alors cela ne peut être un pôle. Cela ne peut pas non
plus être une singularité artificielle car dans ce cas, f (D∗ (z0 , ρ)) est borné car
f se prolonge en une fonction continue (holomorphe en fait).
Le théorème important est qu’il n’existe pas d’autres types de singularité.
Précisément, on a le résultat suivant.
Théorème 21. Soit f : Ω \ {z0 } une fonction holomorphe. Alors soit z0 est une
singularité artificielle, soit c’est un pôle, soit c’est une singularité essentielle.
Avant de démontrer ce théorème, nous allons montrer le lemme suivant.
Lemme 41. Soit z0 ∈ Ω et ρ > 0 tel que D(z0 , ρ) ⊂ Ω. Soit f est holomorphe
sur Ω\{z0 }. Si f est borné sur D∗ (z0 , ρ), alors z0 est une singularité artificielle.
Démonstration. On pose g(z) = (z − z0 )2 f (z) si z ∈ Ω \ {z0 } et g(z0 ) = 0. Alors
g(z)−g(z0 )
= (z − z0 )f (z) et donc pour tout z ∈ D(z0 , ρ),
z−z0
g(z) − g(z0 ) z − z0 ≤ M |z − z0 |
où M = supD∗ (z0 ,ρ) |f | qui est fini par hypothèse. Ainsi, g est holomorphe en
z0 . Et il est clair que g est holomorphe sur Ω \ {z0 }. Donc g est analytique en
z0 (Théorème 19) et il existe donc une suite de nombres complexes (an )n tels
que pour tout z ∈ D(z0 , ρ),
g(z) =
+∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Or g(z0 ) = g 0 (z0 ) = 0. Ainsi g(z) = (z − z0 )2 f˜(z) avec
f˜(z) =
+∞
X
an+2 (z − z0 )n .
n=0
Alors f se prolonge en une fonction holomorphe f˜ sur Ω. Donc z0 est une
singularité artificielle.
On peut maintenant démontrer le théorème.
52
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Démonstration du théorème 21. Supposons que z0 n’est pas une singularité essentielle et montrons que c’est soit une singularité artificielle soit un pôle.
Comme z0 n’est pas une singularité essentielle, il existe un point ω de C, une
distance δ > 0 et un rayon ρ > 0 tel que pour tout z ∈ D∗ (z0 , ρ),
|f (z) − ω| ≥ δ > 0 .
On peut alors considérer la fonction g(z) = (f (z) − ω)−1 . Cette fonction est
holomorphe sur D∗ (z0 , ρ) et est bornée par δ −1 sur D∗ (z0 , ρ). On utilise alors
le lemme pour dire que g se prolonge en une fonction holomorphe sur D(z0 , ρ)
tout entier. On distingue alors deux cas.
Supposons d’abord que g(z0 ) 6= 0. Alors on peut choisir ρ0 ∈]0, ρ[ et trouver
0
δ > 0 tels que pour tout z ∈ D(z0 , ρ0 ), |g(z)| ≥ δ 0 > 0. On en déduit aisément
que pour tout z ∈ D∗ (z0 , ρ0 ), |f (z)| ≤ |ω| + (δ 0 )−1 . Ainsi, f est une fonction
holomorphe sur Ω \ {z0 } qui est bornée sur D(z0 , ρ0 ). Par le lemme, on en déduit
que z0 est une singularité artificielle de f .
Supposons maintenant que g(z0 ) = 0. Etant donné que g n’est pas identiquement nulle, on sait mettre la reference qu’il existe un entier m ≥ 1 tel que
g(z) = (z − z0 )m g̃(z) avec g̃ holomorphe et g̃(z0 ) 6= 0. Alors on sait aussi que
h(z) = g̃1 est une fonction holomorphe sur D(z0 , ρ00 ) pour ρ00 ∈]0, ρ[ assez petit.
On peut donc écrire pour tout z ∈ D(z0 , ρ00 ),
h(z) =
m
X
n
an (z − z0 ) +
n=0
+∞
X
n
an (z − z0 ) =
n=m+1
avec a0 6= 0 et H(z) =
z ∈ D∗ (z0 , ρ00 ),
f (z)
P+∞
n=1
=
=
=
m
X
an (z − z0 )n + (z − z0 )m H(z)
n=0
an+m (z − z0 )n . On en déduit que pour tout
1
g(z)
h(z)
ω+
(z − z0 )m
a0
ω+
+ · · · + H(z) .
(z − z0 )m
ω+
Ainsi z0 est un pôle d’ordre m de la fonction f .
3.5.2
Fonctions méromorphes
Pour définir la notion de fonctions méromorphes, nous avons tout d’abord
besoin de la notion d’ensemble discret.
Définition 34 (Sous-ensemble discret de C). Soit X un sous-ensemble de C.
On dit que X est discret si tout point de X est un point isolé de X.
On peut maintenant introduire la définition suivante.
Définition 35 (Fonctions méromorphes). Soif Ω un ouvert de C et f : Ω → C
une fonction quelconque. On dit que f est méromorphe sur Ω s’il existe un
ensemble discret F de Ω tel que
– f est holomorphe sur Ω \ F ,
3.6. LE THÉORÈME DES RÉSIDUS
53
– et tout point de F est un pôle de f .
Exemple 25.
– Toute fonction associée à une fraction rationelle à coefficients
complexes est une fonction méromorphe.
– La fonction sin(z)
est méromorphe sur C.
z3
– Toute fonction holomorphe sur Ω est méromorphe sur Ω (choisir F = ∅).
On peut construire d’autres fonctions méromorphes grâce à des opérations
élémentaires.
Lemme 42. Soit f et g deux fonction méromorphe sur Ω. Alors
– si λ, µ ∈ C, λf + µg est une fonction méromorphe sur Ω ;
– la fonction f g est méromorphe sur Ω ;
– si Ω est connexe et g n’est pas identiquement nulle sur Ω, alors
méromorphe sur Ω.
f
g
est
Attention .! La composition de deux fonctions méromorphes n’est pas méromorphe
en général. Penser à la fonction exp(1/z).
