Licence de physique
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Année universitaire 2010/2011 UE LP 105 : Thermodynamique et applications biophysiques T.D. n°3 : Entropie (suite) Exercice 1 Variations d'entropie d'un mélange eau ­ glace On mélange, sous pression atmosphérique, une masse m1 = 10 kg d’eau prise à la température T1 = 27°C et une masse m2 = 1 kg de glace prise à la température T2 = ­10°C. Déterminer littéralement, puis numériquement, la température d’équilibre T et la variation d’entropie du système. On donne : la chaleur massique de l’eau C 1 = 4,2 kJ.kg­1.K­1 ; la chaleur massique de la glace C2 = 2,15 kJ.kg­1.K­1 et la chaleur de fusion de la glace L = 336 kJ.kg­1. Exercice 2 Variation d'entropie associée au chauffage d'une masse d'eau 1) Un kg d’eau initialement à 20°C est mis en contact avec une source de chaleur S à 100°C. Calculer la variation d’entropie de l’eau, de la source et de l’ensemble. 2) Au lieu de chauffer l’eau par l’intermédiaire de cette seule source S, on la chauffe d’abord avec une source S1 à 60°C. Lorsque l’équilibre thermique est atteint, on enlève cette source S1 et on la remplace par la source S à 100°C. Déterminer la variation d’entropie de l’eau, de la source S1, de la source S2 et de l’ensemble. Comparer à 1) et commenter. Exercice 3 Diagramme de Raveau Une machine ditherme peut être représentée par le schéma ci dessus. Une telle machine échange de la chaleur avec deux sources de chaleur et du travail avec l'extérieur. Les sources de chaleur sont des thermostats, un chaud à la température TA , un froid à la température TB. On a donc TA > TB . L'extérieur est considéré comme un thermostat à la température Text et on rappelle qu'un thermostat ne subit que des transformations quasi­statiques. 1) On admet que pour fonctionner la machine ditherme doit décrire un cycle. Qu'est­ce que cette considération implique pour les variables QA, QB et W du schéma ? 2) Quelle est la variation d'entropie du thermostat A en cours d'un cycle ? Même question pour le thermostat B, pour la machine et pour l'extérieur. 3) Montrer qu'on a forcément Q A=−Q B −Q A Q B − 0 . A quoi correspond l'égalité TA TB TA ? TB TA . TB Dans ce même repère, hachurer la zone exclue par la condition (l'inégalité) établie à la question 3). 4) Dans repère (QA,QB), c'est­à­dire QA = f (QB), représenter la droite Q A=−Q B 5) Toujours dans le repère, tracer la droite correspondant à un échange de travail nul avec l'extérieur (W=0). Déterminer les zones du diagramme où la machine reçoit du travail et les zones où elle en fournit. 6) Une machine thermique est une machine qui fournit du travail à l'extérieur. Quelle partie du diagramme correspond aux machine thermiques ? Quelles conditions cela implique­t­il pour QA et QB ? 7) Un réfrigérateur est une machine qui prend de la chaleur à la source froide et en donne à la source chaude. A quelle partie du diagramme correspondent les réfrigérateurs ? Quel est le signe du travail ? Pourquoi le travail a­t­il ce signe ? Exercice 4 On considère le système représenté sur la figure suivante : 0 x l Il s’agit d’un cylindre de section s. Il est séparé en deux compartiments par une paroi mobile. Le compartiment de gauche contient n moles d’un gaz parfait monoatomique ; le compartiment de droite, un ressort reliant la paroi de droite fixe et la paroi mobile. On note K la raideur du ressort et l sa longueur au repos. La longueur totale du cylindre est également l. Les abscisses de la paroi mobile sont repérées par la variable x ayant pour origine la paroi de gauche du cylindre. La masse de la paroi mobile est négligeable. Enfin, un mécanisme extérieur permet de bloquer la paroi mobile à n’importe quelle position arbitraire pour 0 x l . Les autres parois sont fixes, sauf pour quelques questions expressément précisées où la paroi de gauche peut être également mobile. On prendra toujours pour système tout ce qu’il y a à l’intérieur du cylindre : gaz + ressort + paroi mobile. Le ressort sera considéré comme étant un sous-système purement mécanique, non thermodynamique ; il n’a donc pas d’entropie. Initialement, un opérateur extérieur maintient la paroi mobile à une position arbitraire x0 puis la lâche. Le système relaxe alors vers une position d’équilibre. Données numériques : l = 2 m, s = 100 cm2, K = 1000 N m­1, R = 25/3 J K­1 mol­1, x0 = 1,5 m, n = 0,1 mol. Relaxation vers un état d’équilibre à volume et température fixés Le système est en contact avec un thermostat à la température T0. Toutes les parois sont peu conductrices de la chaleur. À l’état initial, la paroi mobile est bloquée à x x0 . On relâche ensuite cette contrainte, laissant le système évoluer librement et très lentement. Toutes les parois extérieures étant fixes, le volume V du système est fixe. La position x de la paroi mobile évolue vers une valeur d’équilibre x1. 1. En écrivant l’équilibre mécanique de la paroi mobile, déterminer la position d’équilibre x1. Application numérique pour T0 = 300 K. 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Rappeler dans les variables température et volume l’expression de l’entropie du gaz parfait. En déduire l’expression de S(x). 4. Déterminer l’expression de l’énergie interne U(x) du système (gaz + ressort). 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique. On l’exprimera en fonction de x. En tracer l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x1. 