Principe de balayage, principe de domination

Séminaire Choquet.
Initiation à l’analyse
G ABRIEL M OKOBODZKI
Principe de balayage, principe de domination
Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse, tome 1 (1962), exp. no 1, p. 1-11
<http://www.numdam.org/item?id=SC_1962__1__A1_0>
© Séminaire Choquet. Initiation à l’analyse
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Séminaire CHOQUET
,
1-01
(initiation à l’Analyse)
1re année, 1962, n° 1
1er et 8
PRINCIPE DE
BALAYAGE,
PRINCIPE DE DOMINATION
1962
mars
(1)
par Gabriel MOKOBODZKI
1.
Position du
Notations.
Soient
tinues
X
un
sur X,
et soit
C
compact
au
il existe
2° On dit que
C
problème posé
Existe-t-il,
C
un
un
cône
de fonctions
numériques
con..
X .
de
principe
convexe
du
balayage
une mesure
H
dans
si,
pour toute
v >, 0 de support dans
H~
telle
,d
que
Le
H
satisfait
~, > o
mesure
C
compact,
espace
1° ûn dit que
problème.
satisfasse
satisfait
au
principe de domination
dans
H
si les relations
est le suivant :
pour
aux
un
cône
C
convexe
.donnée
principes de balayage et
un
plus petit compact
de domination dans
H
tel que
K.
Moyennant
hypothèses convenables sur C ~ ce problème admet une solution, et il y a
équivalence entre les principes de domination et de balayage dans un compact
des
H
donné.
Enfila
existe,
ou
on
peut
demander s’il existe
se
pour toute
mesure
moins strict par
()
0
sur
l’ensemble (;,
un
X,
plus petit ensemble $
une mesure 03BD
portée
c
H
tel
en un sens
qu’il
plus
et telle que
Le
présent exposé constitue la rédaction développée de 1
MOKOBODZKI (Gabriel). - Balayage défini par un cône convexe
numériques
p. 803-805.
sur un
espace
compact.
C. R. Acad. Se.
Paris,~
de fonctions
t. 254,~ 1962,
2.
Préliminaires.
E
Soient
un
topologique séparé, $
espace
relation d’ordre
une
PROPOSITION 2.1. ~» Les conditions suivantes sont
1° Le
2°
Soient
x ~ y
E
il existe
tivement,
3° L’ application
vérifie
E
siz
x’
E
est fermé.
E
x
pour tous
V
y’
et
équivalentes :
V
voisinages
W
E
tels
j~t
W
de
y~ ~
ue
x
et
alors
y
x
respec-
y .
multivoque
supérieurement (définition équivalente
e st semi-continue
Si $
E
dans
graphe de
E.
sur
ces
conditions,
dit
on
qu’elle
est
au
graphe f ermé) .
compatible
la
avec
topologie
E.
de
Définition. - Soient E
et
F
deux espaces
application multivoque 03C6
de
E
dans
(s.
c.
s.)
2° pour tout
V
ouvert
de
x E
c~~x)
E~
voisinage
x
dans
est
ouvert
E~
mérique
Alors
En
s.
~~
de
f
0
effet,
c~
=
si
( sens ordinaire)
s.
h
est
f
le résultats
o
s.
c.
F~
dans
F~
il existe
un
voisinage
tel que
application multivoque
c.
compact de
un
PROPOSITION 2.2. - Soient toujours
une
est
fort si
au sens
1° pour tout
F
topologiques séparés. On dira q’une
semi-continue supérieurement
s.
~, ~
sur
E
et
s. c.
définie
.F
s.
sur
deux espaces
au sens
fort et
topologiques
f
F . On pose
E .
est contenu dans l’ouvert
une
fonction
.
nu-
PROPOSITION 2.3. - Soit
F .
pour tout
de
cp une application multivoque
il existe un voisinage V de
E~
x E
s.
et
x
de
sa,
c.
un
E
dans
compact
K
tels que
F,
alors
est semi-continue
03C6
supérieurement
fort.
au sens
Démonstration.
a.
