Chapitre 4 Variables aléatoires 1. Calcul de probabilités a) Loi de

Chapitre 4
Variables aléatoires 1. Calcul de probabilités
a) Loi de probabilité sur un univers Ω
Définition:
On considère Ω= { ω1 ; ω2 ; ..... ; ωn }
On définit une loi de probabilité p sur Ω en associant à chaque éventualité ωi un nombre réel p(ωi )= pi tel
que :
p1+ p 2+ ....+ p n=1
pour tout i∈Ω 0⩽ p⩽1
On dit que pi est la probabilité de l'éventualité ωi
Pour tout événement A, on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A.
Si A={a 1 ; a 2 ; ..... ; ak } on a p (A )= p(a 1)+ p(a2)+....+ p(ak )
On pose d'autre part: p(∅)=0
i La
probabilité de l'événement certain Ω est la somme des probabilités de toutes les
éventualités et par définition on a donc: p(Ω)=1
Pour modéliser une expérience aléatoire on aura souvent recours au théorème de la loi des
grands nombres dont voici une version simplifiée:
"La probabilité de l'apparition d'un résultat dans une épreuve est «pratiquement égale » à la
fréquence d'apparition de ce résultat quand on a répété un grand nombre de fois cette même
épreuve. "
Jacques ou Jakob Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) est un mathématicien et physicien suisse
Exemples:
Pour un dé non truqué, on supposera que les différentes faces ont la même probabilité d'apparition, on utilisera
la loi de probabilité définie par:
Numéro x i
1
2
3
4
5
6
Fréquence f i
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1 1 1
La probabilité de l'événement A: "obtenir un numéro pair" est alors : p( A)= + + =0,5
6 6 6
La loi de probabilité d'un dé truqué pourrait être donnée (par exemple) par le tableau suivant:
Numéro x i
1
1
13
2
2
13
1
2 2
2 2 4
+ + + + + =1
On vérifie bien que
13 13 13 13 13 13
Fréquence f i
3
4
5
6
2
13
2
13
2
13
4
13
La probabilité de l'événement A: "obtenir un nombre pair" est alors p( A)=
1/4 ce
2 2 4
8
+ + = ≈0,615
13 13 13 13
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b) équiprobabilité (rappels)
Définition:
Lorsque tous les pi d'une loi de probabilité sont égaux, on est en situation d'équiprobabilité, on dit que la loi
est équirépartie.
Si l'univers de la loi contient n éléments, on a p i=
1
quel que soit i.
n
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d'un événement A est la suivante:
nombre d ' issues favorables
p( A)=
nombre d ' issues possibles
Exemples
Jeu de Pile ou Face:
Avec une pièce équilibrée, les deux faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
Pile
Face
1
2
1
2
Lancement d'un dé
Avec un dé équilibré, toutes les faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
c) Propriétés d'une loi de probabilité
Propriétés:
p étant une loi de probabilité quelconque sur un univers Ω .
Pour tout événement A, on a : p( A)∈[0 ; 1]
Ā étant le contraire de A, on a : p ( Ā )=1− p ( A )
Si A et B sont deux événements quelconques, on a: p( A∪B)= p ( A )+ p (B)−p ( A∩B)
Si A est contenu dans B (noté A⊂B ) c'est à dire que si l'événement A se réalise alors B se réalise également,
on a : p( A)⩽ p( B)
i Toutes ces formules se retrouvent facilement grâce au schéma suivant:
John Venn a présenté les diagrammes portant son nom en 1881
Remarque:
Si A et B sont deux événements incompatibles, on a: p( A∪B)= p ( A )+ p (B)
Si A 1 ; A 2 ; ...... ; A k sont des événements deux à deux incompatibles (on dit aussi disjoints), on a:
p( A1∪ A 2∪.....∪ A k )=p ( A1 )+ p ( A 2 )+....+ p ( A k )
2/4 ce
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3. Variables aléatoires
a) Définition
Définition
Une variable aléatoire sur l'univers Ω= { ω1 ; ω2 ; ω3 ; ..... ; ωn } est une fonction X
définie sur Ω .
On note {X=x i } l'ensemble des éventualités e i vérifiant X (ωi)=xi .
Si p est la loi de probabilité de Ω , la loi de probabilité de X est donnée par
l'ensemble des probabilités des événements {X=x i } .
Exemple
On lance un dé. On perd 2 euros si on tire 1 ou 2, on gagne 0,5 euros si on tire 3 et enfin on gagne 1euro si on
tire 4, 5 ou 6. On appelle X la variable aléatoire qui donne le gain associé à un tirage. Ainsi :
X ( 1)= X (2)=−2
X (3)=0,5
X ( 4)= X (5)=X ( 6)=1
{X=−2}={1 ; 2}
{X =0,5}={3}
On a
et {X=1}={4 ;5 ; 6 }
2 1
d'où P( X =−2) noté par abus de notation p(X =−2)= =
6 3
1
p( X =0,5)=
6
3 1
p( X =1)= =
6 2
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
xi
- 2 0,5 1
1
3
p( X =x i)=
1
6
1
2
b) Espérance, variance et écart type.
Définition:
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité p est donnée par le tableau :
xi
x1
x2
x3
xn
......
p(X =x i)
p1
p2
p3
......
pn
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel
E ( X )=x 1 p1 + x 2 p2 +⋯+ x n p n=∑ p i x i
On appelle variance de X le nombre réel
V ( X )=( x 1−E ( X ))2 p 1+( x 2 −E ( X ))2 p 2 +⋯+( x n−E ( X ))2 pn=∑ ( x i −E ( X )) 2 pi
On appelle écart type de X le nombre réel :
σ( X )=√ V (X ) .
2
On admettre la formule V (X )=E ( X 2 )−( E ( X ) ) cf. chapitre 4
3/4 ce
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Exemple
Reprenons le jeu du dé et la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau :
1
3
1
6
xi
-2
0,5
1
p( X =x i)
1
3
1
6
1
2
1
2
On a alors E ( X )=−2× + 0,5× + 1× =
−4 0,5 3 −0,5 −1
+
+ =
=
.
6
6 6
6
12
Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre de parties le joueur
sera perdant.
c) Propriété de l'espérance et de la variance.
Propriété:
Soit X une variable aléatoire et soit a et b des réels.
Alors E( aX +b)=a E ( X )+b et V ( aX)=a ² V ( X )
Remarque :
On en déduit que pour tout réel a, σ( aX )=|a|σ( X)
Démonstration :
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité ( x i ; pi ) , 1≤i≤n
E( aX +b)= p1 ( a x 1 +b)+ p2 (a x 2 +b)+....+ pn (a x n +b)
=a ( p 1 x 1 + p 2 x 2 +..... p n x n )+ b( p1 + p2 +.....+ pn )
=a E ( X )+ b
2
2
2
V (aX )=( a x 1−E (a X )) p1 +( a x 2 −E (aX )) p 2 +.....+( a x n−E (a X )) pn
2
2
2
=( a x 1−a E ( X )) p1 +( a x 2 −a E ( X )) p2 +.....+(a x n−a E ( X )) p n
=a 2 [ ( x 1−E ( X ))2 p1 +( x 2−E ( X ))2 p2 +.....+( x n−E ( X ))2 p n ]
2
=a V ( X )
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