exercices d - Irma - Université de Strasbourg

CENT CINQUANTE-SEPT EXERCICES D’ALGÈBRE
POUR LE SIXIÈME SEMESTRE
DE LA LICENCE DE MATHÉMATIQUES
2012–2013
Michèle Audin
1. Anneaux, morphismes et idéaux
Anneaux(1).
Exercice 1.1. Déterminer toutes les structures d’anneaux possibles sur les ensembles à deux et trois
éléments.
Exercice 1.2. On considère le groupe additif (Z/4Z,+). On suppose que ?est une multiplication sur ce
groupe qui est commutative, associative, et distributive sur l’addition. L’élément 2peut-il être élément
neutre de ?? Déterminer toutes les structures d’anneau sur Z/4Z.
Exercice 1.3. Combien d’anneaux commutatifs (unitaires) y a-t-il, à isomorphisme près, de cardinal n,
pour 0≤n≤6?
Exercice 1.4. Soit Aun anneau (commutatif mais pas nécessairement unitaire). On munit B=A×Z
des lois
(a, m)+(b, n)=(a+b, m +n)et (a, m)·(b, n)=(mb +na +ab, mn).
Montrer que Best un anneau (commutatif et unitaire).
Sous-anneaux.
Exercice 1.5. Est-ce que {−1,0,1}est un sous-anneau de Z?
Exercice 1.6. Quels sont les sous-anneaux de Z? Ceux de Z/n ?
Morphismes.
Exercice 1.7. L’application f:R[X]→Rdéfinie par P7→ P0(0) est-elle un homomorphisme d’an-
neaux ? Et l’application
g:R[X]−−−→ M(2; R)
P7−−−→ P(0) P0(0)
0P(0)?
Exercice 1.8. Montrer qu’il n’existe pas de morphisme d’anneau de Z/3Zdans Z/4Z.
Exercice 1.9. Soient Aet A0deux anneaux et A×A0l’anneau produit (avec les deux lois
(a, a0)+(b, b0)=(a+b, a0+b0) (a, a0)(b, b0)=(aa0, bb0)).
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des homomorphismes d’anneaux ?
(1) A→A×A0,a7→ (a, 0)
(2) A→A×A,a7→ (a, a)
(3) A×A0→A,(a, a0)7→ a
(4) A×A→A,(a, a0)7→ aa0
(5) A×A→A,(a, a0)7→ a+a0
(1)Sauf mention explicite du contraire, tous les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires. Les intertitres sont
indicatifs. Les quarante-cinq premiers exercices de cette liste sont à considérer comme des révisions du cours du semestre 5.

2MICHÈLE AUDIN
Exercice 1.10 (L’homomorphisme de Frobenius)
Soit Aun anneau de caractéristique p. Montrer que l’application
de Adans lui-même définie par a7→ apest un homomorphisme
d’anneaux.
Exercice 1.11. Soit Aun anneau (pas nécessairement unitaire).
Montrer que (End(A, +),+,◦)est un anneau (en général pas
commutatif). Pour tout élément ade A, notons mal’application
x7→ ax de Adans A.
(1) Montrer que l’application A→End(A, +),a7→ ma, est un
morphisme d’anneaux.
(2) Montrer que si Aest unitaire, ce morphisme est injectif.
(3) Donner des exemples où le morphisme A→End(A, +) dé-
fini ci-dessus est un isomorphisme, et d’autres où il n’en est pas
un. Georg Frobenius
(1849–1917)
Unités.
Exercice 1.12. Soient Aun anneau, aet bdans A. Montrer que ab est inversible si et seulement si aet
ble sont.
Exercice 1.13. Pour tout entier navec 0≤n≤12, faire la liste des éléments inversibles de Z/nZ, et
de leurs inverses. Dans chacun des cas, identifier le groupe des éléments inversibles.
Exercice 1.14. On considère l’ensemble Z[i]des nombres complexes de la forme a+ib avec a, b ∈Z.
Montrer que Z[i]est un sous-anneau de C. Quelles sont ses unités ?