La
tout
condition ( 1)
est
vérifiée,
c~~x~
car
est fermé dans
compact pour
x.
b. Soit
DI autre
W
voisinage
un
part,
(CW
n
restreint à
le
K~ ~ ~ ~
K
ouvert de
graphe de c~
résulte d’ un théorème classique
que l’ ensemble des
est fermé dans
V~
et
ne
Soit
A~~y;
voisinage
V
y E
de
x
E;
est
compacta
est fermé dans
V
donc fermer
V x K . Il
tels que
y
contient pas
Application. - Soient E un espace topologique
d’ordre compatible avec la topologie de E .
un
un
séparé, $
x .
une
relation
y~x~.
et
un
~
A
On suppose que, pour tout
compact K c E tel que
il existe
PROPOSITION ~.4.
1°
L’ application
x
est
x
s a
c.
s ~
fort.
au sens
2° Toute famille filtrante décroissante d’éléments de
minorant. Par
tout élément
Soient maintenant
séparé, C1 ,
C2
F
un
deux
C1 + CZ
est
un
Démonstration. - Soit
espace vectoriel
convexes
~~.
2.50 ~, Sz
alors
minoré par
cône
C)~
convexe
E
topologique
formés de
~0~
C
ceci SI écrit
élément
minimal.
localement
convexe
F ..
et si
un
un
est à base
f ermé.
x ~ C1 + C2 ;
admet
encore
l~X > 0 ,
pour
et aussi
Considérons le
convexe
Il existe alors
(D+V)
nG.==~ ~
Soit alors
F
0 , puisque
convexe
le
C..
(-
C~)
=
{0} .
’-
V
ouvert
cône
n
(~.x2014
U
D =
Ci
de
0~
ouvert
convexe
-C~c’S’~~11 existe
et
sur
=
compact
voisinage
un
On a
.
pour ~
tel que
engendré
par
(D
forme linéaire continue
une
V) .
+
f
telle que
et par suite
D’où l’on
f(x)
a
0
et
f(y) ~ 0 ,
pour tout
y
6
Ci
+
C~
autrement dit :
x~C~+ G~ .
,
Ces
préliminaires étant établis,
Notations. - Soient
tions
X
numériques continues
l’espace des
forme,
l’ensemble des
mesures
un
abordons notre
X~
sur
vectoriel des fonc-
muni de la
mesures sur
positives
C(X) l’espace
compact,
espace
problème.
sur
topologie de la convergence
X ~ muni de la topologie vague,
uni-
1’ ensemble des fonctions posi-
X~
C(X) .
tives de
,
DEFINITION 3~1. - On dit qu’un ensemble
si quels
f~
C
que soient
EC
c
c(X)
est linéairement
séparant,
il existe deux fonctions
dont les restrictions
au
compact
soient linéairement
indépendantes~
Soit alors
On. pose :
un
cône
convexe
C
c
C(X)
séparant linéairement
les points de
X.
On suppose que
C~
(-
n
=
{o} ~
un
En
pour éviter
outre,
un cas
DEFINITION 3.2. - Le cône
ordre
(
sur
est
dira que
un ensemble
A
une
trivial,
et le
C..
vaguement fermé
03BD) ~ (03BD - ~ C0 .
balayée de v si
définit
C0
X.
relation de
une
Soient et 03BD
et que ~ M+(X)
« v
(Considérer
.)
compact -
supposera ’ /
on
1 .
d’une fonction
C
équivalent à l’existence dans
hyperplan fermé séparant strictement
Ceci est
pré-
e
se
on
balaye dans
universellement mesurable s’il existe v
étant portée par A .
V
DEFINITION 3.3. - Un ensemble borélien
x e
A
balayée
et toute
Toute intersection
réunion d’ouverts de
contient
un
a
non
de
vide de
mesure
e ~
A
on a
~
X
sera
o(CA)
dit stable
pour tout
0 .
=
compact stable (toute
nulle) et tout compact stable
compacts stables est
nulle est de
si,
mesure
un
compact stable minimal.
Toute intersection dénombrable d’ensembles boréliens stables est
ensemble
un
borélien stable.
PROPOSITION 3.1.
1° Pour toute
f
e
C
n
C (X) ~
est vide
2° Tout compact stable minimal non-contenu dans
Un tel point
dit
sera
un
ou
X
est
un
compact stable.
est réduit à
un
point*
point-frontière.
