Université Paris 13 Département de Mathématiques Master 1

Université Paris 13
Département de Mathématiques
Master 1 Topologie, 2012/2013
Feuille n◦ 2
Topologie générale
I. Connexité et compacté
Exercice 1. Soit
S = {(x, sin(1/x)) : 0 < x} ⊂ R2 .
(i) Montrer que S est connexe.
L’ensemble S est image d’un connexe par une fonction continue, c’est donc un connexe.
(ii) Calculer S̄. Est-ce que S̄ est connexe?
D’abord S̄ est connexe car l’adhérence d’un connexe est connexe (cours). Ensuite
S̄ = S ∪ {(0, t) : −1 ≤ t ≤ 1} ⊂ R2
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En effet chaque point (0, t) est limite de la suite ( arcsin(t+2nπ
, t) d’éléments de S. L’ensemble
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S ∪ {(0, t) : −1 ≤ t ≤ 1} ⊂ R est de plus fermé: on montre aisément que son complémentaire est ouvert. C’est donc l’adhérence de S.
(iii) Montrer que S̄ n’est pas connexe par arcs.
On va montrer qu’il n’y a pas de chemin c : [0, 1] → S̄, d’origine (0, 0) est d’extrémité un
point quelconque de S. On raisonne par l’absurde.
On suppose donc donné c tel que que c(0) = (0, 0), et que l’abscisse de c(1) est stritement
positive. Soit donc u < 1 la borne supérieure des 0 ≤ t ≤ 1 tel que le point c(t) soit
d’abscisse nulle, u < 1. Pour toute valeur strictement supérieure à u le point c(t) est dans S.
On prend comme norme le sup des valeurs absolues des coordonnées. Comme c est continue
il existe > 0 tel que c([u, u + ]) ⊂ S̄ ∩ B((0, 0); 1/2). Ce dernier ensemble est réunion de
S ∩ B((0, 0); 1/2) et de {(0, t) : −1/2 ≤ t ≤ 1/2}. Le premier ensemble est homéomorphe
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à la réunion des intervalles {[ arcsin(−π/6+nπ)
, arcsin(π/6+nπ)
]} et n’est donc pas connexe.
Pour la même raison que plus haut l’adhérence est la réunion S ∩ B((0, 0); 1/2) ∪ {(0, t) :
−1/2 ≤ t ≤ 1/2}, mais elle n’est connexe. En fait les composantes connexes de cet
ensemble sont d’un côté {(0, t) : −1/2 ≤ t ≤ 1/2}, de l’autre les images In des intervalles
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{[ arcsin(−π/6+nπ)
, arcsin(π/6+nπ)
]} (faire un dessin!!!).
Il est clair que chaque image In est connexe et que son complémentaire est ouvert et fermé,
donc c’est une composante connexe de S̄ ∩ B((0, 0); 1/2). Or c(u) ∈ {(0, t) : −1/2 ≤ t ≤
1/2} n’appartient pas à la composante connexe de c(u + ) qui est un certain In , il y a
donc une contradiction puisque c([u, u + ] est connexe.
Exercice 2.
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(i) Un produit d’espaces topologique connexes est-il toujours connexe?
(ii) Un produit d’espaces topologique connexes par arcs est-il toujours connexe par arcs?
(iii) Soit X un espace topologique et A ⊂ X un sous-espace connexe par arcs. Est-ce que
Ā est toujours connexe par arcs?
(iv) Montrer qu’un ouvert connexe de Rn est connexe par arcs.
Exercice 3. Démontrer le lemme de Lebesgue : soit X métrique compact, Ui , i ∈ I, un
recouvrement de X; montrer qu’il existe δ > 0, tel que pour tout x ∈ X il existe i ∈ I tel que
B(x, δ) ⊂ Ui .
Exercice 4. Soit K et K 0 deux sous-espaces compacts d’un espace séparé. montrer que l’on
peut trouver un ouvert U contenant K, resp un ouvert U 0 contenant K 0 tels que U ∩ U 0 est vide.
Donner un contre-exemple si K 0 est seulement fermé.
Exercice 5.
On refera l’exercice précédent en prenant un espace X qui est réunion d’une suite croissante
de sous-espaces Xn (Xn ⊂ Xn+1 ). Chacun des Xn est un espace topologique séparé et l’inclusion
Xn ⊂ Xn+1 est un homéméomorphisme sur l’image. Enfin la topologie de X est définie par la
condition qu’un sous-ensemble est ouvert si son intersection avec chaque Xn l’est.
On montrera que tout compact K donné est contenu dans Xn dès que n est assez grand.
On suppose donné un compact K ⊂ X, et on raisonne par l’absurde. Soit donc une suite de
points xn dans K tels que (quite à réindexer) xn ∈ X\ Xn−1 . Soit B un sous-ensemble quelconque
de A = {xn |n ∈ N}. D’abord B est fermé dans X car son intersection avec un Xn consiste en
nombre fini de points, et et nombre fini de points dans un espace séparé forment un fermé. Dons
B est fermé dans X donc dans A, comme ceci vaut pour tout sous-ensemble de A, par passage
au complémentaire on en déduit que tout sous-ensemble est aussi ouvert. Donc A est muni de
la tologie discrète. Or A est fermé dans un compact, donc c’est un compact.
Or un espace compact qui est muni de la topologie discrète est fini. En effet les sigletons
forment un recouvrement ouvert de l’espace et on peut extraire de ce recouvrement un sousrecouvrement fini.
On a donc une contradiction.
Exercice 6. (Compactifié d’Alexandroff) Soit X un espace localement compact. On définit un
espace topologique X 0 comme suit: en tant qu’ensemble X 0 est réunion de X et d’un point noté
∗ et appelé point à l’infini. Les ouverts de X 0 sont ceux de X et les sous-ensembles de la forme
X \ K ∩ ∗‘, K compact quelconque de X.
Montrer que cela défit bien une topologie sur X 0 , et que X 0 est compact.
Montrer que (Rn )0 est homéomorphe à S n . On se servira de la projection stéréographique.
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