Démonstration. a completer
3.6
Le théorème des résidus
Le théorème des résidus permet de calculer l’intégrale d’une fonction méromorphe sur un lacet en comptant le nombre de tour que fait le chemin autour
de chaque pôle (indice du pôle) et en multipliant cet entier par le “résidu” du
pôle. Avant de définir cette notion de résidu et de montrer le théorème associé,
on peut essayer de voir ce qui se passe pour les fonctions holomorphes qui sont
en quelque sorte des fonctions méromorphes particulières, à savoir des fonctions
méromorphes sans pôle.
3.6.1
L’intégrale d’une fonction holomorphe sur un lacet
Soit Ω un ouvert étoilé et f : Ω → C une fonction holomorphe. On a vu
plus haut que l’intégrale d’une fonction holomorphe sur un triangle est nulle
(Théorème 17 de Goursat). On peut se demander si ce résultat est encore vrai
sur un lacet quelconque. La réponse est oui comme le dit le théorème suivant.
Théorème 22 (Cauchy). Soit Ω un ouvert étoilé et soit f : Ω → C une fonction
holomorphe. Si γ est un lacet à valeurs dans Ω, alors
Z
f (z)dz = 0 .
γ
Ce théorème est une conséquence de l’existence de primitives pour les fonctions holomorphes sur un ouvert étoilé (Théorème 18). Plus généralement, on
peut montrer le lemme suivant
Lemme 43. Soit Ω un ouvert étoilé et soit f : Ω → C une fonction holomorphe.
Si γ est un chemin sur [a, b] à valeurs dans Ω, alors
Z
f (z)dz = F (γ(b)) − F (γ(a)) .
γ
54
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Démonstration. On écrit simplement
Z
Z b
Z b
f (z)dz =
F 0 (γ(t))γ 0 (t)dt =
(F ◦ γ)0 (t)dt
γ
a
a
= F (γ(b)) − F (γ(a)) .
3.6.2
Notion de résidus d’une fonction méromorphe
Pour définir les résidus d’une fonction méromorphe, nous avons besoin du
lemme suivant.
Lemme 44. Soit f une fonction méromorphe sur Ω et p ∈ Ω un pôle de f .
Alors il existe un unique entier mP
∈ N et une unique suite finie de nombres
m
complexes {a1 , . . . , am } tels que f − i=1 ai (z−p)−i a une singularité artificielle
en p.
Bien évidemment, la seule chose importante dans ce résultat est l’unicité de
l’ordre du pôle et des nombres complexes associées.
Démonstration. Supposons par l’absurde qu’il existe m1 ≥ 1, a1 , . . . , am1 ∈ C
et m2 ≥ 1, b1 , . . . , bm2 ∈ C vérifiant les conditions du lemme.
Ceci implique alors qu’il existeP
un entier m ≥ 1 et des nombres complexes
m
cn
c1 , . . . , cm (avec cm 6= 0) tels que n=1 (z−p)
n a une singularité artificielle en
p. Ceci implique en particulier que cette fonction est bornée en p ce qui est
absurde.
Nous noterons désormais P l’ensemble des pôles de la fonction méromorphe
f sur Ω. Grâce au lemme, on peut poser la définition suivante.
Définition 36. Soit f : Ω → C une fonction méromorphe et P l’ensemble de
ces pôles.
– L’entier m est l’ ordre P
du pôle p ;
m
an
– la fraction rationnelle n=1 (z−p)
n est la partie principale de f ;
– enfin a1 est le résidu de f en p. On le note Res (f, p).
Nous allons démontrer plus loin un théorème (appelé théorème des résidus)
qui permet de calculer l’intégrale d’une fonction méromorphe sur un lacet en
fonction des résidus de la fonction méromorphe en ses pôles et l’indice de chaque
pôle par rapport au lacet. Il est donc bon de pouvoir calculer les résidus d’une
fonction méromorphe.
Une remarque qui sera utile plus tard est que les pôles d’une fonction méromorphe sur un ouvert ne peuvent “s’accumuler” qu’au bord de Ω. Ceci est en
fait une propriété de n’importe quel sous-ensemble discret d’un ouvert.
Lemme 45. Soit Ω un ouvert de C et f une fonction méromorphe sur Ω. Pour
tout ε > 0, il n’existe qu’un nombre fini p de pôles de f qui sont au moins à
une distance ε > 0 du bord de Ω, c’est-à-dire,
Vε (∂Ω) = {z ∈ Ω, d(z, ∂Ω) > ε}
contient un nombre fini de pôle de f .
3.6. LE THÉORÈME DES RÉSIDUS
3.6.3
55
Ordre d’un zéro d’une fonction holomorphe
rappel du chapitre 2 : A completer
3.6.4
Calcul de résidus
Nous commençons par donner un lemme qui permet théoriquement de calculer le résidu d’un pôle d’une fonction méromorphe.
Lemme 46. Soit f une fonction méromorphe sur Ω et p un pôle de f d’ordre
m. Il existe ρ > 0 tel que la fonction h définie pour tout z ∈ D∗ (p, ρ) par
h(z) = (z − p)m f (z)
se prolonge de manière analytique à D(p, ρ) en une fonction h̃ et vérifie
Res (f, p) =
h̃(m−1) (p)
.
(m − 1)!
Un corollaire immédiat de ce lemme est
Corollaire 14 (Résidu d’un pôle d’ordre 1). Soit f une fonction méromorphe
sur Ω et p un pôle de f d’ordre 1. Alors
Res (f, p) = lim (z − p)f (z) .
z→p
Le lecteur attentif pourra aussi démontrer directement ce corollaire à partir
de la définition d’un pôle d’ordre 1.
Montrons maintenant le lemme.
Démonstration duP
lemme 46. Notons f˜ le prolongement analytique de la foncm
an
tion z 7→ f (z) − n=1 (z−p)
n sur D(p, ρ). On peut donc dire que pour tout
z ∈ D(p, ρ), on a
h(z) = (z − p)m f˜(z) +
m
X
an (z − p)m−n .
n=1
Ainsi h est bien définie et h(p) = am et
h(m−1) (p)
=
m−1
X
k=0
=
m−1
(z − p)m−k f˜(k) (p) + (m − 1)!a1 = (m − 1)!a1
k
(m − 1)!Res (f, p) .
