Arithmétique au brevet Correction Exercice 1 (Est – 2002) Exercice

Arithmétique au brevet
Correction
Tous les exercices ont été corrigés avec l’algorithme d’Euclide. Mais à la fin de la correction, vous
trouverez tous les calculs de PGCD avec l’algorithme des différences.
Exercice 1 (Est – 2002)
1/ Calcul du PGCD de 540 et 300 avec de l’algorithme d’Euclide :
Dividende Diviseur Reste
540 300 240
300 240 60
240 60 0
Le PGCD de 540 et 300 est 60.
2/ a/ 5,4 m = 540cm et 3m = 300cm
• Pour avoir des dalles identiques, sans découpe, il faut choisir pour côté un diviseur commun
de 540 et 300.
• Pour utiliser le moins de dalles possibles, il faut que la mesure du côté soit la plus grande
possible, il faut donc choisir le plus grand des diviseurs communs de 540 et 300.
Le PGCD de 540 et 300 est 60 (voir question 1/) donc la mesure du côté de chacune des dalles est
60 cm.
b/ 540 : 60 = 9 Il y aura 9 dalles dans la longueur
300 : 60 = 5 Il y aura 5 dalles dans la largeur
9×5 = 45 On utilisera 45 dalles.
Exercice 2 (Amérique de nord – 2009)
1/ Calcul du PGCD de 186 et 155 avec de l’algorithme d’Euclide :
Dividende Diviseur Reste
186 155 31
155 31 0
Le PGCD de 186 et 155 est 31.
2/ a/
• Les colis doivent être identiques et tous les chocolats et pralines doivent être utilisés, le
nombre de colis doit donc être un diviseur de 186 et 155.
• Pour réaliser un nombre maximal de colis, il faut donc choisir le plus grand de ces diviseurs
communs.
Le PGCD de 186 et 155 est 31 d’après la question 1/. Le chocolatier pourra donc réaliser 31 colis.
b/ 186 : 31 = 6 et 155 : 31 = 5
Chaque colis contiendra 6 chocolats et 5 pralines.

Exercice 3 (Nord – 2004)
Calcul du PGCD de 185 et 133 avec l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
185 133 52
133 52 29
52 29 23
29 23 6
23 6 5
6 5 1
5 1 0
Le PGCD de 185 et 133 est 1.
185 et 133 sont donc premiers entre eux.
Exercice 4 (Sud – 2005)
1. Calcul du PGCD de 6 209 et 4 435 avec l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
6209 4435 1774
4435 1774 887
1774 887 0
Le PGCD de 6209 et 4435 est 887.
2. 6209 et 4435 ont au moins un diviseur commun autre que 1, leur PGCD 887, par lequel on peut
simplifier la fraction.
3. 4435 4435:887 5
6209 6209:887 7
==
.
Exercice 5 (Guyane – 2005)
1. Calcul du PGCD de 1540 et 693 avec l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
1540 693 154
693 154 77
154 77 0
Le PGCD de 1540 et 693 est 77.
1540 et 693 ne sont pas premiers entre eux.
2. On simplifie la fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur.
1540 1540:77 20
693 693:77 9
==
.
Exercice 6 (Asie – 2008)
1. On peut simplifier la fraction 4114
7650 par 2 car 4114 et 7650 sont pairs.
2. Calcul du PGCD de 4114 et 7650 avec l’algorithme d’Euclide
Dividende Diviseur Reste
7650 4114 3536
4114 3536 578
3536 578 68
578 68 34
68 34 0
Le PGCD de 4114 et 7650 est 34.

3. On simplifie la fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur.
4114 4114:34 121
7650 7650:34 225
==
4. 4114 = 34 × 121 et 7650 = 34 × 225
5 4114 4 7650 5 34 121 4 34 225 5 121 34 4 225 34A=−=×−×= −
5 11 34 4 15 34 55 34 60 34 5 34A=× −× = − =−
Exercice 7 (National – septembre 2007)
Précisez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier.
1. 30,12
25 = est bien un nombre décimal
2. Les nombres 570 et 795 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par 5.
3. La somme ou la différence de deux multiples d’un nombre est encore un multiple de ce
nombre, donc la somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5.
Ou soient n et m des entiers naturels
5n et 5m sont deux multiples de 5
5n + 5m = 5(n + m)
et n + m est un entier naturel
donc 5(n + m) est un multiple de 5.
Calculs des PGCD avec l’algorithme des différences
Exercice 1
1/ Avec l’algorithme des différences
540 – 300 = 240
300 – 240 = 60
240 – 60 = 180
180 – 60 = 120
120 – 60 = 60
Le PGCD de 540 et 300 est 60.
Exercice 2
1/ Avec l’algorithme des différences
186 – 155 = 31
155 – 31 = 124
124 – 31 = 93
93 – 31 = 62
62 – 31 = 31
Le PGCD de 186 et 155 est 31.
Exercice 3
Avec l’algorithme des différences
185 – 133 = 52
133 – 52 = 81
81 – 52 = 29
52 – 29 = 23
29 – 23 = 6
23 – 6 = 17
17 – 6 = 11
11 – 6 = 5
6 – 5 = 1
5 – 1 = 4

4 – 1 = 3
3 – 1 = 2
2 – 1 = 1
Le PGCD de 185 et 133 est 1.
185 et 133 sont donc premiers entre eux.
Exercice 4
Calcul du PGCD de 6 209 et 4 435 avec l’algorithme des différences
6209 – 4435 = 1774
4435 – 1774 = 2661
2661 – 1774 = 887
1774 – 887 = 887
Le PGCD de 6209 et 4435 est 887.
Exercice 5
Calcul du PGCD de 1540 et 693 avec l’algorithme des différences
1540 – 693 = 847
847 – 693 = 154
693 – 154 = 539
539 – 154 = 385
385 – 154 = 231
231 – 154 = 77
154 – 77 = 77
Le PGCD de 1540 et 693 est 77.
1540 et 693 ne sont pas premiers entre eux.
Exercice 6
Calcul du PGCD de 4114 et 7650 avec l’algorithme des différences
7650 – 4114 = 3536
4114 – 3536 = 578
3536 – 578 = 2958
2958 – 578 = 2380
2380 – 578 = 1802
1802 – 578 = 1224
1224 – 578 = 646
646 – 578 = 68
578 – 68 = 510
510 – 68 = 442
442 – 68 = 374
374 – 68 = 306
306 – 68 = 238
238 – 68 = 170
170 – 68 = 102
102 – 68 = 34
68 – 34 = 34
Le PGCD de 4114 et 7650 est 34.