TP 1 : Trigonométrie

MPSI 1TP 1 : Trigonom´etrie 2012
1. Comment apprendre son formulaire de trigo ?
Proposez une organisation des formules qui permette de retrouver tout le formulaire : quelles sont les plus
simples et plus courantes, quelle formule cl´e permet par d´eduction de retrouver les autres, quel dessin permet
d’en r´esumer beaucoup ...
2. R´esolution d’´equations.
Rappeler les r´esolutions sur Rde chacune des ´equations suivantes :
1) sin x= 0, 2) cos x= 0, 3) tan x= 0, 4) sin x=1
2, 5) tan x= 1, 6) cos x=−√3 2.
Exercice 1
a. R´esoudre l’´equation suivante, d’inconnue x∈]−π;π] : sin x+ sin 2x+ sin 3x= 0.
b. R´esoudre l’in´equation suivante, d’inconnue x∈]−π
2;π 2] : sin 2x≥sin x.
Exercice 2
R´esoudre dans Rles ´equations suivantes :
a. cos x+ sin x= 0.
b. cos 2x−sin x= 0.
c. cos x−√3 sin x= 1.
d. (√3 + 1) cos x+ (√3−1) sin x+√3−1 = 0.
3. Transformer des expressions trigonom´etriques.
Lin´eariser : le but est de transformer une puissance enti`ere (ou un produit) de cos xet sin xen une somme.
Ce sera bien utile pour calculer des primitives.
Exemple :
cos2xsin x= cos x×1
2sin 2x, car 2 cos xsin x= sin 2x,
=1
4(sin 3x+ sin x),car sin acos b=1 2(sin(a+b) + sin(a−b)).
Mais cela peut devenir compliqu´e pour des expressions avec de plus grandes puissances comme cos5xpar
exemple... On peut aussi utiliser les formules d’Euler et du binˆome de Newton :
Exemple :
cos5x=eix +e−ix
25
=1
25ei5x+ 5eix + 10e3ix + 10e−ix + 5e−3ix +e−5ix,
=1
24ei5x+e−5ix 2+ 5e3ix +e−3ix 2+ 10eix +e−ix 2,
=1
24(cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x).
On aurait donc pu transformer cos2xsin xainsi : cos2xsin x=eix +e−ix
22eix −e−ix 2=...
Exercice 3
Lin´earisez, par la m´ethode de votre choix, les expressions : sin4x, cos2xsin2x, sin2xcos4xet cos2xsin3x.
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes

MPSI 1TP 1 : Trigonom´etrie 2012
Factoriser : C’est l’op´eration inverse, on cherche des expressions ne faisant intervenir que du cos xet/ou du
sin xmais pas de cosinus ou sinus d’un autre angle.
`
A nouveau, on peut utiliser les formules de trigonom´etrie ou partir de la formule de Moivre associ´ee `a celle
du binˆome de Newton.
Exemple : pour obtenir cos(5x) sous forme d’un polynˆome trigonom´etrique, on utilise cos(5x) + isin(5x) =
(cosx +isin x)5.
(cos x+isin x)5= cos5x+ 5icos4xsin x+ 10i2cos3xsin2x+ 10i3cos2xsin3x+ 5i4cos xsin4x+i5sin5x,
=cos5x−10 cos3xsin2x+ 5 cos xsin4x+i5 cos4xsin x−10 cos2xsin3x+ sin5x.
On en d´eduit la partie r´eelle cos(5x) = cos5x−10 cos3xsin2x+ 5 cos xsin4x.
On peut poursuivre en remarquant qu’il n’y a que des puissances paires de sin xet que l’on peut donc utiliser
sin2x= 1 −cos2xpour tout ramener en cos x: cos(5x) = 16 cos5x−20 cos3x+ 5 cos x.
Exercice 4
a. Qu’obtient-on pour sin(5x) ?
b. Donnez cos(3x), sin(3x), cos(4x), sin(4x).
c. Cherchez une formule g´en´erale pour cos(nx), sin(nx).
4. Transformation de tan nx
Pour transformer tan(5x) par exemple, on utilise les r´esultats de la factorisation de sin(5x) et cos(5x), puis
on fait apparaˆıtre des tan xen factorisant num´erateur et d´enominateur par la plus grande puissance de cos x:
tan(5x) = sin(5x)
cos(5x),
=. . .
cos5x−10 cos3xsin2x+ 5 cos xsin4x,
=cos5x
cos5x×. . .
1−10 tan2x+ 5 tan4x,
. . .
Exercice 5 ` A vous pour tan(4x).
5. Last but not least : la technique de l’angle moiti´e
On peut transformer une somme d’exponentielle en utilisant la demi-somme des arguments :
eix +eiy =ei(x+y
2)ei(x−y 2)+e−i(x−y 2)
Cela repose sur la remarque suivante : x=x+y
2+x−y 2et y=x+y 2−x−y 2, pas si compliqu´e !
Et tr`es souvent on l’utilise pour transformer 1 + eix ou 1 −eix :
1 + eix =eix
2e−ix 2+eix 2.
Pensez-y !!
Magali Hillairet Lyc´ee Clemenceau, Nantes