Équations différentielles linéaires de premier ordre

Université de Versailles
Licence Sciences et Technologies
2013/14
MA 100 S1
Équations différentielles
linéaires de premier ordre
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Équations de 1er ordre à coefficients constants
Soit u : R −→ R une fonction dérivable sur R . La fonction f : R −→ R, x 7→ eu(x) est dérivable
sur R et sa fonction dérivée est définie par f 0 (x) = u0 (x)eu(x) . En particulier, si u est définie
par u(x) = ax où a est un réel fixé alors f 0 (x) = af (x) donc la fonction f : x 7→ eax est
solution de l’équation différentielle y 0 = ay .
Théorème 1.1 Soit a ∈ R . Les solutions de l’équation différentielle y 0 = ay sont les fonctions
de la forme y : R −→ R, x 7→ keax où k est une constante réelle quelconque.
Preuve : il suffit de montrer que la fonction g définie par g(x) = y(x)/eax est une fonction de
dérivée nulle, donc constante.
Théorème 1.2 ( Résolution de y 0 + ay = b ) Soit a, b deux réels avec a 6= 0 . L’équation
différentielle
(E)
y 0 + ay = b
admet pour solutions y : x 7→ ke−ax +
b
où k est une constante quelconque.
a
Preuve : on cherche une solution particulière yP de (E) . Comme a et b sont constants, on
peut trouver une solution constante et celle-ci fut nécessairement b/a (annuler y 0 ). Ensuite on
écrit
y 0 + ay = b ⇐⇒ y 0 + ay = yP0 + ayP ⇐⇒ (y − yP )0 = −a(y − yP )
et on est ramené au cas précédent.
Remarque 1.3 La fonction x 7→ ke−ax est la solution générale de l’équation sans second
membre (on dit aussi équation homogène associée à (E) )
(EH ) : y 0 + ay = 0
b
est une solution particulière de l’équation complète (E) . Les solutions
a
complètes de (E) sont donc de la forme
et la fonction x 7→
y = solution particulière de (E) + solution générale de(EH )
2
Équations linéaires de 1er ordre générales
Définition 2.1 On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle I
toute équation différentielle de la forme
(E)
:
∀x ∈ I, y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x)
où a et b sont des fonctions continues de I dans R .
Mohamed KRIR
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2.1
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Équation homogène associée
Définition 2.2 Soit (E)
:
∀x ∈ I, y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x) une équation différentielle
linéaire du premier ordre sur un intervalle I . On appelle équation homogène ou aussi (équation
sans second membre) associée à (E) l’équation différentielle
(EH )
:
∀x ∈ I, y 0 (x) + a(x)y(x) = 0
Théorème 2.3 Si A est une primitive de a sur I , les solutions de (EH ) sont de la forme :
y : x 7→ ke−A(x)
où k est une constante réelle quelconque.
Preuve : vérifier que les fonctions proposées sont solutions de (EH ) . Réciproquement, considérer
g(x) = y(x)/e−A(x) et montrer que g 0 = 0 sur l’intervalle I .
2.2
Résolution de y 0 + a(x)y = b(x)
Lemme 2.4 (Variation de la constante) Il existe au moins une solution particulière de (E)
et celle-ci est de la forme
yP : x 7→ k(x)e−A(x)
où k est une fonction dérivable sur I .
Preuve : yP est solution de (E) ssi k 0 (x)e−A(x) = b(x) et on déduit k(x) par intégration.
Théorème 2.5 (Résolution de (E) ) Soit yp une solution particulière de (E) . Les autressolutions sont de la forme :
y : x 7→ yP (x) + ke−A(x)
où A est une primitive de a sur I et k est une constante réelle quelconque. On retiendra que
y = solution particulière de (E) + solution générale de(EH )
Corollaire 2.6 (unicité sous condition initiale) Soit x0 et y0 deux réels fixés. Il existe une
unique solution de (E) vérifiant la condition (dite initiale) f (x0 ) = y0 .
Exemple 2.7 Résoudre sur I =]0, +∞[ l’équation
(E)
Mohamed KRIR
:
x(1 + x2 )y 0 − (x2 − 1)y + 2x = 0
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