Chapitre 4 Variables aléatoires 1. Calcul de probabilités a) Loi de

Chapitre 4
Variables aléatoires
1. Calcul de probabilités
a) Loi de probabilité sur un univers
Ω
Définition:
On considère
Ω=
{
ω1;ω2;..... ;ωn
}
On définit une loi de probabilité p sur
Ω
en associant à chaque éventualité
ωi
un nombre réel
p(ωi)= pi
tel
que :
pour tout
i∈Ω 0⩽p⩽1
p1+p2+....+pn=1
On dit que
pi
est la probabilité de l'éventualité
ωi
Pour tout événement A, on appelle probabilité de A la somme des probabilités des éventualités de A.
Si
A={a1;a2;..... ;ak}on a p(A)= p(a1)+ p(a2)+....+p(ak)
On pose d'autre part:
p(∅)=0
i La probabilité de l'événement certain
Ω
est la somme des probabilités de toutes les
éventualités et par définition on a donc:
p(Ω)=1
Pour modéliser une expérience aléatoire on aura souvent recours au théorème de la loi des
grands nombres dont voici une version simplifiée:
"La probabilité de l'apparition d'un résultat dans une épreuve est «pratiquement égale » à la
fréquence d'apparition de ce résultat quand on a répété un grand nombre de fois cette même
épreuve. "
Jacques ou Jakob Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) est un mathématicien et physicien suisse
Exemples:
Pour un dé non truqué, on supposera que les différentes faces ont la même probabilité d'apparition, on utilisera
la loi de probabilité définie par:
Numéro
xi
123456
Fréquence
fi
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
La probabilité de l'événement A: "obtenir un numéro pair" est alors :
p(A)= 1
6+1 6+1 6=0,5
La loi de probabilité d'un dé truqué pourrait être donnée (par exemple) par le tableau suivant:
Numéro
xi
123456
Fréquence
fi
1
13
2
13
2
13
2
13
2
13
4
13
On vérifie bien que
1
13 +2 13 +2 13 +2 13 +2 13 +4 13 =1
La probabilité de l'événement A: "obtenir un nombre pair" est alors
p(A)= 2
13 +2 13 +4 13 =8 13 ≈0,615
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b) équiprobabilité (rappels)
Définition:
Lorsque tous les pi d'une loi de probabilité sont égaux, on est en situation d'équiprobabilité, on dit que la loi
est équirépartie.
Si l'univers de la loi contient n éléments, on a
pi=1
n
quel que soit i.
Dans ce cas, la règle de calcul de la probabilité d'un événement A est la suivante:
p(A)= nombre d ' issues favorables
nombre d ' issues possibles
Exemples
Jeu de Pile ou Face:
Avec une pièce équilibrée, les deux faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
Pile Face
1
2
1
2
Lancement d'un dé
Avec un dé équilibré, toutes les faces ont la même probabilité de sortie, on a une loi équirépartie.
c) Propriétés d'une loi de probabilité
Propriétés:
p étant une loi de probabilité quelconque sur un univers
Ω
.
Pour tout événement A, on a :
p(A)∈[0;1]
¯
A
étant le contraire de A, on a :
p (
¯
A ) =1−p ( A )
Si A et B sont deux événements quelconques, on a:
p(A∪B)= p(A)+ p(B)−p(A∩B)
Si A est contenu dans B (noté
A⊂B
) c'est à dire que si l'événement A se réalise alors B se réalise également,
on a :
p(A)⩽ p(B)
i Toutes ces formules se retrouvent facilement grâce au schéma suivant:
John Venn a présenté les diagrammes portant son nom en 1881
Remarque:
Si A et B sont deux événements incompatibles, on a:
p(A∪B)= p(A)+ p(B)
Si
A1; A2;...... ; Ak
sont des événements deux à deux incompatibles (on dit aussi disjoints), on a:
p(A1∪A2∪.....∪Ak)=p(A1)+ p(A2)+....+p(Ak)
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3. Variables aléatoires
a) Définition
Définition
Une variable aléatoire sur l'univers
Ω=
{
ω1;ω2;ω3;..... ;ωn
}
est une fonction X
définie sur
Ω
.
On note
{X=xi}
l'ensemble des éventualités
ei
vérifiant
X(ωi)=xi
.
Si p est la loi de probabilité de
Ω
, la loi de probabilité de X est donnée par
l'ensemble des probabilités des événements
{X=xi}
.
Exemple
On lance un dé. On perd 2 euros si on tire 1 ou 2, on gagne 0,5 euros si on tire 3 et enfin on gagne 1euro si on
tire 4, 5 ou 6. On appelle X la variable aléatoire qui donne le gain associé à un tirage. Ainsi :
X(1)= X(2)=−2
X(3)=0,5
X(4)= X(5)=X(6)=1
On a
{X=−2}={1;2}
{X=0,5}={3}
et {X=1}={4;5;6}
d'où
P(X=−2)
noté par abus de notation
p(X=−2)= 2
6=1 3
p(X=0,5)= 1
6
p(X=1)=3
6=1 2
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau :
xi
- 2 0,5 1
p(X=xi)=
1
3
1
6
1
2
b) Espérance, variance et écart type.
Définition:
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité p est donnée par le tableau :
xi
x1
x2
x3
......
xn
p(X=xi)
p1
p2
p3
......
pn
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel
E(X)=x1p1+x2p2+⋯+xnpn=∑pixi
On appelle variance de X le nombre réel
V(X)=(x1−E(X))2p1+(x2−E(X))2p2+⋯+(xn−E(X))2pn=∑(xi−E(X))2pi
On appelle écart type de X le nombre réel :
σ( X)=
√
V(X)
.
On admettre la formule
V(X)=E
(
X2
)
− ( E ( X ) )
2
cf. chapitre 4
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Exemple
Reprenons le jeu du dé et la variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par le tableau :
xi
- 2 0,5 1
p(X=xi)
1
3
1
6
1
2
On a alors
E(X)=−2×1
3+0,5×1 6+1×1 2=−4 6+0,5 6+3 6=−0,5 6=−1 12
.
Comme l'espérance mathématique est négative, on peut penser que lors d'un grand nombre de parties le joueur
sera perdant.
c) Propriété de l'espérance et de la variance.
Propriété:
Soit X une variable aléatoire et soit a et b des réels.
Alors
E(aX +b)=a E (X)+b et V(aX)=a²V(X)
Remarque :
On en déduit que pour tout réel a,
σ(aX )=|a|σ( X)
Démonstration :
Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité
(
xi; pi
)
,1≤i≤n
E(aX +b)= p1(a x1+b)+ p2(a x2+b)+....+pn(a xn+b)
=a(p1x1+p2x2+..... pnxn)+b(p1+p2+.....+pn)
=a E (X)+b
V(aX)=(a x1−E(a X ))2p1+(a x2−E(aX ))2p2+.....+(a xn−E(a X))2pn
=(a x1−aE(X))2p1+(a x2−a E (X))2p2+.....+(a xn−a E (X))2pn
=a2
[
(x1−E(X))2p1+( x2−E(X))2p2+.....+(xn−E(X))2pn
]
=a2V(X)
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