chapitre 1

MAT 1101 Mathématiques fondamentales
hiver 2017
Kamel BELBAHRI
Véronique HUSSIN
Yvan SAINT-AUBIN

Table des matières
Table des matières iii
1 Arithmétique 1
1.1 Lesnombrespremiers ................................. 1
1.2 Plus grand commun diviseur et l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 TripletsdePythagore.................................. 22
iii

Chapitre 1
Arithmétique
Dans le langage courant, le mot « arithmétique » rassemble les propriétés des nombres et
de leurs opérations élémentaires : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.
Dans ce sens, l’arithmétique est apprise à l’école primaire. En mathématiques, le même mot est
utilisé pour décrire l’étude des entiers et de leurs propriétés. Ce chapitre en explore quelques
facettes.
1.1 Les nombres premiers
Cette première section est consacrée aux nombres premiers, un concept introduit dès le
primaire mais dont l’étude demeure un sujet actif de recherche. Pour maîtriser cette section il
faudra vous remémorer les termes suivants.
Rappel
•entier naturel et définition de N;
•relation d’équivalence sur un ensemble R;
•séries harmonique et géométrique;
•principe du bon ordre de N.
Définition 1. On dit que l’entier relatif bdivise l’entier relatif a(ou que aest un multiple de b) s’il
existe un entier ctel que a=bc. Les nombres bet csont des diviseurs (ou facteurs) de a.
Si bdivise a, on écrit b|a; sinon on écrit b-a(bn’est pas un diviseur de a). Par exemple,
4|16, mais 6-16.
Faisons les quelques observations immédiates suivantes. Le nombre 0est multiple de tous
les nombres (y compris 0). En effet, pour montrer que b(quelconque) divise 0, il suffit de
prendre c=0et on a bien 0=b·0. Par contre, 0n’est diviseur que de lui-même car l’équation
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