Équations différentielles linéaires de premier ordre

Université de Versailles
Licence Sciences et Technologies
2013/14
MA 100 S1
Équations différentielles
linéaires de premier ordre
1 Équations de 1er ordre à coefficients constants
Soit u:R−→ Rune fonction dérivable sur R. La fonction f:R−→ R, x 7→ eu(x)est dérivable
sur Ret sa fonction dérivée est définie par f0(x) = u0(x)eu(x). En particulier, si uest définie
par u(x) = ax où aest un réel fixé alors f0(x) = af(x)donc la fonction f:x7→ eax est
solution de l’équation différentielle y0=ay .
Théorème 1.1 Soit a∈R. Les solutions de l’équation différentielle y0=ay sont les fonctions
de la forme y:R−→ R, x 7→ keax où kest une constante réelle quelconque.
Preuve : il suffit de montrer que la fonction gdéfinie par g(x) = y(x)/eax est une fonction de
dérivée nulle, donc constante.
Théorème 1.2 ( Résolution de y0+ay =b)Soit a, b deux réels avec a6= 0 . L’équation
différentielle
(E)y0+ay =b
admet pour solutions y:x7→ ke−ax +b
aoù kest une constante quelconque.
Preuve : on cherche une solution particulière yPde (E). Comme aet bsont constants, on
peut trouver une solution constante et celle-ci fut nécessairement b/a (annuler y0). Ensuite on
écrit
y0+ay =b⇐⇒ y0+ay =y0
P+ayP⇐⇒ (y−yP)0=−a(y−yP)
et on est ramené au cas précédent.
Remarque 1.3 La fonction x7→ ke−ax est la solution générale de l’équation sans second
membre (on dit aussi équation homogène associée à (E))
(EH) : y0+ay = 0
et la fonction x7→ b
aest une solution particulière de l’équation complète (E). Les solutions
complètes de (E)sont donc de la forme
y=solution particulière de (E) + solution générale de(EH)
2 Équations linéaires de 1er ordre générales
Définition 2.1 On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre sur un intervalle I
toute équation différentielle de la forme
(E) : ∀x∈I, y0(x) + a(x)y(x) = b(x)
où aet bsont des fonctions continues de Idans R.
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2.1 Équation homogène associée
Définition 2.2 Soit (E) : ∀x∈I, y0(x) + a(x)y(x) = b(x)une équation différentielle
linéaire du premier ordre sur un intervalle I. On appelle équation homogène ou aussi (équation
sans second membre) associée à (E)l’équation différentielle
(EH) : ∀x∈I, y0(x) + a(x)y(x)=0
Théorème 2.3 Si Aest une primitive de asur I, les solutions de (EH)sont de la forme :
y:x7→ ke−A(x)
où kest une constante réelle quelconque.
Preuve : vérifier que les fonctions proposées sont solutions de (EH). Réciproquement, considérer
g(x) = y(x)/e−A(x)et montrer que g0= 0 sur l’intervalle I.
2.2 Résolution de y0+a(x)y=b(x)
Lemme 2.4 (Variation de la constante) Il existe au moins une solution particulière de (E)
et celle-ci est de la forme
yP:x7→ k(x)e−A(x)
où kest une fonction dérivable sur I.
Preuve :yPest solution de (E)ssi k0(x)e−A(x)=b(x)et on déduit k(x)par intégration.
Théorème 2.5 (Résolution de (E))Soit ypune solution particulière de (E). Les autresso-
lutions sont de la forme :
y:x7→ yP(x) + ke−A(x)
où Aest une primitive de asur Iet kest une constante réelle quelconque. On retiendra que
y=solution particulière de (E) + solution générale de(EH)
Corollaire 2.6 (unicité sous condition initiale) Soit x0et y0deux réels fixés. Il existe une
unique solution de (E)vérifiant la condition (dite initiale) f(x0) = y0.
Exemple 2.7 Résoudre sur I=]0,+∞[l’équation
(E) : x(1 + x2)y0−(x2−1)y+ 2x= 0
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