Mathématiques 7 C Exercices Calcul vectoriel 2010/2011 maths.mr

Mathématiques 7e C Exercices Calcul vectoriel 2010/2011
maths.mr Professeur : Mahfoudh ould Mohamed Ammou page 1 sur 8
Exercice 1 :
ABCD est un quadrilatère, I ,J,K ,L les points tels que
2
AI AB
3
; J milieu de
BC
;
1
CK CD
3
et L le
milieu de
AD
.
L’objectif de cet exercice est de démontrer que (JL) passe par le milieu Ω de
IK
1. Ecrire I comme barycentre de A et B, K comme barycentre de C et D et évaluer
IK  
2. Exprimer
IK  
en fonction de
A
,
B
,
C
et
D
, puis en fonction de
J
et
L
3. Conclure.
Exercice 2 :
1. On considère un triangle ABC et un point M n’appartenant à aucun des trois côtés du triangle ni à
aucune des trois droites passant par un sommet et parallèle au côté opposé. Les droites (AM) et (BC) se
coupent alors en A’ distinct de B et C, (BM) et (CA) en B’ distinct de A et C , (CM) et (AB) en C’
distinct de A et B.
a) Soit α, β, γ trois réels tels que M soit le barycentre du système (A, α), (B, β) et (C, γ). Démontrer que
β+ γ ≠ 0
b) Soit A1le barycentre des points (B, β) et (C, γ). Démontrer que les points A1et A’ sont confondus et en
déduire que
A'B
A'C
c) Exprimer de même les quotients
B'C
B'A
et
C'A
C'B
en fonction de α, β, γ
En déduire le Théorème de Ceva
A'B B'C C'A 1
A'C B'A C'B
Exercice 3 :
Soit ABCD un quadrilatère, I, J, K, L les milieux des côtés
AB
,
BC
,
CD
,
DA
et soit U et V les
milieux de
AC
et
BD
Montrer que les segments
IK
,
JL
et
UV
ont même milieu
Exercice 4:
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On considère A’ le milieu du segment
BC
et celui de
'AA
.
1. Soit J le point tel que
1
3
BJ BC
. Calculer AJ .
2. Calculer l’aire du triangle ABJ ? En déduire la valeur de
ˆ
sin BAJ
.
Exercice 5 :
Soit ABCDEFGH un cube de côté 1. On choisit le repère orthonormal (A ;
i
;
j
;
k
) avec
i AB
,
j AD
et
k AE
.
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].
Déterminer les coordonnées des points I, K et M.
Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires dans un plan que l’on notera P. On donnera
une équation du plan P dans le repère choisi.
Montrer que le vecteur
AG
est un vecteur normal au plan P.
Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (AG) sont confondus en
un même point. On appellera T ce point.
Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon
et montrer que tous ses côtés ont même longueur.

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Exercice 6:
On construit un triangle ABC et Δ Une droite quelconque passant par A. Les sommets B et C se
projettent orthogonalement en B’ et C’ sur Δ. La perpendiculaire à (AC) en B’ et la perpendiculaire à
(AB) en C’ se coupent en I.
Montrer que (AI) est une hauteur du triangle.
Retrouver par un choix convenable de Δ que les hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Exercice 7:
ABCD un carré I,J ,K,L les milieux des côtés
AB , BC , CD et DA
.
AJ
coupe
DI
en P et
BK
en Q.
CL
coupe
DI
en S et
BK
en R.
On se propose de montrer que PQRS est un carré.
1° Montrer que
.0AJ DI 
, après avoir exprimé
AJ
en fonction de
AB et AC
, puis
DI
en fonction de
DA et DB
.
2° Établir que :
..PS ID AL AD
.
3° En déduire l’expression de PS en fonction du côté a du carré ABCD
4° Conclure et répondre à la question : « Exprimer l’aire du carré PQRS en fonction de l’aire du carré
ABCD »
Exercice 8:
Représenter les ensembles des points M du plan dans les cas suivants :
1°
AB. MA MB 0
2°
MA. MB MC 0
3°
MA MB . MA MC 0  
Exercice 9 :
Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB = AC = 3 et BC = 2.
On appelle H le projeté orthogonal de B sur (AC)
1. Calculer la valeur de
ˆ
cos BAC
2. En déduire les distances AH et BH .
Exercice 10:
Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du
carré AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
1. Justifier que :
CQ PR = CQ AR-AP
2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaire.
Exercice 11:
Soit ABCDE un pentagone tel que
BC ED
. Soit I et J les milieux respectifs des segments
AB
et
AE
. Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L. Soit K le barycentre de (A ; 2), (B ; 1), (C ; 1), (D ;
1) et (E ; 1)
a. Démontrer que A,K et L sont alignés
b. Démontrer que
1
LK LA
3
c. En Déduire que K est le centre de gravité des triangles ABD et ACE. Que vient-on de démontrer à
propos des droites (AL), (CJ) et (DI) ?
Exercice 12:
Soit ABC un triangle, la bissectrice intérieure issue de A coupe le côté
BC
au point I. Les segments
BC
,
AC
et
AB
ont pour longueur respectives a, b et c
Démontrer que
IB c
IC b

