TD de Physique no 13 : Ondes électromagnétiques dans les milieux

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.
M2 FE 3eannée
Physique appliquée 2011-2012
TD de Physique no13 : Ondes
électromagnétiques dans les milieux
Exercice no1 : Modèle de l’électron élastiquement lié
On montre dans cet exercice que les gaz constitués de molécules non polaires sont des diélectriques linéaires,
homogènes et isotropes. On adopte pour cela le modèle de l’électron élastiquement lié :
•chaque électron d’une molécule est traité indépendamment des autres,
•un électron est soumis à une force de rappel élastique de la forme −mω2
0~ret à une force de frottements
fluides de la forme −mΓd~r/dt qui rend compte des phénomènes d’amortissement que sont les collisions
avec les autres électrons et le rayonnement dipolaire.
m est la masse d’un électron, ~rest le vecteur position de l’électron considéré, l’origine du repère étant le noyau
de l’atome associé (dans la suite le référentiel lié à l’atome est supposé galiléen), ω0est la pulsation propre de
l’oscillateur formé par l’association de l’électron et du reste de l’atome, et Γest un coefficient de frottement
de fluide par unité de masse.
Une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ωse propage dans ce milieu. Le champ électrique
complexe associé est noté : ~
E(M,t) = ~ E0(M)eiωt.
1. Justifier que le champ électrique vu par l’électron est indépendant de la position de ce dernier.
2. Expliciter le moment dipolaire ~pdu dipôle formé par l’électron considéré et le reste de l’atome en
fonction de e, ~r.
3. L’électron est supposé non relativiste, montrer alors que la force magnétique exercée par l’onde élec-
tromagnétique est négligeable devant la force électrique.
4. En exploitant la notation complexe, établir l’expression de ~p(t) en fonction de e, m,ω,ω0,Γet ~ E(O,t).
5. On note n la densité volumique d’électrons liés. Montrer que l’expression de la susceptibilité diélec-
trique1complexe χ(ω)peut se mettre sous la forme :
χ(ω) = χ0
ω2
0
ω2
0−ω2+ iωΓ.
Donner l’expression et la signification de χ0. Examiner et commenter les cas ω << ω0,ω=ω0, et ω >> ω0.
6. Montrer alors que la permittivité diélectrique relative complexe du milieu s’écrit :
εr(ω) = 1 + χ0
ω2
0
ω2
0−ω2+ iωΓ.
On pose εr=ε0
r−iε00 r. Tracer les allures des fonctions ω→ε0 r(ω)et ω→ε00 r(ω)lorsque Γ<< ω0.
Exercice no2 : Equations de Maxwell dans la matière
1. Écrire les équations de Maxwell dans la matière en introduisant les vecteurs déplacement électrique ~ D
et excitation magnétique ~ H.
2. Établir les relations de passage à la traversée d’une distribution surfacique de charges et de courants
libres en repartant des relations énoncées lors du cours-TD n˚6.
3. Expliquez pourquoi le champ magnétique ~ Bdans l’entrefer d’une machine tournante est orthogonal
aux parties constituées de fer.
1ε0χ(ω)est le coefficient de proportionnalité entre le vecteur-polarisation et le champ électrique appliqué.
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Exercice no3 : Structure des ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques dans
un milieu DLHI parfait et non-magnétique
Dans toute la suite, on appellera Mun tel milieu. On s’intéresse ici à la propagation, dans Mde permitti-
vité diélectrique relative complexe εr(ω), d’une onde électromagnétique plane progressive harmonique décrite en
notation complexe par les champs électrique ~ E(M,t) = ~ E0(M)exp(iωt) et magnétique ~ B(M,t) = ~ B0(M)exp(iωt),
en un point M du milieu et à l’instant t.
1. Déterminer les équations de propagation des champs complexes ~ E(M,t) et ~ B(M,t) dans ce milieu.
2. En déduire, en précisant la forme choisie pour les fonctions ~ E0(M) et ~ B0(M), la relation de dispersion
dans ce milieu (on introduira un vecteur d’onde ~ ka priori complexe).
