Chapiter 4

Mathématiques appliquées aux sciences sociales
- Algèbre matricielle CHAPITRE 4 LE RANG D’UNE MATRICE .................................................................................................... 2
I DEFINITIONS ...................................................................................................................................................... 2
A Définition des sous-matrices ........................................................................................................................ 2
B Définition du rang d’une matrice ................................................................................................................ 3
II FORME NORMALE OU CANONIQUE D’UNE MATRICE .......................................................................................... 4
A Le principe ................................................................................................................................................... 4
B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang. .................................................................. 5
III LES MATRICES EQUIVALENTES ET ELEMENTAIRES .......................................................................................... 6
A Définitions des matrices équivalentes.......................................................................................................... 6
B Définitions des matrices élémentaires ......................................................................................................... 6
IV EXERCICE SUR LA RECHERCHE DU RANG .......................................................................................... 7
V CONCLUSION .................................................................................................................................................. 10
JL - MONINO
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Mathématiques appliquées aux sciences sociales
- Algèbre matricielle -
Chapitre 4 LE RANG D’UNE MATRICE
Dans ce chapitre nous allons montrer comment à l’aide de méthodes simples il est possible de transformer une
matrice M d’ordre (n,p) en une matrice qui ne comporte que des zéros et des uns, cette représentation est appelée
forme réduite. Lorsque la matrice ne comporte que des 1 sur la diagonale principale et ailleurs des zéros la
matrice est dite alors mise sous forme normale ou canonique. Cette forme normale d’une matrice permet une
recherche simplifiée du rang et des solutions dans les systèmes d’équations linéaires.
I Définitions
Nous venons de voir qu’un déterminant n’est calculable que sur des matrices carrées. Nous allons voir
maintenant que le rang d’une matrice M d’ordre (n,p) peut être approché par la théorie des déterminants.. Il nous
manque donc une définition celle des sous matrices carrées contenues dans une matrice quelconque.
Exemple 1 :
⎡1 − 1 5⎤
Déterminons le nombre de sous-matrices carrées contenues dans la matrice M définie par : M 2 ,3 = ⎢
⎥
⎣2 4 0⎦
Cette matrice M est rectangulaire, puisque d’ordre (2,3). Elle admet des sous-matrices carrées qui sont :
• trois sous matrices carrées d’ordre deux :
⎡− 1 5⎤
⎡1 − 1⎤
⎡1 5⎤
⎢ 4 0⎥
⎢2 4 ⎥
⎢2 0⎥
⎦
⎣
⎦
⎦
⎣
⎣
Ces trois sous matrices ont comme déterminant :
1 −1
1 5
−1 5
= 4+2 = 6
= −10
= −20
2 4
2 0
4 0
•
six matrices carrées d’ordre un :
[1]
[ −1]
[ 2]
[ 4]
[5]
[ 0]
Ces six sous matrices ont comme déterminant :
1 =1
− 1 = −1
5 =5
2 =2
4 =4
0 =0
Formulons deux remarques importantes sur l'exemple :
La première sous-matrice carrée contenue dans la matrice M est égale au minimum entre le
nombre de colonnes et le nombre de lignes, c’est à dire 2,
Tous les déterminants des sous-matrices carrées d’ordre deux contenues dans M sont
différents de zéros.
A Définition des sous-matrices
On appelle sous matrice de la matrice M d’ordre (n,p) une matrice dont a éliminé v lignes et q colonnes. La
nouvelle matrice est d’ordre (n − v , p − q). Les sous matrices ne sont pas nécessairement des matrices carrées.
Conséquences :
La plus grande sous matrice contenue dans la matrice M d’ordre (n,p) c’est elle-même.
La plus petite matrice contenue da la matrice M d’ordre (n,p) est celle dont on a éliminé n − 1 lignes et p − 1
colonnes. Cette sous matrice est donc composée d’une ligne et d’une colonne.
La plus grande sous matrice carrée contenue dans la matrice M d’ordre (n,p) est au plus égale au plus au
minimum du nombre de lignes et de colonnes. Ce qui peut s’écrire :
Si n < p la première sous matrice carrée est d’ordre (n,n) ,
Si n > p la première sous matrice carrée est d’ordre (p,p).
