S4 : Séries entières

S4 : Séries entières
I Convergence des séries entières
I.1 Définition
On appelle série entière toute série de fonctions d’une variable complexe
X
φn
n∈N
où φn est l’application définie sur C par φn (z) = a n z n , (a n )n∈N étant une suite de
nombres complexes.
On parlera de la série entière
X
an z n .
n≥0
I.2 Convergence simple
a. Lemme d’Abel
X
Proposition Soit
a n z n une série entière. Si le nombre complexe z 0 est tel que
n≥0
la suite (a n z 0n )n≥0 soit bornée, alors, pour tout z ∈ C tel que |z| < |z 0 |, la série
X
a n z n est absolument convergente.
n≥0
1
séries entières (S4)
b. Rayon de convergence
Proposition - Définition Soit
R ∈ R+ ∪ {+∞} tel que :
• si |z| < R, la série
• si |z| > R, la série
X
X
a n z n une série entière. Il existe un unique
n≥0
a n z n est absolument convergente
n≥0
X
a n z n est (très) grossièrement divergente : la suite (a n z n )n≥0
n≥0
n’est pas bornée, et donc a fortiori ne converge pas vers 0.
X
R est le rayon de convergence de la série entière
an z n .
n≥0
D(0, R) est le disque ouvert de convergence de la série entière
X
a n z n . Si R =
n≥0
+∞, ce disque ouvert est C.
Remarques sur la définition On a donc défini le rayon de convergence d’une série
X
entière
a n z n : c’est l’unique R ∈ [0, +∞[∪{+∞} tel que, si |z| < R, la série
converge absolument, et si |z| > R, la suite (a n z n ) n’est pas bornée.
On peut formuler cette définition autrement : par exemple, on peut décider de
définir
¡©
ª¢
R = Sup r ∈ R+ ; (a n r n )n≥0 bornée
(avec la convention bien évidente que, si l’ensemble n’est pas majoré, sa borne
supérieure est +∞).
c. Détermination pratique du rayon de convergence
On utilise parfois (typiquement, pour la plupart des déterminations de rayons de
convergence dans des énoncés d’écrit) le critère de d’Alembert, par exemple pour
X zn
X
la détermination du rayon de convergence des séries entières
ou n 2 z n . On
n!
sera bien attentif, lors de la rédaction, à n’appliquer le critère de d’Alembert qu’à des
séries à termes réels strictement positifs.
Une manière élégante de régler le problème est de trouver (il n’en existe pas touP
jours !) un z tel que a n z n converge, mais non absolument. Par exemple, on peut
P zn
.
déterminer rapidement le rayon de convergence de la série
n
Les exercices les plus délicats de détermination de rayons de convergence se font en
utilisant plutôt les suites bornées : si la suite (a n z n ) est bornée, alors |z|
2
R ; si la
séries entières (S4)
suite (a n z n ) est non bornée, alors |z|
R.
n
Aussi : si la suite (a n z ) converge vers 0, alors |z|
pas vers 0, alors |z|
R ; si la suite (a n z n ) ne converge
R.
d. Comparaison de rayons de convergence
Proposition On note R a et R b les rayons de convergence respectifs des séries enP
P
tières a n z n et b n z n . Alors,
si a n =O (b n ),
et si a n ∼ b n ,
On peut remarquer que a n = o(b n ) est un cas particulier de a n =O (b n ).
I.3 Convergence uniforme ; continuité de la somme
Proposition Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout
compact inclus dans son disque ouvert de convergence (ou, ce qui revient au
même, sur tout disque fermé inclus dans son disque ouvert de convergence). . .
. . .mais ne converge en général pas uniformément sur son disque ouvert de convergence (erreur très classique, à éviter !)
Corollaire La somme d’une série entière est continue sur son disque ouvert de convergence.
Un cas particulier h.p. mais intéressant On suppose ici que la série entière
X
a n z n a un rayon de convergence R qui n’est ni nul ni infini. On suppose de
n≥0
X
X
plus que la série
|a n |R n converge. Alors la série entière
a n z n converge
n≥0
n≥0
uniformément (car normalement) sur le disque fermé D 0 (0, R). Sa somme est
donc continue sur ce disque fermé.
3
séries entières (S4)
II Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
Définition : Soit (u n ) et (v n ) deux suites de nombres complexes. Le produit de CauX
X
X
chy de la série u n et de la série v n est la série w n où
n
X
wn =
u k v n−k =
P
u n et
P
up v q
p+q=n
k=0
Proposition : Si
X
v n sont absolument convergentes,
+∞
X
n=0
wn =
³ +∞
X
n=0
un
´³ +∞
X
vn
´
n=0
Application Si (z, z 0 ) ∈ C2 , alors
µ +∞ n ¶ µ +∞ 0n ¶ +∞
X z
X (z + z 0 )n
X z
=
n!
n=0 n!
n=0
n=0 n!
