Analyse Complexe - Université Paris

Analyse Complexe
Universit´e Paris-Dauphine
Licence de Math´ematiques Appliqu´ees
2009-2010
C. Imbert
20 septembre 2009

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Table des mati`eres
1 S´eries enti`eres 1
1.1 D´efinition d’une s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rayon et disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 D´efinitions .......................... 1
1.2.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Op´erations sur les s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 combinaison lin´eaire de s´eries enti`eres . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Produit (de Cauchy) de deux s´eries enti`eres . . . . . . . . 5
1.4 Propri´et´es de la somme d’une s´erie enti`ere . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 S´erie d´eriv´ee d’ordre kd’une s´erie enti`ere . . . . . . . . . 6
1.4.2 Continuit´e et d´erivabilit´e de la fonction somme . . . . . . 6
1.4.3 Fonctions d´eveloppables en s´eries enti`eres . . . . . . . . . 8
2 Fonctions analytiques 11
2.1 D´efinitions et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Definitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Holomorphie des fonctions analytiques . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Principes du prolongement analytique et des z´eros isol´es . 17
2.2 Exponentielle et logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Les fonctions trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Logarithmes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Autres fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Fonctions holomorphes 31
3.1 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Rappels ............................ 31
3.1.2 Premi`eres propri´et´es des fonctions holomorphes . . . . . . 32
3.1.3 Diff´erentiabilit´e et conditions de Cauchy-Riemann . . . . 33
3.2 Int´egration sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.1 Chemins param´etr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2 Int´egration sur des chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.3 Indice d’un point par rapport `a un lacet . . . . . . . . . . 38
3.3 Le th´eor`eme de Cauchy pour les fonctions C1holomorphes . . . 41
3.3.1 Analyticit´e des fonctions C1holomorphes . . . . . . . . . 41
3.3.2 Quelques applications du th´eor`eme de Cauchy . . . . . . 44
3.4 Primitives de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Ouvert ´etoil´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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4TABLE DES MATI ` ERES
3.4.2 Le th´eor`eme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3 Primitives de fonctions holomorphes dans un ouvert ´etoil´e 48
3.4.4 Analyticit´e des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . 49
3.5 Singularit´es et calcul des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 Singularit´es des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . 50
3.5.2 Fonctions m´eromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Le th´eor`eme des r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 L’int´egrale d’une fonction holomorphe sur un lacet . . . . 53
3.6.2 Notion de r´esidus d’une fonction m´eromorphe . . . . . . . 54
3.6.3 Ordre d’un z´ero d’une fonction holomorphe . . . . . . . . 55
3.6.4 Calcul de r´esidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6.5 Th´eor`eme des r´esidus et formule de Cauchy g´en´eralis´ee . 56
4 Transform´ees de Fourier et de Laplace 59
4.1 Rappels sur L1(R), L2(R) et L∞(R) ................ 59
4.1.1 Fonctions int´egrables et essentiellement born´ees . . . . . . 59
4.1.2 Les espaces vectoriels norm´es Lp(R), p= 1,2,∞..... 60
4.1.3 Compl´etude des espaces Lp(R), p= 1,2,∞........ 63
4.1.4 Convolution.......................... 63
4.2 Transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 D´efinition........................... 64
4.2.2 Propri´et´es de la transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . 65
4.2.3 Formule de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.4 Formule de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.1 D´efinition et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.2 Op´erations ´el´ementaires sur la transform´ee de Laplace . . 68
4.3.3 Holomorphie ......................... 70
4.3.4 Th´eor`eme d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

TABLE DES MATI ` ERES i
Introduction
Ces notes de cours d’analyse complexe sont largement inspir´ees du cours mis
en place par Philippe Gravejat durant les ann´ees 2005-2008. Il fait suite au cours
d’Analyse 3 de DU2 et est aussi li´e (dans une moindre mesure) aux deux cours
du tronc commun du premier semestre de la licence MI2E Mention MMPE : le
cours d’int´egrale de Lebesgue et probabilit´es et le cours de calcul diff´erentiel et
d’optimisation 2.
A partir de la notion de s´eries enti`eres, nous allons voir ce qu’est une fonc-
tion analytique et montrer en particulier que ces fonctions sont tr`es r´eguli`eres.
Nous verrons aussi qu’elles sont holomorphes, c’est-`a-dire “d´erivables au sens
complexe”. Nous parlerons notamment d’ensembles connexes ; cette notion est
topologique et est donc en lien avec le cours de calcul diff´erentiel. Le troisi`eme
chapitre du cours est consacr´e aux transformations de Fourier et de Laplace ; les
outils introduits au d´ebut du cours d’int´egration de Lebesgue seront alors uti-
lis´es. Ce dernier chapitre constitue une introduction au cours “analyse fonction-
nelle et initiation `a l’analyse de Fourier” du second semestre (tronc commun).
Cet Unit´e d’Enseignement est organis´ee en 13 s´eances de cours et 13 s´eances
de travaux dirig´es.