Exemple 2 :
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2
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Recherchons des sous-matrices de la matrice M d’ordre (3,4) définie par : M 3,4
⎡1
La plus grande sous matrice de la matrice M est : M 3,4 = ⎢⎢− 1
⎢⎣ 3
La plus petite sous matrice est, par exemple, la matrice N 1,1
⎡1 2 8 6⎤
= ⎢⎢− 1 0 7 4 ⎥⎥
⎢⎣ 3 5 4 − 2⎥⎦
6⎤
4 ⎥⎥
5 4 − 2⎥⎦
2 8
0 7
= [1] obtenue à partir de la matrice M à laquelle
nous avons enlevé les trois dernières colonnes et les deux dernières lignes. Remarquons que le nombre de ces
sous matrices est égal au nombre de ses éléments.
B Définition du rang d’une matrice
Pour aborder la notion de rang d’une matrice de façon simple nous allons partir de la définition des sousmatrices carrées et du calcul de leurs déterminants. En effet, si une matrice carrée admet un déterminant non nul
elle est dite régulière ou non singulière. Ainsi, pour connaître le rang d’une matrice il suffit de rechercher tous
les déterminants des matrices carrées, la plus grande sous-matrice carrée régulière donnera le rang de la matrice
M d’ordre (n,p).
Définition 1 :
Soit r un nombre entier si l’on pose que r est le rang de la matrice M d’ordre (n,p) il existe au moins une sous
matrice carrées d’ordre r, tel que r ≤ minimum (n,p), régulière ; alors toutes les autres sous matrices carrées
d’ordre supérieure à r sont singulières.
Deuxième proposition de définition :
Le rang d’une matrice M d’ordre (n,p), noté rg(M) = r, est égale à l’ordre de la plus grande sous matrice
régulière contenue dans M.
Convention :
Si l’on considère la matrice nulle d’ordre (n,p), alors par convention son rang est égal à zéro, puisque tous ses
éléments sont nuls.
Exemple 3 :
⎡1 − 1 5⎤
Calculons le rang de la matrice M d’ordre (2,3) définie par M 2 ,3 = ⎢
⎥ :Son rang est 2. En effet, nous
⎣2 4 0⎦
constatons que :
• Le minimum de (2,3), est 2, il suffit de trouver une matrice carrée d’ordre deux
régulière,
⎡1 5⎤
• Prenons par exemple la sous matrice ⎢
⎥ qui est régulière puisque son
⎣2 0⎦
déterminant est
1 5
2 0
= −10 . Le rang de la matrice M est 2.
En conclusion nous écrirons : rg(M) = 2.
Exemple 4 :
⎡1 − 1 5 6 ⎤
Calculons le rang de la matrice M d’ordre (3,4) définie par M 3,4 = ⎢⎢2 4 0 − 2⎥⎥ :Son rang est 2. En effet,
⎢⎣4 8 0 − 4⎥⎦
nous constatons que :
• Le minimum de (3,4), est 3, il suffit de trouver une matrice carrée d’ordre trois
régulière,
• Or nous constatons que la 3ième ligne est égale à deux fois la 2ième ligne, alors
d’après les théorèmes sur les déterminants nous pouvons conclure que tous les
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3
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- Algèbre matricielle déterminants d‘ordre trois sont nuls. Il faut rechercher une sous matrice carrée
⎡1 5⎤
d’ordre deux, prenons par exemple la sous matrice ⎢
⎥ qui est régulière puisque
⎣4 0⎦
son déterminant est
1 5
4 0
= −20 alors le rang de la matrice M est 2.
En conclusion nous écrirons : rg(M) = 2.
II Forme normale ou canonique d’une matrice
La recherche du rang d’une matrice apparaît comme une opération longue, il faut donc trouver une méthode qui
nous renseigne rapidement et sans trop de calculs.
La recherche du rang d’une matrice va s’effectuer non pas sur la matrice de départ mais sur une matrice qui aura
subi un certain nombre de transformations qui sont appelées transformations élémentaires et qui sont au nombre
de trois. Mais voyons ensemble tout d’abord le principe de la méthode des transformations.
A Le principe
Le principe consiste à transformer la matrice M d’ordre (n,p) à l’aide d’opérations simples en une matrice qui ne
contienne que des uns sur la diagonale principale et ailleurs des zéros.
