Université Paris 13 Département de Mathématiques Master 1

Université Paris 13 Département de Mathématiques
Master 1 Topologie, 2012/2013
Feuille n◦2
Topologie générale
I. Connexité et compacté
Exercice 1. Soit
S={(x, sin(1/x)) : 0 < x} ⊂ R2.
(i) Montrer que Sest connexe.
L’ensemble Sest image d’un connexe par une fonction continue, c’est donc un connexe.
(ii) Calculer ¯ S. Est-ce que ¯ Sest connexe?
D’abord ¯ Sest connexe car l’adhérence d’un connexe est connexe (cours). Ensuite
¯
S=S∪ {(0, t) : −1≤t≤1} ⊂ R2
En effet chaque point (0, t)est limite de la suite (1
arcsin(t+2nπ , t)d’éléments de S. L’ensemble
S∪ {(0, t) : −1≤t≤1} ⊂ R2est de plus fermé: on montre aisément que son complémen-
taire est ouvert. C’est donc l’adhérence de S.
(iii) Montrer que ¯ Sn’est pas connexe par arcs.
On va montrer qu’il n’y a pas de chemin c: [0,1] →¯ S, d’origine (0,0) est d’extrémité un
point quelconque de S. On raisonne par l’absurde.
On suppose donc donné ctel que que c(0) = (0,0), et que l’abscisse de c(1) est stritement
positive. Soit donc u < 1la borne supérieure des 0≤t≤1tel que le point c(t)soit
d’abscisse nulle, u < 1. Pour toute valeur strictement supérieure à ule point c(t)est dans S.
On prend comme norme le sup des valeurs absolues des coordonnées. Comme cest continue
il existe  > 0tel que c([u, u +]) ⊂¯ S∩B((0,0); 1/2). Ce dernier ensemble est réunion de
S∩B((0,0); 1/2) et de {(0, t) : −1/2≤t≤1/2}. Le premier ensemble est homéomorphe
à la réunion des intervalles {[1
arcsin(−π/6+nπ),1 arcsin(π/6+nπ)]}et n’est donc pas connexe.
Pour la même raison que plus haut l’adhérence est la réunion S∩B((0,0); 1/2) ∪ {(0, t) :
−1/2≤t≤1/2}, mais elle n’est connexe. En fait les composantes connexes de cet
ensemble sont d’un côté {(0, t) : −1/2≤t≤1/2}, de l’autre les images Indes intervalles
{[1
arcsin(−π/6+nπ),1 arcsin(π/6+nπ)]}(faire un dessin!!!).
Il est clair que chaque image Inest connexe et que son complémentaire est ouvert et fermé,
donc c’est une composante connexe de ¯ S∩B((0,0); 1/2). Or c(u)∈ {(0, t) : −1/2≤t≤
1/2}n’appartient pas à la composante connexe de c(u+)qui est un certain In, il y a
donc une contradiction puisque c([u, u +]est connexe.
Exercice 2.
1

(i) Un produit d’espaces topologique connexes est-il toujours connexe?
(ii) Un produit d’espaces topologique connexes par arcs est-il toujours connexe par arcs?
(iii) Soit Xun espace topologique et A⊂Xun sous-espace connexe par arcs. Est-ce que
¯
Aest toujours connexe par arcs?
(iv) Montrer qu’un ouvert connexe de Rnest connexe par arcs.
Exercice 3. Démontrer le lemme de Lebesgue : soit Xmétrique compact, Ui,i∈I, un
recouvrement de X; montrer qu’il existe δ > 0, tel que pour tout x∈Xil existe i∈Itel que
B(x, δ)⊂Ui.
Exercice 4. Soit Ket K0deux sous-espaces compacts d’un espace séparé. montrer que l’on
peut trouver un ouvert Ucontenant K, resp un ouvert U0contenant K0tels que U∩U0est vide.
Donner un contre-exemple si K0est seulement fermé.
Exercice 5.
On refera l’exercice précédent en prenant un espace Xqui est réunion d’une suite croissante
de sous-espaces Xn(Xn⊂Xn+1). Chacun des Xnest un espace topologique séparé et l’inclusion
Xn⊂Xn+1 est un homéméomorphisme sur l’image. Enfin la topologie de Xest définie par la
condition qu’un sous-ensemble est ouvert si son intersection avec chaque Xnl’est.
On montrera que tout compact Kdonné est contenu dans Xndès que nest assez grand.
On suppose donné un compact K⊂X, et on raisonne par l’absurde. Soit donc une suite de
points xndans Ktels que (quite à réindexer) xn∈X\Xn−1. Soit Bun sous-ensemble quelconque
de A={xn|n∈N}. D’abord Best fermé dans Xcar son intersection avec un Xnconsiste en
nombre fini de points, et et nombre fini de points dans un espace séparé forment un fermé. Dons
Best fermé dans Xdonc dans A, comme ceci vaut pour tout sous-ensemble de A, par passage
au complémentaire on en déduit que tout sous-ensemble est aussi ouvert. Donc Aest muni de
la tologie discrète. Or Aest fermé dans un compact, donc c’est un compact.
Or un espace compact qui est muni de la topologie discrète est fini. En effet les sigletons
forment un recouvrement ouvert de l’espace et on peut extraire de ce recouvrement un sous-
recouvrement fini.
On a donc une contradiction.
Exercice 6. (Compactifié d’Alexandroff) Soit Xun espace localement compact. On définit un
espace topologique X0comme suit: en tant qu’ensemble X0est réunion de Xet d’un point noté
∗et appelé point à l’infini. Les ouverts de X0sont ceux de Xet les sous-ensembles de la forme
X\K∩ ∗‘,Kcompact quelconque de X.
Montrer que cela défit bien une topologie sur X0, et que X0est compact.
Montrer que (Rn)0est homéomorphe à Sn. On se servira de la projection stéréographique.
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