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En déduire que le point I est le barycentre des points B et C affectés des coefficients que l’on
déterminera
Prouver que le centre O du cercle inscrit au triangle ABC est le barycentre des points (A ; a), (B ; b) et
(C ; c)
Exercice 13:
Soit ABCD un tétraèdre quelconque, on désigne par G1, G2, G3 et G4les centres de gravités respectifs des
triangles ABC, ABD, ACD et BCD. On note I,J,K,L,M et N les
milieux respectifs des arêtes
AB
,
AC
,
AD
,
BC
,
BD
et
CD
. Soit G l’isobarycentre des
sommets du tétraèdre
Déterminer les coordonnées de tous les points définis, dans le repère
( A; AB, AC, AD )
En déduire que
1
3
4
DG DG
Déterminer trois autres égalités vectorielles analogues.
Démontrer que le point G est le milieu des segments
IN
,
JM
et
KL
.
Exercice 14:
Soit A, B, C et D les points de coordonnées respectives (1 ;1), (6 ;1), (3 ;4) et (6 ;5)
Déterminer les coordonnées du barycentre G du système {(A ; 1), (B ; 2), (C ; 1), (D ;1)}
Déterminer les coordonnées du centre de gravité G1 du triangle ABC et celles du milieu J de
BD
.
Démontrer que G1, G et J sont alignés
Déterminer les coordonnées du centre de gravité G2 du triangle BCD et celles du milieu I de
AB
.
Démontrer que G2, G et I sont alignés
Placer les points A, B, C, D, I , J, G1 et G2. En utilisant les alignements précédents construire le point G
Prouver que (G1G2) et (IJ) sont parallèles
Soit K le milieu du segment
IJ
. Démontrer que C, G et K sont alignés.
Exercice 15 :
ABCD un tétraèdre
1°- Démontrer que (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si :
AC² BD² AD² BC²  
(1)
2° Démontrer que : si dans un tétraèdre les arêtes (AB) et (CD) d’une part , les arêtes (BC) et (AD)
d’autre part sont orthogonales
3° Dans cette question on suppose réaliser les conditions de la question 2°.
a. Soit A’ le projeté orthogonal de A sur la face BCD, démontrer que A’ est l’orthocentre du triangle
BCD
b. Soit B’, C’, D’ les projetés orthogonaux respectifs des points B, C, D sur les faces opposées du
tétraèdre.
c. Démontrer que les droites (AA’), (BB’), (CC’) et (DD’) sont concourantes.
Exercice 16:
Soit le cube ABCDEFGH, l’espace est rapporté au repère orthonormé
A,AB,AD,AE
.On désigne par
I le milieu de
EF
et K le centre de gravité du carré ADHE
1° a. Vérifier que
BK=IG IA
b. En déduire l’aire du triangle IGA puis calculer une mesure de l’angle
AIG
2° Calculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distance du point B au plan AIG
Exercice 17 :
ABC un triangle d’orthocentre H et dont O est le centre du cercle circonscrit. A’,B’,C’ les milieux
respectifs des segments
BC
,
CA
,
AB
, I, J, K sont les pieds des hauteurs issus respectivement de
A, B, C et P, Q, R sont les milieux respectifs des segments
AH
,
BH
,
CH
1° Démontrer que
OH OA OB OC  
« relation d’Euler »
2° Soit S l’isobarycentre des points A, B, C, H
a. Montrer à l’aide de 1° que S est le milieu de
OH