Démonstration~
1° Soit
par
/f
suite,
2° Soit
et soit
x e
K
da
un
=
0 .
compact stable
avec
II existe alors
non
contenu dans
X~
et soient
x~
e
K,
*
f~=
C
telle que
linéairement indépendantes dans
Soit alors
f(x) = 0 ~
a~e ~
K .
0
(On rappelle
et que
que
f~
flet f~
e
C
et que
soient
1 *)
03BB 0 ,
on a
est
COROLLAIRE~ -. Soit
f(x)
> 0
pour tout
( Considér e r
DÉFINITION
)~==
K
pour tout
suite,
ë
x ~
une
et
g" (0)
qui
K .
de
K ~ X+ ,
stable minimal
K={x}
on a
1~ensemble des points frontières. Si
E , alors f(x)>0 pour tout
f
e
’S et
si
x ~ X+ .
la fonction
3.4. - Soit
(e - o)
définit
gT (0)
On a
03BBf0 .
g==
compact stable, différent
un
Par
posons
f -
où 03BB
03BBf0
C le
cône
j~t o
est
C*
inf
x~X
convexe
une
relation de Pré-ordre notée
PROPOSITION 3.2. - 1x3 cône
=
f’-0’~
1(x) f0(x)
lorsque
fermé engendre
balayée
de
par les mesures
e .
plus fine que
ainsi défini est
03BB 0 .)
.
saillante
et définit donc
relation d’ordre.
La proposition
va
résulter des deux lemmes suivants.
IEM~3.1. - Soit
C~==
Si
alors
C~ ~
Il suffit de
vérifier,
{f~
pour
/
f
f~)
les
e
~0,
V
~eC~} .
EC’ ,
C* ,
=
~x - 03C3x , que
Or
d’cù le résultat.
Enfin
C’
est
3.2. -
fermé,
L’espace
et
vectoriel
dans
Cela résulte de l’identité
H=
C’ est réticulé et partout dense
une
applique ensuite
On
le théorème de Stone-Weierstrass.
Considérons maintenant la restriction de - à
?H (X)
LEMME 3.3. - Pour
un
et
un
effet,
Soit
V,
alors
tel que
compact K
soit contenu dans
En
il existe
toute ~ +(X) ,
K
?H (X)
voisinage
V
dans
l’ensemble A~== {~; ~
~J~(X) ~
V
pour tout
il existe
f~ ~ 1 .
défini par la relation
est contenu dans le
Nous
x
sommes
compact
donc dans les conditions de la
proposition 2.4. Nous
en
déduisons
les corollaires suivants.
PROPOSITION 3.3. - +(X)
Par suite toute
toujours
est inductif pour la relation d’ ordre opposée à ~
E
(X)
admet
une
balayée
a
~(X)
aussi
( Nous
on
= p - àp )
et,
pour toute
pose
f
on
définit
par
PROPOSITION 3.4.
1° Pour
2°
3°
toute ~,
E
~(X) ~
est convexe et compact.
L’application multivoque P est
P est positivement
sous-entendrons
").
dans
DEFINITION 3.5. - Pour
(on
minimale
homogène
s.
c.
s.
et concave.
an sens
fort.
f*
sur
COROLLAIRE.
’
f*
1° Les fonctions
sont
homogènes, positives
positivement
Par
continues
supérieurement
( f*
enveloppe inférieure d’une famille
est
et
convexe
2°
mesure
qui est
minimale~
portée par
=
lentes. Donc
est
si
minimale,
Définition. - Pour tout
x
on a
i ~
.
iG
c(X) o
Démonstration. - On
a
et si
~(X~ ~
=
0;
pour toute
f
la
~
03BD
on
est
minimale)
équiva-
l’est aussi.
,
définit
sont
1
sur
X
par
l’identité
RROPOEITION. - Pour tout couple
or
f~(~)
{0} ~
= ~ 0~~ et ( a
Remarque. - Les relations
pour tout
de formes linéaires continues dans
C~ w
un
pour tout
suite,
compact)~
est
)~ est
concaves, semi-
a ,
c
x
e
Yt (X) , j
cx ,
on a
/1
’
1(x)
d’où
COROLLAIRE. - Soit
f
(T)’~
si
=
(0)
n’est pas
Vide, c’est
un
G-
stable.