Considérons une matrice M d’ordre (n,p) la transformation de cette matrice est matérialisée ci-dessous :
M n, p
⎡ m1,1
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=⎢ M
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢m
⎣ n ,1
Matrice de départ
L
O
mi , j
O
L
m1, p ⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
M ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
mn , p ⎥⎦
Forme canonique ou forme normale
⎫ ⎡ 1 0 L L 0 0 L L 0⎤
⎪ ⎢0 O O O M M
M ⎥⎥
⎪⎪ ⎢
M⎥
r lignes⎬ ⎢ M O 1 O M M
⎥
⎪ ⎢M O O O 0 M
M⎥
⎢
⎪
→
⎪⎭ ⎢0 L L 0 1 0 L L 0⎥
⎢
⎥
L
0 0 L L 0⎥
⎫ ⎢0
⎪⎢
M M
M⎥
⎪ M
⎥
⎬⎢
(n - r) lignes⎪ ⎢ M
M M
M⎥
⎪⎭ ⎢⎣0
L
0 0 L L 0⎥⎦
14442444
3
r colonnes
14
4244
3
( p − r ) colonnes
La forme canonique de la matrice est formée de quatre blocs :
• Trois blocs de matrices qui correspondent à des matrices nulles que l’on note O qui sont
d’ordre (r, p − r), (n − r, r), et (n − r, p − r),
• Une matrice carrée d’ordre r qui contient r fois la valeur 1 sur sa diagonale principale.
C’est cette matrice qui indique le rang de la matrice M. On écrira rg(M) = r.
La forme canonique ou normale d’une matrice est souvent exprimée en fonction des quatre blocs cités ci-dessus :
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- Algèbre matricielle Forme canonique et les 4 matrices blocs
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎫⎢
⎪⎢
⎪
⎬⎢
(n - r) lignes⎪ ⎢
⎪⎭ ⎢⎣
⎫
⎪
⎪⎪
r lignes⎬
⎪
⎪
⎪⎭
I r,r
O r,p-r
O n-r,r
O n-r,p-r
1442443
r colonnes
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
14
4244
3
( p − r ) colonnes
B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang.
[ ]
On considère la matrice M d’ordre (n,p) définie par : M n, p = mi , j
avec i = {1, L , n}
{
}
et j = 1, L , p
Les trois transformations élémentaires que l’on utilise sont les suivantes :
• On peut permuter deux lignes ou deux colonnes d’une matrice,
•
Il est possible de multiplier tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par un nombre
différent de zéro. Transformation que l’on peut noter pour une ligne i :
si α ≠ 0 pour une ligne i α * mi , j
•
{
}
pour tout j = 1, L , p
On peut additionner aux éléments d’une ligne, un multiple quelconque, différent de zéro,
des éléments d’une autre ligne (transformation réalisable également sur les colonnes).
Transformation que l’on peut noter pour une ligne i et i’ :
{
}
si α ≠ 0 on peut substituer à mi,j l' élément mi,j + α * mi ′ , j pour tout j = 1, L , p
Nous admettrons sans démonstration le théorème suivant :
THEOREME 12
Les trois opérations élémentaires ne changent pas le rang d’une matrice.
Pour obtenir la forme normale d’une matrice M d’ordre (n,p), on procède de façon itérative à l’aide d’un
algorithme qui consiste à se déplacer sur la diagonale principale en y faisant apparaître des UNS et ailleurs des
ZEROS en utilisant les opérations élémentaires. Les étapes sont les suivantes :
Début de l’algorithme i = 1 :
¾ Etape 1 : Elle concerne la position (i,i) de la matrice M. Si mi,i = 0 alors on
effectue une permutation entre deux lignes i et i’ ou entre deux colonnes j et j’ de
telle sorte que la position (i,i) soit différente de zéro,
¾ Etape 2 : Comme mi,i ≠ 0 on multiplie toute la ligne par l’inverse de mi,i . Cette
opération élémentaire permet d’obtenir la valeur 1 en position (i,i),
¾ Etape 3 : On fait apparaître des zéros dans la colonne i, sous la position (i,i).
Pour cela on enlève un multiple approprié de la ième ligne de toutes les autres
lignes.
