Correction DS2

TS - Maths - Correction D.S.2
Exercice 1
5 points
f est une fonction définie sur R par f (x) =
dans un repère orthogonal.
Samedi 10 octobre 2015 - 3h
Dérivée et racine
p
2x 2 − x + 1. On considère C f la courbe représentative de f
1. Justifier que f est définie sur R.
f est définie si et seulement si 2x 2 − x + 1 ≥ 0.
On a 2x 2 −x+1 une expression polynomiale du second degré, on étudie le signe à l’aide du discriminant.
On a ∆ = b 2 − 4ac = (−1)2 − 4 × 2 × 1 = 1 − 8 = −7 < 0.
Donc il n’y a pas de racines pour l’expression et elle est toujours du signe de a = 2 > 0 c’est à dire
strictement positive. Donc la fonction f est définie sur R.
2. Justifier que f est dérivable puis déterminer sa dérivée.
On a montré que l’expression 2x 2 − x + 1 est strictement positive pour x ∈ R. Donc f est dérivable sur R
en tant que fonction racine d’une fonction strictement positive.
3. Étudier les variations de f sur R.
On détermine la dérivée de f :
p
u0
0
f est de la forme u alors f = p .
2 u
4x − 1
0
.
Pour x ∈ R, f (x) = p
2 2x 2 − x + 1
On étudie le signe de l’expression f 0 (x), il dépend uniquement du numérateur car le dénominateur est
positif.
1
On cherche quand 4x − 1 > 0 ⇐⇒ 4x > 1 ⇐⇒ x > .
4
On obtient le tableau suivant :
¸
·
¸
·
1
1
Ainsi la fonction f est décroissante sur −∞ ;
et croissante sur
; +∞ .
4
4
4. Déterminer l’équation de la tangente à C f parallèle à l’axe des abscisses.
On cherche l’équation d’une tangente parallèle à l’axe des abscisses, elle est donc horizontale et son
coefficient directeur est donc de 0.
Le coefficient directeur d’une tangente à C f est donné par le nombre dérivé f 0 (x) où x est l’abscisse du
point de tangence.
On cherche donc à résoudre f 0 (x) = 0, on a pu observer à la question précédente que cela se produit
1
pour x = .
4
1
On détermine alors l’équation de la tangente à C f au point d’abscisse a = :
4
T1 : y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
s µ ¶
p
r
r
r
µ ¶
1
1 2 1
2
4 16
2 − 4 + 16
14
14
0
= 0 et f (a) = 2
− +1 =
−
+
=
=
=
.
On a f
4
4
4
16 16 16
16
16
4
p
14
Donc T1 : y =
4
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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On appelle T a la tangente à C f passant par le point A d’abscisse a de C f . Pour quelle(s) valeur(s) de
a, T a passe-t-elle par l’origine du repère ?
On sait que l’équation de T a est :
y = f 0 (a)(x − a) + f (a) ⇐⇒ y = f 0 (a)x − a f 0 (a) + f (a).
Si T a passe par l’origine du repère alors on a l’équation suivante :
0 = f 0 (a) × 0 − a f 0 (a) + f (a) ⇐⇒ 0 = −a f 0 (a) + f (a)
On doit donc résoudre l’équation avec pour inconnue l’abscisse a du point de tangence
p:
2
p
−4a + a
2( 2a 2 − a + 1)2
4a − 1
+ 2a 2 − a + 1 ⇐⇒ 0 = p
+ p
0 = −a f 0 (a) + f (a) ⇐⇒ 0 = −a p
2 2a 2 − a + 1
2 2a 2 − a + 1
2 2a 2 − a + 1
2
2
2
2
−4a + a + 4a − 2a + 2
−a + 2
−4a + a + 2(2a − a + 1)
⇐⇒ 0 =
⇐⇒ 0 = p
⇐⇒ 0 =
p
p
2 2a 2 − a + 1
2 2a 2 − a + 1
2 2a 2 − a + 1
Le dénominateur est strictement positif, on a juste à résoudre 0 = −a + 2 ⇐⇒ a = 2.