Dans le lemme et le corollaire précédent, on doit avoir déterminé l’ordre du
pôle pour pouvoir calculer le résidu, ce qui n’est pas toujours facile.
Or il se trouve que les fonctions méromorphes sont en général des quotients
de fonctions holomorphes. On va donc montrer comment calculer le résidu d’un
quotient de fonctions holomorphes.
56
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Lemme 47 (Résidu d’un quotient de fonctions holomorphes). Soit f et g deux
fonctions holomorphes sur Ω qui ne sont pas identiquement nulles et soit p ∈ Ω
un zéro commun à f et g. Notons m l’ordre du zéro de f et n l’ordre du zéro de
g et supposons que n > m. On considère alors les fonctions f¯ et ḡ définies par
f (z) = (z − p)m f¯(z)
et
g(z) = (z − p)n ḡ(z) .
Par définition de l’ordre d’un zéro d’une fonction holomorphe, on sait que f¯(p) 6=
0 et ḡ(p) 6= 0 et f¯, ḡ sont holomorphes sur Ω.
¯
Alors les fonctions h = fg et h̄ = fḡ sont méromorphes sur Ω et présentent
respectivement un pôle d’ordre n−m et une singularité artificielle en p. De plus,
h̄(n−m+1) (p)
f
.
Res ( , p) =
g
(n − m + 1)!
Démonstration. Par le lemme sur les opérations élémentaires sur les fonctions
méromorphes, les fonctions h et h̄ sont méromorphes sur Ω. De plus, comme
ḡ(p) 6= 0, on en déduit que h̄ est borné au voisinage de p donc p est une singularité artificielle de h̄.
Soit maintenant ρ > 0 tel que h̄ est holomorphe sur D(p, ρ), donc analytique
en p. On peut donc écrire pour tout z ∈ D(p, ρ)
h(z) =
h̄(z)
.
(z − p)n−m
Ainsi h a un pôle d’ordre n − m et par le lemme 46, on a
Res (h, p) =
h̄(n−m−1) (p)
.
(n − m − 1)!
Corollaire 15. Soit p ∈ Ω et f, g deux fonctions holomorphes non identiquement nulles sur Ω. On suppose que f et g ont un zéro commun d’ordre respectif
m et m + 1. Alors fg est méromorphe sur Ω et p est un pôle d’ordre 1. De plus,
f
f (m) (p)
Res ( , p) = (m + 1) (m+1)
.
g
g
(p)
Démonstration. On pose encore une fois f¯(z) = (z − p)−m f (z) et ḡ(z) = (z −
(m)
(m+1)
(p)
. Il
p)−m−1 g(z). Alors on a vu reference que f¯(p) = f (p) et ḡ(p) = g
m!
(m+1)!
est maintenant facile de conclure.
3.6.5
Théorème des résidus et formule de Cauchy généralisée
Pour donner une idée de ce que dit le théorème des résidus, voici tout d’abord
un lemme.
Lemme 48. Soit p ∈ C, n ∈ Z et γ un lacet sur [a, b]. On suppose que p ∈
/Γ=
γ([a, b]). Alors
Z
dz
0
si n 6= 1
=
n
2iπIndγ (p) si n = 1 .
γ (z − p)
3.6. LE THÉORÈME DES RÉSIDUS
57
Démonstration. Il suffit de traiter le cas n 6= 1. Dans ce cas, (n − 1)−1 (z − p)1−n
est une primitive de f sur C \ {p}. Alors
Z
Z b
γ 0 (t)
dz
=
dt
n
n
a (γ(t) − p)
γ (z − p)
Z b
=
((n − 1)−1 (γ − p)1−n )0 (t)dt
a
(n − 1)−1 ((γ(b) − p)1−n − (γ(a) − p)1−n ) .
=
Il suffit maintenant d’utiliser le fait que γ(a) = γ(b) pour conclure.
On peut maintenant énoncer le théorème des résidus.
Théorème 23. Soit Ω un ouvert étoilé par rapport à un point z0 , γ un lacet
sur [a, b] á valeurs dans Ω et f une fonction méromorphe sur Ω. Notons P
l’ensemble des pôles de f et Γ = γ([a, b]). On suppose que P ∩ Γ = ∅. Alors
– L’ensemble Pγ des pôles dont l’indice par rapport à γ n’est pas nul est fini.
– Si Pγ 6= ∅, alors
Z
X
f (z)dz = 2iπ
Indγ (p)Res (f, p) ;
γ
Si Pγ = ∅, alors
R
γ
p∈Pγ
f (z)dz = 0.
Démonstration. Le fait que Pγ est fini est une conséquence du lemme suivant
sur les ensembles étoilés contenant un ensemble discret et un lacet.
Lemme 49. Soit Ω un ouvert étoilé par rapport à z0 . Les ensembles Ωε,R définis
pour tout ε > 0, R > 0 par
Ωε,R = {z ∈ Ω ∩ D(z0 , R) : ∀t ∈ [0, 1], d(tz + (1 − t)z0 , C \ Ω) > ε}
sont ouverts et étoilés par rapport à z0 .
De plus, si γ est un lacet sur [a, b] à valeurs dans Ω, alors il existe ε(γ) > 0,
R(γ) > 0 tel que γ([a, b]) ⊂ Ωε(γ),R(γ) .
Enfin, si F est un sous-ensemble discret de Ω, alors F ∩ Ωε(γ),R(γ) est fini
et pour tout p ∈ F \ Ωε(γ),R(γ) , Indγ (p) = 0.
Démonstration. a completer.
(voir la figure 3.8).
Par ailleurs, par la définition
pour tout p ∈ Pγ , il existe mp et
Pmp d’un pôle,
ap1 , . . . , apmp tels que f (z) − i=1
ai (z − p)−i a une singularité essentielle en p. Il
P
Pmp
est alors clair que f (z)− p∈Pγ i=1
ai (z −p)−i a un nombre fini de singularités
essentielles et se prolonge donc
R en une fonction analytique g sur l’ouvert étoilé
Ωε(γ),R(γ) . On sait donc que γ g(z)dz = 0. Il vient donc, grâce au lemme 48,
que f vérifie
Z
Z
mp
X X
dz
f (z)dz =
ai
(z
−
p)i
γ
γ
p∈Pγ i=1
X
=
2iπa1 Indγ (p)
p∈Pγ
=
X
p∈Pγ
2iπRes (f, p)Indγ (p) .
