Chapiter 4

Mathématiques appliquées aux sciences sociales
- Algèbre matricielle -
CHAPITRE 4 LE RANG D’UNE MATRICE .................................................................................................... 2
I DEFINITIONS ...................................................................................................................................................... 2
A Définition des sous-matrices ........................................................................................................................ 2
B Définition du rang d’une matrice ................................................................................................................ 3
II FORME NORMALE OU CANONIQUE D’UNE MATRICE .......................................................................................... 4
A Le principe ................................................................................................................................................... 4
B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang. .................................................................. 5
III LES MATRICES EQUIVALENTES ET ELEMENTAIRES .......................................................................................... 6
A Définitions des matrices équivalentes .......................................................................................................... 6
B Définitions des matrices élémentaires ......................................................................................................... 6
IV EXERCICE SUR LA RECHERCHE DU RANG .......................................................................................... 7
V CONCLUSION .................................................................................................................................................. 10
JL - MONINO 1

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- Algèbre matricielle -
Chapitre 4 LE RANG D’UNE MATRICE
Dans ce chapitre nous allons montrer comment à l’aide de méthodes simples il est possible de transformer une
matrice M d’ordre (n,p) en une matrice qui ne comporte que des zéros et des uns, cette représentation est appelée
forme réduite. Lorsque la matrice ne comporte que des 1 sur la diagonale principale et ailleurs des zéros la
matrice est dite alors mise sous forme normale ou canonique. Cette forme normale d’une matrice permet une
recherche simplifiée du rang et des solutions dans les systèmes d’équations linéaires.
I Définitions
Nous venons de voir qu’un déterminant n’est calculable que sur des matrices carrées. Nous allons voir
maintenant que le rang d’une matrice M d’ordre (n,p) peut être approché par la théorie des déterminants.. Il nous
manque donc une définition celle des sous matrices carrées contenues dans une matrice quelconque.
Exemple 1 :
Déterminons le nombre de sous-matrices carrées contenues dans la matrice M définie par :
M23 115
240
,=−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
Cette matrice M est rectangulaire, puisque d’ordre (2,3). Elle admet des sous-matrices carrées qui sont :
• trois sous matrices carrées d’ordre deux :
11
24
−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
Ces trois sous matrices ont comme déterminant :
15
20
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
15
40
11
24 426
−=+= 15
20 10=−
−=− 15
40 20
• six matrices carrées d’ordre un :
[]
1
[]
−1
[
]
5
[]
2
[]
4
[
]
0
Ces six sous matrices ont comme déterminant :
11= −=−11 55=
22=00= 44=
Formulons deux remarques importantes sur l'exemple :
La première sous-matrice carrée contenue dans la matrice M est égale au minimum entre le
nombre de colonnes et le nombre de lignes, c’est à dire 2,
Tous les déterminants des sous-matrices carrées d’ordre deux contenues dans M sont
différents de zéros.
A Définition des sous-matrices
On appelle sous matrice de la matrice M d’ordre (n,p) une matrice dont a éliminé v lignes et q colonnes. La
nouvelle matrice est d’ordre (n − v , p − q). Les sous matrices ne sont pas nécessairement des matrices carrées.
Conséquences :
La plus grande sous matrice contenue dans la matrice M d’ordre (n,p) c’est elle-même.
La plus petite matrice contenue da la matrice M d’ordre (n,p) est celle dont on a éliminé n − 1 lignes et p − 1
colonnes. Cette sous matrice est donc composée d’une ligne et d’une colonne.
La plus grande sous matrice carrée contenue dans la matrice M d’ordre (n,p) est au plus égale au plus au
minimum du nombre de lignes et de colonnes. Ce qui peut s’écrire :
Si n < p la première sous matrice carrée est d’ordre (n,n) ,
Si n > p la première sous matrice carrée est d’ordre (p,p).
Exemple 2 :
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Recherchons des sous-matrices de la matrice M d’ordre (3,4) définie par :
M34
1286
107 4
354 2
,=−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
La plus grande sous matrice de la matrice M est :
M34
1286
107 4
354 2
,=−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
La plus petite sous matrice est, par exemple, la matrice
[
]
N11 1
,= obtenue à partir de la matrice M à laquelle
nous avons enlevé les trois dernières colonnes et les deux dernières lignes. Remarquons que le nombre de ces
sous matrices est égal au nombre de ses éléments.
B Définition du rang d’une matrice
Pour aborder la notion de rang d’une matrice de façon simple nous allons partir de la définition des sous-
matrices carrées et du calcul de leurs déterminants. En effet, si une matrice carrée admet un déterminant non nul
elle est dite régulière ou non singulière. Ainsi, pour connaître le rang d’une matrice il suffit de rechercher tous
les déterminants des matrices carrées, la plus grande sous-matrice carrée régulière donnera le rang de la matrice
M d’ordre (n,p).
Définition 1 :
Soit r un nombre entier si l’on pose que r est le rang de la matrice M d’ordre (n,p) il existe au moins une sous
matrice carrées d’ordre r, tel que r ≤ minimum (n,p), régulière ; alors toutes les autres sous matrices carrées
d’ordre supérieure à r sont singulières.
Deuxième proposition de définition :
Le rang d’une matrice M d’ordre (n,p), noté rg(M) = r, est égale à l’ordre de la plus grande sous matrice
régulière contenue dans M.
Convention :
Si l’on considère la matrice nulle d’ordre (n,p), alors par convention son rang est égal à zéro, puisque tous ses
éléments sont nuls.
Exemple 3 :
Calculons le rang de la matrice M d’ordre (2,3) définie par :Son rang est 2. En effet, nous
constatons que :
M23 115
240
,=−
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
• Le minimum de (2,3), est 2, il suffit de trouver une matrice carrée d’ordre deux
régulière,
• Prenons par exemple la sous matrice 15
20
⎡
⎣
⎢⎤
⎦
⎥qui est régulière puisque son
déterminant est 15
20 10=− . Le rang de la matrice M est 2.