Donc la tangente T2 au point d’abscisse 2 de C f est la seule tangente passant par l’origine du repère.
Exercice 2
4 points
Vrai-Faux
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
choisie. Il est attribué 1 point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse exacte non justifiée
rapporte 0,25 points. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Proposition 1 : Zoé utilise la voiture un jour sur deux.
On note l’évènement V : « Zoé se rend en voiture au travail », V : « Zoé se rend à pied au travail », les
évènements P : « il pleut »et P : « il ne pleut pas »qui sont des évènements contraires qui forment ainsi
à eux deux une partition de l’univers. Donc d’après la formule des probabilités totales on a :
P (V ) = P (P ∩ V ) + P (P ∩ V ) = P (P ) × P P (V ) + P (P ) × P P (V )
1 80 3
= ×
+ × 0, 4 = 0, 25 × 0, 8 + 0, 75 × 0, 4 = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5.
4 100 4
Ainsi la probabilité que Zoé utilise la voiture est de
1
donc la proposition est vraie.
2
2. Proposition 2 : Pour tous évènements A et B d’une expérience aléatoire, on a :
P (A) = P (A ∩ B ) + P (A ∩ B )
On a B et B qui forment une partition de l’univers de l’expérience aléatoire, donc cette égalité découle
de la formule des probabilités totales.
Donc la proposition est vraie.
µ
¶
x +1 2
3. On considère la fonction f définie sur ] − ∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ par f (x) =
.
x −1
Proposition 3 : La fonction f est dérivable sur ] − ∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[ avec pour dérivée
f 0 (x) = −4
x +1
(x − 1)3
La fonction f est de la forme u n , avec u une fonction rationnelle dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
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Donc f est dérivable sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[ en tant que fonction puissance d’une fonction rationnelle.
x +1
pour x ∈] − ∞ ; 1[∪]1 ; +∞[.
On a alors f 0 = nu 0 u n−1 avec u(x) =
x −1
U
U 0V −UV 0
Et u est de la forme
donc u 0 =
.
V
V2
Alors pour x ∈] − ∞ ; 1[∪]1 ; +∞[ :
1 × (x − 1) − (x + 1) × 1 x − 1 − x − 1
−2
u 0 (x) =
=
=
.
2
2
(x − 1) µ
(x − 1)
(x − 1)2
¶
−2
x +1
x +1
Ainsi f 0 (x) = 2
= −4
2
(x − 1) x − 1
(x − 1)3
Donc la proposition est vraie.
p
4. On considère la fonction f définie sur [3 ; +∞[ par f (x) = x 2 − 6x + 9.
Proposition 4 : La fonction f est dérivable sur [3 ; +∞[ avec pour dérivée
f 0 (x) =
2x − 6
1
p
2 x 2 − 6x + 9
On étudie quand l’expression x 2 − 6x + 9 est strictement supérieur à 0 pour savoir où la fonction f est
dérivable.
On détermine donc le discriminant associé à ce polynôme de degré 2.
On a ∆ = b 2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0.
−b 6
= = 3.
Il y a donc une seule solution réelle x 0 =
2a 2
Donc l’expression x 2 − 6x + 9 > 0 sur ]3 ; +∞[ et est égale à 0 si x = 3.
Donc la fonction f n’est pas dérivable en 3. Ainsi f est dérivable sur ]3 ; +∞[.
Donc la proposition est fausse.
Exercice 3
5 points
Des huîtres
Un ostréiculteur élève deux espèces d’huîtres : « la plate »et « la japonaise ».
Chaque année, les huîtres plates représentent 15 % de sa production.
Les huîtres sont dites de calibre n ◦ 3 lorsque leur masse est comprise entre 66 g et 85 g.
Seulement 10 % des huîtres plates sont de calibre n ◦ 3, alors que 80 % des huîtres japonaises le sont.
1. Le service sanitaire prélève une huître au hasard dans la production de l’ostréiculteur.
On suppose que toutes les huîtres ont la même chance d’être choisies.