58
CHAPITRE 3. FONCTIONS HOLOMORPHES
Fig. 3.8 – Localisation des singularités “enlacées”
Ceci achève la démonstration du théorème des résidus.
Chapitre 4
Transformées de Fourier et
de Laplace
La transformée de Fourier est une généralisation des séries de Fourier. Elle
est très utile pour essayer de reconstruire un signal à partir d’une information
partielle. D’une point de vue numérique, une méthode très efficace, appelée
“transformée de Fourier rapide” ou FFT (fast Fourier transform). Nous n’aborderons pas ce point. En revanche, nous présenterons ensuite la transformée de
Laplace qui est une sorte de généralisation de la transformée de Fourier. Elle est
par exemple utile lorsque l’on veut reconstruire des signaux “causaux”, c’est-àdire des signaux f (t) définis par exemple uniquement pour t > 0.
4.1
4.1.1
Rappels sur L1 (R), L2 (R) et L∞ (R)
Fonctions intégrables et essentiellement bornées
Avant de rappeler ce qu’est une fonction intégrable, nous avons besoin de
rappeler ce qu’est la tribu borélienne et ce que sont les fonctions mesurables.
Définition 37 (Tribu borélienne). La tribu borélienne est la plus petite tribu
qui contient les intervalles de R. On la note B.
Définition 38 (Fonctions mesurables). Une fonction f : R → R est mesurable
si pour tout intervalle I de R, f −1 (I) est un borélien de R.
Vous avez ensuite vu en cours d’intégration de Lebesgue que l’on peut définir
l’intégrale de n’importe quelle fonction positive. En revanche, c’est intégrale peut
être infinie. Les fonctions intégrables sont les fonctions f dont l’intégrale de |f |
est finie.
Définition 39 (Fonctions intégrables). Soit f : R → R une fonction mesurable.
La fonction f est intégrable si
Z
|f (x)|dx < +∞ .
R
Exemple 26. La fonction
tion ?
ln x
1+|x|2
est intégrable. Pouvez-vous justifier cette asser-
59
60
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
4.1.2
Les espaces vectoriels normés Lp (R), p = 1, 2, ∞
Dans ce paragraphe, on munit notamment l’espace vectoriel des fonctions
intégrables d’une norme. On rappelle donc ce qu’est une norme sur un espace
vectoriel.
Définition 40 (Norme et espace vectoriel normé). Soit E un espace vectoriel
et N : E → R une fonction. Alors N est une norme sur E si
– Pour tout e ∈ E, N (e) ≥ 0.
– Pour tout e, f ∈ E : N (e + f ) ≤ N (e) + N (f ) (inégalité triangulaire).
– Pour tout λ ∈ R et e ∈ E, N (λe) = |λ|N (e)
– N (e) = 0 ⇔ e = 0.
Alors (E, N ) est un est espace vectoriel normé.
Les fonctions intégrables
Commençons par noter l’ensemble des fonctions numériques sur R qui sont
intégrables de la façon suivante
L1 (R) .
On voudrait munir cet espace d’une norme. Il est naturel de vouloir considérer
la norme suivante
Z
kf k1 = |f (x)|dx .
Lemme 50. Soit f, g deux fonctions mesurables et λ ∈ R. Alors
kf + gk1 ≤ kf k1 + kgk1
kλf k1 = |λ|kf k1
kf k1 = 0 ⇔ ∃N ∈ B : ∀x ∈
/ N, f (x) = 0 .
Ainsi, si l’on veut pouvoir munir l’espace des fonctions intégrables de cette
norme, il faut identifier des “paquets” de fonctions entre elles.
Définition 41 (Fonctions équivalentes). Soit f, g : R → R deux fonctions
mesurables. On dit que f est équivalente à g s’il existe un ensemble N de mesure
nulle tel que f (x) = g(x) pour tout x ∈ R \ N . On note alors f ∼ g.
Lemme 51. Si f ∈ L1 (R) et g ∼ f alors g ∈ L1 (R).
Ainsi, on peut définir les classes d’équivalence de l’espace L1 (R).
Définition 42 (Classes d’équivalence). Soit f ∈ L1 (R). Alors la classe d’équivalence
de f est l’ensemble des fonctions g qui sont équivalentes à f .
Exemple 27. Les fonctions suivantes
n si x = n ∈ N
f1 (x) =
0 sinon.
exp(n) si x = n ∈ N
f2 (x) =
0
sinon.
exp(x) si x ∈ Q
f2 (x) =
0
sinon.
sont dans la classe d’équivalence de la fonction identiquement nulle.
4.1. RAPPELS SUR L1 (R), L2 (R) ET L∞ (R)
61
Ainsi, on peut définir l’espace L1 (R) comme l’ensemble des “classes d’équivalence”
de L1 (R) et obtient ainsi un espace vectoriel normé. Ainsi, on déduit immédiatement
du lemme 50 le lemme suivant
Lemme 52. L’espace (L1 (R), k · k1 ) est un espace vectoriel normé.
On rappelle enfin une propriété importante des fonctions intégrables que
vous avez vu en cours d’intégration.
Lemme 53. Soit f ∈ L1 (R). Alors la fonction τ 7→ f (x + τ ) est une fonction
continue de R dans L1 (R). En particulier,
Z
lim |f (x + τ ) − f (x)|dx = 0 .
τ →0
Les fonctions de carrés intégrables
On peut maintenant définir les fonctions de carrés intégrables.
Définition 43 (Fonctions de carrés intégrables). Soit f : R → R une fonction
mesurable. On dit que f est de carré intégrable si f 2 ∈ L1 (R).
On peut alors définir
sZ
kf k2 =
|f (x)|2 dx .
Voici une inégalité qui va être très utile.
Lemme 54 (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit f et g deux fonctions mesurables. Alors
sZ
sZ
Z
|f (x)g(x)|dx ≤
|f (x)|2 dx
|g(x)|2 dx .
En particulier, si f et g sont de carrés intégrables, alors le produit f g est une
fonction intégrable.
