Corrigé dnb 2017 de mathématiques Pondichéry

DNB - Brevet des Collèges
2017 Pondichéry
2 Mai 2017
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Remarque :dans la correction détaillée ici proposée, les questions des exercices sont presque intégralement réécrites pour faci-
liter la lecture et la compréhension du lecteur. Il est cependant exclu de faire cela lors de l’examen, le temps est précieux ! Il est
par contre nécessaire de numéroter avec soin vos questions et de souligner ou encadrer vos résultats. Pour plus de précisions et
d’astuces, consultez la page dédiée de math93.com : présenter une copie, trucs et astuces.
Exercice 1. Calcul littéral 7 points
On considère l’expression E=(x−2)(2x+3)−3(x−2).
1. Développer E.
E=(x−2)(2x+3) −3(x−2)
E=2x2+3x−4x−6−6x+6
E=2x2−4x
2. Factoriser Eet vérifier que E=2F, où F=x(x−2).
E=(x−2)(2x+3) −3(x−2)
E=(x−2)h(2x+3)−3i
E=(x−2)(2x)
E=2×x(x−2)
On a bien montré que : E=2F, où F=x(x−2)
3. Déterminer tous les nombres x tels que (x−2)(2x+3)−3(x−2) =0.
(x−2)(2x+3) −3(x−2) =0⇐⇒2×x(x−2)
c’est une équation produit nul et par théorème, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs
est nul soit
(x−2)(2x+3) −3(x−2) =0⇐⇒³2x=0´ou ³x−2=0´
(x−2)(2x+3) −3(x−2) =0⇐⇒³x=0´ou ³x=2´
Les solutions de l’équation sont : 0 et 2.

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2 Mai 2017
Exercice 2. Probabilités 6 points
Un sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d’être tirée. Ces 20 boules sont numérotées de 1 à 20. On tire une
boule au hasard dans le sac. Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Quelle est la probabilité de tirer la boule numérotée 13 ?
Le sac contient 20 boules ayant chacune la même probabilité d’être tirée. Ces 20 boules étant numérotées de 1 à 20, il y a
une boule portant le numéro 13 sur 20 et donc la probabilité de tirer la boule numérotée 13 est : p1=1
20.
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro pair ?
Sur les 20 boules étant numérotées de 1 à 20, il y a 10 boules portant un numéro pair et donc la probabilité de tirer portant
un numéro pair est : p1=10
20 =1 2.
3. A-t-on plus de chances d’obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 que d’obtenir une boule portant un
numéro diviseur de 4 ?
• Parmi les entiers de 1 à 20, les multiples de 4 sont au nombre de 5, ce sont les entiers : 4 ; 8 ; 12 ; 16 et 20.
Donc la probabilité de cet évènement est : p2=5
20 =1 4.
• Parmi les entiers de 1 à 20, les diviseurs de 4 sont au nombre de 3, ce sont les entiers : 1 ; 2 et 4.
Donc la probabilité de cet évènement est : p3=3
20 <1 4.
On a donc plus de chances d’obtenir une boule portant un numéro multiple de 4 , que d’obtenir une boule portant un
numéro diviseur de 4 .
4. Quelle est la probabilité de tirer une boule portant un numéro qui soit un nombre premier ?
Parmi les entiers de 1 à 20, les nombres premiers sont au nombre de 8, ce sont les entiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 et 19.
Donc la probabilité de cet évènement est :
p4=8
20 =2 5
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2 Mai 2017
Exercice 3. Programme de calcul et algorithme 7 points
On considère le programme de calcul ci-contre dans lequel x, Étape 1, Étape 2 et
Résultat sont quatre variables.
1.
1. a. Julie a fait fonctionner ce programme en choisissant le nombre 5. Véri-
fier que ce qui est dit à la fin est : « J’obtiens finalement 20 ».
Pour x=5 :
• étape 1 : 6×5=30
• étape 2 : 30+10 =40
• résultat : 40 : 2 =20
• dire « J’obtiens finalement 20 ».
1. b. Que dit le programme en choisissant au départ 7 ?
Pour x=7 :
• étape 1 : 6×7=42
• étape 2 : 42+10 =52
• résultat =52 : 2 =36
• dire « J’obtiens finalement 26 ».
2. Julie fait fonctionner le programme, et ce qui est dit est : « J’obtiens finalement 8 ». Quel nombre a-t-elle choisi ?
Pour retrouver le nombre du départ on peut « remonter » l’algorithme, d’où
• dire « J’obtiens finalement 8 ».
• résultat =8=⇒8×2=16
• étape 2 : 16−10 =6
• étape 1 : 6÷6=1
• le nombre de départ est 1.
3. Si l’on appelle xle nombre choisi au départ, écrire en fonction de xl’ expression obtenue à la fin du programme, puis
réduire cette expression autant que possible.
Pour xau départ :
• étape 1 : 6×x=6x
• étape 2 : 6x+10
• résultat : (6x+10) : 2 =3x+5
4. Maxime utilise le programme de calcul ci-dessous :
•Choisir un nombre.
•Lui ajouter 2
•Multiplier le résultat par 5
Peut-on choisir un nombre pour lequel le résultat obtenu par Maxime est le même que celui obtenu par Julie?
• Le programme de Maxime donne, en choisissant xcomme nombre de départ :
Pour xau départ :
–étape 1 : 2+x
–étape 2 : 5×(2+x)=10 +5x
• On cherche donc xpour que les deux programmes donnent le même résultat. Cela revient à résoudre l’équation :
10+5x=3x+5⇐⇒2x= −5
⇐⇒ x=−5
2=−2,5
Le résultat obtenu par Maxime est le même que celui obtenu par Julie avec −2,5 au départ.