3. On définit l’indice complexe ncomme étant le nombre complexe dont la partie réelle est positive et qui
vérifie n(ω)2=εr(ω). On pose n(ω) = nr(ω)−i ni(ω), donner l’interprétation physique de nr(ω)et de ni(ω).
Caractériser les zones du spectre où Mest transparent.
4. Quelle est la structure du champ électromagnétique dans le milieu ? ~ E(M,t) et ~ B(M,t) sont-ils néces-
sairement en phase ?
5. Déterminer la valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting ~ Πdans ce milieu. Pour cela on
admettra :
<~ Π>=1
2Re~
E∗ ∧~ B
µ0,
et on pourra utiliser la formule :
~a∧(~ b∧~c) = (~a.~c)~ b−(~a.~ b)~c.
Commenter le résultat obtenu.
Exercice no4 : Lois de Snell-Descartes
Une onde plane monochromatique, polarisée rectilignement et de pulsation ω, est incidente à la surface de
séparation Σentre deux milieux diélectriques linéaires homogènes isotropes parfaitement isolants non magné-
tiques M1et M2, transparents, d’indices réels respectifs n1pour le milieu d’incidence M1et n2pour le milieu
de réfraction M2.
1. Énoncer les lois de Snell-Descartes.
2. Écrire la continuité de la composante tangentielle du champ électrique à l’interface Σentre le milieu
1 et le milieu 2. On prendra l’origine O sur Σ, on notera ωr(resp. ωt) et ~ kr(resp. ~ kt) la pulsation et le vecteur
d’onde de l’onde réfléchie (resp. transmise).
3. Donner les expressions des normes des différents vecteurs d’onde en fonction de c,ωet des indices n1
et n2.
4. Retrouver les lois de Snell-Descartes. On pourra pour cela se placer au voisinage immédiat de l’origine
O de sorte que l’on puisse assimiler Σà son plan tangent en O.
Problème : Propagation dans les milieux non isotropes : biréfringence d’un milieu uniaxe
A- Structure de l’onde dans un milieu anisotrope
Dans cette partie, nous nous intéresserons à la propagation d’une onde plane monochromatique polarisée rec-
tilignement dans un milieu diélectrique parfaitement isolant transparent, linéaire, homogène, non magnétique
mais électriquement anisotrope. Dans un tel milieu, la relation entre le vecteur déplacement électrique ~ Det le
champ électrique ~ Eest de la forme : ~ D = []~ E, où [], le tenseur diélectrique, est une matrice 3x3 dont chaque
élément est a priori dépendant de la pulsation ω.
Une onde plane monochromatique polarisée rectilignement se propage dans un tel milieu. Le champ électrique
complexe associé est de la forme : ~ E(~r,t) = ~ E0exp i(~ k.~r−ωt), avec ~ k = k~uoù ~u est la direction de propagation
de l’onde dans le milieu (k réel).
A-1- Réécrire les équations de Maxwell en utilisant la notation complexe. En déduire la structure de l’onde
dans le milieu. On précisera sur un schéma les positions relatives des différents vecteurs réels ~u,~ E,~ B,~ D. Auquel
des deux vecteurs ~ Eou ~ Ddoit-on identifier la vibration lumineuse pour conserver la transversalité du champ
électromagnétique par rapport à la direction de propagation ~u?
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A-2- Définir sur le schéma précédent le plan d’onde et le plan de polarisation et représenter le vecteur de
Poynting ~ R. Commenter en comparant avec le cas des milieux isotropes.
A-3- Montrer que les vecteurs ~ E,~ Det ~ kvérifient la relation :
k2~ E−µ0ω2~ D = (~ k.~ E)~ k.
Que représente la quantité ω/k? On rappelle la formule :
~a∧(~ b∧~c) = (~a.~c)~ b−(~a.~ b)~c.
A-4- Il est possible de déterminer un repère orthonormal (dit repère principal) noté (O, X, Y, Z) dans lequel
le tenseur diélectrique est diagonal :
~
D = 
εX0 0
0εY0
0 0 εZ
~
E
où εX,εYet εZsont permittivités diélectriques principales. On considère à présent le cas particulier d’une
propagation le long de la direction (OX) : ~u = ~eX.
a- Montrer que ~ Edevient également transverse.
b- Dans le cas où ~ Eest polarisé rectilignement suivant (OY), donner la vitesse vYde propagation de cette
onde en fonction de c et nY=pεY/ε0. Reprendre la question si ~ Eest polarisée rectilignement selon (OZ), en
introduisant la vitesse de propagation vZet nZ=pεZ/ε0. Commenter.