Démonstration. On commence par supposer que f et g sont positives. Ensuite,
on remarque tout d’abord que
Z
Z
Z
1
|f (x)g(x)|dx ≤ ( |f (x)|2 dx + |g(x)|2 dx) .
2
Ceci est une conséquence de l’inégalité ab ≤ 21 (a2 + b2 ) valable pour n’importes
quels réels a, b ∈ R.
R
Soit t ∈ R. On sait alors que |f (x) + tg(x)|2 dx ≥ 0. Or
Z
Z
Z
Z
|f (x) + tg(x)|2 dx = t2 g 2 (x)dx + 2t f (x)g(x)dx + f 2 (x)dx .
On dit donc qu’un polynôme de degré deux est toujours positif. Cela veut dire
que son discriminant est négatif ou nulle. Et on obtient exactement l’inégalité
désirée.
62
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
On rencontre alors la même difficulté que pour les fonctions intégrables :
cette norme n’en est en fait pas tout à fait une et il faut identifier un certain
nombre de fonctions pour obtenir un espace vectoriel normé.
Définition 44. L’espace L2 (R) est l’espace des classes d’équivalence des fonctions de carrés intégrables.
Lemme 55. L’espace (L2 (R), k · k2 ) est un espace vectoriel normé.
Démonstration. On veut d’abord montrer que L2 (R) est un espace vectoriel.
Pour cela, il faut notamment montrer que si f, g ∈ L2 (R), alors f + g ∈ L2 (R).
C’est d’ailleurs la seule chose difficile. Pour cela, il faut utiliser l’inégalité de
Cauchy-Schwarz (on peut faire sans mais on gagne du temps pour la suite). On
écrit
Z
Z
Z
Z
2
2
(f + g) (x)dx = f (x)dx + 2 f (x)g(x)dx + g 2 (x)dx
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on sait que f g est intégrable et
Z
|f g|(x)dx ≤ kf k2 kgk2 .
En combinant cette inégalité et l’égalité précédente, on obtient
Z
Z
Z
2
2
(f + g) (x)dx ≤
f (x)dx + 2kf k2 kgk2 + g 2 (x)dx
=
kf k22 + 2kf k2 kgk2 + kgk22 = (kf k2 + kgk2 )2 .
En prenant la racine carrée de cette inégalité, on en déduit que f + g est de
carré intégrable et que
kf + gk2 ≤ kf k2 + kgk2 .
Ainsi, on a aussi montré que l’inégalité triangulaire est vérifiée pour k · k2 . Il est
alors aisé de montrer que k · k2 est une norme.
Les fonctions essentiellement bornées
On veut maintenant parler des fonctions mesurables bornées et munir l’ensemble de ces fonctions d’une norme. Au vue de la discussion des paragraphes
précédents, il est naturel de considérer la classe de chaque fonction mesurable
bornée. Les fonctions qui sont dans cette classe ne sont alors plus bornées, en
revanche elles sont bornées si on enlève un ensemble de mesure nulle. Ce sont
des fonctions essentiellement bornées. Voici une définition précise.
Définition 45 (Fonctions essentiellement bornées). Soit f : R → R. La fonction
f est essentiellement bornée s’il existe un ensemble de mesure nulle et une
constante C > 0 tel que
∀x ∈
/ N, |f (x)| ≤ C .
(4.1)
On peut alors considérer l’ensemble L∞ (R) des fonctions essentiellement
bornées et le munir de la norme suivante
kf k∞ = inf{C > 0 : ∃N tel que (4.1) est vraie} .
Alors
4.1. RAPPELS SUR L1 (R), L2 (R) ET L∞ (R)
63
Lemme 56. L’espace (L∞ (R), k · k∞ ) est un espace vectoriel normé.
La seule chose à justifier dans ce lemme est l’équivalence suivante
kf k∞ = 0 ⇔ ∃N ∈ B : ∀x ∈
/ N, f (x) = 0 .
Et ceci est clair à partir de la définition de k·k∞ (exercice : écrire tous les détails
de cette dernière assertion).
4.1.3
Complétude des espaces Lp (R), p = 1, 2, ∞
Avant d’énoncer le théorème de Riesz-Fréchet, on rappelle ce que sont une
suite de Cauchy et un espace complet.
Définition 46 (Suites de Cauchy). Soit (E, | · |E ) est espace vectoriel normé.
Une suite (xn )n d’éléments de E est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0, il
existe N ∈ N tel que pour tout n, m ≥ N ,
|xn − xm |E < ε .
Définition 47 (Espace complet). Un espace vectoriel normé est complet si
toute suite de Cauchy est convergente.
Voici le théorème important.
Théorème 24 (de Riesz-Fréchet). Les trois espaces fonctionnels Lp (R), p =
1, 2, +∞ sont complets.
La démonstration de ce théorème n’est pas très difficile. Ceci dit, cela a déjà
été évoqué dans le cours d’intégration et vous reverrez tout cela très en détail
au second semestre dans le cours d’analyse fonctionnelle.
4.1.4
Convolution
Définition 48 (Convolution). Soit f, g : R → R deux fonctions mesurables. La
fonction convolée f ? g est définie pour x ∈ R par la formule
Z
f ? g(x) = f (x − y)g(y)dy .
Proposition 11. Soit f et g deux fonctions mesurables.
– Si f ? g est bien définie en x ∈ R, alors
Z
f ? g(x) = f (y)g(x − y)dy .
– Si f ∈ L1 (R) et g ∈ L∞ (R), alors f ? g est bien définie sur R tout entier,
f ? g ∈ L∞ (R) et
kf ? gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ .
– Si f, g ∈ L2 (R), alors f ?g est bien définie sur R tout entier, f ?g ∈ L∞ (R)
et
kf ? gk∞ ≤ kf k2 kgk2 .
64
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
4.2
Transformée de Fourier
Dans cette partie du chapitre, nous définissons la transformée de Fourier des
fonctions intégrables. Nous verrons aussi une propriété intéressante des fonctions
qui sont à la fois intégrables et de carrés intégrables. L’année prochaine, vous
verrez que la transformée de Fourier s’étend en fait “naturellement” à l’ensemble
des fonctions de carrés intégrables.
