Correction DS2

TS - Maths - Correction D.S.2 Samedi 10 octobre 2015 - 3h
Exercice 1 5 points Dérivée et racine
fest une fonction définie sur Rpar f(x)=p2x2−x+1. On considère Cfla courbe représentative de f
dans un repère orthogonal.
1. Justifier que fest définie sur R.
fest définie si et seulement si 2x2−x+1≥0.
On a 2x2−x+1 une expression polynomiale du second degré, on étudie le signe à l’aide du discriminant.
On a ∆=b2−4ac =(−1)2−4×2×1=1−8=−7<0.
Donc il n’y a pas de racines pour l’expression et elle est toujours du signe de a=2>0 c’est à dire
strictement positive. Donc la fonction fest définie sur R.
2. Justifier que fest dérivable puis déterminer sa dérivée.
On a montré que l’expression 2x2−x+1 est strictement positive pour x∈R. Donc fest dérivable sur R
en tant que fonction racine d’une fonction strictement positive.
3. Étudier les variations de fsur R.
On détermine la dérivée de f:
fest de la forme pualors f0=u0
2pu.
Pour x∈R,f0(x)=4x−1
2p2x2−x+1.
On étudie le signe de l’expression f0(x), il dépend uniquement du numérateur car le dénominateur est
positif.
On cherche quand 4x−1>0⇐⇒4x>1⇐⇒ x>1
4.
On obtient le tableau suivant :
Ainsi la fonction fest décroissante sur ¸−∞ ;1
4·et croissante sur ¸1 4;+∞·.
4. Déterminer l’équation de la tangente à Cfparallèle à l’axe des abscisses.
On cherche l’équation d’une tangente parallèle à l’axe des abscisses, elle est donc horizontale et son
coefficient directeur est donc de 0.
Le coefficient directeur d’une tangente à Cfest donné par le nombre dérivé f0(x) où xest l’abscisse du
point de tangence.
On cherche donc à résoudre f0(x)=0, on a pu observer à la question précédente que cela se produit
pour x=1
4.
On détermine alors l’équation de la tangente à Cfau point d’abscisse a=1
4:
T1:y=f0(a)(x−a)+f(a)
On a f0µ1
4¶=0 et f(a)=s2µ1 4¶2
−1
4+1=r2 16 −4 16 +16 16 =r2−4+16 16 =r14 16 =p14 4.
Donc T1:y=p14
4
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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On appelle Tala tangente à Cfpassant par le point A d’abscisse ade Cf. Pour quelle(s) valeur(s) de
a,Tapasse-t-elle par l’origine du repère?
On sait que l’équation de Taest :
y=f0(a)(x−a)+f(a)⇐⇒ y=f0(a)x−a f 0(a)+f(a).
Si Tapasse par l’origine du repère alors on a l’équation suivante :
0=f0(a)×0−a f 0(a)+f(a)⇐⇒0= −a f 0(a)+f(a)
On doit donc résoudre l’équation avec pour inconnue l’abscisse adu point de tangence :
0=−a f 0(a)+f(a)⇐⇒0=−a4a−1
2p2a2−a+1+p2a2−a+1⇐⇒0=−4a2+a 2p2a2−a+1+2(p2a2−a+1)2 2p2a2−a+1
⇐⇒0=−4a2+a+2(2a2−a+1)
2p2a2−a+1⇐⇒0=−4a2+a+4a2−2a+2 2p2a2−a+1⇐⇒0=−a+2 2p2a2−a+1
Le dénominateur est strictement positif, on a juste à résoudre 0 =−a+2⇐⇒ a=2.
Donc la tangente T2au point d’abscisse 2 de Cfest la seule tangente passant par l’origine du repère.
Exercice 2 4 points Vrai-Faux
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
choisie. Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse exacte non justifiée
rapporte 0,25 points. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Proposition 1 : Zoé utilise la voiture un jour sur deux.