¾ Etape 4 : On fait apparaître des zéros dans la ligne i à droite de la position (i,i).
On enlève un multiple approprié de la nouvelle ième colonne de toutes les autres
colonnes.
¾ Etape 5 : On répète ces opérations tout le long de la diagonale principale, c’est à
dire, on remonte à l’étape 1 et l’on fait i= 2 et l’on réitère l’opération jusqu’à ce
que i = n.
On recommence l'opération si i ≤ n
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III Les matrices équivalentes et élémentaires
Cette définition de matrices équivalentes nous permettra ultérieurement l’introduction de la notion de systèmes
équivalents et la possibilité de travailler sur une forme simplifiée d'un système d'équations linéaires. Ainsi, nous
pourrons trouver la solution du système équivalant plus rapidement et plus simplement et reporter cette solution
sur le système de départ.
A Définitions des matrices équivalentes
Deux matrices M et N sont dites équivalentes si et seulement si elles possèdent le même ordre et le même rang.
Exemple 5 :
⎡1 − 1 5⎤
⎡ 2 − 1 5⎤
Considérons la matrice définie par M 2 ,3 = ⎢
⎥ et la matrice définie par M 2 ,3 = ⎢4 2 0⎥ ; sont-elles
2
4
0
⎣
⎦
⎣
⎦
équivalentes ?
• Les matrices M et N ont même ordre (2,3),
• Les deux matrices M et N ont même rang. En effet, de toute évidence le
rg(M)=rg(N)=2.
D’après la définition les matrices M et N ont même ordre et même rang alors elles sont équivalentes.
B Définitions des matrices élémentaires
On appelle matrice élémentaire, une matrice carrée qui, à une permutation près, donne la matrice unitaire ou
identité.
Propriétés des matrices élémentaires :
Puisque les matrices élémentaires sont à une permutation près une matrice unitaire alors :
• Une matrice élémentaire est nécessairement régulière,
• L’inverse d’une matrice élémentaire est une matrice élémentaire et cette matrice inverse
contient la transformation inverse,
• Le produit d’une matrice par une matrice élémentaire donne une matrice régulière et son
rang ne change pas.
Exemple 7 :
⎡0 1 0⎤
La matrice définie par M 3,3 = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ est une matrice élémentaire. En effet, il suffit de permuter la 1er ligne et
⎢⎣0 0 1⎥⎦
2ème ligne de la matrice pour obtenir la matrice unité.
Exemple 8 :
⎡0 k 0⎤
La matrice définie par M 3,3 = ⎢⎢1 0 0⎥⎥ est une matrice élémentaire. En effet, il suffit de permuter la 1er ligne
⎢⎣0 0 1⎥⎦
et 2
ème
⎡1 0 0⎤
ligne de la matrice pour obtenir la matrice équivalente ⎢⎢0 k 0⎥⎥ Cette dernière matrice admet comme
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡1
⎢
inverse la matrice ⎢0
⎢0
⎣
0
1
k
0
0⎤
⎡1 0 0⎤
⎥
ème
0⎥ si k ≠ 0. D’autre part, multiplions la 2 ligne de la matrice ⎢⎢0 k 0⎥⎥ par 1/k
⎢⎣0 0 1⎥⎦
1⎥⎦
⎡1 0 0⎤
nous obtenons bien la matrice unité U = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
Exemple 9 :
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- Algèbre matricielle ⎡0 1 k ⎤
La matrice définie par M 3,3 = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ est une matrice élémentaire.
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎡1 0 0⎤
En effet, si l’on considère la matrice unitaire U 3 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ réalisons sur cette matrice la combinaison linéaire
⎢⎣0 0 1⎥⎦
suivante :
la nouvelle 2ème ligne = l’ancienne 2ème ligne – k fois la 3ème ligne
⎡1 0 0 ⎤
Nous obtenons la matrice équivalente suivante : ⎢⎢0 1 k ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
Si maintenant nous permutons la 1ère ligne et la 2ème ligne :
⎡0 1 k ⎤
Nous obtenons la matrice de départ M : M 3,3 = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
La matrice M est bien une matrice élémentaire.
