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leçon 37 d'Oral 1 du Capes de maths : relations métriques, triangle rectangle
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LEÇON 37 : R ELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE . T RIGONOMÉTRIE .
A PPLICATIONS
Niveau : Collège (4
ème
- 3
ème
) (En 4
ème
, on se limite à la définition du cosinus)
(mais alors les preuves doivent s'effecteur sans le produit scalaire (niveau 1
ère
)
Prérequis :
i) Notion de distances et notion d'orthogonalité (à l'équerre)
ii) Notion d'angles géométriques (en particulier angles aigus, obtus et complémentaires)
iii) Triangles : Droites remarquables : hauteurs (médianes, médiatrices et bissectrices)
Cercle circonscrit à un triangle
Somme des angles (les angles considérés étant géométriques i.e. appartenant à [0, ] ou [0, 180°])
Cas particulier du triangle équilatéral
iv) Caractérisation d'un parallélogramme par ses diagonales (sécantes en leur milieu) : carré et rectangle
v) (Aire d'un rectangle)
On se place dans plan affine (associé au plan vectoriel ) muni d'une distance.
On considérera, dans toute la leçon, un triangle ABC non aplati (i.e. A, B et C non alignés).
I. Relations métriques
Définition :
Un triangle ABC est rectangle en A si les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Si c'est le cas, le côté [BC] sera appelé l'hypoténuse du triangle ABC.
Proposition 1 :
L'aire d'un triangle rectangle en A est S = AB × AC (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle).
Démonstration : Soit A' le symétrique de A par rapport à I.
Par construction, BACA' est un parallélogramme (car les diagonales se coupent en leur milieu).
Ainsi, ABC est rectangle en A ssi BACA' est un rectangle (un rectangle étant un parallélogramme ayant un angle droit)
donc ABC est rectangle en A ssi 2AI = BC (un rectangle étant un parallélogramme dont les diagonales ont même
longueur)
Proposition 2 : Caractérisation :
Le triangle ABC est rectangle en A 2AI = BC où I est le milieu de [BC]
A est sur le cercle de diamètre [BC]
(c'est le Théorème de l'angle droit (cas particulier du Theorème de l'angle inscrit))
Démonstration : On a, avec I milieu de [BC], BC = BI + IC = 2BI.
Ainsi, ABC est rectangle en A ssi AI = BI
i.e. ssi A (I, BI), cercle de diamètre [BC].
Remarque : Via le produit scalaire, la démonstration est immédiate avec :
Théorème : Théorème de Pythagore et sa réciproque
ABC est rectangle en A ssi BC² = AB² + AC² (i.e. le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des 2 autres
côtés)
Démonstration :

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i) Si ABC est rectangle en A :
On considère un carré de côté AB + AC tel que A, B, C
Puis le carré CBC'B' inscrit dans
Le calcul de l'aire de par 2 méthodes différentes nous donne :
(somme des aires du carré inscrit et des 4 triangles rectangles)
Ainsi, en développant le membre de droite, il vient par identification AB² +AC² = BC² et le résultat.
ii) Réciproquement, si BC² = AB² +AC²
Soit H le pied de la hauteur issue de A et A' le point d'intersection de [HA) et du cercle de diamètre [BC].
Le triangle A'BC est rectangle en A' d'après la proposition 1, donc on a BC² = A'B² + A'C².
Or ABH, ACH et A'BH, A'CH sont rectangles en H, ainsi en appliquant le théorème de Pythagore, l'égalité AB² + AC² =
A'B² +A'C² se résume à 2AH² = 2A'H².
D'où AH = A'H, i.e. A = A' et ABC rectangle en A (Proposition 2).
Remarque : Ici encore, la démonstration est plus simple via le produit scalaire.
En effet, on a (par symétrie du produit scalaire)
Ainsi, i.e. ABC rectangle en A.
