Exercices semaine du 09 au 13 mai

☺ Exercice p 256, n° 8 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, B et C appartiennent au cercle ( C
) de centre I.
A
(C )
I
C
B
1) Reproduire la figure.
.
2) a) Colorer en rouge l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit BAC
.
b) Marquer en bleu l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle inscrit BAC
= 65° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle BIC
.
3) Sachant que BAC
Correction :
1) 2) Figure :
A
65°
I
?
C
B
:
3) Mesure de l’angle BIC
et l’angle au centre BIC
interceptent le même arc BC
(en rouge).
Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit BAC
Or, d’après le théorème de l’angle inscrit, dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le
même arc, alors la mesure de l’angle inscrit est égale à la moitié de celle de l’angle au centre.
= 1 BIC
Donc :
BAC
2
= 2 × BAC
donc BIC
= 2 × 65
BIC
= 130° .
BIC
mesure donc 130°.
L’angle BIC
☺ Exercice p 256, n° 9 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, B et C appartiennent au cercle ( C
) de centre I.
A
(C )
I
C
B
La mesure de l’angle ACB est égale à 55°.
Quel est l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle que l’angle inscrit ACB ?
Déterminer, en justifiant, la mesure de cet angle au centre.
Correction :
A
(C )
?
I
55°
C
B
Mesure de l’angle AIB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit ACB et l’angle au centre AIB interceptent le même arc AB (en vert).
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
donc
1
ACB = AIB
2
AIB = 2 × ACB
AIB = 2 × 55
AIB = 110° .
L’angle AIB mesure donc 110°.
☺ Exercice p 256, n° 10 :
Dans la figure ci-dessous, les points P, M, N et R appartiennent à un même cercle ( C
.
Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle PNR
) de centre O.
N
(C )
M
55°
O
R
P
Correction :
N
M
(C )
?
55°
O
R
P
:
Mesure de l’angle PNR
et PNR
interceptent le même arc PR
.
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits PMR
Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
a la même mesure que PMR
, soit 55°.
Donc l’angle PNR
☺ Exercice p 256, n° 11 :
Dans la figure ci-dessous, les points A, E, B et D appartiennent au cercle ( C
1) Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle ADB .
2) Déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle AEB .
) de centre O.
A
(C )
D
E
80°
O
B
Correction :
A
(C )
D
?
E
80°
?
O
B
1) Mesure de l’angle ADB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit ADB et l’angle au centre saillant AOB interceptent le même arc AB (en
vert).
1
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
ADB = AOB
2
1
ADB = × 80
2
AOB = 40° .
L’angle AOB mesure donc 40°.
2) Mesure de l’angle AEB :
Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit AEB et l’angle au centre rentrant AOB interceptent le même arc AB (en
bleu).
1
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
AEB = AOB
2
1
AEB = × ( 360 − 80 )
2
AEB = 140° .
L’angle AEB mesure donc 140°.
☺ Exercice p 258, n° 19 :
Dans la figure ci-dessous, les points R, P et M appartiennent au cercle ( C
) de centre O.
(C )
O
M
R
P
1) Reproduire la figure.
.
2) Marquer l’angle au centre et l’angle inscrit de sommet M qui interceptent le même arc de cercle RP
= 65° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle RMP
.
3) Sachant que ROP
Correction :
1) 2) Figure :
(C )
O
65°
?
R
M
P
et l’angle au centre ROP
interceptent le même arc RP
(en vert).
3) Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit RMP
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
mesure donc 32,5°.
L’angle RMP
= 1 ROP
RMP
2
= 1 × 65
RMP
2
RMP = 32,5° .
☺ Exercice p 258, n° 20 :
Dans la figure ci-dessous, les points R, P et M appartiennent au cercle ( C
) de centre O.
(C )
O
M
R
P
1) Reproduire la figure.
.
2) a) Colorer l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit RPM
b) Tracer, puis colorier l’angle au centre qui intercepte le même arc de cercle.
= 105° , déterminer, en justifiant, la mesure de l’angle colorié à la question 2.b.
3) Sachant que RPM
Correction :
1) 2) Figure :
(C )
?