En conclusion nous écrirons : rg(M) = 2.
Exemple 4 :
Calculons le rang de la matrice M d’ordre (3,4) définie par :Son rang est 2. En effet,
nous constatons que :
M34
1156
240 2
480 4
,=
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
• Le minimum de (3,4), est 3, il suffit de trouver une matrice carrée d’ordre trois
régulière,
• Or nous constatons que la 3ième ligne est égale à deux fois la 2ième ligne, alors
d’après les théorèmes sur les déterminants nous pouvons conclure que tous les
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déterminants d‘ordre trois sont nuls. Il faut rechercher une sous matrice carrée
d’ordre deux, prenons par exemple la sous matrice 15
40
⎡qui est régulière puisque
son déterminant est
⎣
⎢⎤
⎦
⎥
15
40 20=− alors le rang de la matrice M est 2.
En conclusion nous écrirons : rg(M) = 2.
II Forme normale ou canonique d’une matrice
La recherche du rang d’une matrice apparaît comme une opération longue, il faut donc trouver une méthode qui
nous renseigne rapidement et sans trop de calculs.
La recherche du rang d’une matrice va s’effectuer non pas sur la matrice de départ mais sur une matrice qui aura
subi un certain nombre de transformations qui sont appelées transformations élémentaires et qui sont au nombre
de trois. Mais voyons ensemble tout d’abord le principe de la méthode des transformations.
A Le principe
Le principe consiste à transformer la matrice M d’ordre (n,p) à l’aide d’opérations simples en une matrice qui ne
contienne que des uns sur la diagonale principale et ailleurs des zéros.
Considérons une matrice M d’ordre (n,p) la transformation de cette matrice est matérialisée ci-dessous :
Matrice de départ Forme canonique ou forme normale
r lignes
(n -r) lignes
M
mm
m
mm
np
p
ij
nnp
,
,,
,
,,
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
→
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
11 1
1
10 0 0
0
1
0
0010
000
000
L
O
MM
O
L
LL LL
OOO M M M
MO O M M
MOOO M M
LL LL
LLL
MMM
MMM
LLL
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
− r colonnes p r colonnes
124443444 1 244344
()
0
M
⎢ ⎥
0
0
0
M
M
La forme canonique de la matrice est formée de quatre blocs :
• Trois blocs de matrices qui correspondent à des matrices nulles que l’on note O qui sont
d’ordre (r, p − r), (n − r, r), et (n − r, p − r),
• Une matrice carrée d’ordre r qui contient r fois la valeur 1 sur sa diagonale principale.
C’est cette matrice qui indique le rang de la matrice M. On écrira rg(M) = r.
La forme canonique ou normale d’une matrice est souvent exprimée en fonction des quatre blocs cités ci-dessus :
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Forme canonique et les 4 matrices blocs
r lignes
(n - r) lignes
IO
OO
r,r r,p-r
n-r,r n-r,p-r
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
−r colonnes p r colonnes
1244 344 1 244344
()
B Les trois transformations élémentaires pour le calcul du rang.
On considère la matrice M d’ordre (n,p) définie par :
[
]
{
}
{}
Mm i etj
np ij,,
== = avec 1, ,n 1, ,pLL
Les trois transformations élémentaires que l’on utilise sont les suivantes :
• On peut permuter deux lignes ou deux colonnes d’une matrice,
• Il est possible de multiplier tous les éléments d’une ligne ou d’une colonne par un nombre
différent de zéro. Transformation que l’on peut noter pour une ligne i :
si
{
}
αα ≠=0 pour une ligne i pour tout 1, ,p*, mj
ij L
• On peut additionner aux éléments d’une ligne, un multiple quelconque, différent de zéro,
des éléments d’une autre ligne (transformation réalisable également sur les colonnes).
Transformation que l’on peut noter pour une ligne i et i’ :
si
{}
αα ≠+
′
0 on peut substituer à l'élément pour tout 1, ,pmmm j
i,j i,j i j
*,L=
Nous admettrons sans démonstration le théorème suivant :
THEOREME 12
Les trois opérations élémentaires ne changent pas le rang d’une matrice.
Pour obtenir la forme normale d’une matrice M d’ordre (n,p), on procède de façon itérative à l’aide d’un
algorithme qui consiste à se déplacer sur la diagonale principale en y faisant apparaître des UNS et ailleurs des
ZEROS en utilisant les opérations élémentaires. Les étapes sont les suivantes :
Début de l’algorithme i = 1 :
¾ Etape 1 : Elle concerne la position (i,i) de la matrice M. Si mi,i = 0 alors on
effectue une permutation entre deux lignes i et i’ ou entre deux colonnes j et j’ de
telle sorte que la position (i,i) soit différente de zéro,
¾ Etape 2 : Comme mi,i ≠ 0 on multiplie toute la ligne par l’inverse de mi,i . Cette
opération élémentaire permet d’obtenir la valeur 1 en position (i,i),
¾ Etape 3 : On fait apparaître des zéros dans la colonne i, sous la position (i,i).
Pour cela on enlève un multiple approprié de la ième ligne de toutes les autres
lignes.
¾ Etape 4 : On fait apparaître des zéros dans la ligne i à droite de la position (i,i).
On enlève un multiple approprié de la nouvelle ième colonne de toutes les autres
colonnes.
¾ Etape 5 : On répète ces opérations tout le long de la diagonale principale, c’est à
dire, on remonte à l’étape 1 et l’on fait i= 2 et l’on réitère l’opération jusqu’à ce
que i = n.
On recommence l'opération si i ≤ n
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