Université du Littoral Côte d`Opale 2011

Université du Littoral Côte d’Opale
L3 Informatique
Probabilités
2011-2012
Première session
Examen
durée : 2 heures
Sans documents
Avec calculatrice de l’université
Questions de cours :
On considère une variable aléatoire X de loi E(2) définie sur un espace de probabilité (Ω, T , IP).
1. Donner la densité de X.
2. Démontrer par un calcul que la fonction de répartition de X est la fonction F définie sur R par :
1 − e−2x
si x ≥ 0,
F (x) =
0
sinon.
3. Calculer IP(X ≤ 1), IP(X > 3), IP(1 ≤ X ≤ 3) et IP(X > 3|X > 1).
4. Déterminer l’espérance de X. (Justifiez votre résultat par un calcul.)
Exercice 1
Soit (Ω, T , IP) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, T , IP) prenant les
valeurs 0, 1 et 2. On suppose que IP(X = 1) = 0, 2 et que E(X 2 ) = 1, 4.
Déterminer la loi de probabilité de X.
Exercice 2
Un contrôle systématique est effectué sur un ensemble de processeurs dont on sait statistiquement
que 15% présentent une panne non apparente. Ce dépistage est effectué par un test qui donne 95% de
résultats positifs pour les processeurs défectueux et 10% de résultats positifs pour les processeurs non
défectueux.
On choisit au hasard un processeur.
1. Quelle est la probabilité que le processeur soit défectueux et que le test soit positif ?
2. Quelle est la probabilité que le test soit positif ?
3. On suppose que le test est positif. Quelle est la probabilité que ce processeur soit réellement
défectueux ?
1
Exercice 3
Des bits sont envoyés à la suite sur un canal. Chaque bit prend la valeur 0 ou 1 avec même probabilité.
1. On enregistre deux bits successifs.
(a) Donnez l’ensemble Ω des résultats possibles de cette expérience aléatoire.
(b) Est-il judicieux de définir sur Ω la probabilité uniforme IP qui rende le modèle équiprobable ?
(c) Décrire chacun des évènements suivants sous la forme d’un sous-ensemble de Ω puis en
calculer la probabilité :
A : « Les deux bits prennent la valeur 0 »,
B : « Les deux bits prennent la même valeur »,
C : « Les deux bits prennent des valeurs différentes ».
(d) On suppose que le premier bit prend la valeur 0. Quelle est la probabilité que le deuxième
prenne aussi la valeur 0 ?
2. On enregistre quatre bits successifs.
(a) Combien de résultats possibles cette expérience aléatoire compte-elle ?
(b) Est-il judicieux de définir sur l’ensemble des résultats possibles la probabilité uniforme IP
qui rende le modèle équiprobable ?
(c) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Les quatre bits prennent la valeur 0 »,
B : « Le premier bit prend la valeur 0 »,
C : « Un et un seul des quatre bits prend la valeur 0 »,
D : « Au moins un des quatre bits prend la valeur 0 »,
E : « Deux bits exactement, parmi les quatre enregistrés, prennent la valeur 0 »,
F : « Au moins deux bits, parmi les quatre enregistrés, prennent la valeur 0 ».
(d) On suppose qu’au moins un des quatre bits prend la valeur 0. Quelle est la probabilité qu’un
deuxième bit au moins, parmi les quatre enregistrés, prenne aussi la valeur 0 ?
(e) On suppose que le premier bit prend la valeur 1 et que l’un au moins des trois autres prend la
valeur 0. Quelle est la probabilité qu’un deuxième bit au moins, parmi les quatre enregistrés,
prenne aussi la valeur 0 ?
(f) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de bits prenant la valeur 0 parmi les quatre
bits enregistrés. Donner la loi de X.
(g) Soit R la variable aléatoire donnant le rang du premier bit prenant la valeur 0 parmi les
quatre bits enregistrés. (Dans le cas où aucun des quatre bits ne prend la valeur 0 alors R
prend la valeur 0). Donner la loi de R puis calculer son espérance.
3. On enregistre mille bits successifs.
(a) Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de bits prenant la valeur 0 parmi les quatre
bits enregistrés. Donner la loi de X.
(b) Par quelle loi de probabilité peut-on approcher la loi de X ?
(c) En utilisant cette approximation, calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Au plus 510 bits prennent la valeur 0 »,
B : « Au plus 490 bits prennent la valeur 0 »,
C : « Plus de 490 bits prennent la valeur »,
D : « Plus de 490 et au plus 510 bits prennent la valeur 0 ».
(d) Déterminer le plus petit entier N tel que la probabilité qu’au plus N bits prennent la valeur
0 soit supérieure ou égale à 0,95.
(e) le plus petit entier M tel que la probabilité qu’il y ait plus de 500 − M et au plus 500 + M
pièces défectueuses soit supérieure ou égale à 0,95.