O
M
105°
R
P
et l’angle au centre rentrant ROM interceptent le même arc RM
3) Dans le cercle ( C ) , l’angle inscrit RPM
(en vert).
= 1 ROM
Donc, d’après le théorème de l’angle inscrit :
RPM
2
donc ROM = 2 × RPM
ROM = 2 × 105
ROM = 210° .
L’angle ROM mesure donc 210°.
☺ Exercice p 258, n° 26 :
D
(C )
A
60°
I
80°
C
B
Correction :
:
1) Mesure de l’angle BDC
D
A
(C )
?
60°
I
?
80°
C
B
et BAC
interceptent le même arc BC
(en vert).
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits BDC
Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
a la même mesure que BAC
, soit 60°.
Donc l’angle BDC
2) Mesure de l’angle ABD :
et CDI
mesurent respectivement 80° et 60°.
Dans le triangle CID, les angles CID
Or, la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
+ CDI
+ ICD
= 180
Donc :
CID
= 180
80 + 60 + ICD
= 180
140 + ICD
= 180 − 140
ICD
= 40° .
ICD
D’où :
ACD = 40° .
Dans le cercle ( C ) , les angles inscrits ABD et ACD interceptent le même arc AD (en rouge).
Or, dans un cercle, si deux angles inscrits interceptent le même arc, alors ils ont la même mesure.
Donc l’angle ABD a la même mesure que ACD , soit 40°.
☺ Exercice dicté 1 :
A, B, C et D sont les milieux des côtés d’un carré de dimension 6 cm.
1) Exprimer en fonction de π l’aire A , en cm², de la surface bleue.
2) On sait que 3,14 π 3,15 .
En déduire un encadrement en A .
Correction :
1) Aire de la surface bleue :
L’aire de la surface bleue s’obtient en retranchant à celle du carré de côté 6 cm la somme des aires de quatre
quarts de disque de rayon 6 ÷ 2 = 3 cm, c’est-à-dire l’aire d’un disque de rayon 3 cm.
A = 62 − π × 32
A = 36 − 9π cm²
(valeur exacte en fonction de π en cm²).
2) Encadrement de 
A :
On a :
donc
donc
3,14 π 3,15
( −9 ) × 3,14 ( −9 ) π ( −9 ) × 3,15
−28, 26 −9π −28,35
36 − 28, 26 
36 − 9π 36 − 28,35
7,74 
A 7, 65
7, 65 A 7,74 .
(on multiplie chaque membre par −9 et −9 < 0 ,
donc on obtient une inégalité de sens contraire)
(on ajoute 36 à chaque membre, donc
on obtient une inégalité de même sens)
L’aire de la surface bleue est donc comprise entre 7,65 cm² et 7,74 cm².
☺ Exercice dicté 2 :
Un parallélépipède rectangle, dont les dimensions sont données sur la figure ci-dessous, est percé d’un cylindre
de 3 cm de rayon.
1) Calculer le volume V , en cm3, du solide obtenu.
2) On sait que 3,14 π 3,15 .
En déduire un encadrement en V .
3) On souhaite remplir ce solide d’un liquide. Un litre de liquide est-il suffisant ?
Correction :
1) Volume du solide :
Le volume du solide s’obtient en retranchant le volume du cylindre à celui du pavé droit.
V = 10 × 10 × 12 − π × 32 ×10
V = 1200 − 90π cm3
(valeur exacte en fonction de π en cm²).
2) Encadrement de V
 :
On a :
donc
donc
3,14 π 3,15
( −90 ) × 3,14 ( −90 ) π ( −90 ) × 3,15
−282, 6 −90π −283,5
1200 − 282, 6 
1200 − 90π 1200 − 283,5
917, 4 
V 916,5
916,5 V 917, 4 .
(on multiplie chaque membre par −90 et −90 < 0 ,
donc on obtient une inégalité de sens contraire)
(on ajoute 1200 à chaque membre, donc
on obtient une inégalité de même sens)
Le volume du solide est donc compris entre 916,5 cm3 et 917,4 cm3.
3) 1L = 1dm 3 = 1000 cm3 .
1000 > 917, 4 , donc un litre de liquide est suffisant pour remplir le solide.