Corrigé

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2015-2016
1re session 3esemestre
Licence Economie 2eannée
Matière : Statistiques et probabilités Durée : 2H
Exercice I (20 min, 3 points)
On s’intéresse au taux de réussite en première année d’économie selon le baccalauréat d’origine. En 2013-2014, 60 %
des étudiants de première année d’économie provenaient d’un bac ES, 30 % d’un bac S et 10 % d’un autres types de
bac. On a observé que 70 % des étudiants ayant un bac S avait obtenu leur année alors qu’ils n’étaient que 40 % pour le
bac ES et 20 % pour les autres bacs. On sélectionne alors un individu au hasard parmi les étudiants de première année
d’économie.
1) L’univers des possibles est l’ensemble des tous les étudiants de première année d’économie. L’étudiant étant choisi
au hasard, on fait l’hypothèse d’équi-probabilité. On note Rl’événement Réussite (« l’étudiant tiré a obtenu sa première
année »). Soit ES l’événement « l’étudiant tiré a un bac ES ». L’énoncé donne P .ES / D0:6 et P .RjES/ D0:4. De
même, P .S/ D0:3,P .RjS / D0:4 et P .A/ D0:1,P .RjA/ D0:2.
2) D’après la formule des probabilités totale, la probabilité que l’étudiant sélectionné ait obtenu sa première année est
P .R/ DP .RjES /P .ES / CP .RjS /P .S / CP .RjA/P .A/ D0:47
3) La probabilité qu’un étudiant ayant obtenu sa première année ait un bac ES est
P .ES jR/ DP .RjES /P .ES /
P .R/ D0:4 0:6 0:47 D0:5106
Exercice II (30 min, 6 points)
Dans une région française, on estime à 3 % le nombre de fausses pièces de 2 €en circulation. Soit Xle nombre de
fausses pièces de 2 €dans une recette de 300 €composée uniquement de pièce de 2 €.
1) Le nombre de pièces de 2 €dans la recette de 300 €est nD150. On peut considérer que ces pièces ont été tirées au
hasard (et avec remises en raison du nombre important de pièces en circulation). Le nombre de fausses pièces Xsuit
donc une loi B.150; 0:03/.
2) Le nombre moyen de fausses pièces est E.X/ D150 0:03 D4:5.
3) La probabilité que la recette contienne au plus une seule fausse pièce est
P .X 61/ DP .X D0/ CP .X D1/ D 150
0!0:0300:97150 C 150 1!0:0310:97149 D0:0103 C0:0481 D5:84 %
4) Comme n > 50 et p < 0:1, on peut approcher la loi binomiale B.150; 0:03/ par une loi de Poisson P./ avec
D150 0:0:3 D4:5. On peut alors lire dans la table de la loi de Poisson :
P .X >6/ D1P .X 65/ D10:7029 D0:2971
5) Le nombre de fausses pièces Ysuit donc une loi B.M=2; 0:03/ P.M 0:015/. D’après l’énoncé, on a
P .Y >7/ D0:80 ”P .Y 66/ D0:20 H) M0:015 D9car P .P.9/ 66/ D0:2068
On en déduit que MD9=0:015 D600.

Exercice III (25 min, 4 points)
Soit Xune variables aléatoire continue de densité fXdonnée par
fX.x/ D
8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
0si x < 0
1x
2si 06x61
1=2 si 1<x<2
x2
2si 26x63
0si x > 3
1) Le graphe de la densité est
x
y
0
1=2
123
Il correspond bien à une densité puisque
– la fonction est positive (au dessus de l’axe des x)
– la fonction est continue (sauf en 0,1,2et 3)
– l’intégrale de la fonction est égale à 1 : l’aide de deux triangles et d’un rectangle.
2) La densité est symétrique par rapport à 1:5. C’est donc la médiane et l’espérance de X: E.X/ D1:5.
3) On a
–P .X 61/ D1=4 car c’est l’aire du triangle de base 1et de hauteur 1=2 ;
–P .1 6X62/ D1=2 car c’est l’aire du rectangle de base 1et de hauteur 1=2 ;
–P .X >3/ D0car la densité est nulle à partir de xD3;
–P .0 6X62/ D3=4 car c’est la somme des deux premières probabilités.
4) Comme 06X63, on a 1:5 6XE.X/ 61:5. Les variations de Xautour de sa moyenne sont donc inférieures
à1:5. Il en est donc de même de X.
Exercice IV (30 min, 4 points)
On a X ,!N.50; 10/.
1) On a E.X/ DD50 et Var.X/ D2D102D100.
2) En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on trouve :
a) P .X > 55/ D1P .X 655/ D1P .X 6.5550/=10/ D1P .N.0; 1/ 60:5/ D10:6915 D0:3085.
b) P .X 640/ DP .X< .40 50/=10/ DP .X <1/ D1P .N.0; 1/ < 1/ D10:8413 D0:1587.
c) P .45 < X < 55/ DP .X 655/ P .X 645/ DP .X 60:5/ P .X 60:5/ DP .X60:5/ .1 
P .X 60:5/ D2P .X60:5/ 1D20:6915 1D0:383.
3) On cherche xmax de sorte que P .X > xmax/D0:20. D’où P .X6.xmax 50/=10/ D0:80. Donc .xmax 
50/=10 Dz0:80 D0:84 et xmax D50 C0:84 10 D58:4.
2 / 2