S4 : Séries entières

S4 : Séries entières
I Convergence des séries entières
I.1 Définition
On appelle série entière toute série de fonctions d’une variable complexe
X
n∈N
φn
où φnest l’application définie sur Cpar φn(z)=anzn, (an)n∈Nétant une suite de
nombres complexes.
On parlera de la série entière X
n≥0
anzn.
I.2 Convergence simple
a. Lemme d’Abel
Proposition Soit X
n≥0
anznune série entière. Si le nombre complexe z0est tel que
la suite (anzn
0)n≥0soit bornée, alors, pour tout z∈Ctel que |z| < |z0|, la série
X
n≥0
anznest absolument convergente.
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séries entières (S4)
b. Rayon de convergence
Proposition - Définition Soit X
n≥0
anznune série entière. Il existe un unique
R∈R+∪{+∞} tel que :
•si |z| < R, la série X
n≥0
anznest absolument convergente
•si |z| > R, la série X
n≥0
anznest (très) grossièrement divergente : la suite (anzn)n≥0
n’est pas bornée, et donc a fortiori ne converge pas vers 0.
Rest le rayon de convergence de la série entière X
n≥0
anzn.
D(0,R) est le disque ouvert de convergence de la série entière X
n≥0
anzn. Si R=
+∞, ce disque ouvert est C.
Remarques sur la définition On a donc défini le rayon de convergence d’une série
entière Xanzn: c’est l’unique R∈[0,+∞[∪{+∞} tel que, si |z| < R, la série
converge absolument, et si |z| > R, la suite (anzn) n’est pas bornée.
On peut formuler cette définition autrement : par exemple, on peut décider de
définir
R=Sup¡©r∈R+; (anrn)n≥0bornéeª¢
(avec la convention bien évidente que, si l’ensemble n’est pas majoré, sa borne
supérieure est +∞).
c. Détermination pratique du rayon de convergence
On utilise parfois (typiquement, pour la plupart des déterminations de rayons de
convergence dans des énoncés d’écrit) le critère de d’Alembert, par exemple pour
la détermination du rayon de convergence des séries entières Xzn
n!ou Xn2zn. On
sera bien attentif, lors de la rédaction, à n’appliquer le critère de d’Alembert qu’à des
séries à termes réels strictement positifs.
Une manière élégante de régler le problème est de trouver (il n’en existe pas tou-
jours !) un ztel que Panznconverge, mais non absolument. Par exemple, on peut
déterminer rapidement le rayon de convergence de la série Pzn
n.
Les exercices les plus délicats de détermination de rayons de convergence se font en
utilisant plutôt les suites bornées : si la suite (anzn) est bornée, alors |z|R; si la
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suite (anzn) est non bornée, alors |z|R.
Aussi : si la suite (anzn) converge vers 0, alors |z|R; si la suite (anzn) ne converge
pas vers 0, alors |z|R.
d. Comparaison de rayons de convergence
Proposition On note Raet Rbles rayons de convergence respectifs des séries en-
tières Panznet Pbnzn. Alors,
si an=O(bn),
et si an∼bn,
On peut remarquer que an=o(bn) est un cas particulier de an=O(bn).
I.3 Convergence uniforme ; continuité de la somme
Proposition Une série entière converge normalement donc uniformément sur tout
compact inclus dans son disque ouvert de convergence (ou, ce qui revient au
même, sur tout disque fermé inclus dans son disque ouvert de convergence).. .
...mais ne converge en général pas uniformément sur son disque ouvert de conver-
gence (erreur très classique, à éviter !)
Corollaire La somme d’une série entière est continue sur son disque ouvert de conver-
gence.
Un cas particulier h.p. mais intéressant On suppose ici que la série entière
X
n≥0
anzna un rayon de convergence Rqui n’est ni nul ni infini. On suppose de
plus que la série X
n≥0
|an|Rnconverge. Alors la série entière X
n≥0
anznconverge
uniformément (car normalement) sur le disque fermé D0(0,R). Sa somme est
donc continue sur ce disque fermé.
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II Produit de Cauchy de deux séries absolument conver-
gentes
Définition : Soit (un) et (vn) deux suites de nombres complexes. Le produit de Cau-
chy de la série Xunet de la série Xvnest la série Xwnoù
wn=
n
X
k=0
ukvn−k=X
p+q=n
upvq
Proposition : Si Punet Pvnsont absolument convergentes, Pwnl’est, et
+∞
X
n=0
wn=³+∞
X
n=0
un´³+∞
X
n=0
vn´
Application Si (z,z0)∈C2, alors
µ+∞
X
n=0
zn
n!¶µ+∞
X
n=0
z0n
n!¶=
+∞
X
n=0
(z+z0)n
n!
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III Opérations algébrique sur les séries entières
III.1 Somme, produit par un scalaire
Proposition On considère deux séries entières X
n≥0
anznet X
n≥0
bnznde rayons de
convergence respectifs Ret R0. On note R00 le rayon de convergence de la sé-
rie entière X
n≥0
(an+bn)zn. Alors
R00 ≥min(R,R0)
et on a
∀z∈D¡0,min(R,R0)¢
+∞
X
n=0
(an+bn)zn=
+∞
X
n=0
anzn+
+∞
X
n=0
bnzn
De plus, si R6= R0,ona:R00 =min(R,R0).
Proposition Si λest un nombre complexe non nul, le rayon de convergence de X
n≥0
(λan)zn
est égal au rayon de convergence de X
n≥0
anzn.
III.2 Produit de Cauchy
Définition - Proposition On considère deux séries entières X
n≥0
anznet X
n≥0
bnznde
rayons de convergence respectifs Ret R0. La série entière produit de Cauchy de
ces deux séries entières est la série entière X
n≥0
cnznoù, pour tout entier naturel
n,
cn=
n
X
k=0
akbn−k
Notons R00 son rayon de convergence ; alors
R00 ≥min(R,R0)
et on a
∀z∈D¡0,min(R,R0)¢
+∞
X
n=0
cnzn=³+∞
X
n=0
anzn´×³+∞
X
n=0
bnzn´
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