On note l’évènement V : «Zoé se rend en voiture au travail »,V:«Zoé se rend à pied au travail », les
évènements P : «il pleut »et P:«il ne pleut pas »qui sont des évènements contraires qui forment ainsi
à eux deux une partition de l’univers. Donc d’après la formule des probabilités totales on a :
P(V)=P(P∩V)+P(P∩V)=P(P)×PP(V)+P(P)×PP(V)
=1
4×80 100 +3 4×0,4 =0,25 ×0,8 +0,75 ×0,4 =0,2 +0,3 =0,5.
Ainsi la probabilité que Zoé utilise la voiture est de 1
2donc la proposition est vraie.
2. Proposition 2 : Pour tous évènements A et B d’une expérience aléatoire, on a :
P(A)=P(A∩B)+P(A∩B)
On a Bet Bqui forment une partition de l’univers de l’expérience aléatoire, donc cette égalité découle
de la formule des probabilités totales.
Donc la proposition est vraie.
3. On considère la fonction fdéfinie sur ]−∞ ; 1[∪]1 ; +∞[par f(x)=µx+1
x−1¶2
.
Proposition 3 : La fonction fest dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[avec pour dérivée
f0(x)=−4x+1
(x−1)3
La fonction fest de la forme un, avec uune fonction rationnelle dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
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Donc fest dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[ en tant que fonction puissance d’une fonction ration-
nelle.
On a alors f0=nu0un−1avec u(x)=x+1
x−1pour x∈]−∞ ; 1[∪]1 ; +∞[.
Et uest de la forme U
Vdonc u0=U0V−UV 0 V2.
Alors pour x∈]−∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ :
u0(x)=1×(x−1) −(x+1) ×1
(x−1)2=x−1−x−1 (x−1)2=−2 (x−1)2.
Ainsi f0(x)=2−2
(x−1)2µx+1 x−1¶=−4x+1 (x−1)3
Donc la proposition est vraie.
4. On considère la fonction fdéfinie sur [3 ; +∞[par f(x)=px2−6x+9.
Proposition 4 : La fonction fest dérivable sur [3 ; +∞[avec pour dérivée
f0(x)=1
2
2x−6
px2−6x+9
On étudie quand l’expression x2−6x+9 est strictement supérieur à 0 pour savoir où la fonction fest
dérivable.
On détermine donc le discriminant associé à ce polynôme de degré 2.
On a ∆=b2−4ac =(−6)2−4×1×9=36 −36 =0.
Il y a donc une seule solution réelle x0=−b
2a=6 2=3.
Donc l’expression x2−6x+9>0 sur ]3 ; +∞[ et est égale à 0 si x=3.
Donc la fonction fn’est pas dérivable en 3. Ainsi fest dérivable sur ]3 ; +∞[.
Donc la proposition est fausse.
Exercice 3 5 points Des huîtres
Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : «la plate »et «la japonaise ».
Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n◦3lorsque leur masse est comprise entre 66 g et 85 g.
Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n◦3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.
1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur.
On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
On considère les événements suivants :
•J : «l’huître prélevée est une huître japonaise »,
•C : «l’huître prélevée est de calibre n◦3».
(a) Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n◦3.
On cherche P(J∩C)=P(J)×PJ(C)=0,15 ×0,1 =0,015.
La probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n◦3 est de 1,5 %.
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(c) Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n◦3est 0,695.
Les évènements Jet Jforment une partition de l’univers donc d’après la formule des probabilités
totales on a :
P(C)=P(J∩C)+P(J∩C)=P(J)×PJ(C)+0, 015 =0, 85 ×0,8 +0, 015 =0, 68 +0,015 =0, 695.
La probabilité d’obtenir une huître de calibre n◦3 est bien de 0,695.
(d) Le service sanitaire a prélevé une huitre de calibre n◦3. Quelle est la probabilité que ce soit une
huître plate ?
On cherche PC(J)=P(J∩C
P(C)=0,015 0,695 '0,022.
2. On choisit au hasard un échantillon de 15 huîtres dans le stock huîtres de cet ostréiculteur.
On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un
tirage avec remise de 15 huîtres dans le stock.
On appelle Xla variable aléatoire qui donne le nombre d’huîtres de calibre n◦3de l’échantillon
choisi.