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b. Etablir que
1
SP SA OA
2
, ainsi que les inégalités analogues
3° En déduire que A’, B’, C’, P, Q, R appartiennent au cercle Γ de centre S et de rayon la moitié du
rayon du cercle circonscrit au triangle ABC
4° Montrer que ce cercle Γ passe par I, J, K
« Γ est appelé le cercle d’Euler et les points P, Q, R sont également appelés les points d’Euler »
Exercice 24:
C et C ’ sont deux cercles de même centre ,  et ’ sont deux demi-droites perpendiculaires
d’origine ,  coupe C en A et C ’ en A’ , ’ coupe C en B et C' en B’, I est le milieu du
segment
AB' 
. Démontrer que: ( I) (A’B)
Exercice 18 :
MNP est un triangle tel que: NP = 650 m. ; NM = 600 m. et M
ˆ
N
P = 73°
a) Déterminer une valeur approchée à 10-2 m. près de MP
b) Déterminer une valeur approchée à un degré près de chacun des angles:
ˆ
P et ˆ M
c) Déterminer une valeur approchée à 10-2 m. près du rayon du cercle circonscrit au triangle MNP
d) Déterminer une valeur approchée à 10-2 m2. près de l’aire du triangle MNP
Exercice 19 :
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle AB = 8 cm. ; BC = 5 cm. ; AE = 3 cm
I est le milieu du segment
AB 
a) Donner six triangles rectangles dont
HB 
soit l’hypoténuse
b) Déterminer la valeur exacte des longueurs HA et HC, puis calculer de deux façons différentes la
longueur HB
c) Déterminer la valeur exacte de la longueur HI
d) Déterminer une valeur approchée à 10-1 degré près de chacun des angles:
ˆˆ
IHB et HIB
Exercice 20:
1) ABC est un triangle rectangle en A, H est le pied de la hauteur issue de A
a) En exprimant de deux façons le produit scalaire:
BA .BC
, montrer que:
BA
2
BH .BC
Que peut-on en déduire pour les longueurs: BA ; BH et BC ?
b) Montrer que
2 2 2
AB AH HB
et que
2
AH BH HC
Que peut-on déduire pour les longueurs: AH ; BH et CH ?
Exercice 21:
ABC est un triangle rectangle en B. H est le projeté orthogonal de B sur (AC), AH = 1 et HC = 3.
Calculer la longueur: BH , puis les longueurs: AB et BC de deux façons différentes
Exercice 22 :
a) Déterminer une équation du cercle de diamètre
AB 
(avec: A( - 5 ; 7 ) et B( 2 ; - 3 ) )
b) Déterminer une équation du cercle de centre ( 1 ; 3 ) et de rayon 5
c) Déterminer une équation du cercle de centre A( 2 ; - 1 ), qui passe par le point B( -1 ; 1 )
d) Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle A( 2 ; 6 )B( 3 ; - 1 )C( - 6 ; 2 )
Exercice 23 :
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( - 5 ; - 2 ) et qui est
perpendiculaire à la direction du vecteur
n
( - 1 ; - 2 )
2. a) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( 3 ; 1 ) et qui est
perpendiculaire à la droite d: 5x - 3y + 7 = 0
b) Déterminer une équation cartésienne de la droite D qui passe par le point A( - 1 ; 1 ) et qui est
perpendiculaire à la droite d: y = -
2
7
x2
3. a) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points de P , qui sont équidistants des
points: A( - 1 ; 3 ) et B( 0 ; 1 )
b) Vérifier que la droite (AB), est perpendiculaire à l’ensemble obtenu au 3)a)
Pouvait-on prévoir géométriquement ce résultat?

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4. a) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite d
b) Déterminer la distance du point A à la droite d
A( 3,5 ; 0 ) ; d: y =
2
3
x2
A( - 1 ; 5 ) ; d: 2x - 3y +1 = 0
Exercice 24:
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite D’, parallèle à la droite D et passant par le point A
D: x + y = 0 ; A( 1 ; - 5 )
D: - x - 2y - 6 = 0 ; A( - 1 ; 1 )
2) On considère les droites D: 2x - y + 3 = 0 et D’: - 3x + 1,5y = 0
a) Montrer que les droites: D et D’ , sont parallèles
b) Déterminer l’ensemble d des points de P , équidistants des droites: D et D’ (deux méthodes)
c) Déterminer la distance entre les droites: D et D’. En déduire la distance entre les droites D et d
Exercice 25 :
1)a) Déterminer la distance du point A( - 1 ; 2 ) à la droite d: - x - 2y = 4
b) Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point A sur la droite d
c) Vérifier le résultat du 1)a)
2) On considère les points A( 5 ; 2 ) ; B( 1 ; 5 ) et C( - 1 ; - 1 ) .
Déterminer la longueur de la hauteur issue de A dans le triangle ABC , puis calculer l’aire du triangle
ABC
3. a) Démontrer que la droite d : y =
3
2
x10
est tangente au cercle de centre (-1;-2) et de rayon
13
b) Déterminer une équation de l’autre tangente à C , qui est parallèle à d
4) Déterminer les équations des droites qui passent par le point A et qui sont tangentes au cercle de
centre ( - 2 ; - 1 ) et de rayon
10
- A( 5 ; - 2 ) - A( 3 ; 0 )
Exercice 26 : Déterminer les positions relaives de la droite d et du cercle C de centre ( - 2 ; - 1 ) de
rayon
10
d : y =
15
x
33
d : y =
57
x
44
d : y = - x + 2
Exercice 27 : MNPQ est un parallélogramme. d est la perpendiculaire à (PM) en M et H est le projeté
orthogonal de N sur d. A et B sont deux points de d. Démontrer que
AB PQ AB MH  
.
Exercice 28 : ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 2 cm et BC = 3 cm. O est le milieu du
segment [BC].
1) Calculer
CA CB
et
OA BC
2) I est le projeté orthogonal de B sur (AC). Calculer la longueur CI.
Exercice 29 : Produit scalaire et orthogonalité
ABCD est un carré. I et J sont des points tels que
1
3
BI BC
et
1
3
CJ CD
. On se propose de démontrer
que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.
Montrer pour cela que
0AI BJ
en utilisant le fait que
AI AB BI
et
BJ BC CJ
.
Conclure quant aux droites.
Exercice 30 : Étude d’une configuration
OIML est un parallélogramme indirect, OIJ et OKL sont deux triangles rectangles isocèles directs. On se
propose de démontrer que :
IK = JL, (IK)  (IL) et OM = JK et (OM)  (JK).
1) Démontrer que
,,OJ OK OL OI
.