Remarque :
i) Le théorème de Pythagore nous permet en connaissant deux longueurs des côtés d'en déterminer la troisième.
ii) De plus, l'hypothénuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle
Proposition 3 : Relations métriques :
On note H le pied de la hauteur issue de A. On suppose de plus H ]BC[, alors :
i) ABC est rectangle en A BC × AH = AB × AC (Formules des aires)
ii) ABC est rectangle en A BA² = BH × BC
CA² = CH × CB
iii) ABC est rectangle en A AH² = BH × HC
Démonstration :
i) L'aire de ABC est S = Base × hauteur = BC × AH (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle)
Et si ABC est rectangle en A, S = AB × AC (car (AB) est la hauteur issue de B ou (AC) celle issue de C)
Ainsi, par identification, on a bien BC × AH = AB × AC (Formules des aires).
Réciproquement, si BC × AH = AB × AC, l'aire du triangle ABC est donc S = BC × AH = AB × AC
Mais on a également, S = AB × CH' où H' est le pied de la hauteur issue de C.
D'où nécessairement, AC = H'C i.e. H' = A avec A, B, H' alignés
donc (AC) (AB) et ABC est rectangle en A.
ii) Si ABC est rectangle en A, on a :
BA² = BC² - AC² par le théorème de Pythagore
BA² = BC² - (AH² + HC²) avec ACH rectangle en H et Pythagore
BA² = BC² - (AB² - BH² + HC²) avec ABH rectangle en H
D'où 2AB² = BC² + BH² - CH²
Or B,C et H étant alignés, on a BC² = (BH + HC)² où H ]BC[
donc, il vient 2AB² = 2BH² + 2BH × HC = 2BH(BH + HC) = 2BH × HC > 0
(Les mesures algébriques nous assurant que H ]BC[)
La réciproque s'obtient alors en remontant les calculs (avec H ]BC[)
De plus, B et C jouant des rôles arbitraires, on obtient par permutation la seconde équivalence.
iii) Semblable à ii)
Si ABC est rectangle en A, on a BC² = AB² + AC² par le théorème de Pythagore
avec ABH et ACH rectangles en H
De même, on a BC² =(BH + HC)² = BH² + HC² + 2BH × HC (avec B, C et H alignés)

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D'où par identification AH² = BH × HC
Et réciproquement, en remontant les calculs.
Remarque : Les propriétés sont encore vraies avec des mesures algébriques (Hors-programme Collège). Démonstration
identique par le produit scalaire en remplaçant les mesures algébriques par des vecteurs avec ssi
et sont colinéaires.
II. Trigonométrie
Proposition 4 : (Egalité de trois rapports) (Proportionnalité - Thalès dans un cas particulier)
Soit ABC un triangle rectangle en A
Soit A' [AB], C' [BC] tel que (A'C') //(AC)
Alors
En particulier, les rapports sont indépendants de la longueur des côtés.
Démonstration : Posons BC = xBC' et AB = yBA'
Par Pythagore, on a BC² = AB² + AC² d'où x²BC'² = y²BA'² + AC²
et BC'² = A'B² + A'C'² d'où x²BC'² = x²BA'² + x²A'C'²
et l'égalité y²BA'² + AC² = x²BA'² + x²A'C'² (*)
D'autre part, en calculant l'aire du triangle ABC de deux manières, on a :
d'où A'C' × AB = AC × A'B i.e. A'C' × yBA' = AC × A'B et AC = yA'C'
Enfin, avec (*), on obtient y²BA'² + y²A'C'² = x²BA'² + x²A'C'², i.e. x = y
Ainsi, .
D'où le résultat.
En particulier,
ce qui prouve que le rapport est indépendant de la longueur des côtés.
Donc les rapports sont indépendants de la longueur des côtés et ne dépendent que de l'angle .
(l'angle étant lui-même fonction de l'angle , avec = 180° i.e. = 90° puisque par hypothèse
l'angle est droit).