Exercice 1.15. Soit Aun anneau. Un élément xde Aest dit nilpotent s’il existe un entier n > 0tel que
xn= 0. Soit xdans A. Montrer que si xest nilpotent, alors 1−xest inversible (indication : calculer
le produit (1 −x)(1 + x+x2+···)).
Exercice 1.16. Soit Ale sous-anneau (unitaire) de Cengendré par 2i. Montrer que Aest l’ensemble
des a+ 2bi avec aet bdes entiers. Faire la liste des éléments de A×.
Exercice 1.17. Soit n∈Z. Rappeler quelles sont les unités de Z/nZ. Montrer que l’application
Aut(Z/nZ,+) −−−→ Z/nZ
f7−−−→ f(1 mod n)
induit un isomorphisme du groupe (Aut(Z/nZ,+),◦)sur le groupe (Z/nZ)×des éléments inversibles
de l’anneau Z/nZ.
Intégrité, corps des fractions.
Exercice 1.18. On considère, comme dans l’exercice 1.9, un anneau produit A×A0. Est-il intègre ?
Exercice 1.19 (Anneaux de Boole). On dit qu’un anneau Aest un anneau de Boole si, pour tout x∈A,
on a x2=x. On ne suppose pas ici a priori que Aest commutatif, ni qu’il est unitaire.
(1) Vérifier que (Z/2Z,+,×)est un anneau de Boole.
(2) Soit Eun ensemble. On note P(E)l’ensemble des parties de E. On appelle ∆la différence
symétrique
A∆B=A∪B−A∩B.
Vérifier que (P(E),∆,∩)est un anneau de Boole.
(3) Soit Aun anneau de Boole. Montrer que l’on a x+x= 0 pour tout x∈A.
(4) Montrer que tout anneau de Boole est commutatif.
(5) Soit Aun anneau de Boole. Soient xet ydes éléments de A. Calculer xy(x+y). En déduire
qu’un anneau de Boole ayant au moins trois éléments ne peut pas être intègre.

EXERCICES D’ALGÈBRE 3
Exercice 1.20. Soit Xun ensemble. On considère l’ensemble
F(X) = {f:X→R}
de toutes les applications de Xdans R, muni des lois +et ·induites par celles de R. Vérifier que
(F(X),+,·)est un anneau. À quelle condition est-il intègre ?
Exercice 1.21. Soit Aun anneau fini. Montrer que tout élément qui n’est pas diviseur de zéro est
inversible. Et si on ne suppose pas que Aest fini ?
Exercice 1.22. Un anneau fini est un corps si et seulement si il est intègre.
Exercice 1.23. Existe-t-il un anneau intègre à dix éléments ?
Exercice 1.24 (Propriété universelle du corps des fractions). Soient Aun anneau intègre et Kson corps
des fractions. On suppose que ϕ:A→Fest un homomorphisme injectif de Adans un corps F.
Montrer qu’il existe un unique homomorphisme de corps Φ : K→Fqui prolonge ϕ(en d’autres
termes, qui forme un diagramme commutatif comme ci-dessous).
A//
ϕ
K
Φ
F
Exercice 1.25 (Localisation). Soit Aun anneau intègre. On considère une partie Sde Aqui ne contient
pas 0et qui est stable par multiplication (on dit que Sest une partie multiplicative de A). On appelle
S-fraction toute fraction d’éléments de Adont le dénominateur est dans S(c’est-à-dire les a/b,a∈A,
b∈S). Montrer que les classes d’équivalence des S-fractions forment un sous-anneau du corps des
fractions de A. Voir aussi les exercices 1.42 et 2.16.
Exercice 1.26 (avec de la topologie). Soit C(R,R)l’anneau des applications continues de Rdans R.
Montrer que les diviseurs de zéro dans C(R,R)sont les f:R→Rtelles que f−1(0) est d’intérieur
non vide.
Exercice 1.27 (avec de l’analyse complexe). Soit U⊂Cun ouvert, et soit Al’anneau des fonctions
holomorphes f:U→C. Montrer que Aest intègre si et seulement si Uest connexe et non vide.
Idéaux.
Exercice 1.28. Soit Aun anneau (commutatif). Soit Iun idéal de A. Montrer que les conditions
suivantes sont équivalentes :
(1) I=A;
(2) Icontient un élément inversible de A.