DEFINITION 3.7. - Soit
l’ensemble des couples (f ,
tels que / f d~ = 0 . On définit la relation suivante
~e~(X)~ ~~0,
T
sur
T,
PROPOSITION. - Soit
1°
change
ne
20 Il existe
(x)
>
T
~
est
portée
pour tout
G. stable (f)-1 (0) .
2014j (f , ) avec, de plus,
par le
(f’ , ’)
tel que
0,
minimale
avec
X+ et
(f’ , ’) ~ T ,
f’
la condition
pas
(f , p)
X~ .
x e
’
Démonstration.
1° Pour toute mesure 03BD
0,
est minimale~ ~ ne charge pas
~" (C) ?
et par
2° Soit
K
compact de
un
P-(K)~~(X)(l-e)
ver un
que
où
K’ D K
compact
Par
portée
X .
suite~ ~
X
D’autre part~ ~
est
tel que
portée
K
qui soit
K’
(~ ~
est
(0) ~
(T)"~
suite, si
portée par le G~
par
(?)"~
par leur intersection
c
1 > e> 0. Comme
un
0 03BD ;
on a
(0)
K
est
jouissant
n
un
des
X~ = ~
et
(~ ~
peut trou-
on
mêmes propriétés
K .
L’espace
telle que
X
étant normal et f
f~?
et que
f’~(O)
s.
=
a.
s. , il existe
K’ . Le couple
question.
Remarque. - Il
est minimale.
est
équivalent
de dire que
x
est
une
(0) .
fonction
(f~ ~ ~,)
f
répond
point-frontière
ou
e
à la
que
e
PROPOSITION. -
(f , p)
Soit
e
T
minimale. Il existe alors
avec
un
point-
frontière dans
Démonstration* ’- On construit, par
T
de
récurrence,
d’ éléments
une
telle que
Le compact
.-
K ~ X+ = ~ .
est stable et
Par suite
K
contient
COROLLAIRE. - Soit
toute
par
mesure
..
A
un
point frontière.
Gc
un
minimale. On dit
Anë=~~
tel que
encore
que les
mesures
~(A)==0
alors
minimales sont
pour
pseudo-portées
g s
PROPOSITION. - S’il existe dans
alors l’ensemble
ë
C’
une
points-frontière
des
fonction
est
un
fi telle que
G.
et toute
mesure
minimale est
portée par g ~
En
effet,
par
on a
alors
6
=
(f*)" (0)
=
A.. 1
et toute
mesure
minimale est
portée
.
à
Cette condition est,
en
particulier, révisée lorsque
Cas particulier qui fournirait le théorème de
Choquet. - Soient
X
un convexe
E
un
compact de
espace vectoriel
E .
X
est métrisable.
représentation intégrale de
topologique localement convexe séparée
1-11
Soit
C
des fonctions affines continues dans X .
l’espace vectoriel
Le cône
C
est linéairement
séparant
et les
extrémaux de X 8 Enfin la relation ~~, ~:~
ont même barycentre et même masse totaloo
4. Réciproque du
que dans
Rappelons
Soit alors
(principe
Cela
H
son
Or, d’après
et que
ce
hypothèses figure
alors
/
f
H
conséquent?
la proposition
est
compacta
qui n’est autre
que
compact.
la condition
tel que les conditions
H) 0
que, si l~
est localement
dual. Par
un
compact de X
encore
J!~(H) ~
Mais M(X)
est
un
nos
v ~ équivaut
de
de domination dans
signifie
tout ~ ~
principe
sont les points
à dire que J.l et v
points-frontière
0,
pour
et
convexe
le
0~
on a.
:~~ ~ ~ ~ 0 ~i~
Co
topologie vague, et C(X)
domination signifie que
de
pour la
est fermé
lorsque
Co n (-
donc
l’expression
du
et pour
toute ~ ~
séparé
principe
pour tout a E
principe de balayage dans
H.