6. Calculer cette position. Comparer avec le résultat de la question 1. Exercices supplémentaires Ces exercices complémentaires sont basés sur le système représenté dans l'exercice 4. A. Modification de l’état d’équilibre À l’aide d’une petite résistance électrique en contact avec gaz, on chauffe (très lentement) ce dernier, les parois étant supposées adiabatiques. On déplace ainsi l’équilibre de (x1, T1=T0) à (x4, T4). La capacité thermique de la résistance est négligeable. 1. Calculer T4 pour que x4 = 2 x1. 2. Donner les expressions littérales des variations d’énergie interne du gaz, ΔU g =U g4−U g1 , ainsi que du ressort (énergie potentielle), ΔU r =U r4 −U r1 . Les exprimer en fonction de T4 et T1. Application numérique. 3. En fonction de T4 et T1, exprimer la quantité de chaleur Q fournie par la résistance. Application numérique. 4. Expliciter, pour toute position d’équilibre intermédiaire x 1 ≤ x ≤ x 4 , le volume Vg(x), la température T(x) et la pression P(x) du gaz. Montrer que, pendant l’échauffement, on a toujours P x =C V g x . Déterminer l’expression littérale de la constante C et vérifier l’homogénéité de la formule obtenue. Calculer numériquement Vg4 et P4. 5. Tracer en coordonnées de Clapeyron (Vg, P) la transformation 1 4 . Déterminer le travail W14 reçu par le gaz. Application numérique. B. Relaxation vers l'équilibre à volume et energie fixés Les parois diathermes sont maintenant remplacées par des parois parfaitement isolantes : le système ne peut donc pas échanger de chaleur avec l’extérieur. Le thermostat ne joue plus aucun rôle. On notera U l’énergie interne du système. La position initiale de la paroi interne est toujours x0 et la température initiale T0 = 300 K. On notera x2 la position d’équilibre finale. 1. En considérant simplement l’équilibre mécanique de la paroi mobile, quelle est la relation simple entre x2 et T2 ? 2. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? 3. Rappeler l’expression de l’entropie du gaz parfait en fonction de son volume Vg et de son énergie interne Ug. Calculer U 4. Exprimer Vg et Ug en fonction de x et de U. 5. En déduire l’expression du potentiel thermodynamique en fonction de x. En tracer l’allure et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x2. 6. Calculer cette position en fonction de U. 7. Utiliser ce dernier résultat pour exprimer simplement à l’équilibre Ug, puis T2 en fonction de x2. Retrouve-t-on le résultat de la question A.1 ? 8. Application numérique : calculer x2 et T2. Retrouve-t-on le même résultat qu’en I? 3 1 2 2 2 Réponses : 5 : S x =nR ln x ln U − Kx cte ; 6 : x 2= T 2=900 K . U ; 8 : x 2=0,86 m , 2K C. Relaxation vers l’équilibre à pression et température fixées La pression du gaz est maintenant maintenue constante en laissant la paroi de gauche coulisser librement dans le piston, l’extérieur étant à une pression P0 constante (par exemple la pression atmosphérique). On notera les positions des deux parois comme indiqué sur le schéma ci-dessous : l’origine ne change pas, la position de la paroi interne est toujours repérée par x et celle de la paroi externe de gauche par z. Les parois sont à nouveau complètement diathermes et l’ensemble est en contact avec un thermostat à la température T0 = 300 K. La position initiale de la paroi interne est toujours x0. On notera x3 la position d’équilibre final de la paroi interne. P0 z 1. 2. 3. 4. 5. 0 x l En considérant les équilibres mécaniques des deux parois mobiles, exprimer simplement x3. Application numérique pour P0 = 1 atm. Quel est le potentiel thermodynamique qui décrit le problème ? Quelle est la variation du volume Vg du gaz ? Quelle est sa variation d’entropie ? Exprimer alors simplement le potentiel thermodynamique en fonction de la seule variable x ; on regroupera ensemble tous les termes constants. Tracer l’allure du potentiel et montrer qu’il existe bien une position d’équilibre x3. Calculer cette position d’équilibre. Retrouve-t-on le résultat de la question B.1 ? 1 2 Réponses : 1 : x 3 =P0 s/ K =1 m ; 4 : G x = Kx −P s xcte . 2 D. On raisonne à volume et température fixes (comme en I). On considère la transformation de relaxation 0 1 . 1. Sans calcul, comparer en valeur algébrique (c’est-à-dire en considérant les signes) la variation d’énergie libre du gaz F g au travail Wg reçu par le gaz de la part du ressort. 2. Calculer F g et Wg en fonction de x0 et x1. 3. Application numérique. Conclusion ? Réponses : 1 : ΔF −W =−T ΔS tot ; 3 : ΔF g =275 J , W g =1000 J . On considère ici que toutes les parois sont parfaitement isolantes (comme en III.A). Le volume total reste fixe ; seule la paroi interne est mobile. Cette paroi est maintenant munie d’un robinet (de volume et capacité calorifique négligeables) permettant de faire passer du gaz dans le compartiment du ressort. La manipulation de ce robinet se fait sans apport de travail ni de chaleur. 0 x l Partant de l’état 2, on ouvre le robinet. On arrive ainsi à l’état 5. 1. Quel va être la position finale x5 de la paroi mobile intérieure ? 2. Calculer la température finale. 3. Quelle est la variation d’entropie totale associée à cette transformation ? Application numérique. Cette transformation est-elle réversible ? 4 Réponses : 2 : T 5= T 2 =1200 K ; 3 : ΔS tot =1,05 J/K . 3 On se place maintenant dans la configuration où la paroi de gauche est mobile (partie III.B). Le système reste en contact avec le thermostat à la température T0. Partant de l’état 3, on repousse la paroi de gauche vers la droite. Calculer de deux manières le travail qu’il faut fournir pour aller à l’état 1 de manière quasi-statique. 1 x1 2 x3 2 2 2 Réponse : W =K⋅ x 1 −x 3 x1 ln .