Exercice 1.29. Montrer que l’anneau commutatif Aest un corps si et seulement si il ne possède pas
d’autre idéal que Aet {0}.
Exercice 1.30. Soit Aun anneau commutatif intègre. Soient aet bdes éléments non nuls de A. On
note (a)(resp. (b)) l’idéal de Aengendré par a(resp. b). Montrer que les conditions suivantes sont
équivalentes :
(1) on a (a)=(b);
(2) il existe un élément inversible u∈Atel que a=ub.
Exercice 1.31. Montrer que l’ensemble
I={P∈Z[X]|P(0) est divisible par 5}
est un idéal de l’anneau Z[X]et que cet idéal n’est pas principal.

4MICHÈLE AUDIN
Exercice 1.32. Soient Iet Jdeux idéaux d’un anneau commutatif (A, +,·). On définit une partie I+J
de Apar
I+J={b+c|b∈Iet c∈J}.
Montrer que I+Jet I∩Jsont des idéaux de A. Qu’en est-il de I∪J? Et de l’ensemble des produits
xy, avec x∈I,y∈J? On définit
IJ =(a∈A| ∃n∈N,∃x1, . . . , xn∈I,∃y1, . . . , yn∈J|a=
n
X
i=1
xiyi).
Montrer que IJ est un idéal, que IJ ⊂I∩J. A-t-on égalité ? Et si on suppose que I+J=A?
On suppose que A=Z, que I= (m)et que J= (n). Déterminer deux éléments ret sde Ztels que
I+J= (r)et I∩J= (s).
Exercice 1.33. Montrer que tout anneau commutatif intègre fini non nul est un corps(2).
Exercice 1.34. Soit Aun anneau commutatif. On note Nl’ensemble des éléments nilpotents de A(voir
l’exercice 1.15). Montrer que Nest un idéal de A. Déterminer Npour A=Z/12,A=Z/n,A=Z.
Exercice 1.35. Soient Iet Jdeux idéaux d’un anneau A. Montrer que la classe d’un élément de I∩J
dans A/IJ est nilpotente.
Exercice 1.36 (Radical). Soit Aun anneau commutatif. On appelle radical d’un idéal Ide Al’ensemble
noté R(I)formé des x∈Atels qu’il existe un entier n≥1vérifiant xn∈I.
(1) Soit Iun idéal de A. Montrer que R(I)est un idéal de A. Montrer que l’on a I⊂R(I)et
R(R(I)) = R(I).
(2) Soient Iet Jdes idéaux de A. Montrer que l’on a R(I∩J) = R(I)∩R(J).
(3) Quel est le radical de {0}?
Exercice 1.37. Soient Aet Bdes anneaux commutatifs et f:A→Bun morphisme d’anneau. Soit J
un idéal de B. On pose I=f−1(J). Montrer que Iest un idéal de A. Montrer que si Jest un idéal
premier de B, alors Iest un idéal premier de A.
Exercice 1.38. On suppose que l’idéal {0}est maximal. Que peut-on dire de l’anneau ?
Exercice 1.39. Soient Xun ensemble et Kun corps commutatif. On considère l’ensemble
F(X) = {f:X→K}
de toutes les applications de Xdans K, muni de sa structure naturelle d’anneau (c’est-à-dire des lois
+et ·induites par celles de K).
(1) Déterminer les éléments inversibles de l’anneau F(X).
(2) Soit x0∈X. Montrer que l’ensemble Mx0défini par
Mx0={f∈F(X)|f(x0)=0}
est un idéal maximal de F(X).
Exercice 1.40 (avec de la topologie). Soit adans R. Posons A=C(R,R)et I={f∈A|f(a)=0}.
(1) Montrer que Iest un idéal de A.
(2) Montrer que In’est pas principal.
(3) Que se passe-t-il si on remplace Apar R[X], ou par C∞(R,R), ou par RR?
Exercice 1.41 (Examen S5, septembre 2007). Étant donné un anneau A, on désigne par N(A)l’ensemble
des éléments non inversibles de A.
