TP 1 : Trigonométrie

TP 1 : Trigonométrie
MPSI 1
2012
1. Comment apprendre son formulaire de trigo ?
Proposez une organisation des formules qui permette de retrouver tout le formulaire : quelles sont les plus
simples et plus courantes, quelle formule clé permet par déduction de retrouver les autres, quel dessin permet
d’en résumer beaucoup ...
2. Résolution d’équations.
Rappeler les résolutions sur R de chacune des équations suivantes :
1) sin x = 0, 2) cos x = 0, 3) tan x = 0, 4) sin x = 21 , 5) tan x = 1,
√
6) cos x = −
3
2 .
Exercice 1
a. Résoudre l’équation suivante, d’inconnue x ∈] − π; π] : sin x + sin 2x + sin 3x = 0.
b. Résoudre l’inéquation suivante, d’inconnue x ∈] − π2 ; π2 ] : sin 2x ≥ sin x.
Exercice 2
Résoudre dans R les équations suivantes :
a. cos x + sin x = 0.
b. cos 2x − sin x = 0.
√
c. cos x − 3 sin x = 1.
√
√
√
d. ( 3 + 1) cos x + ( 3 − 1) sin x + 3 − 1 = 0.
3. Transformer des expressions trigonométriques.
Linéariser : le but est de transformer une puissance entière (ou un produit) de cos x et sin x en une somme.
Ce sera bien utile pour calculer des primitives.
Exemple :
1
sin 2x, car 2 cos x sin x = sin 2x,
2
1
1
= (sin 3x + sin x), car sin a cos b = (sin(a + b) + sin(a − b)).
4
2
cos2 x sin x = cos x ×
Mais cela peut devenir compliqué pour des expressions avec de plus grandes puissances comme cos5 x par
exemple... On peut aussi utiliser les formules d’Euler et du binôme de Newton :
Exemple :
5
eix + e−ix
1
= 5 ei5x + 5eix + 10e3ix + 10e−ix + 5e−3ix + e−5ix ,
2
2
i5x
−5ix
1 e +e
e3ix + e−3ix
eix + e−ix
= 4
+5
+ 10
,
2
2
2
2
1
= 4 (cos 5x + 5 cos 3x + 10 cos x) .
2
cos5 x =
On aurait donc pu transformer cos2 x sin x ainsi : cos2 x sin x =
eix + e−ix
2
2 eix − e−ix
2
=...
Exercice 3
Linéarisez, par la méthode de votre choix, les expressions : sin4 x, cos2 x sin2 x, sin2 x cos4 x et cos2 x sin3 x.
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes
TP 1 : Trigonométrie
MPSI 1
2012
Factoriser : C’est l’opération inverse, on cherche des expressions ne faisant intervenir que du cos x et/ou du
sin x mais pas de cosinus ou sinus d’un autre angle.
À nouveau, on peut utiliser les formules de trigonométrie ou partir de la formule de Moivre associée à celle
du binôme de Newton.
Exemple : pour obtenir cos(5x) sous forme d’un polynôme trigonométrique, on utilise cos(5x) + i sin(5x) =
(cosx + i sin x)5 .
(cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5i cos4 x sin x + 10i2 cos3 x sin2 x + 10i3 cos2 x sin3 x + 5i4 cos x sin4 x + i5 sin5 x,
= cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x + i 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x .
On en déduit la partie réelle cos(5x) = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x.
On peut poursuivre en remarquant qu’il n’y a que des puissances paires de sin x et que l’on peut donc utiliser
sin2 x = 1 − cos2 x pour tout ramener en cos x : cos(5x) = 16 cos5 x − 20 cos3 x + 5 cos x.
Exercice 4
a. Qu’obtient-on pour sin(5x) ?
b. Donnez cos(3x), sin(3x), cos(4x), sin(4x).
c. Cherchez une formule générale pour cos(nx), sin(nx).
4. Transformation de tan nx
Pour transformer tan(5x) par exemple, on utilise les résultats de la factorisation de sin(5x) et cos(5x), puis
on fait apparaı̂tre des tan x en factorisant numérateur et dénominateur par la plus grande puissance de cos x :
tan(5x) =
sin(5x)
,
cos(5x)
...
,
cos x − 10 cos x sin2 x + 5 cos x sin4 x
cos5 x
...
=
×
,
2
5
1
−
10
tan
x + 5 tan4 x
cos x
...
=
5
3
Exercice 5 À vous pour tan(4x).
5. Last but not least : la technique de l’angle moitié
On peut transformer une somme d’exponentielle en utilisant la demi-somme des arguments :
eix + eiy = ei(
Cela repose sur la remarque suivante : x =
x+y
2 )
ei(
x−y
2 )
+ e−i(
x−y
2 )
x+y x−y
x+y x−y
+
et y =
−
, pas si compliqué !
2
2
2
2
Et très souvent on l’utilise pour transformer 1 + eix ou 1 − eix :
x
x
x
1 + eix = ei 2 e−i 2 + ei 2 .
Pensez-y !!
Magali Hillairet
Lycée Clemenceau, Nantes