4.2.1
Définition
Définition 49 (Transformée de Fourier). Soit f ∈ L1 (R). La transformée de
Fourier de f en ξ ∈ R est
Z
1
f (x)e−ixξ dx .
fˆ(ξ) = √
2π
Remarque 18. En probabilités, la notion de fonction caractéristique d’une variable aléatoire est très proche de la notion de transformée de Fourier. Attention tout de même au détail car les probabilistes prennent en général d’autres
conventions.
Exemple 28 (Transformée de Fourier de la “fonction porte”). Soit Π(x) la fonction qui vaut 1 si x ∈] − 1, 1[ et 0 sinon est
r
2 sin(ξ)
.
Π̂(ξ) =
π ξ
Exemple 29 (Transformée de Fourier de fractions rationnelles). On a vu à la fin
du chapitre précédent comment calculer la transformée de Fourier de fractions
rationnelles grâce au théorème des résidus.
Exemple 30 (Transformée de Fourier de e−|x| ). A titre d’exercice, vous pouvez
montrer que la transformée de Fourier de e−|x| est
r
1
2
.
π 1 + |ξ|2
On peut tout d’abord se demander si fˆ est bien définie. La réponse est
donnée par le lemme suivant.
Lemme 57. Si f ∈ L1 (R), alors fˆ est une fonction continue et telle que
1
kfˆk∞ ≤ √ kf k1 .
2π
Enfin, fˆ(ξ) tend vers 0 quand |ξ| → +∞.
Démonstration. Le fait que fˆ est bornée est une conséquence plus ou moins
immédiate de la définition de la transformée de Fourier.
La continuité de fˆ résulte quant à elle du théorème de continuité d’une
intégrale dépendant d’un paramètre.
Pour démontrer le fait que fˆ tend vers 0 à l’infini, on commence à écrire
Z
Z
1
π
1
−iξ(x+ π
)
ˆ
ξ
f (ξ) = − √
f (x)e
dx = − √
f (u − )e−iξu du
ξ
2π
2π
4.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER
65
On a utilisé le fait que eiπ = −1. Ainsi, on peut écrire que fˆ est la demi-somme
des deux formules que l’on a maintenant à notre disposition :
Z
π
1
ˆ
[f (x) − f (x − )]e−iξx dx
f (ξ) =
2
ξ
et donc
1
|fˆ|(ξ) ≤
2
Z
|f (x) − f (x −
π
)|dx .
ξ
On peut alors utiliser le lemme 53 et déduire que quand |ξ| → +∞, on a bien
fˆ(ξ) tend vers 0.
4.2.2
Propriétés de la transformée de Fourier
Voici une première propriété de la transformée de Fourier.
Proposition 12 (Linéarité de la transformée de Fourier). Soit f, g ∈ L1 (R) et
λ, µ ∈ R. Alors λf\
+ µg = λfˆ + µĝ.
Ceci est relativement évident à partir de la définition. Voici d’autres propriétés de la transformée de Fourier.
On va voir qu’on peut lire sur la transformée de Fourier un certain nombre
de propriété de la fonction de départ. On peut d’abord énoncer les résultats de
façon informelle :
– si on translate le signal, alors on module en fréquence sa transformée de
Fourier.
– Plus un signal est étalé, plus sa transformée de Fourier est concentrée.
– plus un signal est régulier (c’est-à-dire plus il a de dérivées), plus sa transformée de Fourier décroit rapidement.
Pour pouvoir énoncer ces propriétés de façon rigoureuse, on commence par
définir les fonctions suivantes.
Définition 50 (Translatée et dilatée d’une fonction). Soit a ∈ R et f : R → R.
On définit alors la translatée τa f : R → R de f par la formule suivante
τa f (x) = f (x − a) .
On définit aussi la dilatée fa : R → R de f la formule suivante
fa (x) =
1 x
f( ) .
a a
Proposition 13. Soit f ∈ L1 (R) et a ∈ R.
– (dualité translation/modulation) Pour tout ξ ∈ R,
τd
a f (ξ)
i(·)a f (ξ)
e\
= e−iξa fˆ(ξ)
= τa fˆ(ξ)
– (dualité concentration/étalement) Pour tout ξ ∈ R,
fˆa (ξ) = a(fˆ) a1 (ξ) .
66
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
– (dualité régularité/décroissance) Supposons que f soit dérivable de
dérivée intégrable. Alors pour tout ξ ∈ R,
fˆ0 (ξ) = iξ fˆ(ξ) .
En particulier, fˆ décroit alors à l’infini plus vite que la fonction
1
|ξ| .
Supposons maintenant que f et x 7→ xf (x) soit intégrable. Alors fˆ est
dérivable et
\
(fˆ)0 (ξ) = −i(·)f
(·)(ξ) .
4.2.3
Formule de Fourier inverse
Voici le premier résultat important que nous admettrons.
Théorème 25 (Inversion de Fourier). Soit f ∈ L1 (R) telle que fˆ ∈ L1 (R).
Alors
Z
1
fˆ(ξ)eixξ dξ .
f (x) = √
2π
En utilisant la linéarité de la transformation de Fourier, on déduit alors
immédiatement du théorème précédent le corollaire suivant
Corollaire 16. Soit f, g deux fonctions intégrables telles que fˆ, ĝ sont intégrables.
Si fˆ et ĝ sont égales, alors f et g le sont aussi.
4.2.4
Formule de Bessel-Parseval
Voici le second résultat important que nous admettrons.
Théorème 26 (Egalité de Bessel-Parseval). Soit f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Alors
fˆ ∈ L2 (R) et
kf k2 = kfˆk2
c’est-à-dire
Z
2
f (x)dx =
Z
|fˆ|2 (ξ)dξ .
En particulier, grâce à la linéarité de la transformation de Fourier, on en
déduit immédiatement le corollaire suivant
Corollaire 17. Soit f et g deux fonctions dans ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Alors fˆ et ĝ
sont de carrés intégrables et
kf − gk2 = kfˆ − ĝk2
En particulier, si deux fonctions de L1 (R) ∩ L2 (R) ont la même transformée de
Fourier, elles sont égales.