(1) Déterminer N(A)pour A=Z, pour A=Z/4Zet pour A=Z/6Z. On dit qu’un anneau Aest
un anneau local si l’ensemble N(A)est stable pour l’addition, c’est-à-dire si l’on a a+b∈N(A)quels
que soient a∈N(A)et b∈N(A).
(2) Montrer que si Aest un anneau local, alors N(A)est un idéal.
(3) L’anneau Zest-il un anneau local ?
(2)Déjà dit...

EXERCICES D’ALGÈBRE 5
(4) Montrer que l’anneau Z/4Zest un anneau local mais que l’anneau Z/6Zn’est pas un anneau
local.
(5) Soit Aun anneau local. Montrer que N(A)est un idéal maximal de Aet ensuite que N(A)est
l’unique idéal maximal de A.
(6) On se donne un entier n≥2. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Il existe un nombre premier pet un entier α≥1tels que n=pα.
(b) L’anneau Z/nZest un anneau local.
Exercice 1.42. Soient Aun anneau intègre, Kson corps des fractions, et Pun idéal premier de A.
Montrer que A−Pest une partie multiplicative de A(comme dans l’exercice 1.25). On a ainsi un
sous-anneau
AP={a/b |a∈A, b ∈A−P} ⊂ K.
Déterminer ses idéaux maximaux.
Anneaux quotients.
Exercice 1.43. Montrer que l’anneau quotient Z[i]/(1 + 3i)est isomorphe à Z/10Z.
Exercice 1.44 (une petite vérification). Dire, dans cette liste d’isomorphismes d’anneaux, ce qui est vrai
et ce qui est faux :
(1) Z/2×Z/3∼
=Z/6
(2) Z/2×Z/4∼
=Z/8
(3) Z/2×Z/5∼
=Z/10
(4) Z/2×Z/3×Z/3∼
=Z/18
(5) Z/2×Z/9∼
=Z/18
(6) Z/10 ×Z/5∼
=Z/2×Z/25
(7) Z/12 ∼
=Z/2×Z/2×Z/3
Anneaux de polynômes.
Exercice 1.45. Soient kun corps, adans ket Pdans k[X].
(1) Montrer que le reste de la division euclidienne de Ppar X−aest P(a).
(2) Montrer que P(a)=0si et seulement si Pappartient à l’idéal principal (X−a)de k[X].
(3) Supposons que P6= 0. Montrer qu’il existe au plus deg Péléments x∈ktels que P(x)=0.
Exercice 1.46. Montrer que dans l’anneau Z[X]l’idéal (X)est premier mais non maximal.
Exercice 1.47. Soient Aun anneau intègre et adans A. Notons εa:A[X]→Al’application P7→ P(a)
qui évalue Pen a.
(1) Montrer que εaest un morphisme d’anneaux.
(2) Montrer que εaest surjectif.
(3) Montrer que Ker(εa)est l’idéal (X−a)engendré par X−a, et que εainduit un isomorphisme
de A[X]/(X−a)vers A.
Exercice 1.48 (Principe de substitution). Soit ϕ:A→A0un morphisme d’anneaux.
(1) Soit α∈A0. Montrer qu’il existe un unique morphisme Φ = A[X]→A0qui coïncide avec ϕsur
les polynômes constants et qui envoie Xsur α.
(2) Soit π:Z→Z/p la projection canonique (pest un nombre premier). Montrer que πse prolonge
en un morphisme d’anneaux Z[X]→Z/p[X].
(3) Montrer qu’il existe un unique isomorphisme d’anneaux A[X, Y ]→A[X][Y]qui est l’identité
sur les constantes et envoie Xsur Xet Ysur Y.
(4) Montrer qu’il existe un homomorphisme d’anneaux injectif R[X1, . . . , Xn]→C0(Rn;R)qui
envoie un polynôme en nvariables sur la fonction continue qu’il détermine.
Exercice 1.49. Montrer que l’anneau quotient C[X, Y ]/(XY )est isomorphe au sous-anneau de l’anneau
produit C[X]×C[Y]constitué des couples (P, Q)tels que P(0) = Q(0).
Exercice 1.50. Déterminer les idéaux maximaux des anneaux suivants :