Calcul de probabilité 1 Probabilités conditionnelles

Calcul de probabilité
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Probabilités conditionnelles
Exercice 1
On tire au hasard deux cartes, successivement et sans remise, dans un jeu de 32 cartes.
1. Quelle est la probabilité pour que la première carte soit un pique ?
2. Quelle est la probabilité pour que la seconde carte soit un coeur sachant que la première est
un pique ?
3. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un pique et un coeur ?
4. Quelle est la probabilité pour que la couleur des deux cartes soit pique ?
5. Quelle est la probabilité pour que les deux cartes ne soient pas de la même couleur (pique,
coeur, carreau, trèfle) ?
6. Quelle est la probabilité pour que la seconde carte soit un coeur sachant que la première est
un roi ?
Exercice 2
Dans un atelier, on coupe des pièces métalliques sur deux machines M1 et M2 .
La machine M1 découpe 60 % des pièces et 6,3 % de ces pièces sont défectueuses.
La machine M2 découpe 40 % des pièces et 4 % de ces pièces sont défectueuses.
On prélève au hasard une pièce dans la production totale.
1. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse provenant de M1 ?
2. Quelle est la probabilité de prélever une pièce défectueuse provenant de M2 ?
3. En déduire la probabilité de prélever une pièce défectueuse.
4. Calculer la probabilité qu’une pièce provienne de la machine M1 sachant qu’elle est défectueuse.
Exercice 3
Une entreprise fabrique des moteurs électriques. Afin de vérifier la conformité des moteurs, on
procède à deux tests : l’un de type mécanique, l’autre de type électrique.
Un moteur est rejeté s’il présente au moins l’un des deux types de défaut.
Un moteur est déclaré en parfait état de marche s’il ne présente aucun des deux types de défaut.
Une étude statistique de la production conduit à dégager les résultats suivants :
– la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test mécanique est 0,08 ;
– la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour le test électrique est 0,05 ;
– la probabilité qu’un moteur soit défectueux pour les deux tests est 0,02.
1
On prélève au hasard un moteur dans la production.
On appelle :
• DM l’événement " le moteur prélevé présente un défaut de type mécanique ",
et
• DE l’événement " le moteur prélevé présente un défaut de type électrique ".
1. (a) Les événements DM et DE sont-ils indépendants ?
(b) Calculer la probabilité de l’événement DM sachant que l’événement DE est réalisé.
2. (a) Calculer la probabilité de l’événement A : " le moteur présente au moins un défaut ".
(b) Démontrer que la probabilité de l’événement B : " le moteur prélevé est en parfait état
de marche " est 0,89.
(c) Déterminer la probabilité de l’événement C : " le moteur prélevé présente un seul
défaut ".
Exercice 4
On suppose que la probabilité d’avoir un garçon est la même que celle d’avoir une fille.
1. Mon voisin a deux enfants. Quelle est la probabilité que ceux soient une fille et un garçon ?
(réponse : 12 )
2. Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité pour que le deuxième
enfant soit un garçon ?
(réponse : 23 )
3. Mon voisin a deux enfants. Je sonne à la porte et c’est une fille qui ouvre. On suppose que
les deux enfants ont la même probabilité d’ouvrir la porte. Quelle est la probabilité pour
que le deuxième enfant soit un garçon ?
(réponse : 12 )
Il est conseillé de faire un arbre pour répondre à ces trois questions.
Exercice 5
Un document a été perdu. La probabilité pour qu’il se trouve dans un meuble est p, 0 < p < 1.
Ce meuble comporte sept tiroirs. On explore six tiroirs sans trouver le document. Quelle est la
probabilité de le trouver dans le septième ?
p
(réponse : 7−6p
)
Exercice 6
On dispose d’un test destiné à savoir si une personne est atteinte d’une certaine maladie. On
suppose que dans la population, une personne sur mille est malade.
Si la personne est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,99.
Si la personne n’est pas malade le test est négatif avec une probabilité de 0,98.
On note M l’événement "personne malade" et A l’événement "test positif".
2
1. A l’aide d’un arbre, déterminer P (A ∩ M ), P (A ∩ M ) et P (A).
2. On teste un individu et le résultat est positif. Quelle est la probabilité qu’il soit effectivement
malade ?
Exercice 7
Pour se rendre au lycée, un élève a le choix entre quatre itinéraires : A, B, C et D.
1
).
La probabilité qu’il a de choisr A (respectivement B, C) est 31 (resp. 14 , 12
1
1
1
La probabilité d’arriver en retard en empruntant A (resp. B, C) est 20 (resp. 10
, 12
).
En empruntant D, il n’est jamais en retard.
1. Calculer la probabilité qu’il arrive en retard.
2. Un jour donné, l’élève est arrivé en retard. Quelle est la probabilité qu’il ait emprunté l’itinéraire C ?
Exercice 8
Avant de passer un examen, 90 % des candidats ont révisé. La probabilité de réussite est 0, 8 pour
un candidat ayant révisé et 0, 2 pour un candidat n’ayant pas révisé.
Après l’examen, tous les reçus affirment qu’ils n’avaient pas révisé, tous les recalés affirment
qu’ils avaient travaillé jour et nuit.
1. On rencontre un candidat qui a réussi l’examen. Quelle est la probabilité qu’il soit un menteur ?
2. Même question pour un candidat qui a échoué.
3. Même question pour un candidat dont on ne sait pas s’il a réussi ou non.
Exercice 9
1/4 d’une population a été vaccinée. Parmi les vaccinés, on compte 1/12 de malades. Parmi les
malades, il y a 4 non-vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non-vacciné de
tomber malade ?
3
2
Indépendance
Exercice 10
Un sac contient des jetons semblables numérotés de un à dix.
1. On tire au hasard un jeton du sac. Déterminer les probabilités des événements suivants.
(a) Evénement A : obtenir un nombre premier.
(b) Evénement B : obtenir un multiple de deux.
(c) Evénement C : obtenir un multiple de trois.
(d) Evénement D : obtenir un multiple de six.
(e) Les événements B et C sont-ils indépendants ?
2. On tire simultanément deux jetons du sac.
(a) Quelle est la probabilité d’obtenir deux nombres premiers ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir deux nombres premiers entre eux ?
Exercice 11
On jette trois dés bien équilibrés.
1. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un six.
2. Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre.
3. Calculer la probabilité que la somme des chiffres marqués sur les trois faces obtenues soit
paire.
4. Montrer que les deux événements considérés aux questions 2 et 3 sont indépendants.
Exercice 12
On lance deux dés, un rouge et un bleu, à 6 faces équilibrés. On considère les évènements suivants :
A : « le résultat du dé rouge est pair »
B : « le résultat du dé bleu est pair »
C : « la somme des deux dés est impaire »
Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Les évènements A et C ? Les évènements B et
C?
Calculer P (A ∩ B ∩ C).
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