4
P
w n l’est, et
séries entières (S4)
III Opérations algébrique sur les séries entières
III.1 Somme, produit par un scalaire
a n z n et
X
Proposition On considère deux séries entières
n≥0
b n z n de rayons de
X
n≥0
convergence respectifs R et R 0 . On note R 00 le rayon de convergence de la séX
rie entière
(a n + b n )z n . Alors
n≥0
R 00 ≥ min(R, R 0 )
et on a
¡
¢
∀z ∈ D 0, min(R, R 0 )
+∞
X
(a n + b n )z n =
n=0
+∞
X
an z n +
n=0
+∞
X
bn z n
n=0
De plus, si R 6= R 0 , on a : R 00 = min(R, R 0 ).
X
Proposition Si λ est un nombre complexe non nul, le rayon de convergence de
(λa n )z n
n≥0
X
est égal au rayon de convergence de
an z n .
n≥0
III.2 Produit de Cauchy
Définition - Proposition On considère deux séries entières
X
a n z n et
n≥0
X
n≥0
b n z n de
rayons de convergence respectifs R et R 0 . La série entière produit de Cauchy de
X
ces deux séries entières est la série entière
c n z n où, pour tout entier naturel
n≥0
n,
cn =
n
X
a k b n−k
k=0
Notons R 00 son rayon de convergence ; alors
R 00 ≥ min(R, R 0 )
et on a
¡
¢
∀z ∈ D 0, min(R, R 0 )
+∞
X
n=0
5
cn z n =
³ +∞
X
n=0
´ ³ +∞
´
X
an z n ×
bn z n
n=0
séries entières (S4)
IV Dérivation et primitivation des séries entières d’une
variable réelle
On peut définir la série dérivée d’une série entière, formellement. Mais la dérivation
des fonctions d’une variable complexe n’est pas au programme. Il est naturel de se
demander si, lorsque f est une fonction d’une variable complexe, il peut être intéressant de considérer l’existence de
¶
f (z) − f (z 0 )
.
lim
z→z 0
z − z0
µ
C’est effectivement plus qu’intéressant, mais hors-programme. C’est pourquoi à partir de maintenant on est souvent forcé de se limiter à la variable réelle.
IV.1 Rayon de convergence d’une série dérivée
X
Proposition Soit (a n )n≥0 une suite de nombres complexes ; les séries entières
an z n
n≥0
X
et
na n z n−1 ont même rayon de convergence (la seconde est la « série dérin≥0
vée » de la première).
IV.2 Dérivation de la somme d’une série entière
Proposition Soit (a n )n≥0 une suite de nombres complexes ; on suppose que la série
X
entière
a n z n a un rayon de convergence R > 0. On définit, sur l’intervalle
n≥0
] − R, R[,
S : x 7→
+∞
X
an x n .
n=0
Alors S est de classe C
∞
sur ]−R, R[, et se dérive terme à terme sur cet intervalle :
pour tout k ≥ 1, pour tout x ∈] − R, R[, on peut écrire :
S (k) (x) =
+∞
X
+∞
X (p + k)!
n!
a n x n−k =
a p+k x p
(n
−
k)!
p!
p=0
n=k
(toutes ces séries ayant le même rayon de convergence R).
6
séries entières (S4)
IV.3 Primitivation de la somme d’une série entière
Proposition On reprend les hypothèses du paragraphe précédent. Une primitive de
S sur ] − R, R[ est
x 7→
+∞
X
n=0
an
x n+1
n +1
(cette série entière ayant encore pour rayon de convergence R).
7
séries entières (S4)
V Fonctions développables en série entière
V.1 Fonction développable en série entière
a. Définition
Soit r > 0, f une fonction à valeurs réelles ou complexes définie au moins sur ]−r, r [ ;
on dit que f est développable en série entière sur ] − r, r [ lorsqu’il existe une série
X
entière
a n x n de rayon de convergence au moins égal à r telle que
n≥0
∀x ∈] − r, r [
f (x) =
+∞
X
an x n
n=0
(c’est la définition du programme).
On dit parfois que f est développable en série entière, ou développable en série entière au voisinage de 0, lorsqu’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur ] − r, r [.
On dit que f est développable en série entière au voisinage de a lorsque la fonction
h 7→ f (a + h) est développable en série entière au voisinage de 0, c’est à dire lorsqu’il
X
existe r > 0 et une série entière
a n x n de rayon de convergence au moins égal à r
n≥0
telle que
∀x ∈]a − r, a + r [
f (x) =
+∞
X
a n (x − a)n
n=0
Ces définitions peuvent être étendues au cas d’une fonction d’une variable complexe : on dit que f est développable en série entière sur D(0, r ) lorsqu’il existe une
X
série entière
a n z n de rayon de convergence au moins égal à r telle que
n≥0
∀z ∈ D(0, r )
f (z) =
+∞
X
an z n ;
n=0
on dit que f est développable en série entière, ou développable en série entière au
voisinage de 0, lorsqu’il existe r > 0 tel que f soit développable en série entière sur
D(0, r ).