B- Lames cristallines uniaxes taillées parallèlement à leur axe optique
Dans ce qui suit, on ne s’intéresse plus qu’aux milieux uniaxes c’est-à-dire les milieux pour lesquels deux des per-
mittivités diélectriques principales sont égales : εX=εY. On appelle alors indice ordinaire n0=pεX/ε0=pεY/ε0
et indice extraordinaire nE=pεZ/ε0.
Les lames cristallines "à retard" sont des lames minces taillées dans des milieux uniaxes parallèlement à leur
axe optique (OZ).
On envoie sur une telle lame une plane monochromatique en incidence normale : on se trouve donc être dans
la configuration où la direction de propagation ~uest orthogonale à l’axe optique (OZ). On prendra ~u = ~eX.
B-1- À partir de la question II-A-4, définir les lignes neutres de la lame biréfringeante ? Quelles sont leurs
propriétés ? Donner leur direction dans la base principale précédemment définie, ainsi que les indices les ca-
ractérisant.
B-2- Proposer une expérience simple permettant de déterminer expérimentalement la direction des lignes
neutres.
B-3- On se place dans le cas où n0<nE. Quel est alors l’axe lent ? l’axe rapide ?
B-4- On envoie sur cette lame, sous incidence normale, une onde plane progressive monochromatique de
longueur d’onde λdans le vide, polarisée rectilignement dans une direction faisant un angle α(0<α<π/2)
avec l’axe lent. L’épaisseur de la lame est notée e. Dans quelles conditions l’onde émergente est-elle polarisée
rectilignement ? Préciser alors les directions de polarisation possibles. Quel type de polarisation obtiendrait-on
en général ?
B-5- Qu’appelle-t-on lame λ/2? lame λ/4? Application numérique : calculer l’épaisseur minimale d’une lame
demi-onde de quartz, pour la radiation jaune du sodium (λ= 589 nm). On donne pour cette radiation
∆n = nE−n0= 0,0091.
B-6- Donner un montage simple permettant de réaliser un "polariseur circulaire", puis un "analyseur circulaire".
B-7- Soit une onde plane monochromatique arrivant sous incidence normale sur un miroir. Entre la source et
le miroir, on dispose successivement un polariseur P et une lame λ/4dont les lignes neutres sont à 45˚de l’axe
de polarisation de P. Existe-t-il encore une onde réfléchie entre le polariseur P et la source ? Justifier.
B-8- On éclaire en lumière blanche et en incidence normale une lame biréfringente placée entre un polariseur
et un analyseur croisés. Pour un même cristal, quand l’épaisseur de la lame augmente, on observe, sur un écran
après la lame, d’abord une tache colorée (dont la teinte varie avec l’épaisseur), puis une tache blanc "grisâtre".
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Expliquer simplement le phénomène. Obtient-on, pour une lame mince, la même couleur si l’analyseur et le
polariseur, au lieu d’être croisés, sont parallèles ?
C- Détermination expérimentale d’une biréfringence
On s’intéresse ici à une technique expérimentale (méthode du spectre cannelé) permettant de déterminer la
valeur de la biréfringence ∆n pour une lame biréfringente "épaisse", taillée parallèlement à son axe optique.
C-1- Proposer un montage expérimental permettant d’obtenir un spectre cannelé à partir d’une lame biréfrin-
gente "épaisse".
C-2- Montrer comment l’analyse du spectre cannelé obtenu permet de remonter à la détermination de la
biréfringence ∆n de la lame.
C-3- Le spectre représenté sur la figure ci-dessous représente l’intensité en fonction de la longueur d’onde,
obtenue au cours de l’expérience précédente, pour une lame biréfringente de nature inconnue, entre polariseur
et analyseur croisés. Exploiter ce graphe expérimental et, sachant que e = 4,0 mm, déterminer la biréfringence
de la lame utilisée.
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