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Exercice 4. Problème : fonctions, statistiques et tableur 7 points
Pour ses 32 ans, Denis a acheté un vélo d’appartement afin de pouvoir s’entraîner pendant l’hiver. La fréquence cardiaque (FC)
est le nombre de pulsations (ou battements) du cœur par minute.
1. Denis veut estimer sa fréquence cardiaque : en quinze secondes, il a compté 18 pulsations. À quelle fréquence car-
diaque, exprimée en pulsations par minute, cela correspond-il ?
Temps en s 15 s 60 s
Nb pulsations 18 n?Soit n=60 ×18
15 =72.
La fréquence cardiaque correspondante est donc de : 72 pulsations par minutes.
2. Son vélo est équipé d’un cardiofréquencemètre qui lui permet d’optimiser son effort en enregistrant, dans ce cardio-
fréquencemètre, toutes les pulsations de son coeur. À un moment donné, le cardiofréquencemètre a mesuré un intervalle
de 0,8 seconde entre deux pulsations. Calculer la fréquence cardiaque qui sera affichée par le cardiofréquencemètre.
60 s
0,8s 0,8s 0,8s 0,8s 0,8s
Pulsations : 1ère 2e 3e 4e
On cherche le nombre d’intervalles de 0,8 secondes présents dans 60 secondes : 60÷0,8 =75. Il y a donc 75 intervalles de
0,8 secondes dans 60 secondes, ce qui nous donne 76 pulsations par minute.
3. Après une séance d’entraînement, le cardiofréquencemètre lui a fourni les renseignements suivants :
Nombre de pulsations
enregistrées
Fréquence minimale
enregistrée
Fréquence moyenne Fréquence maximale
enregistrée
3 640 65 pulsations/minute 130 pulsations/minute 182 pulsations/minute
3. a. Quelle est l’étendue des fréquences cardiaques enregistrées ?
Dans une série statistique, l’étendue est la différence entre les valeurs extrêmes soit ici : e=182−65 =117.
3. b. Denis n’a pas chronométré la durée de son entraînement. Quelle a été cette durée ?
Le nombre de pulsations enregistrées est 3 640 avec une moyenne de 130 pulsations par minutes soit :
Temps en s 1 min t?
Nb pulsations 130 3 640 Soit t=1×3640
130 =28 min.
La durée de son entraînement a été de 28 minutes.
4. Denis souhaite connaître sa fréquence cardiaque maximale conseillée (FCMC) afin de ne pas la dépasser et ainsi de
ménager son œur. La FCMC d’un individu dépend de son âge a, exprimé en années, elle peut s’obtenir grâce à la formule
suivante établie par Astrand et Ryhming : «Fréquence cardiaque maximale conseillée = 220−âge. »On note f(a) la FCMC
en fonction de l’âge a, on a donc f(a)=220 −a.
4. a. Vérifier que la FCMC de Denis est égale à 188 pulsations/minute.
La FCMC de Denis qui a 32 ans est égale à :
f(32) =220−32 =188 pulsations/minute.
4. b. Comparer la FCMC de Denis avec la FCMC d’une personne de 15 ans.
La FCMC d’une personne de 15 ans est supérieure à celle de Denis en effet elle est égale à :
f(15) =220−15 =205 pulsations/minute >188.
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5. Après quelques recherches, Denis trouve une autre formule permettant d’obtenir sa FCMC de façon plus précise. Si a désigne
l’âge d’un individu, sa FCMC peut être calculée à l’aide de la formule de Gellish :
«Fréquence cardiaque maximale conseillée = 191,5−0,007×âge2».
On note g (a)la FCMC en fonction de l’âge a, on a donc g (a)=191,5−0,007×a2. Denis utilise un tableur pour comparer les
résultats obtenus à l’aide des deux formules :
B2 =220-A2
A B C
1 Âge aFCMC f(a) (Astrand et Ryhming) FCMC g(a) (Gellish)
2 30 190 185,2
3 31 189 184,773
4 32 188 184,332
5 33 187 183,877
Quelle formule faut-il insérer dans la cellule C2 puis recopier vers le bas, pour pouvoir compléter la colonne « FCMC g(a)
(Gellish) » ?
La formule est :
=191,5−0,007∗A2∗A2 ou =191,5 −0,007∗A2∧2
Exercice 5. Problème : statistiques, volumes de solides 8 points
Un TeraWattheure est noté : 1 TWh. La géo-
thermie permet la production d’énergie élec-
trique grâce à la chaleur des nappes d’eau
souterraines. Le graphique ci-contre repré-
sente les productions d’électricité par diffé-
rentes sources d’énergie en France en 2014.
Statistiques de l’électricité en France 2014 RTE - chiffres de production 2014 - EDF
Nucléaire : 415,9 TWh
Thermique à flamme :
25,8 TWh
Hydraulique :
67,5 TWh
Autres énergies
(dont la géothermie) : 31 TWh
1.
1. a. Calculer la production totale d’électricité en France en 2014.
La production totale d’électricité en France en 2014 est : P=25,8+67,5+31+415,9 =540,2 TWh.
1. b. Montrer que la prop. d’électricité produite par les « Autres énergies (dont la géothermie) » est environ égale à 5,7 %.
La production d’électricité produite par les « Autres énergies (dont la géothermie) » est de 31 TWh sur un total de 540,2 TWh
ce qui représente une proportion de : 31
540,2 ≈5,7%
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