On dit que f est développable en série entière au voisinage de a lorsque la fonction
h 7→ f (a + h) est développable en série entière au voisinage de 0, c’est à dire lorsqu’il
8
séries entières (S4)
existe r > 0 et une série entière
X
a n z n de rayon de convergence au moins égal à r
n≥0
telle que
∀u ∈ D(a, r )
f (u) =
+∞
X
a n (u − a)n
n=0
b. Opérations
Une combinaison linéaire ou un produit de fonctions développables en série entière
sur ] − r, r [ l’est.
La dérivée, toute primitive d’une fonction développable en série entière sur
] − r, r [ l’est.
c. Condition nécessaire ; série de Taylor
Constatons d’abord que pour que f soit développable en série entière sur
] − r, r [, il est nécessaire qu’elle soit de classe C ∞ sur cet intervalle.
Définition Soit f une fonction d’une variable réelle, à valeurs réelles ou complexes,
de classe C ∞ au voisinage de 0. On appelle série de Taylor de f la série entière
X f (n) (0) n
x
n!
n≥0
Proposition (condition nécessaire et unicité) Si f est développable en série entière
sur ] − r, r [ (r > 0), elle est C ∞ sur ] − r, r [ et somme de sa série de Taylor sur cet
intervalle (cette série de Taylor a donc un rayon de convergence au moins égal
à r ).
Il y a donc unicité du développement en série entière si il existe. Insistons :
9
séries entières (S4)
Proposition (unicité du d.s.e.) Si
∀x ∈] − r, r [
f (x) =
+∞
X
an x n =
n=0
+∞
X
bn x n
n=0
(on suppose implicitement r > 0, et les rayons de convergence des deux séries
sont ≥ r ), alors
∀n ∈ N
an = bn =
f (n) (0)
n!
³ −1 ´
Un exemple montrant que la condition n’est pas suffisante La fonction x 7→ exp 2 ,
x
prolongée par continuité en 0, est de classe C ∞ sur R. Sa série de Taylor a un
rayon de convergence infini (c’est la série
).
Et pourtant la fonction n’est pas développable en série entière.
VI Critère de développabilité en série entière, développements usuels
On se pose donc naturellement la question : comment montrer qu’une fonction est développable en série entière ? La réponse est un peu analogue au problème des développements limités : un théorème nous permet de trouver des développements en série entière de fonctions usuelles (exp, sin, cos, x 7→ (1 + x)α . . .). Puis, ces développements « de
base » connus, on trouve en général les développements en série entière par opérations.
Pour les développements limités, le résultat permettant d’obtenir les DL de départ est
le théorème de Taylor-Young. Pour les développements en série entière, c’est la formule
de Taylor avec reste-intégrale ou l’inégalité de Taylor-Lagrange qui donne les DSE dits
« usuels ».
VI.1 Critère
Proposition Soit f une fonction de classe C ∞ sur ] − r, r [ (r > 0), à valeurs réelles ou
complexes. On note, pour tout x ∈] − r, r [,
R n (x) = f (x) −
n f (k) (0)
X
xk
k!
k=0
Alors f est développable en série entière sur ]−r, r [ si et seulement si, pour tout
¡
¢
x dans ] − r, r [, la suite R n (x) n∈N converge vers 0.
10
séries entières (S4)
Mode d’emploi On rappelle que
R n (x) =
(x − t )n (n+1)
f
(t )d t
n!
x
Z
0
et que
n+1
¯
¯
¯
¯
¯R n (x)¯ ≤ |x|
sup¯ f (n+1) ¯
(n + 1)! [0,x]
VI.2 Fonction exponentielle et associées
a. Exponentielle réelle
Proposition : La fonction x 7→ e x (c’est-à-dire l’unique solution de l’équation différentielle y 0 = y qui prend en 0 la valeur 1) est développable en série entière sur
R.
ex =
∀x ∈ R
xn
n=0 n!
+∞
X
b. Sinus et cosinus, trigonométriques et hyperboliques
Proposition : Les fonctions sin et cos sont développables en série entière sur R.
sin x =
∀x ∈ R
+∞
X
(−1)n
n=0
∀x ∈ R
cos x =
+∞
X
x 2n+1
(2n + 1)!
(−1)n
n=0
∀x ∈ R
sh x =
+∞
X
n=0
∀x ∈ R
ch x =
+∞
X
n=0
11
x 2n
(2n)!
séries entières (S4)
c. Exponentielle complexe
Définition : On définit, pour tout z ∈ C,
exp(z) =
zn
n=0 n!