2
Lois usuelles discrètes
Nom de la loi
Paramètres
Notation
Loi de X
E(X)
V(X)
n+1
2
(n + 1)(n − 1)
12
p
p(1 − p)
np
np(1 − p)
1
p
1−p
p2
Pour tout k ∈ {1, · · · , n},
∗
n∈N
Uniforme
U(n)
IP(X = k) =
de Bernoulli
p ∈]0, 1[
B(p)
Binomiale
n ∈ N∗
et
p ∈]0, 1[
B(n, p)
1
n
IP(X = 1) = p
et
IP(X = 0) = 1 − p
Pour tout k ∈ {0, · · · , n},
IP(X = k) =
n
k
k
p (1 − p)n−k
Pour tout k ∈ N∗ ,
Géométrique
p ∈]0, 1[
G(p)
IP(X = k) = (1 − p)k−1 p
N ∈ N∗ ,
Hypergéométrique
n ∈ {0, · · · , N },
Pour tout k ∈ {0, · · · , n},
H(N, n, p)
Np
et
p ∈]0, 1[
tel que
IP(X = k) =
k
np
np(1 − p)
λ
λ
N (1−p)
n−k
N
n
Np ∈ N
Pour tout k ∈ N,
de Poisson
λ ∈ R∗+
P(λ)
−λ λ
IP(X = k) = e
3
k
k!
N −n
N −1
Lois usuelles continues
Nom de la loi
Paramètres
Notation
Loi de X
E(X)
V(X)
b+a
2
(b − a)2
12
m
σ2
1
λ
1
λ2
a∈R
b∈R
Uniforme
U([a, b])
f (t) =


1
b−a
 0
si t ∈ [a, b]
sinon
tels que a < b
m∈R
−
1
f (t) = √ e
σ 2π
N (m, σ)
Normale
σ ∈ R∗+
Exponentielle
λ ∈ R∗+
E(λ)
f (t) =
λe−λt
0
(t − m)2
2σ 2
si t ≥ 0
sinon
Approximations
– Si n ≥ 20, np ≥ 10 et n(1 − p) ≥ 10, on peut approcher la
√ loi B(n, p) par la loi N (np,
– Si λ ≥ 10, on peut approcher la loi P(λ) par la loi N (λ, λ).
4
p
np(1 − p)).
Fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1).
Cette table donne :
F (x) = IP(X ≤ x) pour
X ∼ N(0, 1).
x
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
.0
.1
.2
.3
.4
.5000
.5398
.5793
.6179
.6554
.5040
.5438
.5832
.6217
.6591
.5080
.5478
.5871
.6255
.6628
.5120
.5517
.5910
.6293
.6664
.5160
.5557
.5948
.6331
.6700
.5199
.5596
.5987
.6368
.6736
.5239
.5636
.6026
.6406
.6772
.5279
.5675
.6064
.6443
.6808
.5319
.5714
.6103
.6480
.6844
.5359
.5753
.6141
.6517
.6879
.5
.6
.7
.8
.9
.6915
.7257
.7580
.7881
.8159
.6950
.7291
.7611
.7910
.8186
.6985
.7324
.7642
.7939
.8212
.7019
.7357
.7673
.7967
.8238
.7054
.7389
.7704
.7995
.8264
.7088
.7422
.7734
.8023
.8289
.7123
.7454
.7764
.8051
.8315
.7157
.7486
.7794
.8078
.8340
.7190
.7517
.7823
.8106
.8365
.7224
.7549
.7852
.8133
.8389
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
.8413
.8643
.8849
.9032
.9192
.8438
.8665
.8869
.9049
.9207
.8461
.8686
.8888
.9066
.9222
.8485
.8708
.8907
.9082
.9236
.8508
.8729
.8925
.9099
.9251
.8531
.8749
.8944
.9115
.9265
.8554
.8770
.8962
.9131
.9279
.8577
.8790
.8980
.9147
.9292
.8599
.8810
.8997
.9162
.9306
.8621
.8830
.9015
.9177
.9319
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
.9332
.9452
.9554
.9641
.9713
.9345
.9463
.9564
.9649
.9719
.9357
.9474
.9573
.9656
.9726
.9370
.9484
.9582
.9664
.9732
.9382
.9495
.9591
.9671
.9738
.9394
.9505
.9599
.9678
.9744
.9406
.9515
.9608
.9686
.9750
.9418
.9525
.9616
.9693
.9756
.9429
.9535
.9625
.9699
.9761
.9441
.9545
.9633
.9706
.9767
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
.9772
.9821
.9861
.9893
.9918
.9778
.9826
.9864
.9896
.9920
.9783
.9830
.9868
.9898
.9922
.9788
.9834
.9871
.9901
.9925
.9793
.9838
.9875
.9904
.9927
.9798
.9842
.9878
.9906
.9929
.9803
.9846
.9881
.9909
.9931
.9808
.9850
.9884
.9911
.9932
.9812
.9854
.9887
.9913
.9934
.9817
.9857
.9890
.9916
.9936
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
.9938
.9953
.9965
.9974
.9981
.9940
.9955
.9966
.9975
.9982
.9941
.9956
.9967
.9976
.9982
.9943
.9957
.9968
.9977
.9983
.9945
.9959
.9969
.9977
.9984
.9946
.9960
.9970
.9978
.9984
.9948
.9961
.9971
.9979
.9985
.9949
.9962
.9972
.9979
.9985
.9951
.9963
.9973
.9980
.9986
.9952
.9964
.9974
.9981
.9986
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
.9987
.9990
.9993
.9995
.9997
.9987
.9991
.9993
.9995
.9997
.9987
.9991
.9994
.9995
.9997
.9988
.9991
.9994
.9996
.9997
.9988
.9992
.9994
.9996
.9997
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9989
.9992
.9994
.9996
.9997
.9989
.9992
.9995
.9996
.9997
.9990
.9993
.9995
.9996
.9997
.9990
.9993
.9995
.9997
.9998
5