Définition :
On définit, dans un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu par
les formules suivantes :
Remarques :
i) La définition est légitimée par la proposition 4 (les rapports sont indépendants de la longueur des côtés et ne
dépendent que de l'angle)
ii) Ainsi, dans un triangle rectangle la connaissance d'une longueur et d'un angle ou de deux longueurs nous permet de
déterminer les trois longueurs et les trois angles, i.e. de déterminer complètement un (unique) triangle.
Proposition 5 :
Pour tout angle (géométrique) aigu , on a les propriétés suivantes :

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iii) Lorsque les angles et sont complémentaires, i.e. = 90° (ce qui est le cas ici), on a
i.e. et
Démonstration :
i) Par définition, dans un triangle rectangle en A, on
ii) Dans ABC rectangle en A, on a
avec BC² = AB² + AC² d'après le théorème de Pythagore
iii) Dans ABC rectangle en A, on a
et en échangeant les rôles de B et C, on a d'où le résultat.
Proposition 6 : Valeurs remarquables
Démonstration :
i) On se place dans un triangle équilatéral de côté 1, puis on considère le triangle ABH rectangle en H où H est le pied
de la hauteur issue de A.
On a et
et
Ce qui nous donne la 1
ère
et la 3
ème
colonne (par complémentarité).
ii) On se place dans un carré ABCD de côté 1, puis on considère le triangle isocèle ABC rectangle en B.
On a = 45° et
Ce qui prouve la seconde colonne.
III. Applications
1. Spirale des racines des entiers
Le Théorème de Pythagore permet de construire à la règle et au compas la racine d'un entier donné (de proche en
proche).
2. Construction de (à la règle et au compas) pour une longueur x donnée
(en utilisant la proposition 3-iii), i.e. AH² = BH × HC)
On considère trois points B, H, C alignés dans cet ordre tel que BH = 1 et HC = x.
Soit le point A tel que ABC est un triangle rectangle et H est le projeté de A sur [BC],
i.e. A est situé à l'intersection du cercle de diamètre [BC] et de la perpendiculaire à (BC) passant par H.
On a alors AH² = BH × HC (d'après la proposition 3-iii)), d'où AH =
Remarque : Ce résultat se démontre également, en appliquant trois fois le théorème de Pythagore dans ABH, ACH et

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ABC avec la même configuration.
Application : Construction d'un carré de même aire qu'un rectangle donné.
On considère les mêmes données avec BH = L et HC = l.
D'où AH² = L × l et c = AH est la longueur du côté du carré cherché.
3. Topographie
Déterminer la hauteur d'un immeuble (ou d'un phare) par des mesures de longueurs et d'angles.
On considère la figure ci-contre avec , et AB connus.
Par définition de la tangente, on a (dans AIH)
Or A,B et H étant alignés dans cet ordre, on a AH = AB + BH,
donc
d'où
i.e.
4. Construction d'une tangente à un cercle passant par un point donné extérieur au
cercle
On se donne un cercle de centre O et un point M extérieur au cercle.
On construit le cercle de diamètre [OM]
et on considère les points T et T' intersection de ces deux cercles (non vide).
La proposition 2 nous assure alors que les triangles OMT et OMT' sont rectangles en T et T' car inscrits dans le cercle
de diamètre [OM].
Ainsi, (OT) (TM) et (OT') (T'M)
i.e. (TM) et (T'M) sont les deux tangentes au cercle passant par M.
IV. Compléments
Remarque : On a défini dans la partie II, le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu (0 < < 90°).
On va étendre maintenant la notion de sinus pour un angle nul, droit (90°), obtus ( 90° < < 180°) et plat.
Définition :
On pose :
si est l'angle nul.
si est l'angle droit
et si est un angle obtus (90° < < 180°).
Remarques :
i) On a immédiatement sin(180°) = sin 0° = 0, i.e. le sinus d'un angle plat est nul.
ii) On peut également définir le cosinus d'un angle obtus par
ou encore le cosinus et le sinus d'un angle obtus avec et
Proposition 7 :
Soit ABC un triangle quelconque. On note a = BC, b = AC et c = AB.
i) où S est l'aire du triangle ABC