+∞
X
Proposition : Pour tous z et z 0 dans C,
exp(z + z 0 ) = exp(z) exp(z 0 )
Proposition : Pour tout θ réel,
exp(i θ) = cos θ + i sin θ
VI.3 Fonction x 7→ (1 + x)α
Proposition Pour tout α réel, la fonction x 7→ (1 + x)α est développable en série entière sur ] − 1, 1[.
∀x ∈] − 1, 1[
(1 + x)α = 1 +
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n
x
n!
n=1
+∞
X
Remarque Dans le cas α ∈ N, on retrouve le développement du binôme.
à !. .c’est-àn
un coefdire un dse polynomial. Dans le cas contraire, on évitera de noter
α
ficient qui n’a pas de signification en termes de dénombrement.
Proposition Si z ∈ C, |z| < 1,
+∞
X n
1
=
z
1 − z n=0
VI.4 Corollaires
Proposition Les fonctions x 7→ ln(1 + x), x 7→ ln(1 − x), Arctan, Arcsin sont développables en série entière sur ] − 1, 1[. Les trois premiers sont au programme, à
connaître.
12
séries entières (S4)
VII Recherche de solutions dse d’une équation différentielle
Il est parfois possible de trouver des solutions d’équations différentielles sous forme
de sommes de séries entières. Cela concerne surtout des équations de la forme
a(x)y 0 + b(x)y = c(x)
ou
a(x)y 00 + b(x)y 0 + c(x)y = d (x)
(spécialement quand a, b, c, d sont des fonctions polynômes de petits degrés).
Considérons par exemple l’équation différentielle :
(x 2 + 2)y 00 + 6x y 0 + 6y = 0
(E )
X
Soit (a n ) ∈ RN telle que le rayon de convergence de la série entière a n x n soit supé+∞
X
rieur ou égal à r > 0. Définissons φ : x 7→
a n x n sur ] − r, r [. Alors φ est solution de
n=0
(E ) sur ] − r, r [ si et seulement si
∀x ∈] − r, r [
(x 2 + 2)
+∞
X
n(n − 1)a n x n−2 + 6x
n=2
+∞
X
na n x n−1 + 6
n=1
+∞
X
an x n = 0
(1)
n=0
On réécrit alors (1) en « coupant en morceaux », rentrant les puissances dans les
sommes, puis réindexant les sommes qui doivent l’être pour obtenir une condition
équivalente à (1) de la forme
+∞
X
∀x ∈] − r, r [
(. . .)x n = 0
n=n 0
qui permette d’utiliser l’unicité du développement en série entière. Ici, on aboutira
donc à :
Par unicité du développement en série entière,
(1) ⇔ ∀n ∈ N a n+2 = −
n +3
an
2(n + 1)
Le calcul « formel » est alors terminé. . .mais même si on a procédé par équivalences,
il faut faire une « réciproque » : les suites (a n ) trouvées donnent-elles bien un des
séries entières à rayon de convergence non nul ? et quel est ce rayon de convergence ?
On peut aussi se poser la question subsidiaire suivante : les fonctions développables
en série entière que l’on a trouvées sont-elles exprimables au moyen des fonctions
usuelles ? (par exemple, ici, pour a 0 = 0 et a 1 = 0, on trouve entre autres la fonction
4 − 2x 2
solution x 7−→
)
(2 + x 2 )2
13
séries entières (S4)
D’un exemple à l’autre les choses se passent parfois un peu différemment ; on peut
chercher les solutions développables en série entière de l’équation
x(x + 1)y 00 − 2y = 0
14
séries entières (S4)
Table des matières
I
Convergence des séries entières
1
I.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2
Convergence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
a.
Lemme d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
b.
Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
c.
Détermination pratique du rayon de convergence . . . . . . . .
2
d.
Comparaison de rayons de convergence . . . . . . . . . . . . . .
3
Convergence uniforme ; continuité de la somme . . . . . . . . . . . . .
3
I.3
II Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes
4
III Opérations algébrique sur les séries entières
5
III.1 Somme, produit par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
III.2 Produit de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
IV Dérivation et primitivation des séries entières d’une variable réelle
6
IV.1 Rayon de convergence d’une série dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
IV.2 Dérivation de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
IV.3 Primitivation de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . .
7
V Fonctions développables en série entière
V.1 Fonction développable en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
a.
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
b.
Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
c.
Condition nécessaire ; série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . .
9
VI Critère de développabilité en série entière, développements usuels
10
VI.1 Critère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
VI.2 Fonction exponentielle et associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
a.
Exponentielle réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
b.
Sinus et cosinus, trigonométriques et hyperboliques . . . . . . .
11
c.
Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
α
VI.3 Fonction x 7→ (1 + x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
VI.4 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
VIIRecherche de solutions dse d’une équation différentielle
15
13