On considère les événements suivants :
• J : « l’huître prélevée est une huître japonaise »,
• C : « l’huître prélevée est de calibre n ◦ 3 ».
(a) Construire un arbre pondéré modélisant la situation.
(b) Calculer la probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n ◦ 3.
On cherche P (J ∩C ) = P (J ) × P J (C ) = 0, 15 × 0, 1 = 0, 015.
La probabilité que l’huître prélevée soit une huître plate de calibre n ◦ 3 est de 1,5 %.
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(c) Justifier que la probabilité d’obtenir une huître de calibre n ◦ 3 est 0,695.
Les évènements J et J forment une partition de l’univers donc d’après la formule des probabilités
totales on a :
P (C ) = P (J ∩C ) + P (J ∩C ) = P (J ) × P J (C ) + 0, 015 = 0, 85 × 0, 8 + 0, 015 = 0, 68 + 0, 015 = 0, 695.
La probabilité d’obtenir une huître de calibre n ◦ 3 est bien de 0,695.
(d) Le service sanitaire a prélevé une huitre de calibre n ◦ 3. Quelle est la probabilité que ce soit une
huître plate ?
P (J ∩C 0, 015
=
' 0, 022.
On cherche PC (J ) =
P (C )
0, 695
2. On choisit au hasard un échantillon de 15 huîtres dans le stock huîtres de cet ostréiculteur.
On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un
tirage avec remise de 15 huîtres dans le stock.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre d’huîtres de calibre n ◦ 3 de l’échantillon
choisi.
(a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On répète 15 fois la même expérience de Bernoulli qui sont indépendantes (car le tirage est avec
remise) ayant pour succès l’huître de calibre n ◦ 3 avec une probabilité de 0,695. Ainsi la variable
aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 15 et p = 0, 695.
(b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 6 huîtres de calibre
n◦3 ?
On arrondira à 10−3 près.
On veut P (X = 6) ' 0, 013
On utilise binomFdp(15,0.695,6) avec la Ti ou binomPD(6,15,0.695) pour la casio.
La probabilité que l’échantillon prélevé comporte exactement 6 huîtres de calibre n ◦ 3 est d’environ 0,013 .
(c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins 9 huîtres de calibre n ◦ 3 ?
On arrondira à 10−3 près.
On veut P (X ≥ 9) = 1 − P (X ≤ 8) ' 0, 859
On utilise binomFRep(15,0.695,8) ou binomCD(8,15,0.695) pour la casio pour calculer P (X ≤ 8).
La probabilité que cet échantillon comporte au moins 9 huîtres de calibre n ◦ 3 est d’environ 0,859.
(d) Combien peut-on espérer obtenir d’huîtres de calibre n ◦ 3 dans cet échantillon ?
L’espérance de X est égale à np = 15 × 0, 695 = 10, 425.
Donc on peut espérer obtenir environ 10 huîtres de calibre n ◦ 3 dans cet échantillon.
Exercice 4
6 points
Dé truqué
Partie 1 : ROC
Pré-requis : Deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants si et seulement si
P (A ∩ B ) = P (A) × P (B ).
Montrer que si deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants alors il en est de
même pour A et B.
Si deux évènements A et B d’une expérience aléatoire sont indépendants alors P (A ∩ B ) = P (A) × P (B ).
On a A et A qui forment une partition de l’univers alors d’après la formule des probabilités totales on a :
P (A ∩ B ) + P (A ∩ B ) = P (B ).
Ainsi P (A ∩ B ) = P (B ) − P (A ∩ B ) = P (B ) − P (A) × P (B ) = P (B )(1 − P (A)) = P (B ) × P (A).
Donc P (A ∩ B ) = P (B ) × P (A).
On a montré que A et B sont indépendants.
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Partie 2 : Application
On dispose d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On désigne par p k la probabilité
d’obtenir, lors d’un lancer, la face numérotée k (k est un entier et 1 ≤ k ≤ 6).
Ce dé a été pipé de telle sorte que :
la probabilité d’obtenir chaque face est proportionnelle au numéro de la face.
k
pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ 6.