(a) Justifier que Xsuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On répète 15 fois la même expérience de Bernoulli qui sont indépendantes (car le tirage est avec
remise) ayant pour succès l’huître de calibre n◦3 avec une probabilité de 0,695. Ainsi la variable
aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètres n=15 et p=0,695.
(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 6 huîtres de calibre
n◦3?
On arrondira à 10−3près.
On veut P(X=6) '0,013
On utilise binomFdp(15,0.695,6) avec la Ti ou binomPD(6,15,0.695) pour la casio.
La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 6 huîtres de calibre n◦3 est d’envi-
ron 0,013 .
(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins 9 huîtres de calibre n◦3?
On arrondira à 10−3près.
On veut P(X≥9) =1−P(X≤8) '0,859
On utilise binomFRep(15,0.695,8) ou binomCD(8,15,0.695) pour la casio pour calculer P(X≤8).
La probabilité que cet échantillon comporte au moins 9 huîtres de calibre n◦3 est d’environ 0,859.
(d) Combien peut-on espérer obtenir d’huîtres de calibre n◦3dans cet échantillon ?
L’espérance de Xest égale à np =15 ×0,695 =10, 425.
Donc on peut espérer obtenir environ 10 huîtres de calibre n◦3 dans cet échantillon.
Exercice 4 6 points Dé truqué
Partie 1 : ROC
Pré-requis : Deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants si et seulement si
P(A∩B)=P(A)×P(B).
Montrer que si deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants alors il en est de
même pour Aet B.
Si deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants alors P(A∩B)=P(A)×P(B).
On a Aet Aqui forment une partition de l’univers alors d’après la formule des probabilités totales on a :
P(A∩B)+P(A∩B)=P(B).
Ainsi P(A∩B)=P(B)−P(A∩B)=P(B)−P(A)×P(B)=P(B)(1 −P(A)) =P(B)×P(A).
Donc P(A∩B)=P(B)×P(A).
On a montré que Aet Bsont indépendants.
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Partie 2 : Application
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par pkla probabilité
d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k(kest un entier et 1≤k≤6).
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
la probabilité d’obtenir chaque face est proportionnelle au numéro de la face.
1. Démontrer que pk=k
21 pour tout entier ktel que 1≤k≤6.
On a p2=2p1,p3=3p1,p4=4p1,p5=5p1et p6=6p1c’est à dire pk=kp1pour kentier compris entre
1 et 6.
De plus p1+p2+p3+p4+p5+p6=1⇐⇒ p1+2p1+3p1+4p1+5p1+6p1=1⇐⇒21p1=1⇐⇒ p1=1
21.
Alors puisque pk=kp1pour kentier compris entre 1 et 6 on a :
pk=k
21
.
2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :
A : «le nombre obtenu est pair »
B : «le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 »
C : «le nombre obtenu est 3 ou 4 »
(a) Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.
On a P(A)=2
21 +4 21 +6 21 =12 21 =4 7.
P(B)=3+4+5+6
21 =18 21 =6 7.
P(C)=3+4
21 =7 21 =1 3.
(b) Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair.
On veut PA(B)=P(A∩B)
P(A)=
10
21
12
21
=10
21 ×21 12 =10 12 =5 6.
La probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair est de 5
6.
(c) Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ?
On a P(A∩B)=10
21 et P(A)×P(B)=4 7×6 7=24 49.
On a P(A∩B)=10
21 =70 147 et P(A)×P(B)=24 49 =72 147.
Donc P(A∩B)6=P(A)×P(B), alors les évènements Aet Bne sont pas indépendants.
On a P(A∩C)=4
21 et P(A)×P(C)=4 7×1 3=4 21.
Donc P(A∩C)=P(A)×P(C). Alors les évènements Aet Csont indépendants.
(d) En déduire si les évènements A et Bsont indépendants ou non. De même avec A et C.
On peut déduire que Aet Bne sont pas indépendants car si ils l’étaient d’après la partie Aon
aurait aussi Aet Bqui seraient indépendants ce qui est impossible. Donc Aet Bne sont pas
indépendants.
On a Aet Cindépendants donc d’après la partie 1, Aet Csont indépendants.
3. On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
•d’une urne U1contenant une boule blanche et trois boules noires,
•d’une urne U2contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
•s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1,
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