⎡1 0 0 ⎤
D’autre part la matrice M s’écrit après permutation des deux premières lignes : M 3,3 = ⎢⎢0 1 k ⎥⎥ . Calculons
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
⎡1 0 0 ⎤
−1
l’inverse, pour les mêmes raisons données plus haut, la matrice M admet comme inverse M 3,3 = ⎢⎢0 1 − k ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
IV EXERCICE SUR LA RECHERCHE DU RANG
Peut-on trouver une matrice équivalente à M qui puisse nous donner le rang sans faire appelle aux calculs des
déterminants des sous-matrices carrées contenues dans M.
Soit la matrice définie par :
⎡1 2 8 6⎤
M 3,4 = ⎢⎢− 1 0 7 4 ⎥⎥
⎢⎣ 3 5 4 − 2⎥⎦
Recherchons le rang de la matrice M d’ordre (3,4). Pour obtenir ce rang il suffit de trouver la forme normale de
la matrice M d’ordre (3,4), développons pas à pas l’algorithme :
Débutons l’algorithme en initialisant i :
i=1:
¾ Etape 1 : Elle concerne la position (1,1) de la matrice M. La valeur de cette
position est différente de zéro, on passe à l’étape suivante,
Colonne 1
position (1,1)
Ligne 1
⎡1 2 8 6⎤
M 3,4 = ⎢⎢− 1 0 7 4 ⎥⎥
⎢⎣ 3 5 4 − 2⎥⎦
¾
¾
Etape 2 : Dans notre cas la ligne 1 ne change pas puisqu’en position (1,1) il y a
déjà la valeur 1.
Etape 3 : Faisons apparaître des zéros dans la colonne 1, sous la position (1,1).
Pour cela on enlève un multiple approprié de la 1ère ligne de toutes les autres
lignes :
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- Algèbre matricielle la nouvelle 2ème ligne = l’ancienne 2ème ligne + la 1ère ligne
la nouvelle 3ème ligne = l’ancienne 3ème ligne – 3 fois la 1ère ligne
Colonne 1
Nouvelle 2ème ligne
Nouvelle 3ème ligne
2
8
6
⎡ 1
⎤
⎢− 1 + 1 *1 0 + 1 * 2 7 + 1 * 8 4 + 1* 6 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ 3 − 3 * 1 5 − 3 * 2 4 − 3 * 8 − 2 − 3 * 6⎥⎦
La nouvelle matrice équivalente
8
6 ⎤
⎡1 2
⎥
⎢0 2
15
10
⎢
⎥
⎢⎣0 − 1 − 20 − 20⎥⎦
¾
Etape 4 : Faisons apparaître des zéros dans la ligne 1 à droite de la position
(1,1). On enlève un multiple approprié de la nouvelle 1ere colonne de toutes les
autres colonnes.
la nouvelle 2èmecolonne = l’ancienne 2ème colonne – 2 fois la 1èrecolonne
la nouvelle 3èmecolonne = l’ancienne 3ème colonne – 8 fois la 1èrecolonne
la nouvelle 4èmecolonne = l’ancienne 4ème colonne − 6 fois la 1èrecolonne
8 − 8 *1
6 − 6 * 1 ⎤ ⎡1 0
0
0 ⎤
⎡1 2 − 2 * 1
⎢0 2 − 2 * 0
⎥
⎢
15 − 8 * 0
10 − 6 * 0 ⎥ = ⎢0 2
15
10 ⎥⎥
⎢
⎢⎣0 − 1 − 2 * 0 − 20 − 8 * 0 − 20 − 6 * 0⎥⎦ ⎢⎣0 − 1 − 20 − 20⎥⎦
Nouvelle 2ème colonne
Nouvelle 3ème colonne
Nouvelle 4ème colonne
Observons que ces trois dernières transformations ne changent que les éléments de la ligne 1 hors position (1,1).
Ainsi, l’ensemble de transformations est très facilement réalisable, il suffira pratiquement de mettre des zéros
dans la ligne correspondante.