4.3
Transformée de Laplace
Comme annoncé au début de ce chapitre, la transformation de Laplace est
une opération sur les fonctions qui ne sont définies que sur R+ , c’est-à-dire pour
les fonctions f : R+ → R. Autre différence importante : alors que la transformée
de Fourier est définie sur R, on va définir la transformée de Laplace sur le
plan complexe. On va alors voir que l’on définit une fonction holomorphe. Ceci
explique et justifie la présence de ce dernier chapitre dans ce cours d’analyse
complexe.
4.3. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
4.3.1
67
Définition et convergence
Définition
Définition 51. Soit s ∈ C et f : R+ → R. On suppose que t 7→ f (t)e−st est
une fonction intégrable sur R+ . La transformée de Laplace de la fonction f au
point s ∈ C est définie par la formule suivante
Z +∞
L(f )(s) =
f (t)e−st dt .
0
Exercice 8. Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : exp,
2
cos, sin, cosh, sinh, t 7→ tn , t 7→ e−t . La dernière transformée de Fourier pourra
être exprimée en utilisant la fonction de répartition de la gaussienne centrée
réduite.
Abscisse et demi-plan de convergence absolue
Nous commençons par faire deux remarques.
Remarque 19. Une première remarque importante est que l’abscisse de s joue
un rôle important dans la convergence de la transformée de Laplace, alors que
son ordonnée n’en joue pas. En effet, si L(f )(s) est bien définie, alors L(f )(s0 )
l’est aussi pour tout nombre complexe s0 qui a la même partie réelle que s.
Remarque 20. Une autre remarque importante est que si s0 est un nombre
complexe tel que <(s0 ) ≥ <(s) et que L(f )(s) est bien définie, alors L(f )(s0 ) est
aussi bien définie. Ceci est une conséquence de l’inégalité suivante
0
|f (t)e−s t | ≤ |f (t)e−st | .
Ainsi, ces deux remarques permettent de conclure que le domaine de définition
de la transformée de Laplace d’une fonction f est nécessairement un demi-plan
“tourné vers la droite”.
Définition 52 (Abscisse et demi-plan de convergence absolue). On considère
A le sous-ensemble de R suivant
A = {s ∈ R : e−st f (t) ∈ L1 (R+ )} .
L’ abscisse de convergence absolue de Lf est alors définie par
ξ(f ) = inf A .
Le demi-plan de convergence absolue de Lf est défini par
Π(ξ(f )) = {s ∈ C : <(s) > ξ(f )} .
Cette définition est illustrée par la figure ?? Grâce aux deux remarques
précédentes, on peut obtenir le lemme suivant
Lemme 58. Soit f : R+ → R.
– Il existe un nombre complexe s0 ∈ C telle que e−s0 t f (t) est intégrable sur
R+ si et seulement si inf A < +∞.
– Dans le cas où inf A < +∞, alors pour tout s ∈ Π(f ), e−st f (t) est
intégrable sur R+ .
68
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
Fig. 4.1 – Abscisse et demi-plan de convergence absolue
Remarque 21 (importante). On ne sait pas en général si la transformée de Laplace est bien définie sur le bord du demi-plan. On rencontre la même incertitude
que sur le bord du disque de convergence d’une série entière. En effet, tout peut
se produire sur la droite d’abscisse de convergence absolue.
Calcul de l’abscisse de convergence absolue
Dans ce paragraphe, on explique comment calculer l’abscisse de convergence
absolue d’une transformée de Laplace.
Soit on utilise la définition, soit on utilise un principe de comparaison.
Proposition 14. Soit f, g : R+ → R deux fonctions mesurables.
– S’il existe M > 0 telle que pour tout t > 0 , |f (t)| ≤ M |g(t)|, alors
ξ(f ) ≥ ξ(g).
– Si f et g sont continues et si f ∼ g quand t → +∞, alors ξ(f ) = ξ(g).
Exercice 9. Démontrer la proposition précédente.
4.3.2
Opérations élémentaires sur la transformée de Laplace
Pour énoncer les effets des différentes opérations que l’on peut faire sur les
fonctions et voir leur effet sur les transformées de Laplace, il est utile d’introduire
la notation suivante.
Définition 53. Soit ξ ∈ R ∪ {−∞}. L’ensemble Lξ (R+ ) est composé de toutes
les fonctions numériques mesurables sur R+ d’abscisses de convergence absolue
ègales à ξ.
On commence par voir l’effet d’une combinaison linéaire. Nous allons voir que
les choses sont tout à fait analogue avec ce qui se passe pour les séries entières.
4.3. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
69
Commençons par voir ce qui se passe lorsque l’on mutliplie une fonction par une
constante.
Lemme 59 (Multiplication par une constante). Soit λ ∈ R et f ∈ Lξ (R+ ) pour
un certain ξ ∈ R ∪ {−∞}. Alors λf ∈ Lξ (R+ ) et
∀s ∈ Π(ξ),
L(λf )(s) = λLf (s) .
Lemme 60 (Addition). Soit f ∈ Lξ (R+ ) et g ∈ Lξ0 (R+ ) avec ξ, ξ 0 ∈∈ R ∪
{−∞}. Alors ξ(f + g) ≤ max(ξ(f ), ξ(g)) et
∀s ∈ Π(max(ξ(f ), ξ(g))),
L(f + g)(s) = Lf (s) + Lg(s) .
De plus, si ξ(f ) 6= ξ(g), alors ξ(f + g) = max(ξ(f ), ξ(g)).
Ensuite, on peut voir l’effet des translations et des dilatations sur les transformées de Laplace.
Lemme 61 (Translation et dilatation). Soit f ∈ Lξ (R+ ) pour un certain ξ ∈
R ∪ {−∞}.
– Si on pose τa f (t) = f (t − a) si t > a et 0 sinon, alors ξ(τa f ) = ξ(f ) et
pour tout s ∈ Π(ξ(f )), L(τa f )(s) = e−as Lf (s).
– Soit a ∈ R. L’abscisse de convergence de t 7→ e−at f (t) est ξ(f ) − a (avec
la convention −∞ − a = −∞) et pour tout s ∈ Π(ξ(f ) − a),
L(t 7→ e−at f (t)) = Lf (s + a) .
