Arithmétique au brevet Correction Exercice 1 (Est – 2002) Exercice
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Arithmétique au brevet Correction Tous les exercices ont été corrigés avec l’algorithme d’Euclide. Mais à la fin de la correction, vous trouverez tous les calculs de PGCD avec l’algorithme des différences. Exercice 1 (Est – 2002) 1/ Calcul du PGCD de 540 et 300 avec de l’algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur Reste 540 300 240 300 240 60 240 60 0 Le PGCD de 540 et 300 est 60. 2/ a/ 5,4 m = 540cm et 3m = 300cm • Pour avoir des dalles identiques, sans découpe, il faut choisir pour côté un diviseur commun de 540 et 300. • Pour utiliser le moins de dalles possibles, il faut que la mesure du côté soit la plus grande possible, il faut donc choisir le plus grand des diviseurs communs de 540 et 300. Le PGCD de 540 et 300 est 60 (voir question 1/) donc la mesure du côté de chacune des dalles est 60 cm. b/ 540 : 60 = 9 300 : 60 = 5 9×5 = 45 Il y aura 9 dalles dans la longueur Il y aura 5 dalles dans la largeur On utilisera 45 dalles. Exercice 2 (Amérique de nord – 2009) 1/ Calcul du PGCD de 186 et 155 avec de l’algorithme d’Euclide : Dividende Diviseur Reste 186 155 31 155 31 0 Le PGCD de 186 et 155 est 31. 2/ a/ • Les colis doivent être identiques et tous les chocolats et pralines doivent être utilisés, le nombre de colis doit donc être un diviseur de 186 et 155. • Pour réaliser un nombre maximal de colis, il faut donc choisir le plus grand de ces diviseurs communs. Le PGCD de 186 et 155 est 31 d’après la question 1/. Le chocolatier pourra donc réaliser 31 colis. b/ 186 : 31 = 6 et 155 : 31 = 5 Chaque colis contiendra 6 chocolats et 5 pralines. Exercice 3 (Nord – 2004) Calcul du PGCD de 185 et 133 avec l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Reste 185 133 52 133 52 29 52 29 23 29 23 6 23 6 5 6 5 1 5 1 0 Le PGCD de 185 et 133 est 1. 185 et 133 sont donc premiers entre eux. Exercice 4 (Sud – 2005) 1. Calcul du PGCD de 6 209 et 4 435 avec l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Reste 6209 4435 1774 4435 1774 887 1774 887 0 Le PGCD de 6209 et 4435 est 887. 2. 6209 et 4435 ont au moins un diviseur commun autre que 1, leur PGCD 887, par lequel on peut simplifier la fraction. 3. 4435 4435 : 887 5 = = . 6209 6209 : 887 7 Exercice 5 (Guyane – 2005) 1. Calcul du PGCD de 1540 et 693 avec l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Reste 1540 693 154 693 154 77 154 77 0 Le PGCD de 1540 et 693 est 77. 1540 et 693 ne sont pas premiers entre eux. 2. On simplifie la fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur. 1540 1540 : 77 20 = = . 693 693 : 77 9 Exercice 6 (Asie – 2008) 4114 par 2 car 4114 et 7650 sont pairs. 7650 2. Calcul du PGCD de 4114 et 7650 avec l’algorithme d’Euclide Dividende Diviseur Reste 7650 4114 3536 4114 3536 578 3536 578 68 578 68 34 68 34 0 Le PGCD de 4114 et 7650 est 34. 1. On peut simplifier la fraction 3. On simplifie la fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur. 4114 4114 : 34 121 = = 7650 7650 : 34 225 4. 4114 = 34 × 121 et 7650 = 34 × 225 A = 5 4114 − 4 7650 = 5 34 × 121 − 4 34 × 225 = 5 121 34 − 4 225 34 A = 5 × 11 34 − 4 × 15 34 = 55 34 − 60 34 = −5 34 Exercice 7 (National – septembre 2007) Précisez si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifier. 3 1. = 0,12 est bien un nombre décimal 25 2. Les nombres 570 et 795 ne sont pas premiers entre eux car ils sont divisibles par 5. 3. La somme ou la différence de deux multiples d’un nombre est encore un multiple de ce nombre, donc la somme de deux multiples de 5 est toujours un multiple de 5. Ou soient n et m des entiers naturels 5n et 5m sont deux multiples de 5 5n + 5m = 5(n + m) et n + m est un entier naturel donc 5(n + m) est un multiple de 5. Calculs des PGCD avec l’algorithme des différences Exercice 1 1/ Avec l’algorithme des différences 540 – 300 = 240 300 – 240 = 60 240 – 60 = 180 180 – 60 = 120 120 – 60 = 60 Le PGCD de 540 et 300 est 60. Exercice 2 1/ Avec l’algorithme des différences 186 – 155 = 31 155 – 31 = 124 124 – 31 = 93 93 – 31 = 62 62 – 31 = 31 Le PGCD de 186 et 155 est 31. Exercice 3 Avec l’algorithme des différences 185 – 133 = 52 133 – 52 = 81 81 – 52 = 29 52 – 29 = 23 29 – 23 = 6 23 – 6 = 17 17 – 6 = 11 11 – 6 = 5 6–5=1 5–1=4 4–1=3 3–1=2 2–1=1 Le PGCD de 185 et 133 est 1. 185 et 133 sont donc premiers entre eux. Exercice 4 Calcul du PGCD de 6 209 et 4 435 avec l’algorithme des différences 6209 – 4435 = 1774 4435 – 1774 = 2661 2661 – 1774 = 887 1774 – 887 = 887 Le PGCD de 6209 et 4435 est 887. Exercice 5 Calcul du PGCD de 1540 et 693 avec l’algorithme des différences 1540 – 693 = 847 847 – 693 = 154 693 – 154 = 539 539 – 154 = 385 385 – 154 = 231 231 – 154 = 77 154 – 77 = 77 Le PGCD de 1540 et 693 est 77. 1540 et 693 ne sont pas premiers entre eux. Exercice 6 Calcul du PGCD de 4114 et 7650 avec l’algorithme des différences 7650 – 4114 = 3536 4114 – 3536 = 578 3536 – 578 = 2958 2958 – 578 = 2380 2380 – 578 = 1802 1802 – 578 = 1224 1224 – 578 = 646 646 – 578 = 68 578 – 68 = 510 510 – 68 = 442 442 – 68 = 374 374 – 68 = 306 306 – 68 = 238 238 – 68 = 170 170 – 68 = 102 102 – 68 = 34 68 – 34 = 34 Le PGCD de 4114 et 7650 est 34.