1. Démontrer que p k =
21
On a p 2 = 2p 1 , p 3 = 3p 1 , p 4 = 4p 1 , p 5 = 5p 1 et p 6 = 6p 1 c’est à dire p k = kp 1 pour k entier compris entre
1 et 6.
1
De plus p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1 ⇐⇒ p 1 +2p 1 +3p 1+4p 1 +5p 1 +6p 1 = 1 ⇐⇒ 21p 1 = 1 ⇐⇒ p 1 = .
21
Alors puisque p k = kp 1 pour k entier compris entre 1 et 6 on a :
pk =
k
21
.
2. On lance ce dé une fois et on considère les évènements suivants :
A : « le nombre obtenu est pair »
B : « le nombre obtenu est supérieur ou égal à 3 »
C : « le nombre obtenu est 3 ou 4 »
(a) Calculer la probabilité de chacun de ces évènements.
4
6
12 4
2
+
+
=
= .
On a P (A) =
21 21 21 21 7
3 + 4 + 5 + 6 18 6
P (B ) =
=
= .
21
21 7
3+4
7
1
P (C ) =
=
= .
21
21 3
(b) Calculer la probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair.
10
P (A ∩ B ) 21 10 21 10 5
On veut P A (B ) =
=
×
=
= .
=
12 21 12 12 6
P (A)
21
5
La probabilité que le nombre obtenu soit supérieur ou égal à 3 sachant qu’il est pair est de .
6
(c) Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C sont-ils indépendants ?
10
4 6 24
On a P (A ∩ B ) =
et P (A) × P (B ) = × = .
21
7 7 49
70
24
72
10
=
et P (A) × P (B ) =
=
.
On a P (A ∩ B ) =
21 147
49 147
Donc P (A ∩ B ) 6= P (A) × P (B ), alors les évènements A et B ne sont pas indépendants.
4 1
4
4
et P (A) × P (C ) = × = .
On a P (A ∩C ) =
21
7 3 21
Donc P (A ∩C ) = P (A) × P (C ). Alors les évènements A et C sont indépendants.
(d) En déduire si les évènements A et B sont indépendants ou non. De même avec A et C .
On peut déduire que A et B ne sont pas indépendants car si ils l’étaient d’après la partie A on
aurait aussi A et B qui seraient indépendants ce qui est impossible. Donc A et B ne sont pas
indépendants.
On a A et C indépendants donc d’après la partie 1, A et C sont indépendants.
3. On utilise ce dé pour un jeu. On dispose :
• d’une urne U1 contenant une boule blanche et trois boules noires,
• d’une urne U2 contenant deux boules blanches et une boule noire.
Le joueur lance le dé :
• s’il obtient un nombre pair, il extrait au hasard une boule de l’urne U1 ,
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• s’il obtient un nombre impair, il extrait au hasard une boule de l’urne U2 .
On suppose que les boules sont indiscernables au toucher et le joueur est déclaré gagnant lorsqu’il
tire une boule blanche, on note G cet évènement.
(a) Déterminer la probabilité de l’évènement G ∩ A puis celle de G.
G∩A correspond à l’évènement « le nombre obtenu sur le dé est pair et on tire une boule blanche ».
4 1 1
On a alors P (G ∩ A) = P (A) × P A (G) = × = .
7 4 7
On a A et A qui forment une partition de l’univers alors d’après la formule des probabilités totales
on a :
1
1 3 2 1 2 3
P (G) = P (G ∩ A) + P (G ∩ A) = + P (A) × P A (G) = + × = + = .
7
7 7 3 7 7 7
3
La probabilité que le joueur gagne est donc de .
7
(b) Le joueur est gagnant. Déterminer la probabilité qu’il est obtenu un nombre pair lors du lancer
du dé.
1
P (G ∩ A) 7 1 7 1
= = × = .
On veut PG (A) =
3 7 3 3
P (G)
7
1
La probabilité qu’il est obtenu un nombre pair lors du lancer du dé sachant qu’il a gagné est de .
3
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