– Soit a ∈ R+ . On rappelle que fa (t) = a1 f ( at ). Alors ξ(fa ) = aξ(f ) et pour
tout s ∈ Π(aξ(f )), on a
L(fa )(s) = Lf (as) .
Convolution, dérivation et multiplication
On commence par définir le produit de convolution de deux fonctions définies
sur R+ .
Définition 54 (Produit de convolution). Soit f ∈ Lξ (R+ ) et g ∈ Lξ0 (R+ ) pour
Rt
certains ξ, ξ 0 ∈ R ∪ {+∞}. La fonction h : t 7→ 0 f (t − u)g(u)du est le produit
de convolution de f et g. On le note f ? g.
On cherche alors à connaı̂tre le domaine de définition de f ? g.
Lemme 62 (Estimation de l’abscisse de convergence absolue de f ? g). Soit
f ∈ Lξ (R+ ) et g ∈ Lξ0 (R+ ) pour certains ξ, ξ 0 ∈ R ∪ {+∞}. Le produit f ? g est
défini presque partout et mesurable sur R+ . De plus, ξ(f ? g) ≤ max(ξ, ξ 0 ).
Remarque 22. Cette définition est cohérente avec la définition du produit de
convolution donnée dans la partie consacrée à la transformée de Fourier. En
effet, on peut vérifier que cela revient à convoler sur R est fonctions f 1R+ et
g1R+ où 1R+ (x) = 1 si x ≥ 0 et 0 sinon.
70
CHAPITRE 4. TRANSFORMÉES DE FOURIER ET DE LAPLACE
Rt
Démonstration. On va montrer que h(t) = 0 |f (t − u)g(u)|du est finie presque
partout. Tout d’abord, cette fonction à valeurs positives (éventuellement infinies) est bien mesurable pour la mesure produit. De plus, pour s > max(ξ, ξ 0 ),
Z +∞ Z +∞
(
|f (t − u)|e−s(t−u) du)|g(u)|e−su du = L(|f |)(s)L|g|(s) < +∞ .
0
0
Ainsi s > ξ(h). Ceci étant valable pour tout s > max(ξ, ξ 0 ), on en déduit que
ξ(h) ≤ max(ξ, ξ 0 ). Il est maintenant facile de conclure.
On peut maintenant énoncer le théorème important. Au vu de la démonstration du lemme précédent, c’est une simple application du théorème de FubiniTonelli.
Théorème 27. Soit f ∈ Lξ (R+ ) et g ∈ Lξ0 (R+ ) pour certains ξ, ξ 0 ∈ R∪{+∞}.
Alors pour tout z ∈ Π(max(ξ, ξ 0 )), on a
L(f ? g)(s) = Lf (s)Lg(s) .
Les deux lemmes qui suivent permettent de calculer les transformées de
laplace d’une primitive et d’une dérivée.
Lemme 63 (Transformée de Laplace d’une primitive). Soit f ∈ Lξ (R+ ) pour
Rt
un certain ξ ∈ R ∪ {−∞}. On pose F (t) = 0 f (s)ds pour tout t > 0. Alors F
est bien définie et ξ(F ) ≤ max(0, ξ) et pour tout s ∈ Π(max(0, ξ)), on a
LF (s) =
Lf (s)
.
s
Démonstration. Appliquer le résultat sur le produit de convolution avec g =
1R+ .
Lemme 64 (Transformée de Laplace d’une dérivée). Soit f ∈ Lξ (R+ ). On
suppose de plus que f ∈ C 1 ((0, +∞)) et que f 0 ∈ Lξ0 (R+ ). Alors ξ ≤ max(0, ξ 0 )
et pour tout s ∈ Π(max(0, ξ 0 )), on a
Lf 0 (s) = sLf (s) .
Démonstration. Il suffit de remarquer que f (t) = f (0)+
les résultats sur :
– la transformée de Laplace d’une primitive et
– la transformée de Laplace d’une somme.
4.3.3
Rt
0
f (s)ds et d’appliquer
Holomorphie
Nous allons ici voir que la transformée de Laplace est holomorphe sur son
demi-plan de convergence absolue.
Théorème 28 (Holomorphie de la transformée de Laplace). Soit f ∈ Lξ (R+ )
pour un certain ξ ∈ R ∪ {−∞}. Alors la transformée de Laplace est holomorphe
sur son demi-plan de convergence absolue. De plus, pour tout s ∈ Π(ξ),
Z +∞
(Lf )0 (s) = −
tf (t)e−st dt .
0
4.3. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
71
Fig. 4.2 – Inversion de la transformée de Laplace
Démonstration. Il suffit d’appliquer le théorème de dérivation sous le signe
somme et de vérifier que les conditions de Cauchy-Riemann sont bien satisfaites.
4.3.4
Théorème d’inversion
La formule d’inversion de la transformée de Laplace résulte de la formule
d’inversion de la transformée de Fourier. En effet, on peut écrire
√
Lf (s) = 2πF(e−<(s)(·) f (·))(=s) .
En utilisant cette remarque, on peut facilement démontrer le théorème suivant.
Théorème 29 (Théorème d’inversion pour la transformée de Laplace). Soit
f ∈ Lξ (R+ ) pour un certain ξ ∈ R ∪ {−∞}. On suppose qu’il existe s1 ∈ R tel
que la fonction s2 7→ Lf (s1 + is2 ) ∈ L1 (R). Alors
Z
1
f (t) p.p. t > 0
(t+is2 )t
e
Lf (t + is2 )ds2 =
(4.2)
0
p.p. t < 0 .
2π R
Pour dire les choses simplement, il faut retenir que si Lf est intégrable sur
une ligne verticale du demi-plan de convergence absolue, alors on peut reconstruire f pour presque tout t > 0. Etant donné qu’on a vu plus haut que Lf est
holomorphe sur son demi-plan de convergence absolue, on peut reformuler ce
résultat en terme d’intégrale sur un “chemin” (un chemin de longueur infini en
fait). On pose γ(u) = s1 + iu et on réécrit (4.2) sous la forme
Z
1
f (t) p.p. t > 0
etz Lf (z)dz =
0
p.p. t < 0 .
2iπ γ
Ceci est illustré par la figure 4.2.

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