séries entières (S4)
b. Rayon de convergence
Proposition - Définition Soit X
n≥0
anznune série entière. Il existe un unique
R∈R+∪{+∞} tel que :
•si |z| < R, la série X
n≥0
anznest absolument convergente
•si |z| > R, la série X
n≥0
anznest (très) grossièrement divergente : la suite (anzn)n≥0
n’est pas bornée, et donc a fortiori ne converge pas vers 0.
Rest le rayon de convergence de la série entière X
n≥0
anzn.
D(0,R) est le disque ouvert de convergence de la série entière X
n≥0
anzn. Si R=
+∞, ce disque ouvert est C.
Remarques sur la définition On a donc défini le rayon de convergence d’une série
entière Xanzn: c’est l’unique R∈[0,+∞[∪{+∞} tel que, si |z| < R, la série
converge absolument, et si |z| > R, la suite (anzn) n’est pas bornée.
On peut formuler cette définition autrement : par exemple, on peut décider de
définir
R=Sup¡©r∈R+; (anrn)n≥0bornéeª¢
(avec la convention bien évidente que, si l’ensemble n’est pas majoré, sa borne
supérieure est +∞).
c. Détermination pratique du rayon de convergence
On utilise parfois (typiquement, pour la plupart des déterminations de rayons de
convergence dans des énoncés d’écrit) le critère de d’Alembert, par exemple pour
la détermination du rayon de convergence des séries entières Xzn
n!ou Xn2zn. On
sera bien attentif, lors de la rédaction, à n’appliquer le critère de d’Alembert qu’à des
séries à termes réels strictement positifs.
Une manière élégante de régler le problème est de trouver (il n’en existe pas tou-
jours !) un ztel que Panznconverge, mais non absolument. Par exemple, on peut
déterminer rapidement le rayon de convergence de la série Pzn
n.
Les exercices les plus délicats de détermination de rayons de convergence se font en
utilisant plutôt les suites bornées : si la suite (anzn) est bornée, alors |z|R; si la
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