¾ Etape 5 : Recommençons les quatre étapes en faisant i = 2.
i=2:
¾
Etape 1 : Elle concerne la position (2,2) de la dernière matrice qui est
équivalente à M. La valeur de cette position est différente de zéro, on passe à
l’étape suivante,
Colonne 2
position (2,2)
Ligne 2
¾
¾
0
0 ⎤
⎡1 0
⎢0 2
⎥
15
10
⎢
⎥
⎢⎣0 − 1 − 20 − 20⎥⎦
Etape 2 : Faisons apparaître en position (2,2) la valeur 1, pour cela multiplions
la 2ème ligne par 1/ 2
La nouvelle matrice équivalente
⎡1 0
0
0 ⎤ ⎡1 0
0
0 ⎤
⎢
⎥
2
15
10 ⎥ ⎢
15
5 ⎥
⎢0 2
⎥ = ⎢0 1
2
2
2
⎢0 − 1 − 20 − 20⎥ ⎢0 − 1 − 20 − 20⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
Etape 3 : Faisons apparaître des zéros dans la colonne 2, sous la position (2,2).
Pour cela on enlève un multiple approprié de la 2ème ligne à la troisième ligne :
la nouvelle 3ème ligne = l’ancienne 3ème ligne + la 2ème ligne
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- Algèbre matricielle Colonne 2
⎡
⎤
⎢ 1
⎥
0
0
0
⎢
⎥
15
1
5
⎢ 0
⎥
2
⎢
⎥
ème
Nouvelle 3 ligne
⎢0 + 1 * 0 − 1 + 1 * 1 − 20 + 1 * 15 − 20 + 1 * 5⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
La nouvelle matrice équivalente
⎡
⎤
⎢1 0
0
0 ⎥
⎢
⎥
15
5 ⎥
⎢0 1
2
⎢
⎥
⎢0 0 − 25 − 15⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
¾ Etape 4 : Faisons apparaître des zéros dans la ligne 2 à droite de la position
(2,2). Cette étape en pratique consiste à remplir de zéros la ligne 2 à droite de la
position (2,2). Nous obtenons la matrice équivalente :
⎤
⎡
0
0 ⎥
⎢1 0
⎢0 1
0
0 ⎥
⎥
⎢
25
− 15⎥
⎢0 0 −
2
⎣
⎦
¾ Etape 5 : Recommençons les quatre étapes en faisant i = 3.
i=3:
¾
Etape 1 : Elle concerne la position (3,3) de la dernière matrice qui est
équivalente à M. La valeur de cette position est différente de zéro, on passe à
l’étape suivante,
Colonne 3
position (3,3)
⎡
⎤
0
0 ⎥
⎢1 0
⎢0 1
0
0 ⎥
Ligne 3
⎥
⎢
25
− 15⎥
⎢0 0 −
2
⎦
⎣
¾ Etape 2 : Faisons apparaître en position (3,3) la valeur 1, pour cela multiplions
la 3ème ligne par − 2/ 25
La nouvelle matrice équivalente
⎡
⎤
⎢1 0 0 0 ⎥
⎢0 1 0 0 ⎥
⎢
6⎥
⎢0 0 1
⎥
5⎦
⎣
L’algorithme se termine puisque nous pouvons voir qu’il ne reste plus qu’une seule valeur à droite de la position
(3,3) qui n’est pas égale à 1 ou à 0. Il suffit de faire une combinaison entre la quatrième colonne et la troisième
nouvelle colonne. Nous obtenons la matrice équivalente à M :
⎡1 0 0 0⎤
⎢0 1 0 0⎥
⎥
⎢
⎢⎣0 0 1 0⎥⎦
⎡1 0 0⎤
bloc1 = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎡0⎤
bloc2 = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
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- Algèbre matricielle Cette dernière matrice est séparable en deux blocs, un bloc carré qui ne contient que des uns sur la diagonale
principale et qui nous indique le rang de la matrice M, et un second bloc qui est composé de zéros. Cette dernière
matrice est la forme normale de M.
rg(bloc1)=rg(M)= 3
La matrice M a pour rang trois.
V Conclusion
Avec le calcul du rang nous terminons l’ensemble des définitions et des principales propriétés utiles pour la
résolution de systèmes d’équations linéaires. La forme normale d’une matrice nous renseigne de façon très
simple sur le déterminant de la matrice et va également nous servir pour trouver simplement les solutions d’un
ensemble d’équations linéaires.
On retiendra que le rang d’une matrice M d’ordre (n,p)est au plus égal à la plus petite des valeurs de n et de p.
Ce que nous pouvons écrire de la façon suivante :
rg ( M n , p ) ≤ Min( n, p)
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